蘭美輝，高 煒

(1.曲靖師范學(xué)院 信息工程學(xué)院，云南 曲靖 655011；2.云南師范大學(xué) 信息學(xué)院，云南 昆明 650500)

化學(xué)圖論作為數(shù)學(xué)與化學(xué)的交叉學(xué)科，由于其廣泛應(yīng)用而受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視.化學(xué)圖論的本質(zhì)是通過對(duì)分子結(jié)構(gòu)建模，然后通過計(jì)算特定的拓?fù)渲笖?shù)來衡量對(duì)應(yīng)化合物的特性.具體地說，原子用頂點(diǎn)表示，原子之間的化學(xué)鍵用頂點(diǎn)之間的邊表示，進(jìn)而整個(gè)分子結(jié)構(gòu)用圖來刻畫，這樣的圖稱為分子圖(molecular graph).針對(duì)某種物理、化學(xué)、生物或者材料特性，定義拓?fù)渲笖?shù)，然后通過分子圖拓?fù)渲笖?shù)的計(jì)算來預(yù)測(cè)分子圖對(duì)應(yīng)化合物的性質(zhì)[1-10].

在實(shí)際應(yīng)用中，我們發(fā)現(xiàn)該模型存在諸多缺陷，其原因主要是分子圖是一個(gè)理想化模型，所有頂點(diǎn)被一視同仁，沒有區(qū)別不同原子之間在某個(gè)化學(xué)屬性上的差異，頂點(diǎn)之間的邊也沒有反映出4種基本化學(xué)鍵之間的差異.此外，若分子結(jié)構(gòu)中存在某種不確定性，則傳統(tǒng)的分子圖無法表述這種不確定性.由于模糊數(shù)學(xué)是刻畫不確定性的良好工具，可通過定義頂點(diǎn)和邊的隸屬度函數(shù)，進(jìn)而將分子圖轉(zhuǎn)化為模糊分子圖.再將原來分子圖中定義的化學(xué)拓?fù)渲笖?shù)推廣到模糊圖框架，進(jìn)而可以通過在模糊圖上計(jì)算新拓?fù)渲笖?shù)來預(yù)判帶有不確定性的分子結(jié)構(gòu)的特性.近年來，關(guān)于模糊圖的相關(guān)研究可參考文獻(xiàn)[11-20].

本文在雙極模糊圖框架下考察與連通指數(shù)相關(guān)的復(fù)雜度函數(shù)，給出其具體的定義，并從理論的角度得到相關(guān)性質(zhì)，同時(shí)討論在模糊分子圖是特定結(jié)構(gòu)下，復(fù)雜度函數(shù)的具體表示.剩余內(nèi)容的組織結(jié)構(gòu)如下：首先，介紹雙極模糊圖及相關(guān)的概念、符號(hào)和標(biāo)記；其次，給出雙極模糊圖框架下復(fù)雜度函數(shù)的具體定義，并得到若干理論性質(zhì)；最后，在雙極模糊分子圖結(jié)構(gòu)是特殊形狀的條件下，給出復(fù)雜度函數(shù)的刻畫.

1 預(yù)備知識(shí)

其中0≤t+≤1， -1≤t-≤0，E′是G′的邊集合.

雙極模糊圖G稱為完美正正則(Perfectly positive regular)若G同時(shí)為正則正模糊圖和全正則正模糊圖； 稱為完美負(fù)正則(Perfectly negative regular)若G同時(shí)為正則負(fù)模糊圖和全正則負(fù)模糊圖； 稱為完美雙極正則(Perfectly bipolar regular)若G同時(shí)為正則雙極模糊圖和全正則雙極模糊圖.

通過概念可知以下事實(shí)：

?G為正則正模糊圖?d+為常數(shù)函數(shù)；

?G為正則負(fù)模糊圖?d-為常數(shù)函數(shù)；

?G為正則雙極模糊圖?d-和d+均為常數(shù)函數(shù)；

2 復(fù)雜度函數(shù)及特征

本節(jié)給出主要概念以及理論結(jié)果.

由定義1可得到下面的性質(zhì).

定理3若一個(gè)頂點(diǎn)或者一條邊從雙極模糊圖G中刪除， 則它的正復(fù)雜度函數(shù)會(huì)嚴(yán)格減少， 負(fù)復(fù)雜度函數(shù)會(huì)嚴(yán)格增加.

下面的定理6說明在頂點(diǎn)正隸屬度函數(shù)下界和負(fù)隸屬度函數(shù)上界確定的情況下， 正復(fù)雜度函數(shù)的下界和負(fù)復(fù)雜度函數(shù)的上界可以被刻畫.

定理7是關(guān)于雙極模糊圖的(t+,t-)-割雙極模糊子圖G(t+,t-)的復(fù)雜度函數(shù)的刻畫.

下面對(duì)雙極模糊分子圖是特定圖結(jié)構(gòu)時(shí)， 復(fù)雜度函數(shù)的刻畫.

3 小結(jié)

本文針對(duì)雙極模糊分子圖框架，定義了對(duì)應(yīng)的復(fù)雜度函數(shù)概念，并給出它的基本性質(zhì)，同時(shí)討論了當(dāng)圖結(jié)構(gòu)是一些基本圖形時(shí)，復(fù)雜度函數(shù)的表現(xiàn)形式.而對(duì)于復(fù)雜度函數(shù)在特定的藥物、材料結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，有待進(jìn)一步研究.