劉思璐，汪曉勤

基于國際視角的數學史與數學教育研究現狀分析——ICME-14之HPM專題綜述

劉思璐，汪曉勤

（華東師范大學 教師教育學院，上海 200062）

HPM研究是21世紀數學教育研究的一個重要領域．以2021年7月在中國上海舉辦的第14屆國際數學教育大會中相關的HPM會議報告為綜述對象，通過對其進行概述和特點總結，可知，此次ICME-14的HPM會議報告的特點包括：注重HPM理論的發(fā)展，關注數學史融入數學課堂的評價，重視教育取向的數學史．

HPM；ICME-14；國際數學教育

1 問題提出

1972年第二屆國際數學教育大會（簡稱ICME-2）上成立了數學史與數學教學關系國際研究小組（簡稱HPM小組），ICME-3上HPM小組主持了“數學史作為課程設計的關鍵工具”會議主題，ICME-4上HPM小組致力于“如何在中小學數學教學中使用數學史”和“數學教育中哲學、科學史和數學的關系”兩個會議主題．到了ICME-8，HPM小組的秘書長宣布將于1997年著手“數學史在數學教學中的作用”研究[1]．自2004年ICME-10開始，“數學史在數學教育中的作用”成了ICME大會中固定TSG之一[2]，HPM逐漸成為21世紀國際數學教育研究持續(xù)關注的主題之一．

第十四屆國際數學教育大會（簡稱ICME-14）于2021年7月11—18日（原定于2020年，因疫情推遲一年）在中國上海的華東師范大學舉行．此次會議包含了極其豐富的研究主題，其中一個重要的研究主題是數學史與數學教育（簡稱HPM）．此次會議和HPM相關的學術活動主要有3個部分，包括和HPM相關的邀請報告（invited lectures，簡稱IL），國際教育委員會（簡稱ICMI）附屬組織（Affiliate Organiza- tion，簡稱AO）的HPM研究小組報告，專題研究組27（簡稱TSG27）“數學史在數學教育中的作用”的報告．

自2005年第一屆全國數學史與數學教育研討會召開后，國內HPM研究已受到越來越多研究者的關注．相比于國際HPM近50年的研究，中國HPM研究仍有許多需要借鑒和發(fā)展之處，研究者需要及時關注HPM最新的國際視野和研究動態(tài)．因此，這里對ICME-14中有關HPM會議報告進行綜述和分析，從中總結現階段國際HPM研究的若干特點，以此為HPM的理論與實踐研究提供新的啟示．

2 HPM專題報告概述

ICME-14會議的HPM相關報告中，來自8個國家的學者共作了19個報告，其中兩個為IL報告（邀請報告）、4個為AO報告（HPM小組報告），13個為TSG報告（專題研究小組報告）．每個IL報告時間為40分鐘，討論時間為20分鐘．每個AO報告時間為15分鐘，交流討論的時間共60分鐘．TSG報告中，長的口頭報告時間為15分鐘，討論12分鐘，短的口頭報告為10分鐘，討論10分鐘．

此次會議中有關HPM報告的報告者分布來自于中國、德國、丹麥、加拿大、美國、荷蘭、墨西哥和智利，具體的分布情況見表1．

表1 報告者國家的分布情況

注：*表示該國家有1個報告者同時有AO報告和TSG報告．

從表1可知，ICME-14的HPM相關報告的報告者中，中國學者占比最多．對比ICME-12和ICME-13的HPM相關報告中東方學者比例不足30%[3–4]，此次會議中HPM相關報告的東方學者已近一半．這和疫情時代、中國舉辦等原因有很大關系，也從一定角度反映了中國HPM研究者在增多，中國HPM研究在發(fā)展．

19個報告根據已有研究[4–5]可分為HPM理論探討、HPM教學實踐、數學文化與數學教育、數學教育史、HPM與教師專業(yè)發(fā)展、HPM的歷史和教材中的數學史7個主題．其中HPM教學實踐和HPM理論探討的報告占比較多．

2.1 HPM理論探討

HPM理論探討是為了發(fā)展該領域的理論和概念框架，解決“為何”和“如何”的問題．這方面的報告包括兩個AO報告和3個TSG報告．

加拿大的David Guillemette有兩個探討理論的報告．他的AO報告總結了當前HPM研究的理論發(fā)展和研究問題，指出研究者面臨著教師教育研究、數學史作為教學資源的研究、數學史融入課堂有效性的實證研究以及HPM理論研究等核心問題，并介紹了發(fā)生視角、人文主義視角、詮釋學視角、話語與實用主義視角、對話與倫理視角等HPM研究視角．他的TSG報告總結了HPM領域質性研究的路徑，包括詮釋學方法、學會傾聽[6]等，以及該領域參與性研究的路徑，包括對話方式[7]、欣賞和解釋參與者和數學史之間對話互動的方式等．

荷蘭的Desiree van den Bogaart-Agterberg在其AO報告中基于數學史價值的“二元”說指出，數學史既是學習數學和引發(fā)學習動機的工具，又有著讓學生了解數學作為一門學科的本質和獲得科學史知識的目標[8]．她提出數學教材呈現數學史的“4S”模式[9]，詳見表2，并介紹了原始資源的復制式（facsimile）、改編式（edited）和注釋式（annotated）用法．這些對教師和教師教育有著一定影響．

表2 教材中數學史的形式

墨西哥的Erika Zublillaga Guerrero的TSG報告介紹了報告人及其團隊所構建的用來分析數學史原始資料的方法論框架，包括“文本的參考卡片”“文本與作者的背景和目的”“對具體數學概念的介紹和處理”3個水平，并通過具體的例子加以說明．該框架提供了一種概念建構的路徑來幫助學生理解不同概念之間的關聯．

中國的李卓忱在其TSG報告中指出，小學HPM微視頻的制作流程包括設計、制作、應用、評價和反饋環(huán)節(jié)，類型包括創(chuàng)設情境類、重現歷史類、介紹思想類和展示方法類，內容包括一個人物、一個問題、一個故事和一種思想．

這5個報告分別探討了HPM的發(fā)展趨勢、數學史的使用形式、數學史作為教學資源的概念框架、數學史與教育技術的結合方式．

2.2 HPM教學實踐

HPM教學實踐是指將數學史融入數學課堂教學的實踐研究，包括HPM課堂教學的設計、實施、評價與反饋等方面．這個主題的報告包括一個IL報告和5個TSG報告．

丹麥的Tinne Hoff Kjeldsen在其IL報告中探討了數學史對數學建模教學的幫助．報告呈現了20世紀的3個數學建模案例：John von Neuman的經濟學模型、Vito Volterra的捕食—獵物模型和Nicolas Rashevsky的細胞分裂模型，并讓學生根據圖1所示的數學建模過程，對Rashevsky的建模過程進行研究，從而揭示了數學建模教學中培養(yǎng)學生數學歷史意識的重要性．

圖1 數學建模周期的6個子過程[10]

荷蘭的Desiree van den Bogaart-Agterberg的TSG報告對認知需求（LCD）和數學史（HoM）之間的聯系進行了分析．報告指出，教師通過再現、改編和注釋歷史材料，將其顯性或隱性地用于教學之中，可以更好地滿足學生的認知需求，提升學生的認知水平．報告還提到呈現數學史料的“4S”模式．

中國的韓嘉業(yè)在TSG報告中介紹了開方作法本原圖、賭金分配問題等與二項式定理相關的歷史材料，接著展示了該課例的實施過程，包括講解二項式定理歷史的微視頻，通過分析學生問卷和訪談，得到HPM微視頻對學生產生的影響．

中國的劉思璐在其TSG報告中建立了基于數學史的函數概念理解水平的分析框架，通過該框架來分析課前、課后學生調查問卷得到HPM視角下的函數概念教學效果，根據學生和授課教師的訪談以及課堂教學視頻等數據探索其影響因素．

德國的Silvia Sch?neburg-Lehnert在其TSG報告中呈現了一項研究，研究者將基爾歇（A. Kircher，1602—1680）對于工具的概念、數學風琴（organum mathematicum）、幾何室等數學史內容呈現給學生，通過調查問卷、教師觀察和學生寫作等數據，分析學生對于數學史融入數學教學以及在課堂上使用原始史料的評價．

智利的Jorge Soto-Andrade在其TSG報告中指出，數學、歷史和教學法是互相聯系的．他介紹了中國古代的《易經》、邵雍（1011—1077）的工作（如伏羲六十四卦次序圖，見圖2）、萊布尼茨的二進制和達爾文的生命樹等內容，并展示了學生改造的一些先天圖．

圖2 伏羲六十四卦次序[11]

這6個報告分別關注了數學史在數學建模中的應用、數學史與認知需求的聯系、數學史與教育技術的結合、數學史對學生認知的影響和數學史作為教學資源及其教學效果．

2.3 數學文化與數學教育

有一個IL報告和一個TSG報告從數學史角度論述數學文化與數學教育的關系．

中國的劉柏宏在他的IL報告中討論了教師對數學和教學的信念之間的關系，接著介紹了古代不同文明所具有的不同數學特征．報告人從數學的宏觀視角和微觀視角提出數學文化是由文化中的數學（MiC）和數學的文化（CoM）組成，并指出，通過CAP（猜想、論證和證明）加TAMES（以數學為中心的跨學科教育，涉及技術、美學、工程和科學）的方式，可創(chuàng)造學生數學行為的文化發(fā)展．

中國的余慶純在其TSG報告中介紹了她通過德爾菲法修訂的“基于數學史的數學文化”內涵分析框架，根據該框架對20個高中HPM課例進行文本分析，得到高中HPM課例在數學文化不同維度上的表現和特點．

這兩個報告，前者從歷史角度和多元文化的角度探討數學教育，后者研究了HPM課例中的數學文化內涵．

2.4 數學教育史

有一個AO報告和一個TSG報告屬于數學教育史研究．

美國的Alexander Karp的AO報告介紹了數學教育史方面的研究進展．Karp先介紹了數學教育史方面的文獻，包括Stamper的《初等幾何教學的歷史》（1906）等書籍和《國際數學教育史期刊》（）等期刊．接著，他介紹了近幾年數學教育史的研究成果，包括《數學教育歷史手冊》《數學教學和學習的歷史》和《數學教育史研究》等書．

德國的Ysette Weiss在其TSG報告中追溯了19世紀德國的幾何教學情況．以圓錐曲線為例，19世紀的數學活動將其作為一門學科和工具，幫助數學家、教師、工程師等不同學術團體之間交流，同時，報告還介紹了希臘數學家們對圓錐曲線的研究，惠更斯、萊布尼茨、約翰·伯努利等數學家也曾將圓錐曲線作為一種工具去解決問題．她還介紹了19世紀幾何學教學的改革者為實踐共同體做的一些發(fā)展．

教育中的數學史和數學教育的歷史，兩者是相互借鑒又是相互聯系的，數學教育史研究為HPM研究提供了啟示．

2.5 HPM與教師專業(yè)發(fā)展

HPM與教師專業(yè)發(fā)展是研究數學史對數學教師專業(yè)發(fā)展影響的研究．有兩個TSG報告屬于該主題．

中國的沈中宇介紹了一個HPM專業(yè)學習共同體中教師專業(yè)知識發(fā)展的案例．他以某HPM工作室的兩位教師為例，通過MKT理論和活動系統(tǒng)模型，分析和解釋教師的各版教學設計、反思單、調查問卷和訪談等數據，得到教師專業(yè)知識的變化及其影響因素．

中國的姜浩哲通過主題分析法，研究了6位職前教師在某個HPM教師發(fā)展項目中教師教學效能感的變化及其影響因素．其中教師專業(yè)發(fā)展項目包括文獻閱讀、案例學習、微格教學、微課程開發(fā)和課堂教學5個階段．

兩個報告分別從教師專業(yè)知識和教學效能感方面關注了在職教師和職前教師在教師專業(yè)發(fā)展項目中的變化及其影響因素．

2.6 HPM的歷史

德國的Ysette Weiss在其AO報告中追溯了HPM的歷史及其相關活動．早在1897年的蘇黎世國際數學家大會上，數學史與數學文獻學已經被列為會議的主題之一．1976，ICMI正式成立“數學史與數學教學關系國際研究小組”．報告追溯了HPM的歷任主席，包括羅杰斯（Leo Rogers）、瓊斯（P. S. Jones）、福韋爾（J. Fauvel）等人，介紹了HPM的官方刊物《HPM通訊》以及HPM的定期學術活動，包括ICME的HPM衛(wèi)星會議（4年一次）、數學教育中的歷史與認識論歐洲暑期大學（簡稱ESU，2010年起改為每4年一次[12]）等．

該報告總結了國際HPM組織的發(fā)展歷程，但未能涉及HPM學術研究本身．

2.7 教材中的數學史

僅有一個TSG報告比較了不同版本數學教材中的數學史．中國的雷沛瑤從內容分布、欄目分布、數學史表現形式3個方面，比較了中國大陸人教A版的5本高中數學必修教材和中國臺灣翰林乙版的4本高中必修教材中的數學史，為教科書的編寫者提供啟示．

在教材中如何融入數學史一直是HPM研究的重要話題，往屆會議中的教材研究主要是對某個版本教材中數學史的內容進行分析，此次會議的報告則從比較的角度考察了不同版本教材中數學史的內容和呈現方式．

3 HPM研究特點

根據ICME-14中有關HPM的會議報告，當前的國際HPM研究具有以下特點．

（1）注重HPM理論的發(fā)展．

HPM理論研究可為該領域的研究提供新視角、新框架和新路徑．HPM理論框架至少要能解決這樣幾個問題，包括為什么應該學習數學史即數學史的教育價值，在教學中選擇哪些數學史即數學史的選取原則，怎樣在數學教育（課程、教材、教學等）中融入數學史即數學史的融入方式和以某種方式學習數學史的價值即評估數學史融入數學課堂的教學效果[13]等．此次會議的相關報告，無論是基于研究探索出的理論框架，還是為了研究建立的分析框架，都至少回答了上述問題中的一個．

同時，此次會議的相關報告為HPM理論研究的發(fā)展提供了兩種思路：一種是基于數學史自身特點發(fā)展理論框架，如Guerrero介紹了分析原始數學史資料的3個水平；另一種是將數學史與其它理論框架進行聯結，如Agterberg將認知需求框架和數學史進行融合建立“4S”模型．另外，Guillemette的AO報告總結了當前HPM研究的5種理論視角，包括發(fā)生視角、人文主義視角、詮釋學視角、論述與實用視角、對話與倫理視角．HPM研究者可在此次國際會議的基礎上進一步發(fā)展HPM理論，如將數學史與問題提出、核心素養(yǎng)等其它主題的分析框架進行融合．同時也可使用此次會議介紹的理論框架進行實證研究，如基于“4S”模型分析中國新一輪課改下教材中數學史與認知水平之間的關系．

（2）關注數學史融入數學課堂的評價．

在教學實踐方面，ICME-12的HPM研究關注如何在課堂教學中融入數學史[3]，ICME-13的HPM研究中部分中外學者們側重介紹HPM方面的教學實踐和課例開發(fā)[4]，而ICME-14的HPM研究則更加關注數學史融入數學課堂的教學效果，關注數學史融入教學后對學生的認知和情感方面的影響．通過測試、訪談、課堂觀察、任務單等數據探索數學史融入課堂有效性的實證研究增多．

從歷屆國際數學教育大會來看，HPM視角下的課堂教學研究已涉及相關的理論探討、歷史研究、教學設計和課例實施等方面，但對于數學史融入課堂教學評價方面的研究尚不多見．未來，基于HPM視角下的課堂教學特點和課堂教學評價理念，建立和應用HPM視角下課堂教學的評價框架方面的研究，必將成為HPM研究的重點．

（3）重視教育取向的數學史研究．

教師在數學課堂中融入數學史可以幫助學生意識到，數學不僅僅是一種語言，更是一種人類活動和社會文化的產物．同時數學史提醒教師，要讓學生主動去“做數學”，而不是被動地“學數學”．教師可以以史為鑒為數學探究活動創(chuàng)造一種可能，讓學生順著數學概念的發(fā)展足跡去探索數學，而不是去復制數學結果[13]．然而沒有厘清某個數學主題的歷史脈絡，一切都無從談起．

可以看到，歷屆國際數學教育大會HPM研究一直都注重對數學史的研究，此次會議依然如此．無論是哪種主題的HPM研究，學者們都或多或少地介紹了相關的數學史或者數學教育史內容．在他們的報告中，數學史上璀璨的古人智慧和精彩的數學證明再次出現，而且體現了中西文化交流的趨勢．如智利的Soto-Andrade介紹中國古代邵雍的工作和二進制的聯系，又如韓嘉業(yè)介紹中國古代的開方作法本原圖和西方的賭金分配問題等二項式定理方面的相關史料．這些史料研究的介紹，從研究取向上強調了數學史對于HPM研究的重要性，又為HPM研究增添了源頭活水，為HPM視角下的課堂教學提供啟示．

4 結語

綜上所述，ICME-14的HPM相關報告具有注重HPM理論的發(fā)展，關注數學史融入數學課堂的評價，重視教育取向的數學史等特點．從中可以得到一些啟示．

（1）注重數學史融入課堂教學的評價研究．數學史融入課堂教學在國際和國內都已有一定的理論基礎和實施框架，但其有效性的評價仍是HPM研究者目前正在解決的重要課題．不同路徑下、不同視角下，將數學史融入課堂教學對學生數學學習影響的實證研究，是未來研究的重要方向之一．

（2）深延HPM對教師專業(yè)發(fā)展影響的研究．HPM對教師專業(yè)發(fā)展的影響已有一些案例研究進行論證，研究對象包括職前教師和在職教師，研究內容包括知識[14–15]、能力[16]、信念[17]等3個方面．未來，HPM課例研究對教師所在學校的備課組所產生的影響或可成為一個研究主題，即研究通過以個體帶動群體的方式下HPM工作室教師的輻射作用．

（3）加強指向核心素養(yǎng)的HPM理論與實踐研究．數學史融入數學教學，對于數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學建模等素養(yǎng)的培養(yǎng)具有獨特的作用．迄今為止，這方面的理論和實踐研究尚不多見．HPM與核心素養(yǎng)之間的關系必將成為未來HPM領域的重要課題．

（4）探索跨學科視角下的HPM研究．從數學史上看，數學并非孤島，它與人類其它知識領域有著密切的聯系，在STEAM教育受到廣泛關注的今天，從HPM的視角開發(fā)跨學科教學案例，并探討其教學的成效，也將成為未來HPM的熱門課題之一．

第15屆國際數學教育大會將于2024年7月7—14日在澳大利亞悉尼舉行，期待更多的中國學者在ICME-15上展示中國數學教育的研究成果．

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Analysis of the Research Status of History and Pedagogy of Mathematics from an International Perspective——Research Summary of HPM in ICME-14

LIU Si-lu, WANG Xiao-qin

(College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

HPM research is an essential field of mathematics education research in the 21st century. Taking the relevant HPM reports, in the 14th International Congress on Mathematics Education held in Shanghai, China, in July 2021, as the summary object, through summarizing its overview and characteristics, it can be seen that the features of the reports include: focusing on the development of HPM theories, paying attention to the evaluation of integrating the history of mathematics into the mathematics classroom, and highlighting the history of mathematics with educational orientation.

HPM; ICME-14; international mathematics education

G40–03

A

1004–9894（2022）04–0098–05

劉思璐，汪曉勤．基于國際視角的數學史與數學教育研究現狀分析——ICME-14之HPM專題綜述[J]．數學教育學報，2022，31（4）：98-102．

2022–02–10

上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W重點研究基地之數學教育教學研究基地研究項目——數學課程與教學中落實立德樹人根本任務的研究（A8）

劉思璐（1995—），女，陜西咸陽人，博士生，主要從事數學史與數學教育研究．

[責任編校：周學智、陳雋]