高 雅， 時 瑾， 焦彬洋， 楊 飛

(1. 北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044； 2. 中鐵物總運維科技有限公司，北京 100036；3. 中國鐵道科學研究院集團有限公司 基礎設施檢測研究所，北京 100081)

鋼軌磨耗是鐵路運輸中的常見現(xiàn)象[1]。地鐵系統(tǒng)車輛加減速頻繁，行車密度大，且曲線線路較多，鋼軌磨耗現(xiàn)象較為突出[2]。地鐵曲線區(qū)段內(nèi)外軌不對稱磨耗造成輪軌匹配不良，惡化輪軌接觸關系，影響運行舒適性和安全性[3-4]，增加運營維護成本。

目前國內(nèi)外學者對輪軌磨耗問題開展了大量研究。Fries等[5]結合Kalker線性蠕滑理論和磨耗理論預測了直線上車輪型面和鋼軌軌頭的磨耗。Pearce等[6]認為材料的磨耗損失與接觸區(qū)域的能量消耗成比例，通過車輪每公里產(chǎn)生的磨耗面積來定義為車輪磨耗。Ward等[7]將材料的磨耗量與牽引力和輪軌相對滑動距離聯(lián)系起來，分別對直線和曲線上車輪型面磨耗進行了預測分析。Braghin等[8]開展了單輪對全尺寸滾動試驗臺輪軌磨耗試驗研究，分析了車輪型面演變。Enblom等[9]分析了輪軌相對滑動、車輛制動及環(huán)境對輪軌磨耗的影響。王璞等[10]基于Specht磨耗理論對鋼軌型面進行磨耗計算，對不同車型和速度設置權重因子，對重載鐵路鋼軌磨耗發(fā)展規(guī)律進行了研究。孫宇等[11]基于Braghin磨耗理論的鋼軌磨耗預測模型計算了鋼軌磨耗沿縱向和橫向的三維分布。王少鋒等[12]基于Archard磨耗理論研究了地鐵小半徑曲線外軌側磨發(fā)展規(guī)律。

可以看出，目前對鋼軌型面磨耗演化問題的關注較少，針對速度不均勻性對鋼軌磨耗影響機理缺乏研究。本文建立一種可計算三維分布的鋼軌磨耗預測模型，考慮車輛以非單一速度通過，并設置相應的權重進行磨耗累積計算。同時考慮了車輛通過曲線時內(nèi)外軌上輪軌接觸區(qū)域不同的特點，分析了非均勻速度分布對鋼軌型面磨耗影響規(guī)律，以期對地鐵曲線養(yǎng)護維修提供參考。

1 鋼軌磨耗計算模型

1.1 鋼軌磨耗計算主要流程

研究鋼軌磨耗的發(fā)展規(guī)律，需要了解輪軌之間的相互作用關系，根據(jù)計算得到的輪軌動力學響應分析輪軌滾動接觸情況，再結合磨耗理論計算輪軌接觸區(qū)域內(nèi)的鋼軌磨耗分布，當鋼軌磨耗達到一定深度時要采用平滑方法對鋼軌型面進行平滑更新，利用更新后的鋼軌型面重復上述過程進行鋼軌磨耗計算，得到新的更新后鋼軌型面，由此反復迭代計算直到滿足終止條件。在每一次鋼軌磨耗計算中，不同工況條件下得到的鋼軌斷面磨耗分布可以通過一定方式進行疊加獲得總體磨耗情況。

鋼軌磨耗計算模型由車軌動力學仿真、輪軌滾動接觸計算，鋼軌型面磨耗計算以及鋼軌型面更新幾個部分組成，如圖1所示。

圖1 鋼軌磨耗計算流程圖Fig.1 Flow chart of rail wear calculation

1.2 車輛與軌道動力相互作用模型

本文建立的曲線區(qū)段車輛與軌道動力相互作用模型，如圖2所示。將車輛簡化為多剛體系統(tǒng)，一系、二系懸掛系統(tǒng)簡化為彈簧、阻尼元件，共考慮35個自由度。軌道結構選用地鐵系統(tǒng)中常見的鋼彈簧浮置板減振軌道模型，考慮鋼軌和軌道板的振動。其中鋼軌簡化為離散彈性點支承基礎上的連續(xù)歐拉梁，考慮其橫向、垂向和扭轉振動。軌道板在垂向簡化為彈性矩形薄板，橫向和轉動方向簡化為剛體，扣件和鋼彈簧均簡化為彈簧、阻尼系統(tǒng)。輪軌法向力、蠕滑力分別采用Hertz線性接觸理論和沈志云-Hedrick-Elkins理論進行求解，車軌系統(tǒng)方程采用新型兩步數(shù)值積分方法[13]進行求解。關于車輛與軌道動力相互作用模型的詳細描述可見文獻[14]。

圖2 車輛與軌道動力相互作用模型Fig.2 Vehicle and track dynamic interaction model

1.3 輪軌非Hertz滾動接觸模型

基于車輛與軌道動力相互作用計算，根據(jù)車軌系統(tǒng)動力學參量進一步研究接觸斑上的輪軌滾動接觸問題。在鋼軌的磨耗分析中，采用基于虛擬滲透的非Hertz接觸理論[15]求解輪軌間的滾動接觸，該方法是近年來輪軌滾動接觸計算中廣泛應用的一種方法。考慮到輪軌的幾何外形，接觸斑通常是非橢圓的。假設接觸斑形狀可以由輪軌型面和相對壓入量直接決定，使得虛擬滲透區(qū)域變得足夠接近真實接觸區(qū)域。定義輪軌之間恰好接觸且無接觸壓力和彈性變形時，輪軌之間的接觸點為幾何接觸點，如圖3所示?；趶椥园肟臻g理論，輪軌間的相對壓入量滿足

(1)

圖3 虛擬滲透區(qū)域和接觸區(qū)域Fig.3 The virtual region area and contact region

根據(jù)虛擬滲透量δ確定輪軌型面之間的虛擬滲透區(qū)域，將此虛擬滲透區(qū)域視為接觸區(qū)域。由于車輪是一個旋轉體，因此假定考慮的接觸具有Hertz接觸的某些性質(zhì)。根據(jù)Hertz理論，假設法向壓力沿滾動方向呈半橢圓分布，則接觸斑上的壓力分布具有以下形式

(2)

式中，p0為最大接觸壓力。通過對接觸壓力進行積分可以得到法向接觸力為

(3)

為了計算最大接觸壓力并保證該方法的可靠性，只在接觸區(qū)域的一個點，即幾何接觸點(0,0)處滿足Boussinessq-Cerruti公式。切向接觸計算是根據(jù)每個接觸斑的等效接觸橢圓計算該接觸斑的Kalker線性系數(shù)，再根據(jù)FASTSIM算法求解切向力分布，從而判斷接觸斑上的黏著、滑動區(qū)分布。通過這種方法求解輪軌滾動接觸問題，是完全可靠并且快速的。

1.4 磨耗模型

鋼軌磨耗計算采用Archard磨耗模型[16]，該磨耗模型認為材料的磨耗損失量與接觸法向壓力、相對滑動距離成正比，與接觸物體材料硬度成反比，即

(4)

式中：Vw為材料磨耗體積；S為接觸物體相對滑動距離；H為接觸物體材料硬度；N為法向接觸力；K為磨耗系數(shù)。

將可能的接觸區(qū)域進行單元劃分，如圖4所示。假設每個單元的接觸壓力均為定值，并通過單元中心點的受力表征整個單元受力。對于接觸斑上的任意單元J，其法向力可以表示為PJ=pJΔxΔy，車輪通過后單元J上的磨耗體積可以表示為VwJ=(ΔxΔy)VdJ。根據(jù)上式，則單元J中心處的磨耗深度VdJ可以表達為

(5)

式中：pJ為單元J上的法向接觸壓力；SJ為單元J上的滑動距離, 一般可以表達為

(6)

(7)

式中：KJ為單元J的磨耗系數(shù)；v為列車運行速度； Δx和Δy分別為單元沿車輪滾動方向和沿鋼軌橫斷面方向上的長度(本文采用單元面積為0.1 mm×0.1 mm)；vslipJ單元J上的滑動速度；ζ1，ζ2和ζ3分別為縱向、橫向和扭轉蠕滑系數(shù)；uJ為彈性位移；xJ，yJ分別為單元J中心點在x，y方向上的坐標。

圖4 輪軌接觸斑Fig.4 The wheel-rail contact patch

1.5 非均勻速度分布模型

為了研究非均勻速度分布對鋼軌磨耗發(fā)展規(guī)律的影響，采用了三角概率密度分布[17]模擬車輛通過速度分布情況。定義了兩種約束條件：期望值與標準差恒定及期望值與域?qū)捄愣?。圖5給出了速度的一般三角形偏態(tài)概率分布。對于速度概率分布函數(shù)p(v)，可以表達為關于車輛運行速度上下限vmin，vmax及眾數(shù)vm的表達式，即

(8)

(9)

(10)

vw=vmax-vmin

(11)

圖5 速度分布概率密度函數(shù)Fig.5 Probability density function of speed distribution

偏度是概率分布密度函數(shù)相對于其期望值不對稱程度的標準度量，對于非均勻速度分布模型，偏度可以定義為分布速度關于速度期望值的三階標準化距，其定義式為

(12)

1.6 鋼軌型面更新策略

在鋼軌磨耗計算中，車輪通過某鋼軌斷面時，通過接觸斑上沿車輪滾動方向磨耗分布疊加表征該斷面的磨耗。在軌道上沿縱向采用等間距采樣，考慮4位輪對，則某輛車通過第m個鋼軌截面時的鋼軌磨耗可以寫為該車所有車輪通過該截面鋼軌磨耗的和，即

(13)

不同鋼軌斷面上的輪軌相互作用動力學響應不同，導致鋼軌磨耗情況沿軌道縱向發(fā)生變化。但是在兩相鄰鋼軌斷面間距較小時，磨耗情況相差不大?？紤]到計算效率，本文按照固定間隔計算鋼軌磨耗，磨耗計算斷面之間的鋼軌磨耗可以通過插值獲得。本文中兩個相鄰鋼軌計算斷面之間間距為1 m，如圖6所示。

圖6 磨耗計算鋼軌斷面分布Fig.6 Rail cross section distribution of wear calculation

考慮到非均勻速度分布對鋼軌磨耗發(fā)展的影響，將k個通過速度定義為k個運行工況，對不同工況下計算得到的鋼軌磨耗進行線性疊加，則考慮非均勻速度分布后第m個鋼軌斷面上的平均磨耗深度可以表示為

(14)

式中，ps為第s個工況所占權重。

對于產(chǎn)生磨耗的鋼軌型面，規(guī)定當鋼軌的磨耗深度達到限值后對鋼軌型面進行更新，采用更新后的鋼軌型面進行下一次磨耗計算。本文中定義鋼軌型面上的計算磨耗深度達到0.1 mm時需要對鋼軌型面進行更新，更新時采用均勻B-spline函數(shù)對鋼軌型面進行平滑。

假設鋼軌型面更新前形狀不發(fā)生變化，則每輛車通過某一鋼軌斷面時的鋼軌磨耗是不變的。由此第q次更新時的鋼軌型面總磨耗量可以表達為

(15)

(16)

2 工況分析

2.1 基本概況

本文選取一段地鐵曲線線路進行仿真計算。線路曲線半徑650 m、超高120 mm；曲線段和緩和曲線段的長度分別為482 m和85 m。軌道類型采用鋼彈簧浮置板，扣件間距為0.6 m，鋼彈簧支撐間距為扣件間距的兩倍。圖7給出了仿真計算選用的輪軌型面，車輪型面為實測磨耗車輪型面，鋼軌型面為實測磨耗鋼軌型面和優(yōu)化鋼軌型面，軌道不平順選用地鐵實測軌道隨機不平順，垂向疊加軌道短波不平順，詳見Shi等的研究。其中： “worn”代表磨耗鋼軌型面； “opt”代表優(yōu)化鋼軌型面?？紤]車輛以單一速度93 km/h和速度期望值為93 km/h，標準差系數(shù)為15%，偏度S為0的非均勻速度分布通過時的鋼軌磨耗情況，迭代更新次數(shù)為10次。圖8給出了非均勻速度分布通過時的速度概率分布函數(shù)曲線。

圖7 輪軌型面Fig.7 Wheel-rail profile

圖8 速度概率密度分布圖像Fig.8 Speed probability density distribution image

2.2 計算結果

2.2.1 鋼軌磨耗深度分布特性

為了充分了解非均勻速度分布對地鐵曲線區(qū)段鋼軌磨耗的影響，圖9～圖16分別給出了單一速度通過和非均勻速度通過時，磨耗鋼軌型面和優(yōu)化鋼軌型面第1次和第10次更新時磨耗深度分布。圖中橫軸表示沿軌道縱向方向，縱軸表示鋼軌橫向，顏色變化顯示了鋼軌磨耗深度變化情況。其中縱軸為負表示內(nèi)外軌軌頭內(nèi)側。由圖可知，內(nèi)外軌在圓曲線上的磨耗明顯大于曲線其他位置，鋼軌的磨耗區(qū)域基本平行于橫軸，計算得到的鋼軌光帶基本是平直的，但磨耗深度沿軌道縱向分布是不均勻的，初始曲線段磨耗鋼軌型面外軌最大磨耗深度大于內(nèi)軌，優(yōu)化鋼軌型面外軌最大磨耗深度小于內(nèi)軌。

圖9 單一速度通過時第1次更新時磨耗鋼軌型面磨耗深度分布Fig.9 Wear depth distribution of worn rail profile after the 1st update with single speed

圖10 單一速度通過時第1次更新時優(yōu)化鋼軌型面磨耗深度分布Fig.10 Wear depth distribution of optimized rail profile after the 1st update with single speed

圖11 單一速度通過時第10次更新時磨耗鋼軌型面磨耗深度分布Fig.11 Wear depth distribution of worn rail profile after the 10th update with single speed

圖12 單一速度通過時第10次更新時優(yōu)化鋼軌型面磨耗深度分布Fig.12 Wear depth distribution of optimized rail profile after the 10th update with single speed

圖15 非均勻速度通過時第10次更新時磨耗鋼軌型面磨耗深度分布Fig.15 Wear depth distribution of worn rail profile after the 10th update with non-uniform speed

圖16 非均勻速度通過時第10次更新時優(yōu)化鋼軌型面磨耗深度分布Fig.16 Wear depth distribution of optimized rail profile after the 10th update with non-uniform speed

通過第1次和第10次更新時鋼軌磨耗深度分布對比可以看出，單一速度通過時，磨耗鋼軌型面的磨耗光帶位置基本沒有發(fā)生變化，磨耗區(qū)域的范圍略有增加，優(yōu)化鋼軌型面局部磨耗較大，整體磨耗明顯小于磨耗鋼軌型面；磨耗鋼軌型面內(nèi)軌磨耗區(qū)域靠近鋼軌中心的軌頭外側，優(yōu)化鋼軌型面內(nèi)軌磨耗區(qū)域分布在鋼軌中心附近。非均勻速度通過時，磨耗鋼軌型面和優(yōu)化鋼軌型面內(nèi)軌磨耗區(qū)域均大于單一速度通過；隨著鋼軌型面更新次數(shù)的增加，鋼軌最大磨耗深度逐漸增加，磨耗鋼軌型面內(nèi)軌磨耗區(qū)域由鋼軌中心向兩側移動，磨耗光帶寬度明顯增加。相較于單一速度通過時的鋼軌磨耗深度分布，經(jīng)過10次更新后非均勻速度通過的鋼軌磨耗深度分布沿軌道縱向更均勻，不同鋼軌斷面的磨耗差異明顯減小，磨耗鋼軌型面和優(yōu)化鋼軌型面內(nèi)軌磨耗光帶寬度均為10 mm左右，但磨耗鋼軌型面外軌側磨嚴重。

隨著鋼軌型面更新次數(shù)的增加，鋼軌的磨耗速率逐漸變化，圖17給出單一速度和非均勻速度通過時磨耗鋼軌型面和優(yōu)化鋼軌型面更新時累計通過車輛數(shù)量統(tǒng)計圖。由圖可知，隨著鋼軌型面更新次數(shù)的增加，累計通過車輛數(shù)量的增加速率先減小后增加，說明鋼軌磨耗速率先增加后減小。優(yōu)化鋼軌型面更新時的通過車輛數(shù)量明顯大于磨耗鋼軌型面，且隨著更新次數(shù)的增加優(yōu)化鋼軌型面與磨耗鋼軌型面累計通過車輛數(shù)量差值逐漸增加，采用優(yōu)化鋼軌型面在第10次更新時以單一速度通過和非均勻速度通過時的累計通過車輛數(shù)量相較于磨耗鋼軌型面分別增加了61%和49%。同時，車輛以非均勻速度通過時的累計通過車輛數(shù)量顯著大于單一速度通過時的情況。第10次更新時，相較于單一速度通過，以非均勻速度通過時磨耗鋼軌型面的累計通過車輛數(shù)量增加了16%，優(yōu)化鋼軌型面增加了8%。第10次更新時采用非均勻速度通過和優(yōu)化鋼軌型面與采用單一速度通過和磨耗鋼軌型面相比，車輛累計通過數(shù)量增加了近一倍，顯著減小了鋼軌磨耗速率。

圖17 累計通過車輛數(shù)量Fig.17 Cumulative number of vehicles passing

2.2.2 鋼軌磨耗對輪軌接觸幾何的影響

隨著更新次數(shù)的增加，鋼軌型面逐漸發(fā)生變化，輪軌匹配時接觸點位置相應也發(fā)生變化。圖18～圖21給出了10次更新后，單一速度和非均勻速度通過時磨耗鋼軌型面和優(yōu)化鋼軌型面與磨耗車輪型面匹配的接觸點分布圖像，其中輪對橫移量為0～20 mm。由圖可知，磨耗鋼軌型面內(nèi)軌在單一速度通過10次更新后軌頂出現(xiàn)明顯凹磨，輪軌接觸點向鋼軌中心軌頭內(nèi)側移動，外軌接觸點分布較為分散；非均勻速度通過10次更新后輪軌接觸點分布不連續(xù)。優(yōu)化鋼軌型面在10次更新后輪軌接觸點分布連續(xù)性較好；與單一速度通過相比，非均勻速度通過輪軌靜態(tài)接觸點分布區(qū)域范圍較大，且接觸點分布更均勻。

圖18 單一速度通過時第10次更新后磨耗鋼軌型面與磨耗車輪型面接觸點分布Fig.18 Distribution of contact points between worn rail profile and worn wheel profile after the 10th update with single speed

圖19 單一速度通過時第10次更新后優(yōu)化鋼軌型面與磨耗車輪型面接觸點分布Fig.19 Distribution of contact points between optimized rail profile and worn wheel profile after the 10th update with single speed

圖20 非均勻速度通過時第10次更新后磨耗鋼軌型面與磨耗車輪型面接觸點分布Fig.20 Distribution of contact points between worn rail profile and worn wheel profile after the 10th update with non-uniform speed

圖21 非均勻速度通過時第10次更新后優(yōu)化鋼軌型面與磨耗車輪型面接觸點分布Fig.21 Distribution of contact points between optimized rail profile and worn wheel profile after the 10th update with non-uniform speed

圖22和圖23給出了鋼軌型面10次更新后滾動圓半徑差和等效錐度隨輪對橫移量變化情況。由圖可知，優(yōu)化鋼軌型面的滾動圓半徑差和等效錐度明顯大于磨耗鋼軌型面，采用優(yōu)化鋼軌型面的輪對恢復對中能力更好，曲線通過能力也更強。同時磨耗鋼軌型面滾動圓半徑差曲線平順性較差，尤其是單一速度通過時，說明輪軌接觸點分布連續(xù)性較差。

圖22 鋼軌型面第10次更新后滾動圓半徑差圖像Fig.22 Image of rolling radius difference after the 10th update of rail profile

圖23 鋼軌型面第10次更新后等效錐度圖像Fig.23 Image of equivalent conicity after the 10th update of rail profile

由此可見，鋼軌型面磨耗會對輪軌接觸幾何產(chǎn)生明顯影響，隨著鋼軌磨耗深度逐漸增加，輪軌接觸點位置逐漸變化導致磨耗范圍逐漸變化，鋼軌磨耗向為產(chǎn)生磨耗的區(qū)域發(fā)展，磨耗范圍逐漸增加。車輛以單一速度通過曲線時，輪軌接觸區(qū)域變化較小，鋼軌磨耗較為集中，容易造成鋼軌型面局部磨耗較大。

2.2.3 鋼軌磨耗對行車性能的影響

鋼軌型面磨耗導致輪軌接觸幾何發(fā)生變化，直接影響輪軌動態(tài)相互作用關系。本節(jié)根據(jù)車輛以93 km/h的速度在10次更新后的鋼軌型面上運行時的行車性能進行分析。圖24和圖25給出了單一速度和非均勻速度通過時一位輪對脫軌系數(shù)和輪重減載率時程響應。通過對比可以看出，單一速度通過曲線時的脫軌系數(shù)和輪重減載率均明顯大于非均勻速度通過時的情況。與非均勻速度通過相比，單一速度通過時產(chǎn)生的鋼軌磨耗容易使輪軌間出現(xiàn)瞬時沖擊，輪軌間動力相互作用加劇。圖26和圖27給出了單一速度和非均勻速度通過時圓曲線中點處鋼軌橫向加速度和軌道板橫向加速度時程響應。由圖可知，單一速度通過時圓曲線中點處的鋼軌和軌道板中心橫向加速度明顯大于非均勻速度通過時的情況。非均勻速度分布增加了鋼軌磨耗的均勻性，在一定程度上減小了輪軌橫向振動幅值。

圖24 一位輪對脫軌系數(shù)Fig.24 Derailment coefficient of the 1st wheelset

圖25 一位輪對輪重減載率Fig.25 Rates of wheel load reduction of the 1st wheelset

圖26 圓曲線中點處鋼軌橫向加速度Fig.26 Lateral acceleration of rail at the middle of curve

圖27 圓曲線中點處軌道板橫向加速度Fig.27 Lateral acceleration of track slab at the middle of curve

同時，通過磨耗鋼軌型面和優(yōu)化鋼軌型面的動力響應對比也可以看出，采用優(yōu)化鋼軌型面有效改善了車輛通過時的行車性能，車輛運行穩(wěn)定性顯著提高。

3 結 論

(1) 鋼軌磨耗光帶與軌道縱向基本平行，磨耗深度沿軌道縱向分布不均勻。隨著通過車輛數(shù)量的增加，鋼軌磨耗區(qū)域范圍逐漸增加，內(nèi)軌磨耗區(qū)域向鋼軌軌頭內(nèi)側移動，鋼軌磨耗速率先增加后減小。

(2) 與磨耗鋼軌型面相比，采用優(yōu)化鋼軌型面有效降低了曲線外軌側磨，減緩了鋼軌磨耗速率。10次更新后單一速度通過和非均勻速度通過時采用優(yōu)化鋼軌型面的累計通過車輛數(shù)量分別增加了61%和49%。同時優(yōu)化鋼軌型面在10次更新后能夠保證輪軌匹配良好。

(3) 與單一速度通過相比，采用非均勻速度通過進一步減小了鋼軌磨耗速率。與采用單一速度通過和磨耗鋼軌型面相比，采用非均勻速度通過和優(yōu)化鋼軌型面10次更新后累計通過車輛數(shù)量增加了近一倍。同時采用非均勻速度通過顯著提高了鋼軌磨耗均勻性，減小了車輛通過曲線時輪軌間異常沖擊，車輛運行穩(wěn)定性好。

(4) 由于地鐵車輛是通過ATO來控制運行的，通常情況下地鐵車輛通過曲線區(qū)段時運行速度是不變的，而地鐵車輛以單一速度通過曲線時會造成鋼軌磨耗加快，因此在地鐵實際運營中可通過在高峰和低峰時段采取非均勻速度控制模式，在一定程度上減緩鋼軌磨耗速率。