福建省廈門市第五中學(xué) 萬珠明

數(shù)學(xué)說理能力是指以高階思維的發(fā)展和實(shí)際問題的解決為目標(biāo),學(xué)生通過說理，引發(fā)了深層次的數(shù)學(xué)思考，迸發(fā)了潛能，深化了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。學(xué)生從“知其一不知其二”的淺層學(xué)習(xí)向深度學(xué)習(xí)延展，從而達(dá)成學(xué)生高階思維能力的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力也會逐步凸顯，學(xué)習(xí)走向深度，最終達(dá)成“想明白、說清楚”的深度學(xué)習(xí)的培養(yǎng)目標(biāo)。

深度學(xué)習(xí)的核心是發(fā)展素養(yǎng)、提高能力，要讓學(xué)生學(xué)會主動思考、經(jīng)歷過程、學(xué)會質(zhì)疑、批判運(yùn)用與思維進(jìn)階。隨著課堂教學(xué)改革的深入，針對小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的深度學(xué)習(xí)更是越來越多地被關(guān)注與研究。而數(shù)學(xué)說理是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)會說理是學(xué)科語言素養(yǎng)和思維能力不斷累積與進(jìn)階的過程，在這個(gè)過程中學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)表達(dá)能力、思維邏輯體系不斷地得到提高和完善。如何基于知識學(xué)習(xí)的廣度、深度、關(guān)聯(lián)度來發(fā)展數(shù)學(xué)說理能力，讓“深度學(xué)習(xí)”真實(shí)落地，最終使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展，達(dá)成立德樹人的根本任務(wù)，是需要我們在教育教學(xué)中不斷地學(xué)習(xí)與鉆研的。

一、創(chuàng)設(shè)有效情境，提供說理機(jī)會

恩格斯說：“數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)與形的空間形式的學(xué)科?！苯處煈?yīng)該創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問題情境，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓數(shù)與形越發(fā)生動有趣。通過愉悅的、豐富有趣的情境，帶領(lǐng)學(xué)生融入暢所欲言、安全的、自由的學(xué)習(xí)場景中來，激發(fā)學(xué)生言說表達(dá)的欲望，讓更多的不同層次的孩子有意愿、有機(jī)會、有勇氣來表達(dá)自我?；趯W(xué)情設(shè)計(jì)好科學(xué)的問題情境就是在為學(xué)生搭建深化認(rèn)識的腳手架，良好地構(gòu)設(shè)新舊知識的聯(lián)結(jié)，孵化了說理的載體。

我們通過創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生回到分?jǐn)?shù)的定義中去。分?jǐn)?shù)的定義：將一個(gè)整體平均分成m份，表示這樣的1份或n份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)。這里對“n份”沒有限制，它可以是任何自然數(shù)。學(xué)生受“真分?jǐn)?shù)”學(xué)習(xí)的前攝抑制，往往覺得分?jǐn)?shù)就要分子小于分母。我們采用這樣的累加情境的設(shè)計(jì)，可以很好地突破這一障礙，孵化說理能力。這樣的設(shè)計(jì)著眼于學(xué)生學(xué)習(xí)困惑上的調(diào)整，使假分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)有更適宜的土壤，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)的開啟。

教師利用合適的情境組織數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，搭建情與理相融的課堂，能夠促進(jìn)師生之間、生生之間的交流對話，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中的深度互動。

二、重視活動經(jīng)驗(yàn)，積淀說理載體

學(xué)生對抽象的數(shù)學(xué)知識的理解和表達(dá)是有難度的，我們可以借助幾何直觀地讓學(xué)生親身經(jīng)歷、感受。學(xué)生在體驗(yàn)中調(diào)動多種感官參與，發(fā)展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升了思維的主動性和深刻性，并在探索的過程中逐步加深對知識的理解。通過活動經(jīng)驗(yàn)的積累，孩子的說理能力自然會積淀，也逐步實(shí)現(xiàn)形象化到抽象化思維的進(jìn)階，深入思考數(shù)學(xué)知識、規(guī)律等背后隱藏的道理，達(dá)成深度學(xué)習(xí)。

例如，在教四年級“三角形內(nèi)角和”這節(jié)課時(shí)，教師可以通過提出關(guān)鍵問題“你想研究三角形的內(nèi)角和的度數(shù)嗎？”“誰來說說你是怎么研究出結(jié)論的？”“三角形內(nèi)角和和什么無關(guān)？”，結(jié)合關(guān)鍵活動開展探究：“初次猜想→測量（再猜想）→驗(yàn)證→再次驗(yàn)證”，多個(gè)維度的活動讓說理更有理有據(jù)，學(xué)習(xí)走向深度。

活動探究：①初次猜想：三角形內(nèi)角和是多少度？

②測量：測量形狀、大小不一的三角形內(nèi)角和大約是多少度。

③驗(yàn)證：開展小組合作，利用三角形、四邊形紙質(zhì)學(xué)具，通過剪、拼、折等驗(yàn)證你的猜想。

④再次驗(yàn)證：借助信息技術(shù)幾何畫板動畫演示進(jìn)行再次驗(yàn)證。

教師創(chuàng)設(shè)螺旋上升的科學(xué)探究活動，讓學(xué)生積累了基本活動經(jīng)驗(yàn)，重組和完善了知識結(jié)構(gòu)。活動中學(xué)生實(shí)踐、交流、碰撞，獲得“三角形內(nèi)角和是180°”，并通過活動感受到三角形的內(nèi)角和與它的形狀、大小、邊長無關(guān)這一知識本質(zhì)。數(shù)學(xué)說理如果停留在語言上的空對空，那么學(xué)習(xí)必是淺層次的，知識一定是容易遺忘的。我們借助數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)體驗(yàn)和累積，豐富學(xué)生的認(rèn)知和理解，并在實(shí)際應(yīng)用中深化活動經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而助力學(xué)生有深度地思考與學(xué)習(xí)。

三、巧用多元表征，厚植說理深度

說理表達(dá)，不僅僅是言說表達(dá)，也包括非言說表達(dá)。言說表達(dá)和非言說表達(dá)都指向揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。常見的非言說表達(dá)有畫示意圖、直觀演示、紙筆演繹、操作實(shí)驗(yàn)等多元表征方式。當(dāng)學(xué)生言說表達(dá)有困難的時(shí)候，我們可以借助多元表征來輔助表達(dá)。以概念教學(xué)為例，它往往比較單一、抽象，我們更要充分利用多元表征方式，表征越豐富，學(xué)生對概念的理解會越到位，越能認(rèn)識其本質(zhì)。如果教師的教學(xué)都僅用單一表征來呈現(xiàn)的話，學(xué)生無法獲取到更多更全的信息，也就會產(chǎn)生更差異化的獲得。所以我們應(yīng)該更合理地利用多維表征、多角度思考等方式開展教學(xué)，助力學(xué)生抽象歸納的思維進(jìn)階，發(fā)展推理分析、模型建構(gòu)的數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)了對數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的構(gòu)建，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)語言的精練性。

例如，在教“行程問題”中，怎樣才能更好地理解分析兩車運(yùn)動的場景，區(qū)分相向而行、同向而行、背向而行等多種運(yùn)動情境？我們可以引導(dǎo)學(xué)生畫線段示意圖，還可以借助肢體語言，通過比一比、指一指、模擬演示等表征方式，讓學(xué)生在演示的過程中將自己的思維外顯，這將使學(xué)生理解得更深刻。

又如在教二年級“認(rèn)識千以內(nèi)的數(shù)”時(shí)，利用多種表征幫助學(xué)生學(xué)習(xí)、認(rèn)識數(shù)的意義和本質(zhì)，例題定格重點(diǎn)數(shù)“324”，學(xué)生以小組為單位自主選擇用小棒、方塊圖和計(jì)數(shù)器來表示出“324只小動物”，利用直觀、具體的學(xué)具，從多種角度幫學(xué)生抽象出“324”，理解這個(gè)數(shù)的意義和組成。教師還可繼續(xù)聯(lián)系生活，把抽象的數(shù)具體化，使學(xué)生在多種情境中理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義。例如，“206”這個(gè)數(shù)，課上學(xué)生親眼看到用10×10數(shù)豆神器數(shù)出黃豆206粒；身臨其境地量出NBA球星的身高有206厘米；親自數(shù)出一篇小文章有206個(gè)字；還科普了成人骨骼有206塊。從數(shù)量多少、高度以及所占平面的大小等多種維度形成對“206”這個(gè)數(shù)豐富意義的準(zhǔn)確認(rèn)識。教師從學(xué)生原有知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，緊扣學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，利用多種表征方式引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“操作→圖示→符號→生活”等表征方式，培養(yǎng)學(xué)生的說理能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)感，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)思考的構(gòu)建。

四、問題驅(qū)動探索，提升說理邏輯

學(xué)生如果僅僅以輸入接受作為學(xué)習(xí)方式，久而久之會不愛思考，自己的理性、思辨思維也會難以發(fā)展。在數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)中，我們要使學(xué)生積極投入，高階認(rèn)知參與，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)有意義的問題驅(qū)動，促使學(xué)生能在多角度思考后展開綜合分析后有條理且清晰地說明知識的緣由，使思維向深度發(fā)展。

例如，在五年級“3的倍數(shù)的特征”這一課，學(xué)生經(jīng)歷從2、5的倍數(shù)的特征的探究引發(fā)對3的倍數(shù)的初次猜想→通過結(jié)合百數(shù)表進(jìn)行圈畫3的倍數(shù)進(jìn)行初次驗(yàn)證→拋出疑問“百數(shù)表外的數(shù)，3的倍數(shù)的特征是否同樣適用”通過借助計(jì)算器再次驗(yàn)證。通過小組合作探究的形式，揭示“百數(shù)表的秘密”，學(xué)生清楚地看到了百數(shù)表3的倍數(shù)的排列分布特點(diǎn)，從抽象到具體，讓學(xué)生全面研究了3的倍數(shù)的特征，在歸納推理中得出結(jié)論。

學(xué)生經(jīng)歷了一系列的真實(shí)體驗(yàn)后，教師以問題驅(qū)動探索：“為什么2、5的倍數(shù)只需要看個(gè)位？而3的倍數(shù)卻要看各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和？判斷17是不是3的倍數(shù)，為什么只看1+7就行？這里的兩個(gè)‘1’是一樣的嗎？”教師利用小棒圖圈一圈、畫一畫、想一想等直觀方式，讓學(xué)生的思維從“合情”走向“合理”，對知識本質(zhì)內(nèi)涵有了更深的理解。教師可以設(shè)置以下活動。

活動a：借助小棒圖直觀理解：3的倍數(shù)為什么把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)加起來呢？師生一起分一分。(見圖1)

圖1 活動a小棒圖

師：我們利用小棒圖，先從簡單的數(shù)17開始，它是不是3的倍數(shù)，為什么只看1+7就行了？

引導(dǎo)學(xué)生思考、探索，小組合作開展說理，最后達(dá)成共識：十位上的“1”，用一捆10根來表示，3根3根地分，會余下1根，1根再加上個(gè)位上的“7”也就是7根，總共就余下1+7=8根，8不能被3整除，所以17不是3的倍數(shù)。

活動b：放手讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，繼續(xù)分一分，解釋判斷36是不是3的倍數(shù)，為什么只看3+6就行了。(圖2)

圖2 活動b小棒圖

學(xué)生依托種子問題開展思考、探索、說理后，繼續(xù)開展小組合作自主說理，最后達(dá)成固化說理：十位上的“3”，用三捆10根來表示，3根3根地分，會余下三個(gè)1根，共3根，3根再加上個(gè)位上的“6”也就是9根，也就是3+6=9根，9能被3整除，所以36是3的倍數(shù)。

活動c：這次不分了，想一想：判斷118是不是3的倍數(shù)，為什么只看1+1+8就行了？

學(xué)生從在說理的過程，逐步從直觀推理走向抽象推理，發(fā)展了邏輯推理能力。理解了118=100+10+8=(99+1)+(9+1)+8=(99+9)+1+1+8，而99和9都是3的倍數(shù)，那最后余下的就是1+1+8=10，10不能被3整除，所以118不是3的倍數(shù)。

學(xué)生通過問題驅(qū)動探究，分一分，想一想、算一算來說明為什么不同數(shù)位上的數(shù)字可以直接相加。學(xué)生在問題驅(qū)動下開展探究活動，并從中經(jīng)歷直觀演示到用“數(shù)學(xué)說理”的方式來判斷3的倍數(shù)，深入理解知識的本質(zhì)內(nèi)涵，明析知識間的邏輯關(guān)聯(lián)，學(xué)生達(dá)成知識的深度理解。

五、加強(qiáng)習(xí)慣養(yǎng)成，固化說理能力

說理能力培養(yǎng)是為了教會學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會質(zhì)疑、學(xué)會論證，發(fā)展他們的思維和素養(yǎng)，但在實(shí)施說理課堂的過程中，教師應(yīng)思考學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)發(fā)生，有時(shí)會因?yàn)閾?dān)心過多的言說表達(dá)，造成教學(xué)任務(wù)完不成，教師便以自己大量的講解或重復(fù)、機(jī)械化的操練代勞了學(xué)生的自主探究和深度思考。如此以往，學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣培養(yǎng)不到位，傾聽、表達(dá)、合作、對話等能力訓(xùn)練不到位，小組合作學(xué)習(xí)流于形式。

以“傾聽習(xí)慣”為例，傾聽是一種集合看、聽、辨、思等多種感官的綜合性行為，它可以達(dá)成相互認(rèn)同、相互理解、相互支持的學(xué)習(xí)過程。善于傾聽的學(xué)生，思維一定會在傾聽與表達(dá)中可持續(xù)發(fā)展。當(dāng)然這里的傾聽也同樣包含師生之間的傾聽，師生、生生間的相互“傾聽”，會使多元的、不同的觀點(diǎn)得到表達(dá)和尊重，課堂自然會碰撞出豐富多彩的思維火花，進(jìn)一步固化說理能力，讓學(xué)習(xí)走向深處。

在實(shí)踐深度學(xué)習(xí)的課堂中，數(shù)學(xué)說理必不可少，它也是數(shù)學(xué)推理與證明的前奏。我們也切身感受到學(xué)生思維的廣度、深度、關(guān)聯(lián)度上的發(fā)展來源于教師教學(xué)過程中每一個(gè)環(huán)節(jié)的精心設(shè)計(jì)，學(xué)生對數(shù)學(xué)中關(guān)鍵概念、核心知識的理解不能僅僅是靠教師課堂的講授，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)不同的學(xué)習(xí)情境，營造良好的說理氛圍，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)說理中理解知識的內(nèi)涵，切實(shí)掌握所學(xué)知識，條理清晰地分析問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、發(fā)展數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)問題解決能力，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的有效落地。