羅仕杭，何 慶

(貴州大學(xué)大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽550025)

現(xiàn)實(shí)世界優(yōu)化問題的復(fù)雜性和難度不斷增加，呈現(xiàn)出強(qiáng)約束、計(jì)算時(shí)間長、非凸性、搜索空間廣等特征[1]，這使得優(yōu)化問題的解決更具挑戰(zhàn)性。 受自然界生物群體進(jìn)化機(jī)制、群體社會(huì)行為規(guī)律以及自然現(xiàn)象規(guī)律的啟發(fā)，許多元啟發(fā)式優(yōu)化算法相繼被提出，如阿基米德優(yōu)化算法(Archimedes Optimization Algorithm，AOA)[2]、被囊群算法(Tunicate Swarm Algorithm， TSA)[3]、 天 鷹 座 優(yōu) 化 算 法( Aquila Optimization Algorithm，AO)[4]、哈里斯鷹算法(Harris Hawks Optimization，HHO)[5]。 由于元啟發(fā)式算法無梯度機(jī)制、控制參數(shù)少且具有較高的局部最優(yōu)規(guī)避能力，因此可以很好地求解這些復(fù)雜的優(yōu)化問題。

黑猩猩優(yōu)化算法(Chimp Optimization Algorithm)是Khishe 等人[6]于2020年提出的一種新型元啟發(fā)式優(yōu)化算法，其靈感來源于黑猩猩種群的等級制度和狩獵行為，用數(shù)學(xué)模型模擬黑猩猩種群通過驅(qū)趕、追逐、攻擊等過程達(dá)到最優(yōu)捕食的行為。 ChOA 具有原理簡單、需要調(diào)節(jié)參數(shù)少、易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。 然而，與經(jīng)典粒子群算法等群智能算法相似，ChOA 也存在收斂速度慢、尋優(yōu)精度低和易陷入局部極值等不足，尤其對于復(fù)雜的多局部極值的高維優(yōu)化問題。

為此，國內(nèi)外學(xué)者對該算法進(jìn)行了改進(jìn):He等[7]利用高破壞性的多項(xiàng)式突變初始化種群，為算法全局搜索奠定基礎(chǔ)；Mandeep 等[8]將正余弦函數(shù)應(yīng)用到黑猩猩種群的四個(gè)個(gè)體位置更新處，提高算法的收斂速度和尋優(yōu)精度；Dhiman 等[9]提出了一種混合正余弦算法和斑點(diǎn)鬣狗算法的改進(jìn)黑猩猩優(yōu)化算法，改善了黑猩猩優(yōu)化算法收斂速度慢和易陷入局部極值等缺陷；黃倩等[10]采用單純形法和群個(gè)體記憶機(jī)制對較差個(gè)體進(jìn)行改進(jìn)，優(yōu)化種群的位置更新方式，使算法的尋優(yōu)性能得到提升。 上述文獻(xiàn)對黑猩猩優(yōu)化算法的改進(jìn)在一定程度上提高了算法的收斂精度，降低算法陷入局部極小值的概率，但算法的尋優(yōu)精度、穩(wěn)定性、平衡全局搜索和局部開發(fā)能力等方面仍有待提高。

針對黑猩猩優(yōu)化算法的局限性，本文提出融合折射學(xué)習(xí)和改進(jìn)天牛須搜索的黑猩猩優(yōu)化算法(BCRChOA)。 首先，由于天牛須搜索算法在無需確定函數(shù)具體形式和梯度信息等情況下具有高效尋優(yōu)的特點(diǎn)，同時(shí)為了增強(qiáng)天牛須算法的搜索能力和搜索效率，本文利用Levy 飛行機(jī)制搜索方向和步長的不確定性將天牛須搜索的固定步長改為動(dòng)態(tài)步長，提高其在搜索空間內(nèi)進(jìn)行深度全局探索的能力，并將其應(yīng)用到黑猩猩優(yōu)化算法的全局搜索階段，有效地提升黑猩猩優(yōu)化算法的搜索性能；其次，根據(jù)種群平均適應(yīng)度將種群分為兩個(gè)組，分別引入不同權(quán)值策略。 當(dāng)個(gè)體的適應(yīng)度小于種群的平均適應(yīng)度，引入一個(gè)較小的慣性權(quán)值，加速算法收斂；反之，利用云模型的云滴具有隨機(jī)性和穩(wěn)定傾向性的特點(diǎn)，將云模型引入動(dòng)態(tài)權(quán)值，形成云自適應(yīng)動(dòng)態(tài)權(quán)值，拓寬算法的搜索空間，引導(dǎo)種群向全局最優(yōu)區(qū)域靠攏，達(dá)到平衡算法全局搜索和局部開發(fā)的能力；最后，引入基于折射定律的反向?qū)W習(xí)策略，在保持種群多樣性的同時(shí)降低算法陷入局部最優(yōu)的概率。

通過三類共10 個(gè)基準(zhǔn)測試函數(shù)、部分CEC2014函數(shù)以及1 個(gè)工程優(yōu)化案例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明BCRChOA 相比于標(biāo)準(zhǔn)ChOA 能在一定程度上有效地幫助算法跳出局部最優(yōu)，并且提高了標(biāo)準(zhǔn)ChOA 的收斂速度、求解精度、魯棒性等性能，同時(shí)驗(yàn)證其在實(shí)際工程問題中的適用性和可行性。

1 黑猩猩優(yōu)化算法

ChOA 是根據(jù)自然界中黑猩猩的狩獵行為而衍生出的一種優(yōu)化算法，黑猩猩根據(jù)勞動(dòng)分工執(zhí)行不同的行動(dòng)尋找獵物。 標(biāo)準(zhǔn)的ChOA 將黑猩猩分為四種類型:攻擊者、障礙者、驅(qū)趕者和追逐者，其中攻擊者在狩獵過程中扮演引導(dǎo)種群的重要的角色，其他三類黑猩猩負(fù)責(zé)協(xié)助攻擊者捕獲獵物，其社會(huì)地位依次下降。

黑猩猩包圍獵物的數(shù)學(xué)模型如式(1)所示:

式中:Xprey為獵物的位置向量，Xchimp為當(dāng)前黑猩猩個(gè)體的位置向量，t表示當(dāng)前迭代次數(shù)，A、m、C為系數(shù)向量，其數(shù)學(xué)模型如式(2)～式(4)所示:

式中:r1和r2分別為取值[0，1]的隨機(jī)向量；f為收斂因子，其值隨迭代次數(shù)增加從2.5 線性遞減到0，tmax表示最大迭代次數(shù)；A是決定黑猩猩與獵物距離的隨機(jī)向量，其值為[-f，f]之間的隨機(jī)數(shù)；m為混沌映射矢量，代表性動(dòng)機(jī)對黑猩猩個(gè)體位置影響；C控制著獵物位置對黑猩猩個(gè)體位置的影響，其值為[0，2]之間的隨機(jī)數(shù)。

黑猩猩攻擊獵物的數(shù)學(xué)模型如式(6)～式(9)所示:

式中:Xattacker、Xbarrier、Xchaser、Xdriver分別表示攻擊者、障礙者、追逐者和驅(qū)趕者的位置向量，X(t＋1)表示黑猩猩更新后的位置向量。

2 融合折射學(xué)習(xí)和改進(jìn)天牛須搜索的黑猩猩優(yōu)化算法

2.1 Levy 飛行機(jī)制改進(jìn)的天牛須搜索算法

天牛須搜索算法是Jiang 等人[11]通過模擬天牛的覓食行為而提出的一種元啟發(fā)式算法。 天牛使用它的兩根觸角感知食物氣味最強(qiáng)烈的區(qū)域以達(dá)到覓食的目的。 天牛須搜索算法中天牛在每次迭代中頭的朝向根據(jù)隨機(jī)方向進(jìn)行移動(dòng)。 類似于天牛須搜索算法，黑猩猩優(yōu)化算法中的領(lǐng)導(dǎo)者個(gè)體“攻擊者”可以根據(jù)它的雙耳聽覺確定與獵物的距離，利用左右耳不同位置的聲音判斷是否更新其相對于獵物的位置。 在這個(gè)策略中，“攻擊者”個(gè)體獲得聽覺能力，擴(kuò)大對獵物的搜索范圍，同時(shí)圍繞最優(yōu)解加強(qiáng)后續(xù)的種群迭代，從而提高了算法的全局搜索能力。 天牛須算法實(shí)現(xiàn)過程如下:

(1)對搜索方向進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，數(shù)學(xué)模型如式(11)所示:

式中:dir 表示方向向量，random(d，1)表示生成空間維度為d的隨機(jī)向量。

(2)基于“攻擊者”個(gè)體的聽力，探索左右區(qū)域的數(shù)學(xué)模型如式(12)所示:

式中:Xattacker(t)表示“攻擊者”個(gè)體在第t次迭代的原始位置向量表示“攻擊者”個(gè)體在第t次迭代向左區(qū)域搜索后的位置向量表示“攻擊者”個(gè)體在第t次迭代向右區(qū)域搜索后的位置向量；η(t)表示第t次迭代黑猩猩聽力感知直徑。

(3)基于搜索行為和聽力檢測，“攻擊者”個(gè)體的新位置如式(13)所示:

式中:s(t)是移動(dòng)步長；f(X)是計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度值；sign 函數(shù)用來確定“攻擊者”個(gè)體移動(dòng)后的搜索方向，若向右區(qū)域搜索適應(yīng)度較大，則sign 函數(shù)取1，“攻擊者”繼續(xù)向右區(qū)域前進(jìn)，反之，向左區(qū)域移動(dòng)。 在標(biāo)準(zhǔn)天牛須搜索算法中，搜索移動(dòng)s(t)一般取0.95 隨迭代次數(shù)線性遞減，在一次迭代過程中只搜索隨機(jī)方向的某一位置，同時(shí)由式(13)可知，“攻擊者”的位置和步長會(huì)隨每一次迭代目標(biāo)函數(shù)的變化而更新，固定步長會(huì)使得“攻擊者”探索范圍受到限制，不利于算法在更大范圍進(jìn)行探索，可能導(dǎo)致算法搜索能力減弱。

因此，為增強(qiáng)“攻擊者”的搜索效率和搜索能力，本文用Levy 飛行機(jī)制的隨機(jī)步長替換天牛須搜索算法中的固定步長，結(jié)合長距離跳躍和短距離游走的交替變化，不僅提高“攻擊者”在廣闊區(qū)域狩獵時(shí)搜索方向的多樣性，而且保證了“攻擊者”在最優(yōu)區(qū)域進(jìn)行精細(xì)搜索，極大程度地提高了算法的全局搜索能力。 圖1 是步長為1000 的Levy 飛行隨機(jī)游走軌跡圖，如圖1 所示，Levy 飛行因短距離游走和長距離跳躍相互穿梭，產(chǎn)生的隨機(jī)步長大小和方向是不確定的，實(shí)現(xiàn)了對求解域的充分搜索。 將Levy飛行機(jī)制引入式(13)后，“攻擊者”個(gè)體位置更新如式(14)所示:

圖1 1000 步長Levy 飛行隨機(jī)游走軌跡圖

式中:Levy 飛行的隨機(jī)步長Levy(λ)由式(15)計(jì)算:

2.2 云自適應(yīng)動(dòng)態(tài)權(quán)值

云模型是一個(gè)服從正態(tài)分布規(guī)律、具有穩(wěn)定傾向性的隨機(jī)數(shù)集，由期望值Ex、熵En、超熵He三個(gè)數(shù)字特征表示。 期望值Ex表示云滴在論域空間分布的期望，反映云滴重心位置；熵En表示定性概念的不確定性度量，用來度量定性概念的模糊度和概率，揭示模糊性和隨機(jī)性的關(guān)聯(lián)；超熵He是熵的不確定性度量，反映組成云模型的云滴離散程度[12]。 本文采用X-條件云生成器，輸入數(shù)學(xué)期望值Ex、熵En和超熵He，則一維X-條件云滴輸出如式(16)所示:

式中:E′n為服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，En為數(shù)學(xué)期望，He為標(biāo)準(zhǔn)差。

本文將云模型引入動(dòng)態(tài)權(quán)值，形成云自適應(yīng)動(dòng)態(tài)權(quán)值，具體實(shí)現(xiàn)過程如下:首先，計(jì)算出所有個(gè)體適應(yīng)度的平均值，然后根據(jù)每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值將種群分為兩個(gè)子群，采用不同的權(quán)值策略分別優(yōu)化兩個(gè)子群。

(1)當(dāng)個(gè)體適應(yīng)度優(yōu)于平均適應(yīng)度時(shí)，則該子群為種群中較優(yōu)的個(gè)體，接近當(dāng)前最優(yōu)解，采用較小的慣性權(quán)值ω1=0.4 加快算法的收斂速度。 將慣性權(quán)值引入“攻擊者”個(gè)體位置更新處，其數(shù)學(xué)模型如式(17)所示:

(2)當(dāng)個(gè)體適應(yīng)度劣于平均適應(yīng)度時(shí)，則這個(gè)子群為種群中較差的個(gè)體，采用基于云模型的動(dòng)態(tài)權(quán)值對個(gè)體進(jìn)行非線性調(diào)整。 云自適應(yīng)動(dòng)態(tài)權(quán)值的數(shù)學(xué)模型如式(17)～式(18)所示:

式中:c1和c2為控制參數(shù)，其值分別為3 和10；fi為種群的適應(yīng)度值。 將云自適應(yīng)動(dòng)態(tài)權(quán)值加入“攻擊者”個(gè)體位置更新處，其數(shù)學(xué)模型如式(20)所示:

在本文中，利用云模型具有隨機(jī)性和穩(wěn)定性傾向的特點(diǎn)生成云滴，然后計(jì)算云自適應(yīng)動(dòng)態(tài)權(quán)值。從式(20)可知，ω2的值隨適應(yīng)度的增加不斷增大。當(dāng)個(gè)體適應(yīng)度較差時(shí)，不利于算法在解空間內(nèi)進(jìn)行覆蓋性搜索，較大的動(dòng)態(tài)權(quán)值具備較強(qiáng)的探索能力，引導(dǎo)算法在更廣闊的區(qū)域進(jìn)行搜索；反之，當(dāng)個(gè)體的適應(yīng)度值較好時(shí)，較小的慣性權(quán)值有助于算法專注于在已探索的區(qū)域進(jìn)行精細(xì)搜索，實(shí)現(xiàn)算法全局勘探和局部開采能力的平衡。

2.3 基于折射定律的反向?qū)W習(xí)策略

由式(6)～式(9)可知，種群中其他黑猩猩個(gè)體位置由“攻擊者”“障礙者”“驅(qū)趕者”和“追逐者”四個(gè)決策個(gè)體共同決定，當(dāng)其他黑猩猩個(gè)體察覺到四個(gè)決策個(gè)體搜索到更好的獵物時(shí)會(huì)涌入到其周圍的搜索區(qū)域，導(dǎo)致種群的多樣性減少，從而使算法陷入局部最優(yōu)。 為解決這一問題，本文提出一種基于折射定律的反向?qū)W習(xí)策略，計(jì)算候選解的反向解，選擇較好的解繼續(xù)迭代計(jì)算，增強(qiáng)算法的多樣性，幫助算法跳出局部極值空間。

如圖2 可知，O是[a，b]的中心點(diǎn)，全局最優(yōu)個(gè)體X以O(shè)為中心點(diǎn)找到其對應(yīng)的反向個(gè)體X′，則根據(jù)折射定律可以得出:

圖2 一維空間折射反向?qū)W習(xí)示意圖

設(shè)縮放因子φ=h/h′，對式(21)進(jìn)行推導(dǎo)得到反向個(gè)體X′的數(shù)學(xué)模型，如式(22)所示:

將式(22)擴(kuò)展到n維空間可得:

式中:ubj和lbj分別表示上界的第j維向量和下界的第j維向量；Xj和X′j分別表示X和X′的第j維向量。 通過對種群中最優(yōu)解進(jìn)行折射反向?qū)W習(xí)，將各維度值映射到解空間得到反向解，不僅避免各維度之間的干擾，而且擴(kuò)大算法的搜索范圍。

雖然基于折射定律的反向?qū)W習(xí)策略能夠提高算法的求解精度，在很大程度上幫助算法跳出局部最優(yōu)，但是無法直接判斷產(chǎn)生的新個(gè)體位置是否優(yōu)于原始個(gè)體位置。 因此，采用貪婪策略比較新舊個(gè)體適應(yīng)度值，再?zèng)Q定是否更新個(gè)體位置，通過這種方式不斷將更優(yōu)解加入迭代計(jì)算，從而提升算法的尋優(yōu)性能。 貪婪策略的數(shù)學(xué)模型如式(24)所示:

2.4 BCRChOA 算法實(shí)現(xiàn)步驟

綜上改進(jìn)策略，BCRChOA 執(zhí)行步驟如下:

2.5 BCRChOA 的時(shí)間復(fù)雜度分析

BCRChOA 的時(shí)間復(fù)雜度主要由Levy 飛行機(jī)制改進(jìn)的天牛須搜索算法、云自適應(yīng)動(dòng)態(tài)權(quán)值、基于折射定律的反向?qū)W習(xí)策略組成。 設(shè)BCRChOA 的種群規(guī)模為N，搜索空間維度為d，最大迭代次數(shù)為T，則標(biāo)準(zhǔn)BCRChOA 的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×d×T)。

(1)Levy 飛行機(jī)制改進(jìn)的天牛須搜索算法:“攻擊者”個(gè)體向右區(qū)域搜索所需時(shí)間為t1，向左區(qū)域搜索所需時(shí)間為t2，產(chǎn)生Levy 飛行隨機(jī)步長所需時(shí)間為t3，每一次按照式(14)更新“攻擊者”位置所需時(shí)間為t4，所以Levy 飛行機(jī)制改進(jìn)的天牛須算法的時(shí)間復(fù)雜度為O[N×d×T×t4＋(t1＋t2＋t3)]=O(N×d×T)；

(2)云自適應(yīng)動(dòng)態(tài)權(quán)值:采用X-條件云生成器，輸入數(shù)學(xué)期望值Ex、熵En和超熵He所需時(shí)間為t5，則引入云自適應(yīng)動(dòng)態(tài)權(quán)值的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×d×T＋t5)=O(N×d×T)；

(3)基于折射定律的反向?qū)W習(xí)策略:執(zhí)行折射定律的反向?qū)W習(xí)所需時(shí)間為t6，利用貪婪策略比較新舊個(gè)體適應(yīng)度所需時(shí)間為t7，保留最優(yōu)位置時(shí)間為t8，每一維按照式(22)更新個(gè)體位置所需時(shí)間為t9，則基于折射定律的反向?qū)W習(xí)策略所需時(shí)間為O[N×d×T×(t7＋t9)＋(t6＋t8)]=O(N×d×T)。

因此，BCRChOA 的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×d×T)＋O(N×d×T)＋O(N×d×T)=O(N×d×T)。

綜上所述，BCRChOA 的時(shí)間復(fù)雜度與ChOA 一致，本文針對標(biāo)準(zhǔn)ChOA 的缺陷所提出的改進(jìn)策略沒有增加算法時(shí)間復(fù)雜度。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和參數(shù)設(shè)置

仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境設(shè)置為64 位Windows 10 操作系統(tǒng)，CPU 為Intel(R) Core(TM) i5-7500，主頻為3.4 GHz，內(nèi)存為8 GB，編程軟件為MATLAB R2021a。

本文挑選10 個(gè)具有不同特征的基準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，選取的測試函數(shù)分為三類:第一類為單模態(tài)測試函數(shù)f1～f4，用來評價(jià)算法的尋優(yōu)精度和收斂速度，第二類為多模態(tài)測試函數(shù)f5～f8，用來測試算法的探索能力和跳出局部最優(yōu)的能力，第三類為固定多模態(tài)測試函數(shù)f9～f10，用來評價(jià)算法的綜合能力，具體信息如表1 所示。 本文選取最新的元啟發(fā)式算法—天鷹座優(yōu)化算法(AO)、被囊群算法(TSA)、阿基米德優(yōu)化算法(AOA)、哈里斯鷹算法(HHO)以及最新改進(jìn)的哈里斯鷹算法(EGHHO)[13]、黑猩猩優(yōu)化算法(EChOA、SChoA、EOSMICOA)進(jìn)行比較，它們的參數(shù)設(shè)置如表2 所示。

表1 基準(zhǔn)測試函數(shù)

表2 算法參數(shù)設(shè)置

3.2 不同改進(jìn)策略對ChOA 性能影響分析

為充分驗(yàn)證本文所提改進(jìn)策略的優(yōu)化效果，將標(biāo)準(zhǔn)ChOA 與本文加入Levy 飛行機(jī)制改進(jìn)的天牛須搜索算法(BChOA)、添加云自適應(yīng)動(dòng)態(tài)權(quán)值算法(CChOA)、引入基于折射定律的反向?qū)W習(xí)策略算法(RChOA)、融合三種改進(jìn)策略的改進(jìn)黑猩猩優(yōu)化算法(BCRChOA)，在10 個(gè)具有不同尋優(yōu)特征的基準(zhǔn)測試函數(shù)上進(jìn)行30 次獨(dú)立尋優(yōu)，并記錄30 次獨(dú)立尋優(yōu)的最優(yōu)值、最差值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。 其中，最優(yōu)值和最差值反映算法單次的尋優(yōu)能力，平均值體現(xiàn)算法運(yùn)行30 次所能達(dá)到的收斂精度，標(biāo)準(zhǔn)差則體現(xiàn)算法的穩(wěn)定性和魯棒性。 算法參數(shù)統(tǒng)一設(shè)置為:種群規(guī)模N=30，搜索空間維度dim=30，最大迭代次數(shù)tmax=500。 尋優(yōu)結(jié)果如表3、表4 和5 所示:

表3 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:對于單模態(tài)測試函數(shù)f1～f4，BCRChOA 均能尋到理論最優(yōu)值，且穩(wěn)定性極強(qiáng)。 同時(shí)BChOA 與RChOA 也能達(dá)到理論最優(yōu)值，說明Levy 飛行機(jī)制改進(jìn)的天牛須搜索算法可以幫助種群深度挖掘全局最優(yōu)值，極大程度地提高了算法的全局搜索能力；基于折射定律的反向?qū)W習(xí)策略增強(qiáng)算法具有跳出局部最優(yōu)的能力，提高算法的收斂精度。 僅采用云自適應(yīng)動(dòng)態(tài)權(quán)值策略對算法的改進(jìn)有限，但是相較于標(biāo)準(zhǔn)ChOA 的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性仍然提高10 多個(gè)數(shù)量級。

表4 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:對于多模態(tài)測試函數(shù)f5～f8，大量局部極小值分布在其解空間中，算法進(jìn)行全局尋優(yōu)存在一定難度。 BCRChOA 同其他對比算法在求解函數(shù)f6時(shí)，均陷入局部極值空間，出現(xiàn)尋優(yōu)停滯現(xiàn)象，但是BCRChOA 具有更高的收斂精度和穩(wěn)定性。 BCRChOA 在求解其他多模態(tài)測試函數(shù)時(shí)，均可以達(dá)到理論最優(yōu)值，且求解結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定。

表5 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:對于固定多模態(tài)函數(shù)f9～f10，全局最優(yōu)值被大量的局部最優(yōu)值所包圍，導(dǎo)致算法很難找到全局最優(yōu)值。 BCRChOA 求解函數(shù)f9時(shí)，雖未尋到理論最優(yōu)值，但其平均值和標(biāo)準(zhǔn)差均優(yōu)于其他對比算法。 在函數(shù)f10上，BCRChOA 收斂到理論最優(yōu)值，且標(biāo)準(zhǔn)差低于BChOA、CChOA 和RChOA，說明BCRChOA 具有更強(qiáng)的穩(wěn)定性和魯棒性。

由表3、表4 和表5 中的平均耗時(shí)可知，在函數(shù)f1～f10上，BCRChOA 的平均耗時(shí)相較于標(biāo)準(zhǔn)ChOA的算法耗時(shí)有略微降低，說明融合三種改進(jìn)策略的BCRChOA 在綜合尋優(yōu)能力上有顯著提高。 在求解函數(shù)f1～f10時(shí)，BCRChOA 的平均耗時(shí)分別要比RChOA 稍長，這是因?yàn)锽CRChOA 在尋優(yōu)時(shí)引入更多參數(shù)，使其在解空間中搜索到更多解，導(dǎo)致耗時(shí)變長，但與其他RChOA 相比差異不大，在可接受的范圍內(nèi)。 從綜合平均耗時(shí)可以看出，本文改進(jìn)算法的平均耗時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)ChOA 短，證明本文所提三個(gè)改進(jìn)策略沒有增加算法的時(shí)間復(fù)雜度。

表3 不同改進(jìn)策略對單模態(tài)測試函數(shù)(f1 ～f4)的優(yōu)化結(jié)果對比

表4 不同改進(jìn)策略對多模態(tài)測試函數(shù)(f5 ～f8)的優(yōu)化結(jié)果對比

表5 不同改進(jìn)策略對固定多模態(tài)測試函數(shù)(f9 ～f10)的優(yōu)化結(jié)果對比

3.3 BCRChOA 收斂性分析

為了反映BCRChOA 的動(dòng)態(tài)收斂特性，在搜索維度為30，獨(dú)立運(yùn)行30 次的條件下，縱坐標(biāo)取以10為底的對數(shù)，采用平均收斂曲線圖描述算法的收斂性。 圖3(a)～(j)給出了10 個(gè)基準(zhǔn)測試函數(shù)的平均收斂曲線圖。

由圖3 可知，在單模態(tài)測試函數(shù)和多模態(tài)測試函數(shù)上，BCRChOA 在相同的迭代次數(shù)下具有更高的尋優(yōu)精度、求解效率和更快的收斂速度，表明BCRChOA在保證開拓能力的同時(shí)也能充分保證探索能力，不失種群多樣性和尋優(yōu)穩(wěn)定性。 對于函數(shù)f6，雖然BCRChOA 與其他對比算法一樣，陷入局部最優(yōu)難以跳出，但是通過融合三種策略，尤其是基于折射定律的反向?qū)W習(xí)策略，可以協(xié)助算法有效地跳出局部最優(yōu)，獲得較高的求解精度。 總體來看，BCRChOA 的平均收斂曲線均位于4 種對比算法平均收斂曲線下方，且達(dá)到理論最優(yōu)值所需的最少迭代次數(shù)。

綜合表3、表4 和表5 的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果和圖3 的平均收斂曲線圖，可以看出，BCRChOA 相較于對比算法具有更高的尋優(yōu)精度和更快的收斂速度以及更強(qiáng)的穩(wěn)定性，且實(shí)時(shí)性表現(xiàn)良好，驗(yàn)證了本文所提算法的有效性，達(dá)到了對標(biāo)準(zhǔn)ChOA 進(jìn)行改進(jìn)的目的。

圖3 5 種算法的平均收斂曲線圖

3.4 BCRChOA 與最新元啟發(fā)式算法及其改進(jìn)算法對比分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證BCRChOA 的有效性和優(yōu)越性，本文將BCRChOA 與天鷹座優(yōu)化算法(AO)、被囊群算法(TSA)、阿基米德優(yōu)化算法(AOA)、哈里斯鷹算法(HHO)以及最新改進(jìn)的哈里斯鷹算法(EGHHO)、三種改進(jìn)黑猩猩優(yōu)化算法(EOSMICOA、SChoA、EChOA)進(jìn)行對比，其中EChOA、SChoA、EOSMICOA、EGHHO的數(shù)據(jù)分別來源于文獻(xiàn)[7，8，10，13]，采用與所選文獻(xiàn)相同的實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置(種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)tmax=500)，對于每個(gè)基準(zhǔn)測試函數(shù)的搜索維度分別設(shè)置為30/500/1000，各算法獨(dú)立運(yùn)行30 次，將平均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為評價(jià)指標(biāo)，結(jié)果如表6、表7 和8所示(“—”為缺失數(shù)據(jù))。

由表6 和表7 可知，無論是求解單模態(tài)測試函數(shù)還是多模態(tài)測試函數(shù)函數(shù)，BCRChOA 的尋優(yōu)精度和魯棒性是9 種算法中最好的，尤其是對于函數(shù)f2、f4和f8，8 種對比算法求解精度低或無法求解時(shí)，BCRChOA 求解效果達(dá)到100%，可以尋到理論最優(yōu)值。

表6 9 種算法對單模態(tài)測試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果比較

表7 9 種算法對多模態(tài)測試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果比較

由表8 可知，對于固定多模態(tài)測試函數(shù)f9～f10，BCRChOA 的求解結(jié)果非常接近或等于理論最優(yōu)值。 當(dāng)搜索空間維度從30 維上升到500 維再上升到1000 維時(shí)，尋優(yōu)過程需要更多計(jì)算，導(dǎo)致算法的搜索精度和穩(wěn)定性均有不同程度下降，但是相較于8 種對比算法，BCRChOA 仍具有最高尋優(yōu)精度。 因此，BCRChOA 在求解低維和高維問題時(shí)，尋優(yōu)性能和穩(wěn)定性相對更好，進(jìn)一步佐證了BCRChOA 在解決高維復(fù)雜的優(yōu)化問題時(shí)具有顯著的競爭優(yōu)勢。

表8 9 種算法對固定多模態(tài)測試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果比較

3.5 BCRChOA 對CEC2014 測試函數(shù)尋優(yōu)性能分析

為了更進(jìn)一步驗(yàn)證BCRChOA 解決具有復(fù)雜特征的問題時(shí)的有效性和魯棒性，本文將BCRChOA應(yīng)用于優(yōu)化部分CEC2014 測試函數(shù)，所選取的函數(shù)類型包括單峰函數(shù)、多峰函數(shù)、混合和復(fù)雜的合成函數(shù)，其詳細(xì)信息如表9 所示。 本文選用BCRChOA與ChOA、HHO 算法、AO 算法、TSA、AOA 算法優(yōu)化9 個(gè)CEC2014 測試函數(shù)。 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置空間維度為30，最大迭代次數(shù)為1000，每個(gè)算法分別獨(dú)立運(yùn)行30 次，優(yōu)化結(jié)果如表10 所示。

表9 部分CEC2014 函數(shù)介紹

表10 不同算法對CEC2014 測試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果比較

由表10 可知，在單峰函數(shù)CEC03 上，AOA 表現(xiàn)最好，而BCRChOA 求解精度低于標(biāo)準(zhǔn)AOA，這是因?yàn)長evy 飛行機(jī)制改進(jìn)的天牛搜索算法需要進(jìn)行更多的參數(shù)計(jì)算，造成尋優(yōu)精度有所下降。 對于多峰函數(shù)CEC06、CEC12，BCRChOA 尋優(yōu)性能排名第一，同時(shí)在CEC16 上，BCRChOA 與HHO 算法、AO 算法、TSA、AOA 求解精度并列第一，但是BCRChOA具有更小的標(biāo)準(zhǔn)差，說明其穩(wěn)定性更好。 對于混合函數(shù)CEC19，BCRChOA 尋優(yōu)精度更加接近理論最優(yōu)值。 在復(fù)雜的合成函數(shù)CEC23、CEC24 和CEC25上，BCRChOA 的標(biāo)準(zhǔn)差為0，說明其求解復(fù)合特征函數(shù)時(shí)具有極強(qiáng)的穩(wěn)定性和魯棒性。 綜上尋優(yōu)結(jié)果分析表明，BCRChOA 在解決具有復(fù)雜特征的問題時(shí)具有明顯競爭優(yōu)勢。

4 BCRChOA 在工程優(yōu)化問題中的應(yīng)用

工程優(yōu)化問題是在科學(xué)和工程應(yīng)用領(lǐng)域中常見的約束優(yōu)化問題。 本文將所提的新型元啟發(fā)式優(yōu)化算法BCRChOA 用于優(yōu)化工程設(shè)計(jì)問題，進(jìn)一步驗(yàn)證所提算法的可行性和適用性。 約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型描述如式(25)所示[14]:

式中:f(x)為目標(biāo)函數(shù)，x為決策變量，x=(x1，x2，x3…xn)∈Rn，g1，g2，…，gm和hm＋1，hm＋2，…，hn是域中的實(shí)值函數(shù)。

約束條件的處理是求解約束優(yōu)化問題的關(guān)鍵。在實(shí)際工程優(yōu)化問題中，最常見的方法是在目標(biāo)函數(shù)上添加一個(gè)“懲罰項(xiàng)”，將約束定義為一個(gè)整體，其滿足約束而不影響解，從而將約束問題轉(zhuǎn)換為無約束的優(yōu)化問題[15]。 懲罰函數(shù)的數(shù)學(xué)模型如式(26)所示:

式中:f(x)為目標(biāo)函數(shù)，不等式懲罰系數(shù)為k1，等式懲罰系數(shù)為k2，gi(x)是不等式約束，hi(x)是等式約束，b1和b2的定義如式(27)所示:

4.1 工程優(yōu)化設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

本文利用BCRChOA 優(yōu)化減速器設(shè)計(jì)。 仿真實(shí)驗(yàn)將BCRChOA 與ChOA、引力搜索算法(Gravitational Search Algorithm，GSA)[16]、正余弦算法(Sine Cosine Algorithm，SCA)[17]、HHO 算法、AO 算法、TSA、粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)[18]、樽海鞘群算法(Salp Swarm Algorithm，SSA)[19]、鯨魚優(yōu)化算法(Whale Optimization Algorithm，WOA)[20]、灰狼優(yōu)化算法(Grey Wolf Optimizer，GWO)[21]、帝王企鵝優(yōu)化算法(Emperor Penguin Optimizer，EPO)[22]、多元宇宙優(yōu)化算法(Multi-Verse Optimizer，MVO)[23]、斑鬣狗優(yōu)化算法(Spotted Hyena Optimizer，SHO)[24]、混合螢火蟲粒子群算法(Hybrid Firefly and Particle Swarm Optimization Algorithm，HFPSO)[25]、改進(jìn)的黑猩猩優(yōu)化算法(Enhanced Chimp Optimization Algorithm，EChOA)、AOA、均衡優(yōu)化算法(Equilibrium Optimizer，EO)[26]進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比。 為了保證實(shí)驗(yàn)的公平性，選取與文獻(xiàn)測試參數(shù)一致，設(shè)置種群大小為50，最大迭代次數(shù)為1000，每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行30 次后取平均值。

4.2 減速器設(shè)計(jì)問題

減速器設(shè)計(jì)是在7 個(gè)決策變量和11 個(gè)約束條件下，以找到減速器的最小重量為優(yōu)化目標(biāo)。 決策變量分別為面寬(b)、齒輪模數(shù)(m)、小齒輪上的齒數(shù)(p)、軸承之間第一軸的長度(l1)、軸承之間第二軸的長度(l2)、第一軸直徑(d1)、第二軸的直徑(d2)，其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)示意如圖4 所示。

圖4 減速器設(shè)計(jì)示意圖

減速器設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型如下:

根據(jù)表11 給出的BCRChOA 與其他算法優(yōu)化減速器設(shè)計(jì)的結(jié)果，BCRChOA 獲得的最優(yōu)解為[b，m，p，l1，l2，d1，d2] =[3.192，0.700，17.000，7.300，7.666，3.538，5.317]，最優(yōu)值f(z)= 2982.921，表明BCRChOA 能在最小化減速器重量上獲得最佳解決方案，其有效性優(yōu)于其他對比算法。 通過減速器設(shè)計(jì)實(shí)例進(jìn)一步佐證BCRChOA 在實(shí)際工程問題中的可行性和適用性。

表11 不同算法求解減速器設(shè)計(jì)問題的優(yōu)化結(jié)果對比

5 結(jié)論

為改善標(biāo)準(zhǔn)ChOA 存在全局搜索能力弱、收斂精度低、易陷入局部最優(yōu)等不足，本文在黑猩猩優(yōu)化算法的全局搜索階段采用Levy 飛機(jī)機(jī)制改進(jìn)的天牛須搜索算法，利用天牛須搜索算法具有較強(qiáng)的搜索能力和Levy 飛行機(jī)制隨機(jī)步長搜索大小和方向的不確定性來增強(qiáng)黑猩猩種群搜索的多元性，進(jìn)而提高算法的全局探索能力；其次，采用云自適應(yīng)動(dòng)態(tài)權(quán)值平衡算法全局探索和局部開發(fā)能力；最后，將基于折射定律的反向?qū)W習(xí)策略生成的反向解應(yīng)用到當(dāng)前最優(yōu)解，對種群在局部階段聚集程度進(jìn)行分析，生成的動(dòng)態(tài)解不僅增強(qiáng)算法的多樣性，而且協(xié)助算法跳出局部最優(yōu)。 通過10 個(gè)基準(zhǔn)測試函數(shù)、部分CEC2014 測試函數(shù)驗(yàn)證了BCRChOA 的尋優(yōu)精度、收斂速度和魯棒性均較對比算法有顯著提升，同時(shí)通過減速器設(shè)計(jì)工程案例優(yōu)化問題進(jìn)一步驗(yàn)證BCRChOA 在實(shí)際應(yīng)用中的可行性和適用性，為解決復(fù)雜約束問題提供一條有效途徑。 下一步研究工作是將BCRChOA 用于求解多目標(biāo)優(yōu)化問題。