王宣 陳躍

（六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州六盤水 553004）

1 選題背景及意義

沖突存在于社會(huì)的方方面面，因而關(guān)于沖突問(wèn)題的分析與解決尤為重要。近年來(lái)，沖突分析這一旨在揭示沖突問(wèn)題本質(zhì)的理論應(yīng)運(yùn)而生，為沖突問(wèn)題的有效解決開啟了新篇章?；趯W(xué)者們的潛心研究，產(chǎn)生了各種沖突分析模型。然而，對(duì)于一個(gè)實(shí)際的沖突問(wèn)題，現(xiàn)有的沖突分析模型尚未結(jié)合多粒度粗糙集展開研究。實(shí)際上，在具體的沖突問(wèn)題中（比如軍事上的沖突），代理在做決策時(shí)是相當(dāng)慎重的。換句話說(shuō)，代理往往會(huì)采用多個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)去度量決策結(jié)果以免導(dǎo)致決策失誤。因此，本文擬考慮從多粒度粗糙集的角度出發(fā)進(jìn)行沖突分析研究。作為直覺(jué)模糊數(shù)的推廣，畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)為描述不確定信息提供了新方向，畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)中的隸屬度和非隸屬度恰好可考慮用來(lái)描述沖突問(wèn)題中代理對(duì)事件所持態(tài)度的程度。因此，本文擬基于多粒度粗糙集將畢達(dá)哥拉斯模糊集與沖突分析理論結(jié)合起來(lái)研究。

2 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

沖突在人類社會(huì)中是無(wú)法避免的。尋求沖突問(wèn)題的有效解決策略是社會(huì)發(fā)展進(jìn)程中必須攻克的難題之一。近年來(lái)，學(xué)者們致力于沖突分析的研究進(jìn)而產(chǎn)生了很多模型［1-11］。對(duì)于具體的沖突問(wèn)題，帕夫拉克（Pawlak）［1］最初構(gòu)建了三值信息系統(tǒng)，其中分別用-1,0 和+1 來(lái)刻畫代理對(duì)事件的三種態(tài)度。在不確定性背景下，模糊集和粗糙集成為研究沖突問(wèn)題的兩大主要工具。諸多學(xué)者將模糊集理論，粗糙集理論與沖突分析結(jié)合起來(lái)研究。如，王（Wang）等［2］構(gòu)建了三角模糊信息系統(tǒng)上的三支沖突分析模型，進(jìn)一步刻畫并解決了沖突問(wèn)題；楊（Yang）［3］等基于梯形模糊數(shù)的特點(diǎn)，將梯形模糊數(shù)運(yùn)用到?jīng)_突分析的研究中，建立了梯形模糊信息系統(tǒng)上的沖突分析模型；張（Zhang）等［4］考慮到代理處于決策時(shí)的猶豫心理，將猶豫模糊數(shù)與沖突分析模型結(jié)合起來(lái)研究；孫（Sun）等［5］基于雙論域上的概率粗糙集模型構(gòu)建了三支決策框架，并提出了一種改進(jìn)的Pawlak沖突分析模型；郎（Lang）［6］構(gòu)建了基于三支決策的一般沖突分析模型。

20世紀(jì)下半葉以來(lái)涌現(xiàn)出很多數(shù)學(xué)理論以更好地描述不確定信息。模糊數(shù)學(xué)作為典型代表，為不確定信息的研究提供了向?qū)?。?dāng)我們無(wú)法對(duì)客觀事物的類屬劃分做出確定的判斷時(shí)，就產(chǎn)生了模糊性。模糊性在實(shí)際生活中不勝枚舉。比如，胖與瘦、健康與不健康等等。然而，經(jīng)典集合卻對(duì)這些模糊概念束手無(wú)策。為彌補(bǔ)經(jīng)典集合的缺陷，扎德（Zadeh）［12］于1965 年首次提出模糊集合的概念。自此之后，學(xué)者們提出了很多模糊集模型［13-17］。比如，粗糙模糊集［13］，韋格（Vague）-模糊集［14］，等等。此外，1986年阿塔那索夫（Atanass?ov）［15］首次提出了直覺(jué)模糊集的概念，耶格爾（Yager）［16］提出了畢達(dá)哥拉斯模糊集的概念，實(shí)現(xiàn)了對(duì)直覺(jué)模糊集的推廣。結(jié)合具體的沖突問(wèn)題，畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)中的隸屬度和非隸屬度可用來(lái)刻畫代理對(duì)事件所持態(tài)度的程度。

粗糙集模型中的概念是基于單個(gè)二元關(guān)系來(lái)近似的。在許多情況下，我們往往需要根據(jù)問(wèn)題解決的要求通過(guò)多個(gè)二元關(guān)系來(lái)描述特定概念。為此，錢（Qian）等［18］提出了多粒度粗糙集理論從而使得粗糙集理論得以更廣泛地應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，學(xué)者們展開了很多關(guān)于多粒度粗糙集的研究［19-23］。如，梁（Liang）等［20］從多粒度的角度提出了粗糙特征選擇算法，折（She）等［21］研究了多粒度粗糙集模型的結(jié)構(gòu)。由于多粒度粗糙集是根據(jù)一族等價(jià)關(guān)系來(lái)近似的，這恰好可刻畫代理在決策中的謹(jǐn)慎心理。因此，基于多粒度粗糙集將畢達(dá)哥拉斯模糊集與沖突分析結(jié)合起來(lái)研究將是一個(gè)有趣的課題。

3 預(yù)備知識(shí)

3.1 Pawlak沖突分析模型

Pawlak［1］最初為中東沖突構(gòu)建了三值信息系統(tǒng)。下面回顧一下信息系統(tǒng)（ISs）的概念。

定義3.1一個(gè)IS即為四元組S=(U,A,V,f)，其中U={x1,x2,…,xs} 是一個(gè)有限對(duì)象集，A={a1,a2,…,at} 是一個(gè)有限屬性集。其中是所有對(duì)象關(guān)于屬性cj的取值集合且，f是從U×A映射到V的函數(shù)。

在定義3.1中，若U是一個(gè)有限代理集，A是一個(gè)有限事件集，V是所有代理關(guān)于事件cj的態(tài)度集合且，其中(i=1,2,…,s;j=1,2,…,t.)

此時(shí)，該模型被稱為Pawlak信息系統(tǒng)上的沖突分析模型，且該IS被稱為三值信息系統(tǒng)。

對(duì)某單一事件cj∈A，我們定義代理集U的三劃分：

它們表示對(duì)cj持反對(duì)、中立和支持態(tài)度的代理集，也稱為反對(duì)聯(lián)盟、中立聯(lián)盟和支持聯(lián)盟。

例3.1中東沖突的三值信息系統(tǒng)如表1所示。

表1 中東沖突的三值信息系統(tǒng)

其中，x1,…,x6表示六個(gè)代理，c1,…,c5表示五個(gè)事件。下面用cj(xi)表示代理xi對(duì)事件cj的態(tài)度。如，c1(x1)=-1 表示代理x1反對(duì)事件c1；c2(x2)=0 表示代理x2對(duì)事件c2持中立態(tài)度；c1(x5)=+1 表示代理x5支持事件c1。

三值IS中用-1，0和+1描述代理對(duì)事件的三種態(tài)度。在實(shí)際的沖突情景中，同一代理對(duì)不同事件的態(tài)度往往存在不同程度的差異。例如，表1中c1(x2)=+1,c1(x3)=+1 表示代理x2和x3均支持事件c1。事實(shí)上，x2和x3的實(shí)際情況不可能完全相同。為此，本文考慮構(gòu)建畢達(dá)哥拉斯模糊信息系統(tǒng)（PFISs）上的沖突分析模型以刻畫代理對(duì)事件所持態(tài)度的程度。

3.2 多粒度粗糙集

多粒度粗糙集是基于一族等價(jià)關(guān)系而非單個(gè)等價(jià)關(guān)系來(lái)近似的，根據(jù)近似的要求不同，通常分為樂(lè)觀多粒度粗糙集與悲觀多粒度粗糙集兩種模型。

多粒度粗糙集是根據(jù)一族等價(jià)關(guān)系來(lái)定義的。從某種意義上講，多粒度粗糙集從多個(gè)角度來(lái)看待問(wèn)題。結(jié)合實(shí)際的沖突情景，代理在決策時(shí)往往是謹(jǐn)慎的。換句話講，代理需要通過(guò)運(yùn)用多個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)來(lái)度量決策結(jié)果，這與多粒度粗糙集的思想不謀而合。因此，本文考慮展開PFISs上的多粒度沖突分析研究。

4 PFISs上的多粒度沖突分析

4.1 基于PFISs的沖突分析模型

在構(gòu)建PFISs上的沖突分析模型之前，首先回顧畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)（PFNs）的概念。

定義4.1［16］若U是任一非空集合，則畢達(dá)哥拉斯模糊集P是一個(gè)具有下列形式

μij和νij分別表示代理xi對(duì)事件cj的支持程度和反對(duì)程度。其中

此時(shí)，該模型稱為基于PFISs的沖突分析模型。相應(yīng)地，該IS被稱為關(guān)于沖突分析的PFIS。

對(duì)某單一事件cj∈A，我們定義代理集U的三劃分：

它們表示對(duì)cj持反對(duì)、中立和支持態(tài)度的代理集，也稱為反對(duì)聯(lián)盟、中立聯(lián)盟和支持聯(lián)盟。

注4.1（1）定義4.2中的S1,S2和S3可表示如圖1所示：

圖1 S1、S2 和S3

（2）特別地，對(duì)于下面四種特殊的PFNs給出如下定義：

a.P(0,ν)(0 ≤ν≤1)被定義成完全反對(duì)態(tài)度；

b.P(μ,ν)(ν=)被定義成弱中立態(tài)度；

c.P(μ,ν)(ν=被定義成強(qiáng)中立態(tài)度；

d.P(μ,0)(0 ≤μ≤1)被定義成完全支持態(tài)度。

例4.1中東沖突問(wèn)題的PFIS 如表2 所示。下面用cj(xi) 表示代理xi對(duì)事件cj的態(tài)度。如，c1(x1)=P(0.2,0.4)∈S1表示代理x1反對(duì)事件c1；c4(x3)=P(0.3,0.4)∈S2表示代理x3對(duì)事件c4持中立態(tài)度；c5(x2)=P(0.8,0.3)∈S3表示代理x2支持事件c5。

表2 中東沖突的PFIS

注4.2（1）表2 中的PFIS 將作為全文的研究對(duì)象。此外，PFNs 的定義決定了表2 中的所有數(shù)據(jù)均在［0,1］之間。

（2）本節(jié)構(gòu)建的PFIS 刻畫了代理關(guān)于事件所持態(tài)度的程度。然而，在實(shí)際的沖突情景中，我們有時(shí)更關(guān)心代理對(duì)所有事件的總體態(tài)度。因此，接下來(lái)我們對(duì)此展開研究。

4.2 基于多粒度的三個(gè)聯(lián)盟

基于表2 中的PFIS，接下來(lái)首先確定代理對(duì)所有事件的總體態(tài)度；然后，將總體態(tài)度映射成總體態(tài)度值；最后，通過(guò)貝葉斯決策過(guò)程計(jì)算出所需閾值以確定PFISs上的三個(gè)聯(lián)盟。

4.2.1 總體態(tài)度

在確定代理對(duì)所有事件的總體態(tài)度之前，我們重新定義PFNs的加法與數(shù)乘運(yùn)算。

定義4.3若P(μ,ν)是一個(gè)PFN，且k>0，則kP被定義為

定義4.4若P1(μ1,ν1)和P2(μ2,ν2)是兩個(gè)PFNs，則P1⊕P2被定義為

注4.3PFNs 的形式與向量類似，只不過(guò)兩分量μ與ν滿足0 ≤μ≤1,0 ≤ν≤1 且μ2+ν2≤1?；诖?，考慮仿照向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算來(lái)定義PFNs的加法與數(shù)乘運(yùn)算。

對(duì)于表2中的沖突問(wèn)題，各事件關(guān)于各代理的重要性往往不同。換句話說(shuō)，由于代理的實(shí)際情況不同，它們對(duì)各事件賦予的權(quán)重應(yīng)該有所區(qū)別。為此，下面提出權(quán)重矩陣的概念。

定義4.5權(quán)重矩陣被定義為

其中ωij表示代理xi賦予事件cj的權(quán)重，且

基于定義4.5中的權(quán)重矩陣，下面確定代理對(duì)所有事件的總體態(tài)度。

定義4.6代理xi對(duì)所有事件的總體態(tài)度被定義為 (i=1,2,…,s;j=1,2,…,t.)

其中ωij表示代理xi賦予事件cj的權(quán)重，cj(xi)表示代理xi對(duì)事件cj所持的態(tài)度。

注4.4由cj(xi)是PFNs，ωij∈[0,1]，則根據(jù)PFNs的加法與數(shù)乘運(yùn)算知也是PFNs。

下面將對(duì)表2中的PFIS繼續(xù)展開研究以確定各代理對(duì)所有事件的總體態(tài)度。

例4.2（續(xù)例4.1）對(duì)于表2中的PFIS，假設(shè)權(quán)重矩陣為

表3 各代理對(duì)所有事件的總體態(tài)度(xi)

表3 各代理對(duì)所有事件的總體態(tài)度(xi)

4.2.2 總體態(tài)度值

為促進(jìn)決策規(guī)則的形成，接下來(lái)構(gòu)造兩種函數(shù)將定義4.6中的映射成實(shí)數(shù)。在介紹第一種函數(shù)之前，首先需要定義PFNs到直線的距離。

細(xì)胞與細(xì)胞外基質(zhì)形成動(dòng)態(tài)力學(xué)環(huán)境，細(xì)胞內(nèi)肌動(dòng)-肌球蛋白收縮產(chǎn)生力，通過(guò)黏著斑傳遞給細(xì)胞外基質(zhì)，在黏著斑處產(chǎn)生細(xì)胞牽引力[1-3]。細(xì)胞與細(xì)胞外基質(zhì)之間的力學(xué)作用被認(rèn)為是影響細(xì)胞黏附、遷移、增殖和凋亡等生物過(guò)程的關(guān)鍵因素[4-10]。研究細(xì)胞在彈性基底上產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)牽引力對(duì)于了解細(xì)胞如何感知周圍環(huán)境力學(xué)性能變化具有重要的意義,因此，測(cè)量細(xì)胞牽引力是定量研究細(xì)胞遷移、收縮和分裂的重要方法。細(xì)胞牽引力非常小，大約為皮牛頓到納牛頓量級(jí)，發(fā)生在納米到微米尺度上[11]。

定義4.7 若P(μ,ν)是一個(gè)PFN，則P(μ,ν)到直線Ax+By+C=0 的距離d被定義為

表4 各代理對(duì)所有事件的(xi)和(xi)

表4 各代理對(duì)所有事件的(xi)和(xi)

通過(guò)對(duì)表2中PFIS進(jìn)行研究，現(xiàn)已明確各代理對(duì)所有事件的總體態(tài)度值。接下來(lái)，在定義4.2的基礎(chǔ)上給出基于多粒度的三個(gè)聯(lián)盟的概念。

定義4.101。（樂(lè)觀）若S=(U,A,V,f) 是一個(gè)關(guān)于沖突分析的PFIS，且閾值α和β滿足0 ≤β<α≤1，則基于樂(lè)觀多粒度的支持聯(lián)盟、反對(duì)聯(lián)盟和中立聯(lián)盟被定義為

2。（悲觀）若S=(U,A,V,f)是一個(gè)關(guān)于沖突分析的PFIS，且閾值α和β滿足0 ≤β<α≤1，則基于悲觀多粒度的支持聯(lián)盟、反對(duì)聯(lián)盟和中立聯(lián)盟被定義為

（2）在模型(S,α,β)中，算子和已分別在定義4.8 和注4.6 中被解釋。換句話說(shuō)，基于多粒度的三個(gè)聯(lián)盟由閾值α和β決定。下面我們將根據(jù)畢達(dá)哥拉斯模糊理論提供一種計(jì)算閾值的方法。首先，構(gòu)造適合本文模型的畢達(dá)哥拉斯模糊損失函數(shù)；其次，構(gòu)造函數(shù)將期望損失映射成實(shí)數(shù)；最后，通過(guò)定理的形式闡述決策規(guī)則的形成過(guò)程。

定義4.11若S=(U,A,V,f)是一個(gè)關(guān)于沖突分析的PFIS，則畢達(dá)哥拉斯模糊損失函數(shù)被定義如表5所示：

表5 畢達(dá)哥拉斯模糊損失函數(shù)

根據(jù)表5中的畢達(dá)哥拉斯模糊損失函數(shù)，接下來(lái)提出期望損失的概念。

注4.9期望損失值刻畫了期望損失的大小。事實(shí)上，

對(duì)于表2中的PFIS，構(gòu)建畢達(dá)哥拉斯模糊損失函數(shù)如表6所示：

表6 表2的畢達(dá)哥拉斯模糊損失函數(shù)

由式（3），可計(jì)算得α=0.57,β=0.33,γ=0.44,則由定義4.10有基于多粒度的三個(gè)聯(lián)盟如表7所示：

表7 基于多粒度的三個(gè)聯(lián)盟

從表7可看出，在同一對(duì)閾值下，基于樂(lè)觀多粒度的三個(gè)聯(lián)盟與悲觀多粒度的情形有很大區(qū)別。因此，分別從悲觀多粒度和樂(lè)觀多粒度的背景去研究代理集的三聯(lián)盟是有意義的。

5 總結(jié)與展望

基于已有的沖突分析理論，本文構(gòu)建了PFISs上的沖突分析模型。在該模型的基礎(chǔ)上，為確定代理對(duì)所有事件的總體態(tài)度，首先，重新定義了畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的加法、數(shù)乘運(yùn)算并提出了模糊矩陣的概念。其次，通過(guò)定義兩種評(píng)價(jià)函數(shù)將總體態(tài)度映射成實(shí)數(shù)。再次，本文提出了基于多粒度的三個(gè)聯(lián)盟的概念。最后，通過(guò)貝葉斯決策過(guò)程給出計(jì)算閾值的方法。然而，以下兩點(diǎn)問(wèn)題需要進(jìn)一步考慮：

（1）關(guān)于求解模型中的閾值。本文提出的畢達(dá)哥拉斯模糊損失函數(shù)中存在很多參數(shù)，導(dǎo)致閾值的計(jì)算公式較復(fù)雜。若能設(shè)計(jì)出計(jì)算閾值的算法將會(huì)是本文一大突破。

（2）關(guān)于總體態(tài)度值的確定。本文定義了兩種評(píng)價(jià)函數(shù)將總體態(tài)度映射成實(shí)數(shù)。尋求其他合理的評(píng)價(jià)函數(shù)將畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)映射成實(shí)數(shù)將會(huì)是一個(gè)有意義的課題。