向 鑫，吳逸飛，徐義華

（南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，江西 南昌 330063）

引言

高等數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的抽象思維特征，可以鍛煉學(xué)生的思維邏輯能力；同時(shí)，高數(shù)又是很多專業(yè)的基礎(chǔ)課程，工程應(yīng)用背景非常強(qiáng)。隨著中國高等教育重要理論的發(fā)展，高等數(shù)學(xué)已不僅是理工類專業(yè)的理論基礎(chǔ)課程，而且已經(jīng)被列入部分文科專業(yè)的教學(xué)計(jì)劃。然而，與學(xué)生熟悉的中等數(shù)學(xué)相比，高等數(shù)學(xué)課程跨度大，思維抽象，符號體系復(fù)雜。相關(guān)專業(yè)教師發(fā)現(xiàn)，越來越多的學(xué)生存在基礎(chǔ)不牢固、概念理解不深刻、學(xué)習(xí)困難等問題，這也導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)思維的理解不足，遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到后續(xù)專業(yè)課程的運(yùn)用要求。學(xué)生也普遍反映高數(shù)學(xué)習(xí)難度大，導(dǎo)致逐漸沒有學(xué)習(xí)興趣。

數(shù)學(xué)在眾多的社會生產(chǎn)和生活領(lǐng)域都有不同程度的應(yīng)用，是推動(dòng)社會發(fā)展進(jìn)步的重要知識基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)思維是用數(shù)學(xué)思考問題和解決問題的思維活動(dòng)形式。高等數(shù)學(xué)課程所具有的抽象性、邏輯性以及寬泛性，使其在培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力、創(chuàng)新能力、創(chuàng)造精神等方面有著重要作用。

“氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)”是飛行器動(dòng)力工程專業(yè)學(xué)生的專業(yè)核心課程，是專業(yè)課程與基礎(chǔ)課程之間承上啟下的紐帶，也是后續(xù)多門專業(yè)課的前置基礎(chǔ)課。該課程的教學(xué)效果將直接影響后續(xù)理論教學(xué)和實(shí)踐教學(xué)。氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)理論性很強(qiáng)，理論推導(dǎo)煩瑣，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有很高的要求。在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生經(jīng)常有理解不了數(shù)學(xué)表述、看不懂符號、聽不懂推導(dǎo)等情況。從學(xué)生專業(yè)課程的學(xué)習(xí)情況來看，高等數(shù)學(xué)與專業(yè)基礎(chǔ)課程之間的紐帶關(guān)聯(lián)有所不足，很多專業(yè)學(xué)者對高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)方法、體系安排等都進(jìn)行了改革和探究。然而，不同專業(yè)涉及的數(shù)理方程不盡相同，工程問題的抽象思維方法也不相同。為提高學(xué)生課程學(xué)習(xí)效果，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用，為后續(xù)專業(yè)課程打下思維基礎(chǔ)，本文對高數(shù)思維在該課程教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行探討，分析課程數(shù)學(xué)理論需求與高等數(shù)學(xué)教學(xué)之間存在的問題，從專業(yè)學(xué)習(xí)角度提出新的課程教學(xué)改進(jìn)策略。

一、氣體動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)

“氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)”是飛行器動(dòng)力工程專業(yè)學(xué)生大二學(xué)習(xí)的重要專業(yè)核心課程，也是從事航空航天飛行器動(dòng)力設(shè)計(jì)、分析和應(yīng)用等不可缺少的理論基礎(chǔ)，在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維、綜合設(shè)計(jì)能力、動(dòng)力工程實(shí)踐能力以及解決實(shí)際問題能力等方面占有重要地位。課程主要研究對象為無形的流體（空氣），抽象模型理解困難，數(shù)學(xué)思維要求高，方程復(fù)雜。本文以課程最基本的知識點(diǎn)為例，分析該課程數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)。

流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析是課程最重要的理論之一，其理論基礎(chǔ)來源于抽象思想。在運(yùn)動(dòng)的流體中取一流體微元體（見圖1），設(shè)其中心點(diǎn)M在某一時(shí)刻速度為V，流體微元鄰近一點(diǎn)M1的速度可以用M點(diǎn)的速度以泰勒級數(shù)展開來求解。然而，流場中質(zhì)點(diǎn)的速度是矢量，在進(jìn)行泰勒展開時(shí)將產(chǎn)生其他方向的偏導(dǎo)函數(shù)，使得方程形式十分復(fù)雜。另外，為了便于計(jì)算，還須對方程進(jìn)行湊項(xiàng)處理（也是偏導(dǎo)函數(shù)），造成方程形式更為復(fù)雜。對變形后的偏微分方程各項(xiàng)再進(jìn)行分類合并，才能分別給出物理解釋。這里包含了由抽象物理概念轉(zhuǎn)換為復(fù)雜數(shù)學(xué)形式，再返回物理意義的過程，對數(shù)學(xué)思維有著極高的要求。

圖1 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析

上述內(nèi)容對于剛學(xué)完高等數(shù)學(xué)的學(xué)生來說，理解起來是十分吃力的。與學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)，僅這一段內(nèi)容，學(xué)生在數(shù)學(xué)知識層面就存在以下問題：（1）偏微分概念不清晰。泰勒展開、略去二階小量等，在高數(shù)中學(xué)習(xí)過，但是展后的表達(dá)不認(rèn)識。對于偏微分不了解，不理解各方向速度其他坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)的物理意義。（2）沒見過方程組的矢量形式。（3）不理解運(yùn)算符號，沒見過叉乘運(yùn)算，不清晰叉乘意義。（4）不理解運(yùn)算目的，如為什么這樣進(jìn)行方程湊項(xiàng)，方程明明更復(fù)雜了。（5）學(xué)生有畏懼情緒，不理解的不懂的太多，高數(shù)已經(jīng)十分難了，面對如此公式推導(dǎo)，學(xué)生更加畏懼。分析學(xué)生對課程的理解和反饋，結(jié)合授課理論知識，可以總結(jié)專業(yè)課程中高等數(shù)學(xué)的運(yùn)用存在以下特點(diǎn)。

1.數(shù)學(xué)思維要求高。相比于高數(shù)，在專業(yè)課程中，數(shù)學(xué)應(yīng)用更側(cè)重于數(shù)學(xué)思維。高等數(shù)學(xué)是對自然問題更高級的認(rèn)知工具，通過對物理問題進(jìn)行抽象，采用微分/積分方程描述，并運(yùn)用數(shù)學(xué)技巧將其變?yōu)榱硪环N更容易理解的形式。學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，通常傾向于學(xué)會運(yùn)算符號、預(yù)算方程（式），并得到某個(gè)最終的結(jié)果，側(cè)重于運(yùn)算及其技巧。

2.數(shù)學(xué)知識范疇廣。專業(yè)課程中的理論推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)學(xué)語言和思想范疇廣。僅以上例來說，所用數(shù)學(xué)知識雖然都屬于高等數(shù)學(xué)范疇，但要完全理解其中推導(dǎo)的方法、目的，還須有如矩陣論、數(shù)理方程、高等工程應(yīng)用數(shù)學(xué)等課程的部分內(nèi)容作為輔助。其運(yùn)算方法、數(shù)學(xué)思想都不是一門高等數(shù)學(xué)課程就可涵蓋的。

3.運(yùn)算符號體系復(fù)雜。思維模型的數(shù)學(xué)模式是復(fù)雜微分方程組，各種變量的相互關(guān)系令人眼花繚亂。方程的每一項(xiàng)看似相同，細(xì)看又不同，代表著不同的物理含義，從數(shù)學(xué)表達(dá)上就讓學(xué)生有畏懼感，仔細(xì)辨認(rèn)仍難以厘清，會有挫敗感。

4.方程求解困難。專業(yè)課程中推導(dǎo)得到的數(shù)理方程形式復(fù)雜，內(nèi)涵深刻，難以求解。學(xué)生從中學(xué)時(shí)代到大一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，面對的問題通常都是結(jié)果明確、方程清晰、可計(jì)算的。在面對復(fù)雜的專業(yè)問題時(shí)，學(xué)生先入為主地陷入“求解、計(jì)算”的思路，而不是去理解內(nèi)涵；當(dāng)發(fā)現(xiàn)方程根本無從下手、沒法計(jì)算時(shí)，將產(chǎn)生畏懼情緒，更不利于課程教授。

二、氣體動(dòng)力學(xué)與高數(shù)銜接存在的不足

由上面總結(jié)對比當(dāng)前學(xué)生在高數(shù)中的學(xué)習(xí)收獲可以看到，兩門課程在數(shù)學(xué)方面的銜接是存在不足的，主要表現(xiàn)在以下方面。

（一）問題抽象描述上的短缺

對自然界問題運(yùn)用方程描述是人們認(rèn)識自然的重要方法，然而如何將一個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題的思想過程至關(guān)重要。但實(shí)際上，絕大多數(shù)問題的微積分方程是不能直接求解的，依靠多種假設(shè)和邊界條件，才有可能化簡為能夠求解的代數(shù)方程，而更多情況只能通過計(jì)算機(jī)求解。如氣體動(dòng)力學(xué)中的NS（Navier-Stokes）方程僅在特殊邊界條件下才有解析解，絕大多數(shù)情況只能依靠計(jì)算機(jī)求解。所以，在專業(yè)課程中更重要的是對問題的抽象描述，之后通過對問題的認(rèn)知尋找求解方法。但學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)這門課程時(shí)對這一點(diǎn)的認(rèn)知有欠缺。一方面，盡管高等數(shù)學(xué)所學(xué)習(xí)的多種微積分方程都來源于自然問題（工程實(shí)際），然而解釋問題的來龍去脈屬于數(shù)理方程的范圍；另一方面，自然界問題的方程描述能夠求解的實(shí)際上少之又少，但學(xué)生習(xí)題、考試試題都是能夠求解的，能夠通過運(yùn)算變?yōu)楹唵蔚男问健＋@得運(yùn)算的結(jié)果之后，學(xué)生并不理解它所代表的物理含義，也找不到具體事例與之對應(yīng)，更不清楚這一運(yùn)算的目的。簡言之，學(xué)生把專業(yè)課上的方程只看作方程，而不能理解為一種抽象的描述。

（二）“特殊”到“普適”思維的短缺

人類認(rèn)知世界都是由“特殊”到“普適”的，如牛頓從“蘋果落地”這一“特殊”現(xiàn)象，經(jīng)過思考和研究，提出了“普適”的萬有引力定律。學(xué)生在學(xué)習(xí)高數(shù)時(shí)，面對的都是具體的“特殊”問題，對“特殊”問題進(jìn)行認(rèn)知、運(yùn)算、求解，是“特殊方程”到“特殊結(jié)果”的運(yùn)算過程。學(xué)習(xí)時(shí)，以掌握具體算例和數(shù)學(xué)技巧、解決習(xí)題（試題）問題為目標(biāo)，忽略了數(shù)學(xué)的普適性。此外，數(shù)學(xué)的發(fā)展并不是針對具體物理問題（專業(yè)問題），而是當(dāng)物理問題求解遇到困難時(shí)，從數(shù)學(xué)中尋找解決工具。這意味著高數(shù)課本身就是為學(xué)生提供豐富數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)工具的，學(xué)生在后續(xù)的專業(yè)課程學(xué)習(xí)中遇到問題時(shí)，應(yīng)回頭思考和尋找正確的數(shù)學(xué)工具。一個(gè)具體物理問題的解決需經(jīng)過“普適物理問題”—“普適數(shù)學(xué)表達(dá)”—“特殊數(shù)學(xué)方程”—“特定數(shù)學(xué)技巧”這一過程（學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)更多只關(guān)注了后面兩步）。

此外，專業(yè)課程知識都是從具體的“普適”問題出發(fā)，經(jīng)過抽象的?；伎?，將問題轉(zhuǎn)變?yōu)楸阌诶斫獾姆匠?，是“普適”物理模型到“普適”數(shù)學(xué)方程的過程。這一過程中，數(shù)學(xué)思想很重要，而學(xué)生熟悉的解題技巧并不重要，這就是學(xué)生思維上的短缺。專業(yè)問題只有在具體問題中，約定好邊界條件之后（如書本上例題給出各種已知條件之后），方程的“普適”形式才變?yōu)椤疤厥狻毙问?，進(jìn)行后續(xù)的求解。學(xué)生雖然掌握了高等數(shù)學(xué)的運(yùn)算，但是思維上沒有這樣的轉(zhuǎn)變，局限了自己的思想，導(dǎo)致講授理論時(shí)聽不懂、理解不了，以至于部分學(xué)生在遇到具體問題時(shí)不會理論思考，只會生搬硬套公式，學(xué)習(xí)效果不佳。

（三）數(shù)學(xué)語言符號的短缺

全面地理解專業(yè)課程中涉及的數(shù)學(xué)語言和符號體系需要更多高深的數(shù)學(xué)課程來彌補(bǔ)，如偏微分方程、復(fù)變函數(shù)、數(shù)理方程等。對于氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)這門課程，作為專業(yè)的核心基礎(chǔ)課，必須在學(xué)生跨入專業(yè)課學(xué)習(xí)前學(xué)完，而上述更高級的數(shù)學(xué)課程多在本科高年級甚至研究生階段才會涉及。這會導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)該課程時(shí)出現(xiàn)不認(rèn)識數(shù)學(xué)語言符號的情況。這種數(shù)學(xué)語言的陌生感會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，讓他們產(chǎn)生一種恐懼感。個(gè)別學(xué)生甚至有改一個(gè)符號、變換一個(gè)字母就不會解答和不知該如何分析的情況。事實(shí)上，陌生的數(shù)學(xué)符號不應(yīng)影響學(xué)生對問題的理解，符號只是表明了一種運(yùn)算法則?？梢哉f，對于一門專業(yè)課理論分析來說，符號代表的運(yùn)算意義是小于其背后物理含義的（盡管數(shù)學(xué)語言符號體系對于一個(gè)學(xué)科十分重要）。但是學(xué)生在數(shù)學(xué)思維中并沒有很好地理解這一點(diǎn)，往往把符號看得比物理意義還重要，把方程的“運(yùn)算”看得比對問題的剖析更重要。極端情況甚至?xí)袑W(xué)生認(rèn)為會進(jìn)行運(yùn)算了，能把例題問題算出結(jié)果了，就表明自己對某一問題的理論理解透徹了，實(shí)則恰好本末倒置。

三、解決策略探索

高數(shù)學(xué)習(xí)的是一種思想方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是思維訓(xùn)練的過程。高數(shù)本身就具備高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性。有了高度抽象和統(tǒng)一，我們才能深入地揭示其本質(zhì)規(guī)律，使之得到更廣泛的應(yīng)用。因此，高數(shù)是與應(yīng)用科學(xué)結(jié)合最為緊密的課程，理應(yīng)承擔(dān)起鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維、指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的作用。但是高等數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)課程，面對諸多專業(yè)學(xué)生，很難奢求一門課程就解決學(xué)生專業(yè)課上遇到的各種數(shù)學(xué)問題。因此，在氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)中，應(yīng)該根據(jù)高數(shù)課程與專業(yè)課程中的短缺，改進(jìn)教學(xué)內(nèi)容（見圖2）。

圖2 高數(shù)思維在氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)中的應(yīng)用

（一）跨院系溝通，針對性教學(xué)

加強(qiáng)專業(yè)學(xué)院與數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)院的溝通，針對不同專業(yè)課程特點(diǎn)，建立教學(xué)聯(lián)系。一直以來，高數(shù)因其高度抽象特點(diǎn)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)就感覺比較困難，上課提不起興趣。高等數(shù)學(xué)的教師上課時(shí)也苦于數(shù)學(xué)理論過多，實(shí)際案例太少，難以調(diào)動(dòng)課堂氣氛。實(shí)際上，很多專業(yè)課程中的理論推導(dǎo)，都依賴于高等數(shù)學(xué)知識體系。通過跨院系溝通，專業(yè)課教師可挑選重要的、有意思的實(shí)際問題，總結(jié)其中重要的數(shù)學(xué)思想和主要高數(shù)課程方法，為高數(shù)教師提供實(shí)用案例。如此解決，一方面，高數(shù)教師在講解高數(shù)知識點(diǎn)時(shí)，遇到相近的方程、推導(dǎo)，可以借用專業(yè)課的實(shí)際問題來輔助講解，學(xué)生結(jié)合專業(yè)工程實(shí)例，更容易理解高數(shù)方法背后的思維；另一方面，當(dāng)學(xué)生進(jìn)入專業(yè)課程學(xué)習(xí)時(shí)，面對工程問題抽象出來的方程不再陌生，提前了解這個(gè)方程的“來龍”，此時(shí)教師再做適當(dāng)引導(dǎo)，講解方程推導(dǎo)的目的，補(bǔ)上方程的“去脈”，可以有效降低學(xué)生學(xué)習(xí)理論的難度。

（二）強(qiáng)調(diào)思維過程，弱化方程形式

專業(yè)課程教學(xué)中不可避免會有大段的理論推導(dǎo)，而過于復(fù)雜的方程形式會干擾學(xué)生的理解。在講授氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)課程時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)思維過程，注重對方程的理解，弱化方程形式。將數(shù)學(xué)作為一個(gè)剖析問題、探尋規(guī)律的工具，讓學(xué)生不拘泥于數(shù)學(xué)表達(dá)，不受困于符號運(yùn)算，教會學(xué)生看待問題要用“普適”的視角，讓學(xué)士理解復(fù)雜方程是對問題的描述，越“普適”的問題方程可能越復(fù)雜，越“特殊”的問題方程才能越簡單。

（三）面向?qū)I(yè)定制高數(shù)例題

許多工程問題在一定的假設(shè)和邊界條件下可以不斷化簡為學(xué)生熟悉的高數(shù)問題。然而現(xiàn)有的課程內(nèi)容中，大多數(shù)例題針對的是工程的實(shí)際應(yīng)用，并沒有面向高數(shù)學(xué)習(xí)過程去構(gòu)思特定的例題、習(xí)題。在學(xué)生視角中，只有完全陌生的方程形式，找不到高數(shù)與工程問題的內(nèi)在聯(lián)系。如果在專業(yè)課程的講解或者習(xí)題中有意安排特殊問題，使得學(xué)生最后能夠找到高數(shù)曾經(jīng)做過、考過的熟悉的方程形式、運(yùn)算技巧等，則對學(xué)生理解問題、解決問題有更大的幫助，也會增強(qiáng)學(xué)生課程學(xué)習(xí)的自信。

（四）補(bǔ)充專業(yè)數(shù)學(xué)知識

學(xué)生的數(shù)學(xué)知識并不完備，一定要在專業(yè)課上進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充。從學(xué)生的課程體系來說，學(xué)生不能等所有數(shù)學(xué)知識均完備后再來學(xué)習(xí)專業(yè)核心課；從氣體動(dòng)力學(xué)課程本身來說，其所需數(shù)學(xué)知識不僅來源于高等數(shù)學(xué)，甚至?xí)衼碓从跀?shù)理方程、工程應(yīng)用數(shù)學(xué)等更高級的數(shù)學(xué)課程。然而，專業(yè)課上對于問題的思考、數(shù)學(xué)思維的要求，絕大部分仍來源于高等數(shù)學(xué)。因此，對于具體的專業(yè)課，可針對課程本身將遇到的數(shù)學(xué)問題開設(shè)一次“專業(yè)數(shù)學(xué)”課程，減弱學(xué)生數(shù)學(xué)知識短缺帶來的不適感和畏懼感（如本課程就在流體微團(tuán)分析前，專設(shè)一次數(shù)學(xué)知識課）。更進(jìn)一步的，在專業(yè)培養(yǎng)方案上開設(shè)低年級的“專業(yè)數(shù)學(xué)課”，系統(tǒng)性地補(bǔ)充本專業(yè)所需具備的數(shù)學(xué)思想和常用數(shù)學(xué)工具，以彌補(bǔ)數(shù)學(xué)思維短缺，完善專業(yè)培養(yǎng)體系。

（五）網(wǎng)絡(luò)助力數(shù)學(xué)知識獲取

網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)獲取知識（信息）的重要渠道，應(yīng)加以充分的利用和挖掘。事實(shí)上，數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)和鍛煉貫穿高等教育過程，不僅僅是幾門課程就能完善的。依托恰當(dāng)?shù)男畔⒓夹g(shù)，在課程上教師向?qū)W生演示、宣傳提供優(yōu)質(zhì)的在線資源（如小視頻、微課等），以拓展學(xué)生課后學(xué)習(xí)環(huán)境，打開網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)窗口。學(xué)生利用這些網(wǎng)絡(luò)窗口，可接觸更多的生活中、工程上的經(jīng)典案例，讓自身的數(shù)學(xué)思維逐漸成長，面對復(fù)雜工程問題時(shí)更加游刃有余。

結(jié)語

高等數(shù)學(xué)是飛行器動(dòng)力工程專業(yè)的基礎(chǔ)課程，對學(xué)生的專業(yè)知識學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思維鍛煉有重要作用。本文結(jié)合專業(yè)課“氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)”的教學(xué)實(shí)際，分析了高等數(shù)學(xué)與專業(yè)課程之間存在的不足，其核心是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練不足，進(jìn)而針對性地提出“氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)”課程的教學(xué)改進(jìn)思路。通過針對性教學(xué)溝通、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維、面向高數(shù)定制例題、補(bǔ)充數(shù)學(xué)知識等方法，以及充分利用網(wǎng)絡(luò)資源等，可有效彌補(bǔ)上述短缺，降低專業(yè)課程中的數(shù)學(xué)難度，提高教學(xué)效果。