徐 偉 董定昊 葛 健 李偉業(yè) 林國斌 劉智成 袁文燁

基于在線參數(shù)辨識補償?shù)闹本€感應(yīng)電機低開關(guān)頻率模型預(yù)測控制策略

徐 偉1董定昊1葛 健1李偉業(yè)2林國斌3劉智成4袁文燁5

（1. 強電磁工程與新技術(shù)國家重點實驗室（華中科技大學(xué)） 武漢 430074 2. 襄陽中車電機技術(shù)有限公司 襄陽 441047 3. 磁浮交通工程技術(shù)研究中心（同濟大學(xué)） 上海 201804 4. 廣州地鐵集團有限公司 廣州 510330 5. 株洲中車時代電氣股份有限公司 株洲 412001）

為降低變換器硬件成本及開關(guān)損耗，強電流大功率的軌道交通用直線感應(yīng)電機及驅(qū)動系統(tǒng)通常需運行在低開關(guān)頻率模式下。但是，傳統(tǒng)的低開關(guān)頻率控制方法經(jīng)常會在引入較為嚴(yán)重的諧波電流和推力波動的同時放大微處理器離散化帶來的影響，從而惡化觀測器性能。針對該問題，該文提出一種帶在線參數(shù)辨識的多步長有限集模型預(yù)測控制策略，可有效降低低開關(guān)頻率下的電流諧波，同時利用高精度參數(shù)增強系統(tǒng)的可靠性。首先，采用目標(biāo)函數(shù)帶開關(guān)項的模型預(yù)測控制算法，實現(xiàn)了高采樣頻率下的低開關(guān)頻率控制，并借助多步長模式成功抑制了因開關(guān)頻率降低所引起的諧波含量上升等問題。其次，詳細(xì)對比分析了兩種方法控制下的低開關(guān)頻率模式對觀測器性能的影響?；诜治鼋Y(jié)果，同時考慮到軌道交通用直線感應(yīng)電機中勵磁電感受邊端效應(yīng)影響程度較深，進一步綜合分析了該模型預(yù)測方法的參數(shù)敏感性并引入?yún)?shù)在線辨識算法，實現(xiàn)了低開關(guān)頻率下的勵磁電感的精確估計，提高了模型預(yù)測控制算法的預(yù)測精度和參數(shù)魯棒性，降低了驅(qū)動系統(tǒng)的諧波含量。大量仿真和實驗充分表明，所提出的方法可很好地實現(xiàn)低開關(guān)頻率下直線感應(yīng)電機勵磁電感的準(zhǔn)確跟蹤，配合多步長模型預(yù)測控制算法，可對驅(qū)動系統(tǒng)電流諧波進行有效抑制。

直線感應(yīng)電機 邊端效應(yīng) 模型預(yù)測控制 參數(shù)辨識 低開關(guān)頻率 諧波抑制

0 引言

近年來，直線感應(yīng)電機（Linear Induction Motor, LIM）由于其無需中間傳動機構(gòu)便可產(chǎn)生直線運動所帶來的優(yōu)勢，逐漸引起工業(yè)和研究界的關(guān)注[1-6]。相比旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機，采用直線感應(yīng)電機的軌道交通驅(qū)動系統(tǒng)具備轉(zhuǎn)彎半徑小、無需齒輪箱、加減速能力和爬坡能力強等特性，因此擁有巨大的應(yīng)用潛力。目前，國內(nèi)外已有40余條直線感應(yīng)電機驅(qū)動的軌道交通商業(yè)化線路。然而，直線感應(yīng)電機所特有的邊端效應(yīng)會對電機等效參數(shù)產(chǎn)生較為嚴(yán)重的影響，在大功率時這一影響將更為明顯。因此，必須在控制算法中對參數(shù)變化加以考慮，以削弱其對控制系統(tǒng)性能的不利影響。

為了定量分析直線感應(yīng)電機邊端效應(yīng)的影響，文獻[7-10]對其等效電路、數(shù)學(xué)模型以及參數(shù)變化規(guī)律進行了綜合性的研究。目前，諸多直線感應(yīng)電機控制策略相關(guān)文獻主要針對等效勵磁電感進行了考慮及修正[11-12]。相比旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機，直線感應(yīng)電機等效勵磁電感具有如下特點：一方面，其數(shù)值相比漏感差距不大；另一方面，其關(guān)鍵影響因素從磁飽和變?yōu)殡姍C邊端效應(yīng)。當(dāng)電機速度上升時，由于邊端效應(yīng)的程度加深，入端渦流增強，磁場被進一步削弱，進而使得等效勵磁電感明顯降低[8]。此外，負(fù)載情況變化引起的轉(zhuǎn)差頻率變化也將對勵磁電感產(chǎn)生影響[7, 9]。通過參數(shù)在線辨識算法可以對勵磁電感進行在線估計[13-16]，以全面考慮多種因素對勵磁電感數(shù)值的影響。文獻[14]給出兩種勵磁電感在線辨識方案，分別采用基于轉(zhuǎn)子磁鏈的模型參考自適應(yīng)方法和基于無功功率的開環(huán)計算方法。文獻[15]提出一種基于全階狀態(tài)觀測器的勵磁電感參數(shù)在線辨識方法，相當(dāng)于以電機作為參考模型，以定子電流作為誤差變量。文獻[16]在文獻[15]的基礎(chǔ)上提出一種基于反電動勢的模型參考自適應(yīng)方案，并采用二階滑模觀測器代替參考模型，同時消除了純積分和微分環(huán)節(jié)。通過將辨識參數(shù)引入控制策略中，可以增強系統(tǒng)的抗擾能力和參數(shù)魯棒性。但是，傳統(tǒng)的勵磁電感修正方案主要是圍繞磁鏈幅值控制、定向控制、觀測器等環(huán)節(jié)展開，而忽視了對主控制環(huán)路如電流內(nèi)環(huán)的修正。當(dāng)電機參數(shù)發(fā)生漂移時，控制器參數(shù)需要進行適應(yīng)性的調(diào)整才能保證較優(yōu)的動靜態(tài)性能。相關(guān)的PI參數(shù)自整定方案大多圍繞轉(zhuǎn)動慣量進行[17]，且經(jīng)常會面臨設(shè)計復(fù)雜、計算量大、難以達(dá)到最優(yōu)等問題。當(dāng)采用模型預(yù)測電流控制算法時，則可以較為方便地在電流控制中考慮參數(shù)變化帶來的影響[11]，進而保持系統(tǒng)的快響應(yīng)和高控制精度。在線參數(shù)辨識與模型預(yù)測控制（Model Predictive Control, MPC）相結(jié)合可以很好地解決后者對電機參數(shù)的依賴問題[18-19]。

特別地，受到散熱等方面的限制，在中大功率的軌道交通驅(qū)動系統(tǒng)中變換器通常需要運行在低開關(guān)頻率下，以降低開關(guān)損耗[20-21]。而傳統(tǒng)的低開關(guān)頻率控制方法將導(dǎo)致各種基于觀測器的參數(shù)辨識方法迭代頻率較低，進而影響離散化辨識系統(tǒng)的精度甚至穩(wěn)定性[22-24]。針對這一問題，可采取一些特殊化的離散方案代替一階前向歐拉來解決，如雙圖斯汀離散化方法[22]。文獻[23]提出一種對離散模型的狀態(tài)矩陣進行分解和重組的方法來避免離散解發(fā)散。但是這些方法均面臨著計算量較大的問題。文獻[24]在不同坐標(biāo)系下對電流以及磁鏈公式分別進行離散化處理，以此來改變觀測器的極點軌跡進而實現(xiàn)離散全階狀態(tài)觀測器的穩(wěn)定，并降低了算法的計算量。但是該方法并不具有普遍性且缺乏系統(tǒng)性的理論指導(dǎo)，基于其他形式觀測器的系統(tǒng)需要重新進行分析，會造成程序可移植性較差?？紤]到模型預(yù)測控制方法可以靈活地設(shè)計目標(biāo)函數(shù)來實現(xiàn)諸如動態(tài)電壓、電流限幅等功能[25]，文獻[26]提出一種帶開關(guān)項的多步長模型預(yù)測控制簡化實現(xiàn)方法，可以實現(xiàn)靈活可控的低開關(guān)頻率控制。

本文在文獻[26]的基礎(chǔ)上，深入對比分析了該方法所實現(xiàn)的低開關(guān)頻率與傳統(tǒng)方案的本質(zhì)區(qū)別，并定性描述了傳統(tǒng)方案下算法失穩(wěn)的原因。結(jié)果表明，各種高性能參數(shù)辨識算法可以無需改進直接移植于該控制策略中，實現(xiàn)低開關(guān)頻率下的離散域穩(wěn)定和高精度辨識。通過借助多步長的優(yōu)勢，可以一定程度上緩解低開關(guān)頻率帶來的諧波影響。除此之外，本文還對該模型預(yù)測控制方法的參數(shù)敏感性進行了系統(tǒng)的研究，分析了其受勵磁電感誤差的影響機理與程度。通過將參數(shù)辨識結(jié)果饋入模型預(yù)測控制算法進行在線修正，可以增強其參數(shù)魯棒性，提升控制器對參數(shù)變化的自適應(yīng)能力，進一步保障諧波的抑制。最后，通過充分的仿真和實驗對比分析證明了本文所提方法的有效性。

1 直線感應(yīng)電機數(shù)學(xué)模型

考慮到直線感應(yīng)電機結(jié)構(gòu)的特殊性，如磁路開斷、大氣隙等，文獻[7-10]對其數(shù)學(xué)模型進行了細(xì)致的研究。為了便于控制策略的設(shè)計，目前諸多直線感應(yīng)電機控制相關(guān)文獻[11-12]采用的數(shù)學(xué)模型為

2 考慮開關(guān)項的多步長模型預(yù)測控制

2.1 模型預(yù)測控制原理

在數(shù)字控制器中，為了對電機狀態(tài)量進行預(yù)測，需要對電機數(shù)學(xué)模型進行離散化處理，通常采用一階前向歐拉法實現(xiàn)，有

為簡化書寫，定義系數(shù)

式中，上標(biāo)和+1分別為在時刻和+1時刻的變量；s為采樣周期。

傳統(tǒng)模型預(yù)測電流控制的目標(biāo)函數(shù)一般僅以電機電流誤差作為評價指標(biāo)，可表示為

2.2 考慮開關(guān)項的模型預(yù)測控制及其簡化方法

模型預(yù)測控制除了具有響應(yīng)迅速、便于處理參數(shù)變化及模型非線性等顯著優(yōu)勢外，還可以通過在目標(biāo)函數(shù)中增加合適的控制項來實現(xiàn)一些特殊功能。為了使其具備主動調(diào)控開關(guān)頻率的能力，可以將目標(biāo)函數(shù)改造為

為了避免逐個代入電壓矢量進行預(yù)測評估而導(dǎo)致計算量較大，可以借助參考電壓方法對算法進行簡化，具體如下。

將式（2）代入式（4）可得

為了將開關(guān)項的評價考慮進參考電壓矢量，對式（5）進行進一步的簡化得

圖1 根據(jù)參考電壓矢量選取待選電壓矢量

此時，最優(yōu)電壓矢量選取的扇區(qū)劃分仍如圖1所示?？梢钥闯觯瑹o論是否考慮開關(guān)項，此時僅需要計算出相應(yīng)的參考電壓矢量，然后根據(jù)所在扇區(qū)直接判斷得到最優(yōu)電壓矢量，從而將評估計算量由7個電壓矢量變?yōu)?個電壓矢量。

2.3 多步長模型預(yù)測控制及其簡化方法

雖然得到的帶開關(guān)項的模型預(yù)測控制方法可以主動調(diào)控開關(guān)頻率，但是和傳統(tǒng)頻率控制方法類似，它將不可避免地以犧牲電流控制質(zhì)量為代價。通過引入多步長方法可以在降低開關(guān)頻率的同時盡量提高電流質(zhì)量，抑制系統(tǒng)諧波。而多步長帶來的計算量增加則可以通過類似2.2節(jié)參考電壓矢量方法進行合理簡化[26]?？紤]到篇幅的限制，這里僅以兩步長為例進行推導(dǎo)和后續(xù)仿真實驗驗證，具體如下。

對于兩步長模型預(yù)測控制，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

考慮到步長的增加將導(dǎo)致計算量呈指數(shù)級增加，具體來說，兩步長的待選電壓矢量序列為7×7條，因此有必要對其進行簡化以縮小計算量。為了推導(dǎo)和計算的簡便，做出如下假設(shè)：在預(yù)測步長內(nèi)，次級磁鏈、角速度和參考電流幾乎不變?？梢詫δ繕?biāo)函數(shù)式（7）進行類似式（4）的簡化，具體為

其中

將+2時刻電流預(yù)測方程代入可得

據(jù)此，可以得出如下結(jié)論：

（1）+1時刻參考電壓矢量僅與已知量有關(guān)，可以直接確定，而+2時刻參考電壓矢量需要用到+1時刻選擇的電壓矢量信息。

（3）相比式（6），步長的增加不僅使得最優(yōu)電壓矢量選定變?yōu)樽顑?yōu)電壓矢量序列選定，還將影響+1時刻參考電壓矢量的計算結(jié)果。

（4）+1時刻的評估結(jié)果權(quán)重大于+2時刻，即目標(biāo)函數(shù)將重點考慮+1時刻的電壓矢量選取。

結(jié)合上述結(jié)論可知，采用多步長時，不能像單步長一樣直接確定最優(yōu)電壓矢量，需要逐步進行評估，具體步驟如下。

首先，在第一步預(yù)測時，可以通過評估參考電壓矢量與待選電壓矢量的距離，排除一部分電壓矢量，具體邏輯為：根據(jù)參考電壓矢量所在扇區(qū)，選取該扇區(qū)對應(yīng)的兩個非零電壓矢量和一個零電壓矢量作為評估對象，而排除其他過遠(yuǎn)的電壓矢量。多步長的第一步電壓矢量選擇如圖2所示。以圖2為例，當(dāng)參考電壓矢量位于第一扇區(qū)時，選取1、2和0/7作為待選電壓矢量，而距離參考電壓矢量較遠(yuǎn)的如3則直接排除。此時所需評估的電壓矢量序列減少為3×7條。

圖2 多步長的第一步電壓矢量選擇

然后，在第二步預(yù)測時，可以直接按照圖1的方式選取距離參考電壓矢量最近的基本電壓矢量為最優(yōu)電壓矢量。此時所需評估的電壓矢量序列進一步減少為3×1條。因此，采用該方法可以大幅度縮減多步長的計算復(fù)雜度，降低對處理器運算能力的要求。

2.4 開關(guān)頻率控制方法分析對比

傳統(tǒng)開關(guān)頻率控制一般通過改變調(diào)制頻率來實現(xiàn)，但是會同時改變采樣/控制頻率。采用該方法除了會帶來系統(tǒng)諧波含量上升，還會影響部分控制、觀測方法的精度甚至是穩(wěn)定性。而本文所采取的低開關(guān)頻率控制方法可以直接從根本上解決問題，維持系統(tǒng)的采樣控制頻率不變。對于傳統(tǒng)低開關(guān)頻率控制方法下全階觀測器的穩(wěn)定性問題已在文獻[18]進行了詳細(xì)的理論分析。相應(yīng)的解決方案主要集中在改進離散化方案及觀測辨識方法。這里將對其原因進行直觀的分析并與本文采用的方法進行對比，主要從電壓和電流兩個側(cè)面進行。

（1）從電壓角度。傳統(tǒng)開關(guān)頻率控制方法主要是從改變采樣控制頻率進而改變調(diào)制頻率入手，以空間矢量脈寬調(diào)制（Space Vector Pulse Width Modu- lation, SVPWM）為例，分析如圖3所示?？梢钥闯?，當(dāng)前控制周期計算得到的參考電壓矢量直到下一個周期才施加到電機上，且實際脈沖寬度調(diào)制（Pulse Width Modulation, PWM）波相比參考電壓體現(xiàn)出的是一種平均效應(yīng)。此時，若控制/觀測方法中僅對電壓進行積分操作，尚可以保證積分周期內(nèi)的數(shù)值相對準(zhǔn)確，即

式中，uPWM為調(diào)制得到的實際PWM電壓波形；j為自然數(shù)；u1(k+j)為相應(yīng)的PWM前一控制周期計算得到的參考電壓。

在其他低開關(guān)頻率控制方法中，也均滿足式（11）。但是，當(dāng)涉及具體時刻點數(shù)值的直接計算時，如反電動勢等，會由于延遲的存在而難以確定某一時刻電壓的真實值，如圖3中的-1時刻。此時，若以1(-1)代替該時刻電壓值，當(dāng)采樣控制頻率較高時，該延遲對觀測器的影響一般可以忽略或通過一些方式進行較為準(zhǔn)確的補償。然而隨著s的增大，由于采樣及控制周期均變大，誤差也會增大，補償難度將上升且精度難以保證。

反觀本文所提出的低開關(guān)頻率控制方案，其單相PWM電壓分布結(jié)構(gòu)如圖4所示。此時沒有采用調(diào)制策略，由模型預(yù)測控制直接給出最優(yōu)基本電壓矢量。其開關(guān)頻率控制通過連續(xù)作用相同的電壓矢量來實現(xiàn)。此時，雖然整體的開關(guān)頻率降低，但是采樣及控制頻率保持不變，另外可以較為準(zhǔn)確地確定某一時刻的實際電壓值，可表示為

式中，為k～k+1時刻間的電機作用電壓。

（2）從電流角度。傳統(tǒng)控制方法和本文所采用的控制方法在低開關(guān)頻率下的電流波形對比如圖5所示?？梢钥闯觯捎谒捎玫姆椒梢栽诓桓淖儾蓸宇l率的基礎(chǔ)上實現(xiàn)開關(guān)頻率的控制，因此電流采樣可以始終保持高精度，在進行傳統(tǒng)離散化積分、微分和取中間值等操作時均具有顯著優(yōu)勢，具體可表示為

由式（13）可知，s的大小將在較大程度上影響離散化的效果，特別是對于常用的簡易方法如一階歐拉法，其離散化精度將難以滿足部分應(yīng)用的需求。

可以看出，本文所采用的低開關(guān)頻率控制方法的優(yōu)勢主要在于可以在降低開關(guān)頻率的同時不降低采樣控制頻率。但是，與之對應(yīng)的將造成單個采樣控制周期內(nèi)處理器的運算能力受限。另外，該方法所實現(xiàn)的低開關(guān)頻率是不固定的，會在一定范圍內(nèi)波動，且可能存在短時間開關(guān)頻率較高的情況。對于以降低開關(guān)損耗為目的的應(yīng)用場合而言，主要關(guān)注的是平均開關(guān)損耗，因此該影響可以接受。

3 低開關(guān)頻率下的參數(shù)在線辨識補償

3.1 參數(shù)敏感性分析

首先，為了便于研究所采用的帶開關(guān)項模型預(yù)測控制的參數(shù)敏感性，選取參考電壓矢量的計算結(jié)果誤差作為評估量，即定義

當(dāng)參數(shù)誤差影響到參考電壓矢量計算結(jié)果時，可能會使得選取的電壓矢量發(fā)生變化，進而影響控制效果。另外，考慮到分析計算的簡便，將參考電壓矢量計算變換到dq坐標(biāo)系下進行，且主要考慮基于轉(zhuǎn)子磁場定向下的穩(wěn)態(tài)工況，以初步得出參數(shù)敏感性規(guī)律。而動態(tài)下的計算將在仿真和實驗中實現(xiàn)。另外，考慮到直線感應(yīng)電機勵磁電感動態(tài)變化的特殊性，這里重點研究勵磁電感參數(shù)的影響。

首先，將式（1）所示的直線感應(yīng)電機數(shù)學(xué)模型變換到dq坐標(biāo)系下，可表示為

對應(yīng)的離散化電流預(yù)測方程為

其中

而磁鏈預(yù)測方程也發(fā)生了變化，可表示為

其中

為了推導(dǎo)結(jié)果的簡便，易于進一步分析，這里僅以單步長為例?？紤]到采樣頻率較高，有理由假設(shè)前后兩步基本電壓矢量dq分量形式幾乎不變，因此目標(biāo)函數(shù)形式可以保持不變?；谕叫D(zhuǎn)坐標(biāo)系的參考電壓矢量推導(dǎo)與靜止坐標(biāo)系的類似，這里不再重復(fù)贅述，根據(jù)式（6）將其參考電壓計算公式展開為時刻電壓、電流、磁鏈及參考電流的表達(dá)式，有

穩(wěn)態(tài)工況下，轉(zhuǎn)子磁鏈與d軸電流滿足

將式（20）代入式（19），進一步可得

從式（21）得知，所有的系數(shù)均被變換到電流和電壓項下，為后續(xù)參數(shù)敏感性的理論評估提供了方便。結(jié)合本文的軌道交通研究背景，直線感應(yīng)電機勵磁電感相比次級漏感較大，而相對初級漏感較小，因而可簡化為

式中，l1和l2分別為初級和次級漏感；m0為電機靜止時的勵磁電感。

因此，電壓系數(shù)在參數(shù)敏感性理論分析中可以考慮近似忽略，以重點關(guān)注主要影響因素。但是，需要注意的是，1/中除了之外，還存在采樣時間s。而在本方法中采樣頻率較大且直線感應(yīng)電機的特殊性導(dǎo)致受勵磁電感參數(shù)影響程度遠(yuǎn)大于旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機，因此該項的誤差不能忽略。同時，這也將導(dǎo)致其他系數(shù)的誤差被放大，如。除此之外，系數(shù)中不僅存在m/2，還存在次級角頻率項2，當(dāng)電機工作在高速時，同樣地，該項的誤差也不能被忽略。因此，不能簡單地根據(jù)式（22）簡化原理對參數(shù)進行過度簡化，這也是本文針對直線感應(yīng)電機模型預(yù)測控制的參數(shù)敏感性分析不同于旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機之處。而對于系數(shù)，盡管其帶有參數(shù)敏感性較強的1/2，但是一方面其分子包含s，另一方面存在常數(shù)1，反而對參數(shù)變化不敏感。結(jié)合上述分析及式（14）和式（21），可得簡化的誤差方程為

為定量評估參數(shù)變化的影響，本文定義勵磁電感的參數(shù)誤差為

結(jié)合式（23）和式（24），可繪制出權(quán)重系數(shù)為0時的6個系數(shù)（1～3dq）隨勵磁電感誤差變化的曲線，具體如圖6所示。通過綜合分析可得如下結(jié)論：

（1）參考電壓的計算對勵磁電感誤差較為敏感，且電壓誤差的上下限基本不受當(dāng)前電壓值影響，而主要和電流值相關(guān)，因此參數(shù)誤差的影響在參考電壓本身較低時影響較大。

（2）d軸參考電壓誤差主要取決于d軸電流和d軸參考電流，即電機的勵磁情況。

（3）q軸參考電壓誤差和d、q軸電流以及q軸參考電流均有關(guān)，即會受到勵磁和負(fù)載情況的影響。

圖6 參考電壓計算中關(guān)鍵系數(shù)變化趨勢

（4）電機運行速度也會對參數(shù)敏感性產(chǎn)生影響，其體現(xiàn)在對參數(shù)的敏感性上，轉(zhuǎn)速越高，受勵磁電感的影響程度越深，進而主要導(dǎo)致q軸參考電壓誤差加大。

（5）權(quán)重系數(shù)的增加會降低參數(shù)敏感性，使得參考電壓矢量的計算更加趨近于當(dāng)前時刻作用的電壓矢量而非計算出的電壓矢量。

（6）盡管1dq與參數(shù)誤差的關(guān)系與其他系數(shù)相反，但是其系數(shù)相對較小，整體d軸誤差無論在何種工況均保持符號關(guān)系不變，而整體q軸誤差取決于勵磁情況和負(fù)載情況的對比。

結(jié)合式（14）、式（18）和式（24），可繪制出預(yù)測的參考電壓矢量誤差（d和q）與勵磁電感誤差之間的關(guān)系曲線，如圖7所示。由圖可知，參考電壓在勵磁電感誤差較大時會出現(xiàn)較大程度偏離，并且偏離值會隨著權(quán)重系數(shù)增大而縮小。另外，通過對比不同負(fù)載工況下的偏離程度大小，可進一步驗證前面分析的dq軸參考電壓誤差與負(fù)載情況的關(guān)系：即d軸誤差基本保持不變，q軸誤差則會隨負(fù)載加重而明顯增大。

圖7 參考電壓矢量誤差與勵磁電感誤差之間的關(guān)系

3.2 參數(shù)估計方法

考慮到直線感應(yīng)電機的特殊性，有必要對其勵磁電感進行在線辨識補償，以保證模型預(yù)測控制的預(yù)測精度，進而提升電流控制性能，起到降低系統(tǒng)諧波的目的。這里采用一種基于反電動勢的模型參考自適應(yīng)方法對其勵磁電感進行在線辨識[16]，以避免純積分環(huán)節(jié)的影響。值得一提的是，此處引入該方法只是為了便于后續(xù)驗證，亦可采用其他參數(shù)在線辨識算法。定義反電動勢為

由式（25）及式（1）可得以反電動勢為觀測量的電壓、電流模型分別為

考慮到直線感應(yīng)電機勵磁電感相比次級漏感較大，而與初級漏感相比差距較小，作出如下簡化

綜合考慮式（26）～式（28），可以將電壓模型式（26）看作參考模型，電流模型式（27）看作可調(diào)模型構(gòu)建模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)。而根據(jù)Popov超穩(wěn)定理論可以得到相應(yīng)的自適應(yīng)率為

圖8 勵磁電感在線辨識系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

3.3 帶參數(shù)辨識的模型預(yù)測控制策略

結(jié)合式（12）可知，電機參數(shù)變化將影響參考電壓計算，進而可能會改變所選取的最優(yōu)電壓矢量，造成電機的控制失當(dāng)，影響電流控制性能。除此之外，式（2）得到的一拍延遲補償電流也對參數(shù)較為敏感。因此，有必要對模型預(yù)測控制中的相關(guān)參數(shù)進行在線修正，以避免因參數(shù)變化造成系統(tǒng)性能降低。另外，考慮到直線感應(yīng)電機勵磁電感主要受轉(zhuǎn)速等因素影響，假設(shè)其在預(yù)測步長內(nèi)基本保持不變，因此在進行在線修正時，各步預(yù)測均統(tǒng)一采用當(dāng)前辨識值進行補償。

結(jié)合上述參數(shù)在線辨識算法，可以構(gòu)建電感參數(shù)自適應(yīng)模型預(yù)測控制策略如圖9所示。其中，參數(shù)辨識系統(tǒng)除了可以用來修正勵磁電感參數(shù)外，還能夠?qū)崿F(xiàn)磁鏈的精確估計，省去了原系統(tǒng)中的磁鏈觀測器的同時增強了估計磁鏈對勵磁電感的參數(shù)魯棒性，具體可表示為

值得一提的是，該模型預(yù)測控制方法除了可以和本文所采用參數(shù)辨識算法相結(jié)合外，還可采用其他參數(shù)魯棒性增強策略，如擾動觀測器、多參數(shù)辨識方法對其進行在線補償。這里結(jié)合勵磁電感在線辨識方法，主要出于以下兩點考慮：①驗證采用該模型預(yù)測控制實現(xiàn)的低開關(guān)頻率幾乎不會影響參數(shù)辨識精度；②檢驗勵磁電感在線修正對所采用模型預(yù)測控制的增強效果，以及對本文所圍繞的低采樣頻率下低諧波控制的提升能力。

4 仿真及實驗驗證

4.1 測試平臺

因?qū)嶒瀳龅孛娣e和建設(shè)費用限制，本文搭建了大半徑弧形感應(yīng)電機模擬平臺，如圖10所示。為真實反映邊端效應(yīng)對直線感應(yīng)電機參數(shù)以及運行性能的影響，弧形電機的轉(zhuǎn)子直徑需要足夠大，進而其弧形運動可以等效為直線運動[27]。通過大量的優(yōu)化分析，本文弧形電機的轉(zhuǎn)子直徑選擇為1.23m，機械氣隙10mm，額定功率3kW，額定速度40km/h，相關(guān)的等效電路參數(shù)見表1。外圍驅(qū)動系統(tǒng)采用IGBT全控型器件變頻器，控制芯片為DSP28335。

圖10 直線感應(yīng)電機模擬平臺

表1 直線感應(yīng)電機主要參數(shù)

Tab.1 Main parameters of prototyped LIMs

4.2 仿真結(jié)果及分析

4.2.1 低開關(guān)頻率對參數(shù)辨識影響分析

圖11及圖12分別給出了傳統(tǒng)方法與多步長方法實現(xiàn)的500Hz開關(guān)頻率下的轉(zhuǎn)速、推力及電流波形。為了較為全面地測試電機控制系統(tǒng)的綜合性能，仿真設(shè)置了起動、加速、減速、加載等環(huán)節(jié)?？梢钥闯觯瑑煞N低開關(guān)頻率實現(xiàn)方法都可實現(xiàn)較為精準(zhǔn)迅速的轉(zhuǎn)速控制，但是亦均存在較大的轉(zhuǎn)矩脈動和電流諧波。值得一提的是，采用模型預(yù)測控制后，無論是轉(zhuǎn)矩還是電流均具有更加優(yōu)良的動態(tài)響應(yīng)能力，幾乎不存在超調(diào)和振蕩過程。

圖11 傳統(tǒng)方法實現(xiàn)的低開關(guān)頻率控制效果

圖12 所采用方法實現(xiàn)的低開關(guān)頻率控制效果

為了驗證2.4節(jié)分析的兩種不同的低開關(guān)頻率實現(xiàn)方法對觀測器的影響差異，圖13和圖14分別給出了不同開關(guān)頻率下兩種方法的參數(shù)辨識結(jié)果。可以看出，采用傳統(tǒng)控制方法可以在高開關(guān)頻率下實現(xiàn)較為準(zhǔn)確的參數(shù)辨識，但是隨著開關(guān)頻率的降低，估計結(jié)果的準(zhǔn)確性將明顯降低，尤其是在高速區(qū)，甚至將會出現(xiàn)辨識結(jié)果的發(fā)散，這也與文獻[24]的理論分析結(jié)果相符合。除此之外，辨識誤差還與負(fù)載情況有關(guān)。然而對于所采用的控制方案，在不同的開關(guān)頻率下的各個測試轉(zhuǎn)速、負(fù)載工況中均可以保持精準(zhǔn)的參數(shù)辨識。

圖13 傳統(tǒng)方法下勵磁電感辨識結(jié)果

圖14 所采用方法下勵磁電感辨識結(jié)果

具體而言，以500Hz下的辨識結(jié)果為例，此時采用傳統(tǒng)方案已無法在額定速度、150N負(fù)載工況中對勵磁電感進行正確估計；然而對于所采用的模型預(yù)測控制方案，此時參數(shù)辨識的誤差僅為約0.1mH（約占靜態(tài)勵磁電感的0.28%），且無明顯波動，動態(tài)性能優(yōu)良。需要注意的是，在減速區(qū)域兩種方案下的參數(shù)辨識均出現(xiàn)短時的偏差，這主要是因為定子頻率經(jīng)歷了由正變負(fù)的劇烈動態(tài)過程，這方面的性能提升需要對參數(shù)辨識算法進行改進優(yōu)化?？紤]到這不是本文的研究重點，上述有待提升之處將在后續(xù)進一步深入研究。

4.2.2 參數(shù)敏感性分析

為了便于和3.1節(jié)理論分析結(jié)果進行對照驗證，首先對單步長的參數(shù)敏感性進行仿真分析。圖15和圖16分別為給出單步長模型預(yù)測控制下的d、q軸參考電壓的參數(shù)敏感性仿真結(jié)果。

圖15 單步長下d軸參考電壓計算誤差

圖16 單步長下q軸參考電壓計算誤差

可以看出，dq軸電壓隨參數(shù)變化的整體規(guī)律與3.1節(jié)分析結(jié)果相符合。具體來說：

（1）勵磁電感的d軸誤差基本不受負(fù)載情況和轉(zhuǎn)速情況影響，而q軸誤差恰恰相反，不僅數(shù)值大小受負(fù)載情況影響，其符號也將隨電機運行工況改變而改變，這與3.1節(jié)的分析結(jié)論相符。

（2）勵磁電感變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)值的一半時的dq軸參考電壓計算誤差比變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)值的兩倍時的誤差要大，且權(quán)重系數(shù)的增大將削弱該算法的參數(shù)敏感性，這與圖7的數(shù)值計算結(jié)果相符。

仿真結(jié)果有效地說明了數(shù)值分析計算的可靠性，也為其他模型預(yù)測控制參數(shù)敏感性的分析指明了方向。為了進一步直觀說明勵磁電感參數(shù)變化對控制性能的影響程度，圖17給出了不同參數(shù)下所采用的兩步長模型預(yù)測控制性能的對比結(jié)果。可以看出，當(dāng)參數(shù)發(fā)生偏移時，將會通過參考電壓矢量計算偏差進而影響到電流控制性能，導(dǎo)致電流總諧波畸變率（Total Harmonic Distortion, THD）上升。而具體上升程度與參考電壓計算偏差相符，即當(dāng)勵磁電感變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)值的一半時，相比變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)值的兩倍，電流THD上升程度更大，分別約為12.7%和5%。因此，有必要對勵磁電感參數(shù)進行在線修正以盡量維持電流THD在較低的水平。

4.2.3 THD抑制能力提升分析

考慮到本文的目標(biāo)是提出一種低開關(guān)頻率下高參數(shù)魯棒性的低電流THD控制算法，以降低系統(tǒng)損耗的同時減小電機振動和噪聲，提升驅(qū)動性能。因此需要對電流THD的提升效果進行定量的對比分析。具體的思路為：首先，通過引入帶開關(guān)項的模型預(yù)測控制來實現(xiàn)靈活低開關(guān)頻率控制；隨后，考慮到該方法在降低開關(guān)頻率的同時將導(dǎo)致電流THD上升，引入多步長模型控制來進行抑制；同時，基于所實現(xiàn)的低開關(guān)頻率控制的特殊性，可以引入高性能參數(shù)辨識算法來提升系統(tǒng)的參數(shù)魯棒性以避免因參數(shù)變化而導(dǎo)致的電流THD上升。下面將以500Hz開關(guān)頻率下的控制性能為例進行分析。

圖17 不同勵磁電感參數(shù)下仿真諧波分析結(jié)果

圖18和圖19分別給出了參數(shù)準(zhǔn)確時兩步長和單步長模型預(yù)測控制下，控制開關(guān)頻率為500Hz時的電流諧波分析結(jié)果。可以看出，采取多步長控制可以有效地將電流THD降低為單步長的80.9%。

圖18 所采用方法下的電流諧波分析結(jié)果

圖19 單步長預(yù)測下的電流諧波分析結(jié)果

在兩步長預(yù)測且權(quán)重系數(shù)為零時的參數(shù)敏感性分析已在圖17中給出，可以看出，此時通過對勵磁電感進行在線辨識補償可以較大幅度增強系統(tǒng)參數(shù)魯棒性，避免電流THD出現(xiàn)高達(dá)12.7%的惡化。為了驗證低開關(guān)頻率下的改善情況，圖20給出500Hz開關(guān)頻率下勵磁電感為標(biāo)準(zhǔn)值一半時的電流THD分析結(jié)果?？梢钥闯?，當(dāng)參數(shù)出現(xiàn)偏差時，電流THD呈現(xiàn)上升趨勢，程度約為4.7%。相比圖17c，其上升程度較低，這主要是由于增加了權(quán)重系數(shù)使得參數(shù)敏感性程度下降，這也進一步驗證了3.1節(jié)理論分析的有效性，且與圖15及圖16的結(jié)果相符。

圖20 兩步長預(yù)測下參數(shù)偏差時的電流諧波分析結(jié)果

總的來說，通過采用本文所提出的低開關(guān)頻率優(yōu)化控制方案，可以在保證系統(tǒng)開關(guān)頻率維持較低水平的前提下，以一定程度的計算量增加為代價，有效地提升了電流THD抑制能力，在500Hz下由最初的10.26%逐步下降至8.05%，并維持較高的參數(shù)魯棒性，以避免參數(shù)變化對開關(guān)頻率和電流諧波的影響。

4.3 實驗結(jié)果及分析

為了驗證實際數(shù)字控制系統(tǒng)下所采用的方案在參數(shù)辨識可靠性、諧波抑制能力等方面提升上的有效性，基于圖10所示平臺開展了綜合性實驗。圖21給出5 000Hz、1 000Hz、500Hz三種不同開關(guān)頻率下的勵磁電感辨識結(jié)果。為了具有一定的參考性，同時繪制出了基于Duncan模型離線計算出的勵磁電感變化曲線。可以看出，在5 000Hz采樣/開關(guān)頻率下，勵磁電感辨識結(jié)果與根據(jù)電機參數(shù)得到的離線計算結(jié)果比較接近，參數(shù)辨識較為準(zhǔn)確。但是，隨著開關(guān)頻率降低至1 000Hz，辨識結(jié)果開始出現(xiàn)一定程度的偏離，這主要受到離散化、延時和諧波等因素的影響，但是辨識值仍然可以在1～11m/s的運行范圍內(nèi)保持穩(wěn)定，且偏離程度不嚴(yán)重。然而，當(dāng)開關(guān)頻率進一步降低至500Hz，在1～10m/s下勵磁電感辨識值偏離程度進一步加大，且隨著轉(zhuǎn)速上升而越來越明顯。相應(yīng)地，500Hz開關(guān)頻率下5m/s和10m/s速度時的反電動勢波形如圖21所示?？梢钥闯?，在低采樣率下，不僅僅開關(guān)頻率將會被降低，觀測值數(shù)據(jù)的更新計算頻率也將明顯降低，在高速下，觀測反電動勢離散化特征嚴(yán)重，此時諧波含量較大，也一定程度上影響了參數(shù)辨識精度。除此之外，由于控制系統(tǒng)的離散化程度同樣嚴(yán)重，當(dāng)轉(zhuǎn)速上升至11m/s時，傳統(tǒng)矢量控制系統(tǒng)穩(wěn)定性受到影響，電流嚴(yán)重畸變，進而導(dǎo)致觀測反電動勢波形紊亂，辨識結(jié)果嚴(yán)重偏離，如圖22所示。

圖21 不同開關(guān)頻率下傳統(tǒng)方案勵磁電感辨識實驗結(jié)果

圖22 低開關(guān)頻率下高速時控制性能惡化

而本文所采用的多步長模型預(yù)測控制方法是通過在目標(biāo)函數(shù)中增加開關(guān)項來實現(xiàn)對開關(guān)頻率的控制，無需降低采樣頻率，且可以便捷地實現(xiàn)開關(guān)頻率的靈活切換。圖23給出單步長和兩步長模式中采用開關(guān)項調(diào)節(jié)開關(guān)頻率時兩種典型速度（8m/s和11m/s）下的勵磁電感辨識結(jié)果。為了增強對比性，此處所采用的參數(shù)辨識算法與前面矢量控制系統(tǒng)中的完全一致?？梢钥闯觯瑒畲烹姼斜孀R結(jié)果整體趨勢隨著開關(guān)頻率降低而增大，但是變化范圍非常小。以額定速度11m/s下的辨識結(jié)果為例，在約650Hz到150Hz的開關(guān)頻率范圍內(nèi)，勵磁電感的辨識結(jié)果僅從約29.8mH上升至30.9mH。圖24給出所采用的模型預(yù)測方法下開關(guān)頻率切換突變時的勵磁電感辨識值和初級電流的實驗波形?？梢钥闯?，該方法實現(xiàn)的開關(guān)頻率切換非常平滑，動態(tài)過程中電流波形未發(fā)生劇烈波動，且勵磁電感辨識值也可以迅速平滑進入新的穩(wěn)態(tài)值。

圖23 不同開關(guān)頻率下所采用方案勵磁電感辨識實驗結(jié)果

而由圖21可知，在傳統(tǒng)矢量控制中，當(dāng)開關(guān)頻率從1 000Hz降低至500Hz時，在速度為10m/s下所辨識的勵磁電感已經(jīng)從29.9mH變化至28.5mH。當(dāng)開關(guān)頻率進一步降低和速度進一步上升時，其辨識值的變化范圍即辨識誤差將會進一步擴大。因此，采用帶開關(guān)項的模型預(yù)測控制來實現(xiàn)低開關(guān)頻率控制時，可較容易地實現(xiàn)直線感應(yīng)電機勵磁電感的準(zhǔn)確辨識，進而提高驅(qū)動系統(tǒng)在該運行模式下的可靠性。另外，兩步長和單步長的辨識結(jié)果吻合程度很高，說明此時參數(shù)辨識系統(tǒng)對諧波不敏感，抗干擾能力較強。

圖24 開關(guān)頻率突變時辨識勵磁電感和初級電流波形

為了驗證采用多步長方法對控制性能提升的作用，表2給出了額定速度時部分典型開關(guān)頻率下的初級電流諧波分析結(jié)果?？梢钥闯觯S著開關(guān)頻率的降低，同一步長下的THD將會一定程度上升；而同一開關(guān)頻率下，采用兩步長的THD低于單步長，且隨著開關(guān)頻率的降低提升幅度變得更加顯著。當(dāng)處理器運算能力較強時，還可以進一步采用更多步長的模型預(yù)測控制來得到更為理想的諧波抑制能力。

表2 部分典型開關(guān)頻率下諧波對比

Tab.2 Harmonic comparison under different typical switching frequencies

在上述諧波分析的基礎(chǔ)上，為了測試所采用的模型預(yù)測控制算法對電機參數(shù)的依賴性，圖25給出500Hz開關(guān)頻率下單步長控制中不同勵磁電感參數(shù)下的電流波形和諧波分析結(jié)果?？梢钥闯觯?dāng)勵磁電感參數(shù)發(fā)生變化時，電流THD會不同程度的上升。并且，同3.1節(jié)的理論分析結(jié)果以及仿真結(jié)果類似，當(dāng)控制系統(tǒng)設(shè)定的勵磁電感參數(shù)變?yōu)轭~定值的1/2時，THD的惡化程度要高于勵磁電感參數(shù)變?yōu)轭~定值的2倍時的情況，分別為8.6%和12.1%。

5 結(jié)論

針對直線感應(yīng)電機軌道牽引系統(tǒng)對低開關(guān)頻率運行的需求，本文對比分析了基于調(diào)制和采樣控制頻率的低開關(guān)頻率控制方法和一種帶開關(guān)項的多步長模型預(yù)測控制方法。大量理論分析和仿真實驗表明：采用前者時參數(shù)辨識結(jié)果會隨著開關(guān)頻率的降低和速度的上升而出現(xiàn)較大偏離；而采用后者則無需特殊設(shè)計參數(shù)辨識算法便可較容易地實現(xiàn)低開關(guān)頻率下的精準(zhǔn)參數(shù)辨識，比如電機運行在150Hz開關(guān)頻率下，其參數(shù)辨識結(jié)果仍然穩(wěn)定可靠。除此之外，本文還全面分析了該模型預(yù)測控制方法對勵磁電感的敏感性，相關(guān)結(jié)果表明：參數(shù)不準(zhǔn)確將給參考電壓矢量的計算引入偏差，進而對控制系統(tǒng)的性能參數(shù)（如電流THD）造成一定的負(fù)面影響。因此，通過結(jié)合參數(shù)辨識算法和帶開關(guān)項的多步長模型預(yù)測控制，本文成功地實現(xiàn)了低開關(guān)頻率、低電流THD、高可靠度的直線感應(yīng)電機及系統(tǒng)的控制。

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Low Switching Frequency Model Predictive Control Strategy Based on Online Parameter Identification Compensation of Linear Induction Motor for Urban Rail Application

1112345

（1. State Key Laboratory of Advanced Electromagnetic Engineering and Technology Huazhong University of Science and Technology Wuhan 430074 China 2. Xiangyang CRRC Motor Technology Co. Ltd Xiangyang 441047 China 3. Maglev Transportation Engineering R&D Center Tongji University Shanghai 201804 China 4. Guangzhou Metro Group Co. Ltd Guangzhou 510330 China 5. Zhuzhou CRRC Times Electric Co. Ltd Zhuzhou 412001 China）

To reduce the hardware cost of converter and switching loss, the linear induction motor (LIM) and drive system for urban rail application with strong current and high capacity usually need to operate in a low-switching-frequency mode. However, the conventional low-switching-frequency control method often amplify the influence of discretization error in micro-processor while introducing severe harmonic current and thrust fluctuations, thereby deteriorating the observer performance. Therefore, a multistep finite control set model predictive control (FCS-MPC) strategy with online parameter identification is proposed, which can reduce the current harmonic under low-switching- frequencies and enhance the reliability of system by using high precise parameters. Firstly, the MPC algorithm with switching item in cost function is adopted to realize low switching frequency control at high sampling frequency. Furthermore, the multistep mode is used to suppress the increase of harmonic content caused by the reduction of switching frequency. Then, the influence of the two different low-switching-frequency realization methods on performance is compared. Considering that the magnetizing inductance in LIM for urban rail is deeply affected by the end effect, the parameter sensitivity of the MPC method is further analyzed and the parameter identification is introduced, which realizes the accurate estimation of magnetizing inductance at low-switching-frequency, improves the precision of prediction accuracy and parameter robustness of MPC, and reduces the harmonic content in the drive system. Simulation and experimental results show that the proposed method can well realize accurate tracking of the magnetizing inductance in LIM at low-switching frequency, and effectively suppress the current harmonic of the drive system combined with the multistep FCS-MPC algorithm.

Linear induction motor, end effect, model predictive control, parameter identification, low switching frequency, harmonic suppression

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211816

TM359.4

國家自然科學(xué)基金項目（51877093）、國家重點研發(fā)計劃金磚國際合作重點項目（2018YFE0100200）和湖北省重大科技創(chuàng)新項目（2019AAA026）資助。

2021-11-10

2022-01-02

徐 偉 男，1980年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為直線電機設(shè)計及控制。E-mail: weixu@hust.edu.com（通信作者）

董定昊 男，1995年生，博士，研究方向為直線感應(yīng)電機高性能控制算法與參數(shù)辨識方法。E-mail: dinghaodongee@foxmail.com

（編輯 崔文靜）