徐 鵬 ，尚念林 ，鮑晶晶 ，李 婷 ,4

（1.石家莊鐵道大學省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室，河北 石家莊 050043；2.山東寶泰置業(yè)有限公司，山東 濟南 271100；3.西南交通大學土木工程學院，四川 成都 610031；4.石家莊鐵道大學土木工程學院，河北 石家莊 050043）

邊坡中的軟弱夾層雖然厚度較薄，但由于其強度較低，因而備受研究者重視，特別是當作用地震等動荷載時.劉漢香等[1]通過振動臺模型試驗分析了含軟弱夾層斜坡的動力響應特征；閆孔明等[2]發(fā)現隨著地震荷載強度的增大，軟弱夾層中響應加速度的低頻成分逐漸增多；唐云波等[3]通過分析測試數據發(fā)現軟弱層的強度越低，邊坡的動力響應越顯著；劉晉南等[4]認為水平地震作用下，斜坡路基的動力穩(wěn)定性并非隨著軟弱夾層厚度的增大而減小，軟弱夾層厚度存在最優(yōu)值.

為了指導地震工況下邊坡的設計，研究者通常采用極限平衡法、極限分析法、數值模擬等計算方法.盡管數值仿真可較好地模擬結構響應特性，但其往往需要一定編程基礎，同時，模型本構關系的模擬也較為復雜.目前設計人員多采用極限平衡法進行邊坡設計，例如瑞典圓弧法、畢肖普法、簡布法、摩根斯坦-普頓斯法等.盡管極限平衡法滿足力或者力矩平衡、摩爾-庫倫準則等條件，但其未考慮土體自身的應力-應變關系[5].相較于上述極限平衡法，極限分析法通過剛塑性假定可反映土體應力-應變關系，同時由于其計算更方便、簡單[6]，因此被廣泛應用于邊坡穩(wěn)定性計算分析.Michalowski等[7]分析了轉動模式下邊坡極限高度與安全系數；何思明等[8]根據上限定理研究了設計參數對破裂面形狀及穩(wěn)定系數的影響；Utili[9]討論了裂縫位置與深度對邊坡穩(wěn)定性的影響.與極限平衡法相比，極限分析法解答更嚴密，同時由于其計算中僅需要求解一個能量方程，因而計算更簡便[10]，然而，目前鮮有關于地震荷載下含軟弱夾層邊坡滑動極限分析的研究報道.

為此本文采用極限分析法中的上限定理，對含軟弱夾層邊坡穩(wěn)定性進行了求解，并將計算結果與既有方法進行了對比，最后分析了荷載、軟弱夾層形狀、強度等對邊坡穩(wěn)定性的影響.

1 計算模型

1.1 基本假定

邊坡模型如圖1所示，其中，折線ABC表示薄軟弱夾層（抗剪強度較弱的層帶結構），△ABC表示滑體.為了實現擬動力法與上限定理的應用，對圖1模型作以下簡化與假定：

圖1 邊坡模型Fig.1 Slope model

1） 模型為二維平面模型，滿足平面應變條件.

2） 軟弱薄夾層AB、BC與水平面的夾角分別為θ1、θ2，夾層AB、BC的水平長度與豎直高度分別為d1與h1，d2與h2.

3） 地震動荷載作用在土塊質心.

根據Choudhury等[11-13]研究，為了考慮動荷載在介質中傳播特性、放大效應、時程特征等，水平加速度系數為

式中：kh（z，t）為高度z、 時間t時的水平加速度系數；kp為水平加速度峰值系數；H（H=h1+h2）為滑坡高度；fa為加速度放大系數；ω、vs分別為角速度、剪切波速，如式（2）、（3）.

式中：f為頻率；G為土體剪切模量；ρ為土體密度.

4） 填土滿足極限分析原理中的剛塑性假定條件、摩爾庫倫屈服條件，同時遵循關聯流動法則.

5） 根據強度折減系數的概念，邊坡安全系數F采用式（4）表示.

式中：c、φ為軟弱夾層黏聚力與摩擦角；cm、φm為折減后對應的強度參數.

1.2 極限分析

對于圖1所示折線形滑面，建立圖2所示雙楔塊破壞模式協調速度場.圖中：v1、v2、v3分別為楔塊CBD、ABD速度以及兩者相對速度，即楔塊沿著間斷面BC、AB、BD的速度； α1、 α2、 α3分別為速度v1、v2、v3與速度間斷面BC、AB、BD之間夾角； β 為待定偏角.

圖2 速度矢量圖Fig.2 Diagram of velocity vectors

根據圖2中的速度矢量關系，楔塊之間的速度滿足：

根據假設條件，力學模型如圖3所示.圖中：kh-M、kh-N為楔塊ABD、BCD質心M、N處水平地震加速度系數，可由式（1）求解；G1、G2分別為楔塊BCD、ABD重力.圖3模型外力為作用在質心M、N處的楔塊重力與水平地震力（方向向左），而內能的耗散主要來自速度間斷面BC、AB、BD上的黏聚力.

圖3 力學模型Fig.3 Mechanical model

1） 外荷載功率

圖3所示模型外功率為

式中：P1為楔塊BCD重力所做外功率，如式（7）；P2為楔塊ABD重力所做外功率，如式（8）；P1h為楔塊BCD地震力所做外功率，如式（9）；P2h為楔塊ABD地震力所做外功率，如式（10）.

如圖（3）所示，當將坐標原點取為點A時，質心M、N的高度分別為

式中：點B、C、D在z軸方向坐標zB、zC、zD可根據幾何關系（d1、d2、h1、h2、θ1、θ2、β）求得.

2） 內能耗散功率

滑坡系統的內能耗散功率為

式中：cj為速度間斷面上的黏聚力；vj為速度；lj為速度間斷面的長度.

3） 安全系數

為求得安全系數，令Pe與Pi相等，則

由于本文計算中通過擬動力法考慮了地震荷載的時程規(guī)律（式（1）），因此，式（14）中的安全系數大小不僅與β有關，還與時間t有關.當時間t已知時，

對式（15）求極值，即可得到時間t的安全系數F.

2 計算方法驗證

2.1 規(guī)范法

為驗證本文計算方法的可靠性，將本文計算值與摩根斯坦-普萊斯法進行對比.與其他經典邊坡極限平衡方法（簡布法、畢肖普法、瑞典條分法、斯賓塞法等）相比，由于摩根斯坦-普拉斯法可針對多種破裂面形狀，并在計算中同時考慮了力與力矩的平衡，因而，被公認為是目前最嚴謹的邊坡穩(wěn)定性計算方法[14-15].

不同水平加速度峰值系數、邊坡幾何形狀、抗剪強度下，本文計算的安全系數結果與摩根斯坦-普萊斯法的計算結果如表1所示.表中：γ為滑體重度.根據表1結果可知：本文方法與摩根斯坦-普萊斯法計算結果接近；兩種方法求得的安全系數均隨著水平峰值加速度的增大以及邊坡強度的減小而減小.另外，與本文極限分析法中僅需要求解一個能量方程不同，由于摩根斯坦-普萊斯法計算中將滑體分成n個單元，因而其需要求解3n個方程.綜上可知，本文方法可以在保證計算精度的同時，顯著降低求解時間，提高計算速度.

表1 計算結果Tab.1 Calculation results

2.2 二楔塊法

采用二楔塊法，Qian等[16]對沿著襯墊滑動的垃圾場開展了穩(wěn)定性研究，結果如表2所示.

由表2可知：與二楔塊法計算值相比，本文方法計算值更接近有限元數值解.另外，雖然與二楔塊法相同，本文在計算中同樣將邊坡分成了兩個楔塊，但是計算中卻僅需要求解一個能量方程，而二楔塊法需要建立4個平衡方程.

表2 計算結果Tab.2 Calculation results

3 參數分析

為了分析水平加速度、土體強度（c、?）與夾層形狀等參數對邊坡安全系數的影響，定義以下參數基準值：θ1=18°，θ2=42°，l2=9 m，l1=6 m，kp=0.3，水平加速度放大系數fa=1.3，f=2 Hz，ρ=2 200 kg/m3，c=5 kPa，φ=25°.

3.1 地震加速度

邊坡安全系數除了采用式（4）表示，在極限分析法中也可采用式（16）表示[17].

結合式（14）可知：F＞ 1，表明系統可產生的內能功率Pi大于外荷載功率Pe，即系統越穩(wěn)定.

根據式（1），模型加速度系數大小與fa、kp、f等有關.圖4～6 分別為F隨fa、kp、f的變化規(guī)律.

不同于擬靜力法中采用恒值峰值加速度系數進行求解計算，由于本文式（1）考慮了加速度隨時間等的變化，因此，圖4中本文計算求得的安全系數隨著時間不斷變化，并呈現先減小后增大的趨勢.出現上述變化規(guī)律原因為：式（1）表示的加速度系數隨著時間呈先增大后減小的趨勢，即安全系數的大小與加速度系數大小有關.需要說明的是，盡管為了便于計算，本文中加速度的時程曲線被假定為簡諧函數形式，但對于實際中任意已知的外荷載時程工況，本文方法同樣適用.上述結果表明：擬靜力中采用單一的峰值加速度系數進行計算將可能導致設計較為保守.除此之外，圖4表明：F隨著fa的增大而減小，其中fa=1.0，1.3，1.6時對應的最小安全系數分別為1.20、1.01、0.89.

與fa對F的影響類似，由圖5可知：F隨著kp的增大而減小，即地震荷載的強度越大，滑坡穩(wěn)定性越差.對比圖4與圖5可知：相較于fa，kp對安全系數的影響更顯著.

圖4 fa對F的影響Fig.4 Effect of fa on F

圖5 kp對F的影響Fig.5 Effect of kp on F

盡管本文在計算中考慮了地震波參數對安全系數的影響，但由于式（1）表示的擬動力法并非真正的動力法，因而計算中的地震波參數不能影響邊坡的動力特性.因為式（1）中fa、kp僅能改變加速度的數值大小，而不能影響加速度隨時間的變化規(guī)律，因此圖4與圖5中各自的曲線形式未發(fā)生變化.與之不同的是，f的變化將影響式（1）的曲線形狀而不改變其數值大小.結合圖6可知：f越大，周期則越短，即式（1）越早達到峰值，因此，F出現峰值的時刻越早；由于f的改變不影響F數值的大小，所以不同f時的最小安全系數均為1.01.上述研究表明：當外荷載的頻率越大時，結構可能越易提前產生破壞.需要說明的是：理論上結構的動力響應大小與外荷載頻率以及自身固有頻率有關，即外荷載頻率的變化將影響結構的穩(wěn)定，但是由于本文計算中沒有考慮滑坡體自身的固有頻率，故未能體現出上述現象.

圖6 f對F的影響Fig.6 Effect of f on F

3.2 軟弱夾層折線ABC形狀

由于設計中通常關注的是地震峰值荷載時的安全系數，因而下文僅針對時間t內的安全系數最小值進行分析.

為了表示折線夾層形狀（軟弱夾層折線ABC的交點B）對滑坡安全系數大小的影響，將圖1及圖7中的幾何參數無量綱化：

圖7為F隨折線夾層形狀的變化曲線.當圖中的點A與點C確定時，軟弱夾層的形狀主要由點B影響.由圖7可知：隨著λ值的增大，即點B逐漸遠離坡面，安全系數呈現先迅速減小后緩慢增大的趨勢，上述現象表明當軟弱夾層靠近坡面時，其對安全系數的影響更明顯；由于當軟弱夾層靠近坡頂時，滑體的面積較小，因而隨著κ值的增大，即點B逐漸靠近坡頂，安全系數整體呈現增大的趨勢.

圖7 軟弱夾層形狀對F的影響Fig.7 Effect of slip zone shapes on F

3.3 填土強度

圖8為F與土體強度的關系曲線.由圖可知：F隨著c的增大線性增大；隨著摩擦角的增大安全系數也增大.

圖8 c和F的關系曲線Fig.8 Ralation curves of c and F

4 結 論

采用解答更嚴密、求解更簡捷的極限分析法建立了含軟弱夾層邊坡的穩(wěn)定性計算模型，并通過既有極限平衡法驗證了本文方法的準確性.通過參數分析，研究了荷載、夾層形狀與強度對邊坡穩(wěn)定性的影響：

1） 與加速度放大系數相比，外荷載峰值大小對安全系數的影響更大；由于當外荷載頻率越大時，外荷載更早達到峰值，此時邊坡安全系數先達到最小值.

2） 隨著軟弱夾層逐漸遠離坡面，安全系數呈先迅速減小后緩慢增大的趨勢.當軟弱夾層越靠近坡面與坡頂時，安全系數的大小對其形狀的變化越敏感.

3） 安全系數隨著軟弱夾層黏聚力的增大近似線性增大；隨著軟弱夾層摩擦角的增大，其對安全系數的影響逐漸增大.