陳躍 王宣

（六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州六盤水 553004）

模糊集理論和粗糙集理論已經(jīng)被證明是處理不確定性信息的有效工具［1-3］。模糊集注重通過隸屬度函數(shù)描述對(duì)象的含糊程度，而粗糙集注重通過知識(shí)和概念構(gòu)造的上下近似算子達(dá)到對(duì)目標(biāo)的近似表達(dá)，其顯著優(yōu)勢(shì)在于不需要任何先驗(yàn)信息，就可以比較客觀地描述和處理數(shù)據(jù)信息。概率粗糙集［4-5］和決策粗糙集［6-7］是粗糙集理論的兩個(gè)重要推廣，為了對(duì)其三個(gè)區(qū)域提供一個(gè)合理的語義解釋，姚（Yao）［8-9］提出了三支決策的概念。三支決策的思想是通過一定的方法將論域劃分成三個(gè)互不相交的區(qū)域，這三個(gè)區(qū)域按照正域表示接受、負(fù)域表示拒絕、邊界域表示延遲決策的劃分規(guī)則來解釋。三支決策已經(jīng)被證明是處理復(fù)雜問題的一種新方法，被國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛研究和推廣。首先是三支決策的應(yīng)用，文獻(xiàn)［10］利用三支決策基本原理，提出了基于畢達(dá)哥拉斯模糊信息系統(tǒng)的三支沖突分析模型，為沖突問題的解決提供了一個(gè)新思路；文獻(xiàn)［11］將三支決策應(yīng)用到粒計(jì)算領(lǐng)域，并指出模糊擬陣是三支粒計(jì)算的一個(gè)典例；文獻(xiàn)［12］分析了三支決策和經(jīng)典概念格之間的關(guān)系。其次在模型推廣方面，研究不同信息系統(tǒng)上的三支決策模型備受學(xué)者關(guān)注。例如：文獻(xiàn)［13］將成本參數(shù)和屬性值推廣為到直覺模糊數(shù)，基于隸屬度和非隸屬度函數(shù)建立了一個(gè)新的三支決策模型；文獻(xiàn)［14］充分考慮未知屬性值和屬性更新的代價(jià)，建立了動(dòng)態(tài)三支決策模型；文獻(xiàn)［15］以高斯核函數(shù)為基礎(chǔ)定義了Tcost-模糊的等價(jià)關(guān)系，建立基于不完備實(shí)值信息系統(tǒng)的三支決策模型；李（Li）［16-17］先后提出了基于雙論域和信息系統(tǒng)的三支決策模型，并根據(jù)對(duì)劃分的評(píng)價(jià)提供了一種計(jì)算閾值的新方法。

多重集由經(jīng)典集合推廣而來，它的元素不具有互異性，即同一元素可以多次出現(xiàn)［18-20］。正是如此，多重集表示的信息往往更加全面完整，例如：有四位專家對(duì)某品牌手機(jī)中央處理器（CPU）性能給出他們的專業(yè)性評(píng)價(jià)，多重集{0.3,0.9,0.9,0.9}中的元素分別為四位專家的評(píng)價(jià)值。顯然，從該多重集我們知道該品牌手機(jī)的CPU 能獲得多數(shù)專家的認(rèn)可。若換用經(jīng)典集合{0.3,0.9}，則我們不能獲知該品牌手機(jī)的CPU 是否獲得專家的認(rèn)可?，F(xiàn)有的三支決策模型大多建立在單值的信息系統(tǒng)上，未考慮由于評(píng)價(jià)主體等的不同導(dǎo)致對(duì)象屬性值不唯一的情況。因此本文將信息系統(tǒng)推廣到多重集值信息系統(tǒng)，并基于該系統(tǒng)建立了能充分體現(xiàn)各位評(píng)價(jià)主體意見的三支決策模型。

本文在文獻(xiàn)［17］的基礎(chǔ)上，將關(guān)系函數(shù)r的值域推廣為[0,1]上的多重集，并基于數(shù)域上多重集的距離測(cè)度，建立了基于多重集值信息系統(tǒng)上的三支決策模型。另外，本文指出[0,1]上的多重集值信息系統(tǒng)完全可以用一個(gè)模糊多重集值函數(shù)代替，并建立了基于模糊多重集的三支決策模型。最后，本文基于模糊多重集的交、并、以及差運(yùn)算提出了三種相似性測(cè)度，彌補(bǔ)了距離測(cè)度在某些應(yīng)用中的缺陷。

1 準(zhǔn)備工作

定義1.1［19］（多重集）設(shè)U是一個(gè)非空論域，U上的多重集M可以用函數(shù)CM:U→?（? 為自然數(shù)集）來表示，對(duì)x∈U，CM(x)稱為x的重?cái)?shù)。記U上的全體多重集為M(U)。

多重集有多種表示方法，如M={(x,1),(y,2),(z,3)}或M={x,y,y,z,z,z}。

定義1.2［19］分明多重集中元素的個(gè)數(shù)稱為多重集的基數(shù)，記為|·|，即

下面我們介紹一種衡量數(shù)域V?? 上的多重集接近程度的方法。

其中m=maxV-minV。當(dāng)q=1,2 時(shí)，分別稱為Hamming距離，Euclid距離。

注1.1V上的任意多重集都可以通過重新排列元素，使得其元素按升序排列。

例1.1某中介要根據(jù)顧客的需求從現(xiàn)有的房源中篩選出合適的房子推薦給顧客。設(shè)U={u1,u2,...,u5}是房源的集合，A={a1,a2,a3,a4}是房子屬性集合，其中a1表示房源的面積大小、a2表示房源的方位、a3表示房源是否帶花園、a4表示房源的價(jià)格。房源相關(guān)信息如表1所示。

表1 房源信息

以u(píng)1為例，關(guān)系函數(shù)r(u1)={small,east,no,moderate} 表示房子u1面積小、位于城東、不帶花園、價(jià)格適中。若某顧客對(duì)房子的要求，即目標(biāo)屬性集={middle,east,no,low}，取評(píng)價(jià)函數(shù)

若給定閾值α=0.6,β=0.4，則可知，即u1房子暫不推薦。其它情況我們也能類似算出，即可以得到房源U的三劃分

房源U的三劃分表明，作為銷售員應(yīng)該首先將u4房子推薦給相應(yīng)的顧客，u1,u6作為備選是否推薦需進(jìn)一步分析，而u2,u3,u5則沒有推薦的必要。

2 基于多重集值信息系統(tǒng)的三支決策

本節(jié)，我們將信息系統(tǒng)推廣到特殊的集值信息系統(tǒng)——多重集值信息系統(tǒng)，建立基于多重集值信息系統(tǒng)的三支決策模型。并進(jìn)一步將三值屬性推廣到多值屬性，即將屬性值范圍從{0,0.5,1}推廣到單位區(qū)間[0,1]，并根據(jù)數(shù)域上多重集的相似性測(cè)度建立了基于多重集值信息系統(tǒng)的三支決策模型。

定義2.1設(shè)U和A分別為非空有限對(duì)象集和非空有限屬性集。四元對(duì)Ψ=(U,A,r,e)稱為多重集值信息系統(tǒng)上的三支決策模型，其中關(guān)系函數(shù)是一個(gè)集值函數(shù)(Va為屬性a的取值，是以多重集為元素的集合)，(L是一個(gè)全序集)是一個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)。設(shè)α,β∈L是一對(duì)閾值且有β<α，則對(duì)任意的目標(biāo)屬性集的正域、邊界域、負(fù)域分別定義為

例2.1設(shè)U={u1,u2,...,u6} 表示6 個(gè)品牌的手機(jī)，A={a1,a2,a3,a4}表示手機(jī)的4 個(gè)屬性，其中a1表示處理器性能、a2表示電池續(xù)航、a3表示手機(jī)信號(hào)、a4表示屏幕材質(zhì)。現(xiàn)有三位專業(yè)人士對(duì)以上六個(gè)品牌手機(jī)的四個(gè)屬性做了測(cè)評(píng)，測(cè)評(píng)結(jié)果如表2所示。

表2 手機(jī)評(píng)測(cè)多重集值信息

根據(jù)表2可知

它表示三位專業(yè)人士對(duì)u1品牌手機(jī)的a1屬性的測(cè)評(píng)結(jié)果均為強(qiáng)；對(duì)a2屬性的測(cè)評(píng)結(jié)果分別為長(zhǎng)、長(zhǎng)、中；對(duì)a3屬性的測(cè)評(píng)結(jié)果為中、差、差；對(duì)a4屬性的測(cè)評(píng)結(jié)果分別為TFT、SLCD、AMOLED。假設(shè)某消費(fèi)者希望購(gòu)買一臺(tái)處理器性能強(qiáng)、手機(jī)信號(hào)好、屏幕材質(zhì)為SLCD的手機(jī)，而對(duì)手機(jī)續(xù)航不做要求。我們用目標(biāo)屬性集={強(qiáng),*,好,SLCD} 表示消費(fèi)者對(duì)手機(jī)四個(gè)屬性的要求（其中*表示目標(biāo)屬性值不明或不作要求），并將其拓展為多重集（仍記為）得

取評(píng)價(jià)函數(shù)

其中r(ui,aj)，xj分別為r(ui)和的第j個(gè)元素，且均為多重集。根據(jù)目標(biāo)屬性集和表2，分別計(jì)算每個(gè)手機(jī)的評(píng)價(jià)值得到如表3所示。

表3 基于消費(fèi)者需求的手機(jī)評(píng)價(jià)值

以u(píng)1品牌手機(jī)為例，

在上式中，本文規(guī)定{*,*,*}與任何一個(gè)基數(shù)為3的多重集M的交集都為M。

若取閾值α=0.7,β=0.4，則的正域、邊界域、負(fù)域分別為：

它表示作為導(dǎo)購(gòu)應(yīng)該優(yōu)先給消費(fèi)者推薦的是u2和u4品牌的手機(jī)，u1、u3和u5品牌的手機(jī)作為備選，肯定不必推薦的手機(jī)品牌為u6。

注2.1例2.1 所取的評(píng)價(jià)函數(shù)e(r(u),)事實(shí)上表示的是對(duì)象（手機(jī)）屬性集與目標(biāo)屬性集（消費(fèi)者需求）的重疊度，重疊度越高則代表該品牌手機(jī)越能滿足消費(fèi)者的需求。

注2.2根據(jù)表2 可知u3品牌手機(jī)的a1屬性較u4品牌更能滿足該消費(fèi)者的需求，但用e(r(u),)作為評(píng)價(jià)函數(shù)時(shí)，兩個(gè)品牌的手機(jī)在該屬性上對(duì)消費(fèi)者需求的滿足度是相同的，這顯然與事實(shí)不符，即三值屬性值不能夠滿足實(shí)際的需求。

注2.3分析表2 可知，a1、a2和a3的屬性值具有明顯的序關(guān)系，即a1的屬性值明顯具有“強(qiáng)>中>弱”；a2的屬性值有“長(zhǎng)>中>短”；a3的屬性值有“好>中>差”。若不考慮各種材質(zhì)的屏幕好壞，消費(fèi)者選擇何種材質(zhì)完全看個(gè)人喜好，則a4的屬性值則不具備序關(guān)系。

若我們用0、0.5、1 來表示表2 中具有序關(guān)系的三個(gè)等級(jí)的基礎(chǔ)屬性值（以屬性a1為例，0表示弱、0.5 表示中、1 表示強(qiáng)），則a1、a2和a3的屬性值實(shí)際上是三值集合{0,0.5,1}上的多重集。三值集合只能粗略的描述對(duì)象該屬性的優(yōu)劣，而不能精確地描述其優(yōu)劣程度。因而本文首先考慮將三值集合{0,0.5,1}上的多重集推廣到單位區(qū)間[0,1]的多重集。而對(duì)不具有序關(guān)系的屬性例如a4，我們將屬于目標(biāo)屬性集的元素記為1，其余的屬性值均記為0，則該屬性的取值實(shí)際上為{0,1}上的多重集，也是[0,1]上的多重集。這樣我們就可以以單位區(qū)間[0,1]上的多重集值信息表為基礎(chǔ)建立三支決策模型。

定義2.2設(shè)M={M1,M2,...,Mn}，N={N1,N2,...,Nn} 是以[0,1]上的多重集為元素且基數(shù)相同的集合，則基于距離的M,N的相似性測(cè)度定義為

其中距離d可取dmax、dmin以及dp。

下面我們基于對(duì)象屬性集與目標(biāo)屬性集的相似性測(cè)度在[0,1]區(qū)間上建立基于多重集值信息表的三支決策模型。

例2.2（續(xù)例2.1）我們以[0,1]作為基礎(chǔ)屬性值，將表2的屬性值推廣為[0,1]上的多重集如表4所示，評(píng)測(cè)信息表中的多重集為三位業(yè)內(nèi)人士給出的各手機(jī)屬性的測(cè)評(píng)值，數(shù)值越高則表示該項(xiàng)屬性越優(yōu)秀，反之亦然。某消費(fèi)者對(duì)手機(jī)的需求集={0 .8,*,0.9,SLCD}，我們用數(shù)字“1”表示SLCD材質(zhì)屏幕，用數(shù)字“0”表示其它材質(zhì)屏幕，并將拓展為多重集仍記為，此時(shí)消費(fèi)者目標(biāo)屬性集合={{ 0.8,0.8,0.8},{* ,*,*},{0 .9,0.9,0.9},{1 ,1,1} }，而屬性a4的取值為{0,1} 上的多重集如表4所示。

表4 手機(jī)評(píng)測(cè)[0,1]多重集值信息

根據(jù)表4，計(jì)算消費(fèi)者目標(biāo)屬性集與各品牌手機(jī)屬性集的相似性測(cè)度值如表5所示。

表5 用戶需求與手機(jī)屬性相似性測(cè)度

以u(píng)1品牌為例，有u1牌手機(jī)的屬性值集r(u1)與目標(biāo)屬性值集的相似性測(cè)度

在上式中，由于的第二個(gè)元素{*,*,*}表示屬性值不明或不做要求，則可規(guī)定不存在該元素，即的基數(shù)為3。

若取閾值α=0.6,β=0.4，則根據(jù)表5可得到的正域、邊界域、負(fù)域分別為：

它表示作為中介應(yīng)該優(yōu)先給顧客推薦u2品牌的手機(jī)，u1、u3和u4品牌的手機(jī)作為備選暫不推薦，u5和u6品牌的手機(jī)則沒有推薦的必要。

基于距離的相似性測(cè)度能滿足很多場(chǎng)景的需求，但就例2.2 所述的場(chǎng)景來說仍然存在一定缺陷。例如若某消費(fèi)者對(duì)a1（手機(jī)處理器性能）的要求為={0 .6,0.6,0.6}，假設(shè)有A 品牌手機(jī)a1的屬性值為A1={0 .8,0.8,0.8}，B品牌手機(jī)a1的屬性值為B1={0 .4,0.4,0.4} 。顯然基于距離計(jì)算得到的A1與的相似性測(cè)度，和B1與的相似性測(cè)度完全一樣，然而A品牌手機(jī)處理器能滿足消費(fèi)者需求，而B品牌手機(jī)卻不能滿足消費(fèi)者需求。這就不可避免的導(dǎo)致了分類錯(cuò)誤。糾其導(dǎo)致分類錯(cuò)誤原因是我們接受好的，拒絕差的，而基于距離函數(shù)的相似性測(cè)度既拒絕好的又拒絕差的。

3 基于模糊多重集的三支決策

由于表4所列的屬性ai的取值是[0,1]上的多重集，多重集里的每一個(gè)元素可以看成是屬性ai的隸屬度（我們可將r(u1,a1)={0.9,0.9,0.8}中的三個(gè)元素看成是屬性a1的三個(gè)隸屬度），這樣我們將表4每一行的四個(gè)的多重集收集起來并進(jìn)行一定整合，便可得到一個(gè)關(guān)于屬性集A的模糊多重集。例如我們完全可以用屬性集A={a1,a2,a3,a4}上的模糊多重集來表示表4第一行所呈現(xiàn)的信息。因此，本節(jié)在此基礎(chǔ)上建立了模糊多重集上的三支決策模型，并定義了三種新的相似性測(cè)度解決了距離相似性測(cè)度可能帶來的分類錯(cuò)誤。

定義3.1設(shè)U和A分別為非空有限對(duì)象集和非空有限屬性集。四元對(duì)Ψ=(U,A,r,e) 稱為模糊多重集上的三支決策模型（FM3WD），其中r:U→FM(A)稱為關(guān)系函數(shù)，e:FM(A)×FM(A)→L(L是一個(gè)全序集)是一個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)。設(shè)α,β∈L是一對(duì)閾值且β<α，則對(duì)任意的∈FM(A)，的正域、邊界域、負(fù)域分別定義為

根據(jù)定義1.8，模糊多重集的并是通過取兩個(gè)模糊多重集中較大的隸屬度來構(gòu)成新的模糊多重集，這樣在以大于目標(biāo)值的場(chǎng)景中，通過模糊集并定義的相似性測(cè)度，其語義解釋就得不到保證。但在以小于目標(biāo)值的場(chǎng)景中，以模糊多重集的并定義的相似性測(cè)度有很好的應(yīng)用價(jià)值。

例3.1（續(xù)例2.2）事實(shí)上，表4所示的多重集值信息系統(tǒng)可以用屬性集A上的模糊多重集表示，即可得到模糊多重集上的三支決策模型Ψ=(U,A,r,e)，其中關(guān)系函數(shù)r:U→FM(A)如下所示：

表6 對(duì)象屬性集r(ui)與目標(biāo)屬性集的交集

表6 對(duì)象屬性集r(ui)與目標(biāo)屬性集的交集

表7 模糊多重集r(ui)?的H -割集

表7 模糊多重集r(ui)?的H -割集

表8 r(ui)與的交相似性測(cè)度值

表8 r(ui)與的交相似性測(cè)度值

若取閾值α=0.55，β=0.35，則樂觀、悲觀、謹(jǐn)慎狀態(tài)下的三個(gè)域分別為：

可以看出在不同的狀態(tài)下的三個(gè)域的劃分不同。樂觀狀態(tài)下，的正域?yàn)閧u1,u2,u4}，作為導(dǎo)購(gòu)u1,u2和u4品牌的手機(jī)都可以優(yōu)先推薦給消費(fèi)者；而在謹(jǐn)慎狀態(tài)下只有u2品牌的手機(jī)可以推薦；悲觀狀態(tài)下則沒有可以推薦的手機(jī)。即在樂觀狀態(tài)下，對(duì)象（手機(jī)）只需滿足最低目標(biāo)屬性（消費(fèi)者最低要求）；而在悲觀狀態(tài)下則需滿足最高屬性要求。

若用差相似測(cè)度e?作為評(píng)價(jià)函數(shù)，第一，計(jì)算得到表9；第二，計(jì)算的0-割集得到表10；第三，計(jì)算的基數(shù)比即得如表11所示。

表9 對(duì)象屬性值集r(ui)與目標(biāo)屬性值集的差集

表9 對(duì)象屬性值集r(ui)與目標(biāo)屬性值集的差集

表10 r(ui)?的0-割集

表10 r(ui)?的0-割集

表11 r(ui)與的差相似性測(cè)度值

表11 r(ui)與的差相似性測(cè)度值

由例3.1可知，不同的相似性測(cè)度得到的分類結(jié)果不一樣。交相似性測(cè)度在綜合考慮目標(biāo)屬性值的基礎(chǔ)上可以選擇切合自身實(shí)際的樂觀、悲觀、或謹(jǐn)慎的態(tài)度；而差相似性測(cè)度則充分尊重每一個(gè)目標(biāo)屬性值，使得每一個(gè)屬性值在決策中發(fā)揮價(jià)值。

4 結(jié)論

本文以李提出的信息系統(tǒng)上的三支決策為基礎(chǔ)，將單值的信息系統(tǒng)推廣到多重集值信息系統(tǒng)，并基于屬性描述的精確度進(jìn)一步將其多重集值信息系統(tǒng)推廣到［0,1］多重集值信息系統(tǒng)，建立了基于多重集值信息系統(tǒng)的三支決策模型?，F(xiàn)有的各種信息系統(tǒng)上的三支沖突模型沒有充分考慮由于評(píng)價(jià)主體的多樣性導(dǎo)致的對(duì)象屬性值不唯一的情況，因而其應(yīng)用受到一定限制。本文用多重集來表示對(duì)象的屬性值，不僅能精確地表示對(duì)象的屬性達(dá)成度，還能充分表示由于評(píng)價(jià)主體的不同導(dǎo)致的屬性值的不唯一，能夠充分展示各評(píng)價(jià)主體的意見。此外，基于多重集值信息系統(tǒng)的三支決策模型還給后續(xù)學(xué)者提供了一種處理評(píng)價(jià)主體意見分歧的方法，使得三支決策模型能夠更加直接的應(yīng)用于社會(huì)各領(lǐng)域。

評(píng)價(jià)函數(shù)是三支決策模型的一個(gè)核心要素，評(píng)價(jià)函數(shù)選取的科學(xué)性直接影響到三支決策模型的應(yīng)用效果。本文先是提出了基于多重集距離的相似測(cè)度，并指出了以此作為評(píng)價(jià)函數(shù)的不足，然后我們基于模糊多重集的交、并以及差運(yùn)算分別提出了交相似性測(cè)度、并相似性測(cè)度和差相似性測(cè)度，這三種測(cè)度都能彌補(bǔ)基于多重集距離的相似性測(cè)度在實(shí)際應(yīng)用中的缺陷。

閾值是三支決策的另一各核心要素，閾值的選擇直接影響到三劃分的效果，是三支決策模型至關(guān)重要的一步。現(xiàn)階段關(guān)于閾值的計(jì)算一般是基于貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)理論給出的。后續(xù)，在本文的架構(gòu)上探討基于貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)的閾值計(jì)算形式是我們可以努力的方向。但是，由于基本貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)的閾值計(jì)算方法涉及的損失參數(shù)多，且其給定具有主觀性，所以結(jié)合多重集這一工具研究一種新的閾值計(jì)算方法意義更為深遠(yuǎn)。