李春雷于鳳來

數(shù)學(xué)理解水平的劃分

李春雷1，2，于鳳來3

（1．北京師范大學(xué) 教育學(xué)部，北京 100875；2．北京師范大學(xué)良鄉(xiāng)附屬中學(xué)，北京 102488；3．山東省莒縣閻莊街道中心初級中學(xué)，山東 日照 276535）

基于經(jīng)典的數(shù)學(xué)理解內(nèi)涵的闡釋以及已有各家理解水平的劃分，將學(xué)生數(shù)學(xué)理解劃分為工具性理解、關(guān)系性理解、創(chuàng)造性理解、文化性理解4個水平，并以均值不等式為典型案例，詳細解讀學(xué)生各數(shù)學(xué)理解水平的內(nèi)涵和表現(xiàn)形態(tài)．工具性理解水平的價值不能忽視．學(xué)生個體數(shù)學(xué)理解水平是發(fā)展變化的，學(xué)生間的數(shù)學(xué)理解水平是有差異的．在力所能及的范圍內(nèi)，鼓勵學(xué)生追根問底式地深層次學(xué)習(xí)，達到“關(guān)系理解”的水平；鼓勵學(xué)生對知識進行自我建構(gòu)，達到“創(chuàng)造性”理解水平；鼓勵學(xué)生在歷史文化、審美情趣、人文關(guān)懷中進行熏陶，達到“文化性理解”的水平．

數(shù)學(xué)理解；工具性理解；關(guān)系性理解；創(chuàng)造性理解；文化性理解

信息時代知識記憶、數(shù)據(jù)計算的大部分功能可以由計算機代替，人的核心競爭力主要體現(xiàn)在對核心問題的理解力、創(chuàng)新力方面．理解是教育的永恒追求，數(shù)學(xué)理解是國際數(shù)學(xué)教育的重要研究主題．有效的數(shù)學(xué)教學(xué)需要認(rèn)真致力于發(fā)展學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解[1]．基于經(jīng)典的數(shù)學(xué)理解內(nèi)涵的闡釋以及已有各家理解水平的劃分，將學(xué)生數(shù)學(xué)理解劃分為工具性理解、關(guān)系性理解、創(chuàng)造性理解、文化性理解4個水平，以核心數(shù)學(xué)知識均值不等式為典型案例，解讀各數(shù)學(xué)理解水平的內(nèi)涵．

1 數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵

1971年，英國數(shù)學(xué)教育家、心理學(xué)家斯根普指出，理解某事意味著將它同化成適當(dāng)?shù)膱D式，這說明理解具有主觀性[2]．新知識進入現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或者促進認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，學(xué)習(xí)者才能理解知識．希爾伯特和卡彭特將數(shù)學(xué)理解看作是表征數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)事實的內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果，如果數(shù)學(xué)的內(nèi)部表征成為個人內(nèi)部知識網(wǎng)絡(luò)的一部分，則數(shù)學(xué)被個人理解了；而如果數(shù)學(xué)知識和已有的網(wǎng)絡(luò)由更強或者更多的關(guān)系聯(lián)結(jié)著，則說明這個數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)事實或思想被人徹底地理解了[3]．1978年，格里諾認(rèn)為，數(shù)學(xué)理解是一個過程，代表某種概念的關(guān)系結(jié)構(gòu)能夠被理解[4]．1991年，皮瑞和基倫將數(shù)學(xué)理解當(dāng)作一種整體的、動態(tài)的、層次的、非線性的、超驗回歸的、內(nèi)在化的心理過程[5]．分析以上研究者對理解內(nèi)涵的剖析可知，盡管有人認(rèn)為理解是一種過程，有人認(rèn)為理解是一種結(jié)果，但有著共同之處或相似之處，“圖示”“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”“知識網(wǎng)絡(luò)”“關(guān)系”“聯(lián)結(jié)”“整體”成為了理解涵義的關(guān)鍵詞，都在于“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”狀態(tài)的描述．

西蒙將教師當(dāng)作數(shù)學(xué)理解的主體，認(rèn)為數(shù)學(xué)理解是指教師根據(jù)學(xué)生的行為經(jīng)驗建立一個連貫和具有潛在價值的組織，能將學(xué)生已有知識經(jīng)驗轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)能力[6]．梅耶基于學(xué)生的視角，認(rèn)為理解是學(xué)生創(chuàng)造性地利用呈現(xiàn)的信息去解決問題的能力[7]．?dāng)?shù)學(xué)理解的主體是教師還是學(xué)生，是教師對數(shù)學(xué)本體知識的理解，還是教師對學(xué)生數(shù)學(xué)理解的把握，或是學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解？這個問題必須要搞清楚．?dāng)?shù)學(xué)理解水平的劃分關(guān)注的是學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平的把握和判斷．

學(xué)生數(shù)學(xué)理解是指學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，知道數(shù)學(xué)概念、定理、公式、符號、思想方法、應(yīng)用、創(chuàng)造的真實樣態(tài)，知道所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)對象是什么、為什么、還能探究什么的一系列知識與技能．學(xué)生數(shù)學(xué)理解對象的核心是概念和關(guān)系．學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解是指知道數(shù)學(xué)概念的定義、內(nèi)涵（如概念的特征和性質(zhì)）、外延（如分類與分類標(biāo)準(zhǔn)）、來源的真實樣態(tài)．學(xué)生對關(guān)系的理解是指知道數(shù)學(xué)定理、法則、公式及其推導(dǎo)過程，知道數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系、隨機關(guān)系等數(shù)學(xué)研究對象之間相互關(guān)系的真實樣態(tài)．

2 數(shù)學(xué)理解的層次劃分

1976年，斯根普將理解分為工具性理解（instrumental understangding）和關(guān)系性理解（relational understanding）兩種模式[8]：前者是知道事物是什么，但不知為什么；后者是既知道事物是什么，也知道事物為何這樣，它揭示了數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程和邏輯規(guī)律，蘊含著一定的數(shù)學(xué)思想．1982年斯根普將數(shù)學(xué)理解又細分為工具性、關(guān)系性、邏輯性和符號性理解4種模式．

1978年，巴克斯頓將理解劃分為死記硬背（rote）、觀察（observational）、深刻理解（insightful）和邏輯理解（formal or logic understanding）4個水平[9]．

1982年，比格斯和科利斯描述的SOLO理論[10]，將學(xué)習(xí)者對某一個具體問題的反應(yīng)水平分為前結(jié)構(gòu)水平（prestructural）、單點結(jié)構(gòu)水平（unistructural）、多點結(jié)構(gòu)水平（multistructural）、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平（relational）、拓展抽象水平（extended abstract）5個不同的層次[11]（見圖1）．其中單點結(jié)構(gòu)、多點結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)依次表示學(xué)習(xí)者只知道一個相關(guān)方面、知道幾個相關(guān)方面、知道將幾個相關(guān)方面形成一個整體的結(jié)構(gòu)；最高理解水平為拓展抽象，代表學(xué)習(xí)者能夠調(diào)用頭腦或題目中的多個認(rèn)知素材，得到的結(jié)論或觀點具有高度概括性、抽象性、衍生性、新穎性．

圖1 SOLO分類理論的5種水平

1987年，格里諾和賴?yán)麑?shù)學(xué)原理劃分為3個逐漸復(fù)雜的理解水平：可以依據(jù)原則解決問題但缺乏對原則認(rèn)識的“遵從水平”，可以完成性能評估判斷性任務(wù)和應(yīng)用問題但只可意會不可言傳的“隱性理解水平”，能夠口頭陳述知識原則和程序結(jié)果的“顯性理解水平”[12]．

1988年，皮瑞—基倫建立的“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型[13]（圖2），將數(shù)學(xué)理解分為8個水平，分別為初步了解（primitive knowing）、產(chǎn)生表象（image making）、形成表象（image having）、關(guān)注性質(zhì)（property noticing）、形式化（formalizing）、觀察評述（observing）、組織結(jié)構(gòu)（structuring）和發(fā)明創(chuàng)造（inventing）．將“發(fā)明創(chuàng)造”作為理解的最高層次，用返回原處揭示數(shù)學(xué)理解的非單向性．

圖2 皮瑞—基倫理解模型

1998年，威金斯和麥克泰格指出，理解包括解釋（explanation）、釋義（interpretation）、運用（application）、洞察（perspective）、移情（empathy）和自知（self-knowledge）6個維度[14]．這種分類綜合了個體所展現(xiàn)的認(rèn)知理解、學(xué)習(xí)的遷移以及情感共鳴．

2006年，索耶強調(diào)了概念理解的重要性，指出在今天的知識經(jīng)濟時代，僅記憶事實性知識和程序性知識遠遠不夠，重要的是能對復(fù)雜概念形成深刻的概念性理解，并能基于這些理解生成新的觀點、新的理論、新的產(chǎn)品和新的知識[15]．

2012年，扎爾曼·尤西斯金在第12屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME12）上，發(fā)表了題為“什么是對數(shù)學(xué)的理解？”的研究報告，將數(shù)學(xué)理解劃分為算法技能、性質(zhì)證明、應(yīng)用情境、隱喻表征、歷史文化共5個維度[16]．

2009年，鞏子坤構(gòu)建了包括直觀理解、程序理解、抽象理解、形式理解的數(shù)學(xué)理解模型，認(rèn)為形式理解是基于邏輯推理，來證實運算結(jié)果的合理性[17]．2012年，徐彥輝認(rèn)為數(shù)學(xué)理解包括記憶性、解釋性、探究性3種方式[18]．2013年，匡金龍等將數(shù)學(xué)理解劃分為經(jīng)驗性、形式化、結(jié)構(gòu)化、文化性共4個理解層級[19]．2014年，王瑞霖等確立的數(shù)學(xué)理解層次結(jié)構(gòu)的理論模型，包括表象理解、解釋理解、建立聯(lián)系、思想運用和創(chuàng)造生成5個層次[20]．2018年，谷曉沛等將函數(shù)概念的理解水平確定為感知水平、釋義水平、關(guān)聯(lián)水平、抽象水平[21]．

從以上學(xué)者對數(shù)學(xué)理解的分析來看，數(shù)學(xué)理解水平是有層次之分或階段之分的，但分類標(biāo)準(zhǔn)的不同，語義內(nèi)涵的不同，導(dǎo)致分類結(jié)果的不同，也導(dǎo)致對學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)理解水平評價時，仁者見仁，智者見智．應(yīng)借鑒整合已有研究成果，尋找數(shù)學(xué)理解層級的字面語義與內(nèi)涵能夠較好統(tǒng)一、主體層級少而精、層級鑒別方法比較清晰的分類方法．

斯根普早期將數(shù)學(xué)理解分為“工具性理解”和“關(guān)系性理解”兩種模式；皮瑞—基倫建立的“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型中的最高層級為“發(fā)明創(chuàng)造”，不妨將其稱為“創(chuàng)造性理解”；匡金龍等將數(shù)學(xué)理解的最高層級認(rèn)定為“文化性理解”．將數(shù)學(xué)理解劃分為“工具性理解”“關(guān)系性理解”“創(chuàng)造性理解”“文化性理解”，能否較好統(tǒng)攝以上各家的分類方法？分析見表1．

2.1 “工具性理解”的統(tǒng)攝性

“工具”，人們能夠識別它，對外懂得它有什么用途，知道怎樣用，記住操作步驟就可以了，而不太關(guān)心它的內(nèi)部構(gòu)造．斯根普認(rèn)為“工具性理解”是知道事物是什么，但不知為什么，將“工具”一詞運用到“數(shù)學(xué)理解”的最低層次，語義上也達到了生產(chǎn)“工具”與數(shù)學(xué)問題解決“工具”內(nèi)在意蘊的吻合．學(xué)者們所劃分的“死記硬背”“觀察”“單點結(jié)構(gòu)”“遵從”“隱性理解”“初步了解”“產(chǎn)生表象”“形成表象”“關(guān)注性質(zhì)”“記憶事實性知識和程序性知識”“算法技能”“符號性””“直觀理解、程序理解”“記憶性”“經(jīng)驗性理解”“表象理解”“感知”水平，都能被較好地統(tǒng)攝到“工具性理解”水平．

2.2 “關(guān)系性理解”的統(tǒng)攝性

“關(guān)系”，代表至少兩個事物之間具有的聯(lián)系，而不是事物孤立的存在．斯根普認(rèn)為“關(guān)系性理解”既知道事物是什么，也知道事物為何這樣．斯根普后來細分的“邏輯性”水平和其他學(xué)者劃分的“深刻理解”“邏輯理解”“多點結(jié)構(gòu)”“顯性理解”“形式化”“觀察評述”“結(jié)構(gòu)化”“解釋”“釋義”“性質(zhì)證明”“組織結(jié)構(gòu)理解”“建立聯(lián)系”“思想運用”水平，都能被較好地統(tǒng)攝到“關(guān)系性理解”水平．

2.3 “創(chuàng)造性理解”的統(tǒng)攝性

創(chuàng)造性、創(chuàng)新性反映了從無到有、從有到新的過程．學(xué)者們劃分的“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”“拓展抽象”“發(fā)明創(chuàng)造”“運用”“洞察”“自知”“生成新的觀點、新的理論、新的產(chǎn)品和新的知識”“應(yīng)用情境”“隱喻表征”“抽象理解”“探究性”“創(chuàng)造生成”“關(guān)聯(lián)”水平，都能被較好地統(tǒng)攝到“創(chuàng)造性理解”水平，代表學(xué)習(xí)者發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)對象間的不易被察覺到的關(guān)系，建立了研究對象的遠距離聯(lián)系，能將所獲得的數(shù)學(xué)結(jié)論進一步推廣到更大領(lǐng)域，面對種種不確定性和非連貫性能夠自發(fā)地創(chuàng)造．

2.4 “文化性理解”的統(tǒng)攝性

數(shù)學(xué)不僅蘊藏著強大的理性精神，也彰顯著巨大的人文情懷．扎爾曼·尤西斯金劃分的最后一個維度“歷史文化”水平，威金斯和麥克泰格劃分的“移情”水平，都能被較好地統(tǒng)攝到“文化性理解”水平．移情是指一種能深入體會他人的情感和觀點的能力，促使學(xué)習(xí)者能夠從多個角度思考問題，開闊胸襟．

綜上所述，“工具性理解”注重的是數(shù)學(xué)結(jié)論的事實性及其簡單應(yīng)用性，“關(guān)系性理解”注重的是數(shù)學(xué)知識獲得的過程性及其結(jié)構(gòu)性，“創(chuàng)造性理解”注重的是數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性及其擴展性，“文化性理解”注重的是數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史性和人文性．因而可將學(xué)生“數(shù)學(xué)理解”的水平從時空上劃分為“工具性理解”“關(guān)系性理解”“創(chuàng)造性理解”“文化性理解”4個水平．前3者是從空間維度闡釋數(shù)學(xué)理解的由淺到深、逐漸復(fù)雜的層次水平，最后者是從時間維度、歷史角度、精神層面、審美情趣視角闡釋數(shù)學(xué)理解的層次水平．

表1 新的數(shù)學(xué)理解水平劃分對已有觀點的統(tǒng)攝對照

3 案例解讀學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平的層次劃分

3.1 工具性理解水平

工具性理解表現(xiàn)為“知其然，不知其所以然”．工具性理解水平的學(xué)生，知道符號所指代事物的意義，或是一種程序性的關(guān)于規(guī)則如何操作．工具性理解涉及的知識較少，短期內(nèi)有作用，但長期內(nèi)作用有限；需要記住數(shù)學(xué)知識，加重了記憶負擔(dān)．工具性理解水平有以下表現(xiàn)形態(tài)．

理解事實性知識是什么．學(xué)生知曉數(shù)學(xué)研究對象的定義和規(guī)律，即對數(shù)學(xué)概念、理論、思想以及觀點等了解，但未能完全認(rèn)識，乃是一種機械記憶．如學(xué)生知道兩個正數(shù)的算術(shù)平均值、幾何平均值的概念，知道均值不等式的文字表征：“兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值．”

理解知識屬性是什么．學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，基于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，能梳理、歸納、概括事物的某些特征與規(guī)律，知道一些屬性，能夠描述其意義，具有鮮明的個性化特征．如學(xué)生知道均值不等式是一個絕對不等式．

理解知識的功能是什么．學(xué)生能夠說明其作用，簡單初步使用該對象的某些性質(zhì)，解決一些封閉性數(shù)學(xué)問題．如學(xué)生見到問題：“對于均值不等式，它有什么用？你想一想可以研究哪些問題？”能夠回答出均值不等式可應(yīng)用于大小的比較、求函數(shù)的最值以及值域、求解參數(shù)的取值范圍等．

理解操作程序是什么．學(xué)生將問題解決算法化，能夠按規(guī)則運算，依照固定的模式獲得正確答案．精確的計算和對各種題型的熟練把握似乎成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主旋律，對問題的反應(yīng)常常停留在死記硬背操作步驟的層次，不明白為什么要采取這樣的順序．如學(xué)生知道均值不等式求最值的程序為“一正二定三相等”，并且能夠熟練操作，但是不清楚順序調(diào)整將會出現(xiàn)哪些問題．

3.2 關(guān)系性理解水平

關(guān)系性理解表現(xiàn)為“不僅知其然，還知其所以然”．關(guān)系性理解水平的學(xué)生，能夠?qū)?shù)學(xué)定理、原理、規(guī)則進行邏輯分析或證明，將數(shù)學(xué)知識的形成和論證提升為數(shù)學(xué)思想方法層面，與周圍知識進行邏輯聯(lián)結(jié)，將知道的一系列的數(shù)學(xué)事實構(gòu)建成知識體系和模型，關(guān)系圖式是一種高質(zhì)量的關(guān)系組織形式．關(guān)系性理解減少了記憶負擔(dān)，過濾了頭腦中無效的信息，適應(yīng)新任務(wù)的能力更強，記憶更長久．關(guān)系性理解水平有以下表現(xiàn)形態(tài)．

理解證明的過程．學(xué)生知道為何一個數(shù)學(xué)陳述是正確的或者某個數(shù)學(xué)規(guī)則來自哪里，能夠邏輯證明數(shù)學(xué)結(jié)論的嚴(yán)密性、正確性．例如對于問題：“想一想均值不等式可以用哪些方法證明？”學(xué)生能夠給出均值不等式的綜合法、比較法、反證法、分析法等證明方法，表明理解了這一不等式成立的根據(jù)．

理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的深化與發(fā)展．學(xué)生知道新觀念能夠與哪些已有結(jié)構(gòu)可以融合，將事物按照最簡潔、最規(guī)則、最協(xié)調(diào)、最具聯(lián)系的方式進行組織．從宏觀上來看，結(jié)構(gòu)是各要素之間協(xié)調(diào)與綜合關(guān)系的組成模式；從微觀來看，結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為知識間的聯(lián)系與層次遞進；從發(fā)展觀來看，學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)和心理結(jié)構(gòu)是不斷深化的．如在均值不等式的學(xué)習(xí)中，學(xué)生知道在概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，增添了3個新成員，即算術(shù)平均值、幾何平均值、均值不等式；在運算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，算術(shù)平均值是加、除的運算結(jié)果，幾何平均值是乘積、開方的運算結(jié)果；在數(shù)列結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，算術(shù)平均值、幾何平均值分別是兩個正數(shù)的等差中項、正的等比中項；在大小的順序結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，不等號體現(xiàn)算術(shù)平均值、幾何平均值內(nèi)在必然的大小關(guān)系；在等價結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，“當(dāng)且僅當(dāng)”條件就是一種等價關(guān)系，“大于或等于”又可以等價表征為“不小于”；在數(shù)學(xué)思想結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，化歸思想、解方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想對于均值不等式的研究至關(guān)重要；在數(shù)學(xué)工具結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，比較兩個數(shù)或式的大小、求函數(shù)的最值或值域問題，又增添了一個工具“均值不等式法”；在不等式結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，均值不等式是絕對不等式，而不是解不等式等．

3.3 創(chuàng)造性理解水平

創(chuàng)造性理解表現(xiàn)為“不僅知其然、知其所以然，還能知新的‘然’‘所以然’”．創(chuàng)造性理解水平的學(xué)生，能夠?qū)?shù)學(xué)觀念運用于變式狀態(tài)下的數(shù)學(xué)情境，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象之間的遠距離關(guān)聯(lián)，提出新問題，進行新猜想，在新的情境中舉一反三，解決一些復(fù)雜的問題，對數(shù)學(xué)知識提出改革建議．創(chuàng)造性理解是超越關(guān)系理解的更高級的理解，具有創(chuàng)新的特征．創(chuàng)造性理解水平有以下表現(xiàn)形態(tài)．

理解數(shù)學(xué)拓展抽象的意義．學(xué)生能夠以已有知識、經(jīng)驗或體驗為基礎(chǔ)，獲取新的知識、經(jīng)驗或體驗，自我認(rèn)識、自我反思、自我完善、自我超越、自我創(chuàng)造，成為思考者、發(fā)現(xiàn)者、發(fā)明者、創(chuàng)新者．學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果，除了獲得知識和技能外，還有長時間積累后形成的創(chuàng)新思維模式，達到孔子所說的“從心所欲不逾矩”的境界．如“你能類比兩個數(shù)的均值不等式，猜測出3個、4個等更多數(shù)的均值不等式嗎？”學(xué)生能夠遵循數(shù)學(xué)知識發(fā)展的內(nèi)在邏輯，擴充均值不等式的維度，升華為個正數(shù)的均值不等式．

理解數(shù)學(xué)在實踐中的應(yīng)用．學(xué)生能夠?qū)F(xiàn)實中的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的循環(huán)中不斷生成和重構(gòu)知識．?dāng)?shù)學(xué)源于現(xiàn)實、寓于現(xiàn)實并應(yīng)用于現(xiàn)實，應(yīng)用化的精神是數(shù)學(xué)的生命，根植于現(xiàn)實中的數(shù)學(xué)充滿著生機活力．如“我們生活中哪些最值問題可以用均值不等來處理？”機器人興趣小組組長張玉瓊（化名）以建機器人場地為背景提出真實的研究問題：“要在科技活動室用屏風(fēng)圍出一個矩形機器人活動場地．（1）若矩形場地的面積為6.25 m2，問這個矩形的長和寬各為多少時，所用屏風(fēng)最少？最少要購買屏風(fēng)長多少米？（2）現(xiàn)有屏風(fēng)長為10 m，問這個矩形活動場地的長和寬各為多少米時，屏風(fēng)圍成活動場地的面積最大？最大面積是多少平方米？”此問題來源于校園真實科技生活，學(xué)生能夠很快進入研究角色．教育家蘇霍姆林斯基說：“智慧出在人的手指尖上，實踐操作不僅僅是身體的動作，而且是與大腦的思維活動緊密聯(lián)系著的．”[22]解決活動場地中的數(shù)學(xué)最值問題，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新熱情．

3.4 文化性理解水平

文化性理解水平的學(xué)生，能夠理解數(shù)學(xué)史對觀念、精神、思維方式等產(chǎn)生的影響，受到數(shù)學(xué)家優(yōu)秀品格的熏陶，進行數(shù)學(xué)文化的欣賞，在追求數(shù)學(xué)美的過程中來加深對數(shù)學(xué)的理解．阿恩海姆指出，一旦達到了對某一范式最簡單的理解，它就會顯得更穩(wěn)定、有更多意義、更容易掌握．具有秩序、統(tǒng)一的事物更符合知覺簡化性傾向，更易于使人產(chǎn)生審美體驗[23]．狄德羅曾指出，數(shù)學(xué)中所謂美的問題，是指一個難于解決的問題，所謂美的解答，是指一個對于困難復(fù)雜問題的簡易解答[24]．文化性理解水平有以下表現(xiàn)形態(tài)．

理解數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的脈絡(luò)．學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念、定理與歷史上哪些大事件、關(guān)鍵人物相關(guān)，能夠說數(shù)學(xué)故事，提煉故事中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，挖掘故事中孕育的數(shù)學(xué)精神，注入數(shù)學(xué)文化意義．如學(xué)生知道第24屆國際數(shù)學(xué)家大會2002年在北京國際會議中心隆重舉行，會標(biāo)是以三國時期吳國數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的，趙爽的弦圖不僅能夠證明勾股定理，還能夠探究得到均值不等式．

理解數(shù)學(xué)的人文價值．學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念、定理蘊藏的德育價值、人文關(guān)懷．如關(guān)于均值不等式中等號何時取，學(xué)生能用自己父母年齡做實例加以說明．當(dāng)父母年齡恰好相同時取等號，當(dāng)父母年齡不同時取絕對不等號，這說明學(xué)生關(guān)注父母的年齡和生日，有很好的教育意義．

4 數(shù)學(xué)理解層次劃分的反思

學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平劃分還可做進一步探討．為便于操作，采用了工具性理解、關(guān)系性理解、創(chuàng)造性理解、文化性理解4個水平的劃分方法．工具性理解、關(guān)系性理解、創(chuàng)造性理解水平是逐步提高的，這三者主要體現(xiàn)在學(xué)生認(rèn)知領(lǐng)域的遞進關(guān)系．而文化性理解水平主要是體現(xiàn)在情感、態(tài)度、審美、意志、價值觀領(lǐng)域，是不可或缺的一種理解水平．事實上，可以將學(xué)生數(shù)學(xué)理解的水平劃分為兩個維度，即認(rèn)知維度的數(shù)學(xué)理解水平、情感維度的數(shù)學(xué)理解水平，在它們的交叉點做更加深入的研究．

學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平是發(fā)展變化的、有差異的．?dāng)?shù)學(xué)概念的形成和關(guān)系的建立具有層次性，因而數(shù)學(xué)理解不是一蹴而就的，具有動態(tài)性、階段性、漸進性等特征．要接受學(xué)生數(shù)學(xué)理解的差異性，讓學(xué)生在突破自我中努力達到自己潛在的最高理解水平．在力所能及的范圍內(nèi)，鼓勵學(xué)生追根問底式的深層次學(xué)習(xí)，摒棄浮光掠影式的表層次學(xué)習(xí)，達到“關(guān)系理解”的水平；鼓勵學(xué)生對知識的自我建構(gòu)，達到“創(chuàng)造性”理解水平；鼓勵學(xué)生在數(shù)學(xué)的歷史文化中進行熏陶，達到“文化性理解”的水平．

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The Division of the Level of Mathematical Understanding

LI Chun-lei1, 2, YU Feng-lai3

(1. Faculty of Education, Beijing Normal University, Beijing 100875, China；2. Liang Xiang High School Affiliated to Beijing Normal University, Beijing 102488, China;3. Yanzhuang Street Central Junior Middle School of Ju County, Shandong Rizhao 276535, China)

Based on the interpretation of the connotation of classical mathematical understanding and the division of existing understanding levels, students’ mathematical understanding is divided into four levels: instrumental understanding, relational understanding, creative understanding and cultural understanding. Taking the mean value inequality as a typical case, this paper interprets the connotation and manifestation of students’ various levels of mathematical understanding in detail.The value of the level of instrumental understanding cannot be ignored. The level of students' individual mathematical understanding is developing and changing, and the level of students’ mutual mathematical understanding is different. Within the scope of the ability, students are encourage to pursue in-depth learning, to achieve the level of “relational understanding”. Students are encouraged to self-construct knowledge and to achieve the “creative understanding” level; they are encouraged to be nurtured in history and culture, aesthetic taste and humanistic care, so as to reach the level of “cultural understanding”.

mathematical understanding; instrumental understanding; relational understanding; creative understanding; cultural understanding

2022–04–09

北京市教育學(xué)會“十四五”教育科研課題——基于高階能力培養(yǎng)的大單元教學(xué)課程設(shè)計研究（FSYB2021-002）

李春雷（1967—），男，河北香河人，正高級教師，博士，主要從事數(shù)學(xué)教育和學(xué)生創(chuàng)新能力發(fā)展研究．

G447

A

1004–9894（2022）04–0068–06

李春雷，于鳳來．?dāng)?shù)學(xué)理解水平的劃分[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2022，31（4）：68–73．

[責(zé)任編校：陳雋、陳漢君]