鈕迪 蔣晗?

1)(桂林電子科技大學(xué),數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,桂林 541004)

研究界面動(dòng)力學(xué)對(duì)定向凝固中深胞晶形態(tài)穩(wěn)定性的影響.應(yīng)用多重變量法和匹配漸近法,通過尋找系統(tǒng)的模式解,導(dǎo)出了胞晶界面擾動(dòng)振幅的變化率滿足的色散關(guān)系,得到了界面形態(tài)的量子化條件.結(jié)果表明,考慮了界面動(dòng)力學(xué)參數(shù)的深胞晶生長的定向凝固系統(tǒng)有兩種整體不穩(wěn)定性機(jī)制,整體振蕩不穩(wěn)定機(jī)制和低頻不穩(wěn)定性.穩(wěn)定性分析表明,界面穩(wěn)定性參數(shù) ε 與胞晶相對(duì)參數(shù) λ0 有關(guān),低階時(shí)界面動(dòng)力學(xué)參數(shù) M* 越大,中性模式產(chǎn)生強(qiáng)振蕩的枝晶結(jié)構(gòu)的整體波動(dòng)不穩(wěn)定性的穩(wěn)定區(qū)域越大.

1 引言

定向凝固是一種在合金制備的過程中常用的工藝,其固液界面的傳播速度可以受到人為控制.在定向凝固過程中,固液界面形態(tài)會(huì)受到凝固速度的影響.隨著凝固速度的提高,界面形態(tài)將由低速生長的平直界面,依次演變?yōu)樾≌穹陌Ы缑妗⒋笳穹纳畎Ы缑妗⒅Ы缑妗⒓?xì)胞晶界面,最后變?yōu)楦咚偕L的平直界面.固液界面形成的典型微結(jié)構(gòu)是枝晶和胞晶,其生長的穩(wěn)定性是材料學(xué)中重要的研究課題.合金中胞晶生長的穩(wěn)定性會(huì)影響合金的微結(jié)構(gòu),對(duì)最終成品合金的性能造成影響.例如Peng等[1]通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),在定向凝固過程中會(huì)出現(xiàn)雀斑缺陷,且凝固過程中的枝晶形貌與Gibbs-Thomson 效應(yīng)密切相關(guān).

許多學(xué)者也對(duì)晶體生長進(jìn)行了研究.Mullins和Sekerka[2,3]研究了晶體生長的界面穩(wěn)定性,提出了界面穩(wěn)定性動(dòng)力理論,稱為M-S 理論,為固液界面形態(tài)特征理論奠定了基礎(chǔ).隨后Nash和Glicksman[4]提出最大生長速度理論,他們?cè)谠械南到y(tǒng)上額外加上了兩個(gè)邊界條件并求解了數(shù)值解.Kruskal和Segur[5]提出了微觀可解性條件(MSC)理論的3 個(gè)斷言,考慮了各向異性界面能,在Nash-Glicksman的模型中加入了各向異性參數(shù).Xu等[6,7]提出了界面波(IFW)理論,該理論對(duì)Nash-Glicksman 模型進(jìn)行了重要修正,使用攝動(dòng)方法推導(dǎo)出了自由枝晶穩(wěn)定性生長的理論模型.Pocheau和Georgelin[8]、Ding等[9]通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了定向凝固中胞晶形態(tài)選擇具有歷史相關(guān)性.

另一方面,界面動(dòng)力學(xué)對(duì)于晶體的生長和界面穩(wěn)定性有著重要影響.Coriell和Sekerka[10]研究發(fā)現(xiàn)晶體的界面動(dòng)力學(xué)特性也是影響晶體生長的因素.Trivedi等[11]研究了界面動(dòng)力學(xué)各向異性對(duì)定向凝固中胞晶微結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響,發(fā)現(xiàn)界面動(dòng)力學(xué)各向異性會(huì)使得胞晶界面傾斜.李金富和周堯和[12]通過理論分析,發(fā)現(xiàn)引入動(dòng)力學(xué)項(xiàng),擴(kuò)大了共晶耦合生長的過冷度范圍,降低了共晶生長速度.Tan等[13]研究了Ag-Cu(質(zhì)量分?jǐn)?shù)為15%)合金的快速定向凝固的枝晶生長模型,并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)引入界面動(dòng)力學(xué)會(huì)使得模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更接近.蔣晗等[14]研究了各向異性界面動(dòng)力學(xué)對(duì)定向凝固的深胞晶的影響,發(fā)現(xiàn)界面動(dòng)力學(xué)各向異性和表面張力各向異性偏好方向的角度差值不同會(huì)影響深胞晶的形態(tài).Chen等[15,16]通過解析方法研究了界面動(dòng)力學(xué)對(duì)球晶生長的影響,發(fā)現(xiàn)界面動(dòng)力學(xué)對(duì)球晶的生長有較強(qiáng)的穩(wěn)定作用.他們發(fā)現(xiàn),與忽略了界面動(dòng)力學(xué)的情況相比,界面動(dòng)力學(xué)會(huì)使界面過冷度顯著減小,界面更穩(wěn)定,這與實(shí)驗(yàn)[17,18]的結(jié)論一致.但是,數(shù)值和實(shí)驗(yàn)方法并不能解釋其內(nèi)在的機(jī)制,需要使用解析的方法才能解釋.本文將采用多重變量展開法,對(duì)考慮了界面動(dòng)力學(xué)參數(shù)的深胞晶界面穩(wěn)定性進(jìn)行研究.

2 定向凝固系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

圖1 基于Saffmen-Taylor 解構(gòu)造的曲線坐標(biāo)系 (ξ,η)[20]Fig.1.Curve coordinate system (ξ,η)based on Saffmen-Taylor solution.

假設(shè)胞晶列具有周期性,每個(gè)胞晶寬度都為W.此時(shí)只需要考慮單個(gè)區(qū)間即可.因此模型等價(jià)于在固定側(cè)壁x±W的通道中的胞晶生長.使用曲線坐標(biāo)系 (ξ,η),控制方程化為

其中:

是兩倍平均曲率算子，且有：

質(zhì)量守恒條件:

3 外部漸近解

3.1 定?；鶓B(tài)解與線性擾動(dòng)態(tài)

將定常胞晶生長的整體基態(tài)解作為基態(tài),則當(dāng)ε→0 時(shí),在界面ηO(1)附近的子區(qū)域,定常解可簡化為

其中:

非穩(wěn)態(tài)解可寫成兩部分:

且假設(shè)胞晶相對(duì)寬度λ0是給定的常數(shù),則主間距W和胞晶尖端位置y*是無擾動(dòng)的.將(7)和(8)式代入系統(tǒng)并進(jìn)行線性化處理,得到線性擾動(dòng)系統(tǒng).擾動(dòng)系統(tǒng)可寫為

3.2 外部區(qū)域內(nèi)擾動(dòng)態(tài)的多重變量漸近展開解

定義如下的快變量[21]來使用多重變量漸近展開方法:

利用遠(yuǎn)場條件、側(cè)壁條件和表面條件,把系統(tǒng)(9)轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘧兞肯到y(tǒng)的形式,且(13)式有如下的漸近展開:

將(9)—(14)式代入線性擾動(dòng)系統(tǒng),可得控制方程:

和質(zhì)量守恒條件:

其中k0k0(ξ,0);

把(19)代入(16)和(17)式,得到色散公式:

其中:

3.3 變量替換

為了進(jìn)一步分析色散式(20),引入新變量ρ來代替ξ.令:

運(yùn)用新變量ρ,把色散式(20)轉(zhuǎn)化為

其中:

給定σ0,可得以下方程:

(23)式的3 個(gè)根為

其中:

常數(shù){D1,D3}是在復(fù)平面ρ上沿著ρ的實(shí)軸的分片常數(shù).

4 根部解與量子化條件

4.1 一級(jí)奇異攝動(dòng)系統(tǒng)

一級(jí)近似系統(tǒng)的控制方程可寫成:

該系統(tǒng)具有標(biāo)準(zhǔn)模式解:

則由(27)式可得Gibbs-Thomson 條件:

和質(zhì)量守恒條件:

其中:

4.2 特征值 σ1 的一級(jí)近似

對(duì)固定的σ0,通過對(duì)色散式(33)求關(guān)于ζ的全導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù),對(duì)(32)式求導(dǎo),可得:

因此,當(dāng)ζζc時(shí),(31)式化解為

其中:

從(38)式可知,當(dāng)ζ趨于孤立奇點(diǎn)ζc時(shí),有:

其中m1m2O(1).

函數(shù)k1(ζ)在奇點(diǎn)附近可展開為Laurent 級(jí)數(shù).由(39)式,R1(ζc)0,且ζc是函數(shù)k1(ζ)的單極點(diǎn),由此得σ1為

由(40)式σ1由自由參數(shù)σ0確定.接下來將研究奇異點(diǎn)ζc附近的行為,導(dǎo)出σ0的表達(dá)式,擴(kuò)展(ξ,η)平面內(nèi)的全局波模式解.

4.3 奇異點(diǎn) (ζc,0)附近的內(nèi)解與近似

為求解 (ζc,0)附近的內(nèi)解,在齊次系統(tǒng)內(nèi)引進(jìn)內(nèi)變量:

其中α待定.使用上述內(nèi)變量后,內(nèi)解的控制方程變?yōu)?/p>

界面條件為當(dāng)η*0 時(shí),有Gibbs-Thomson 條件:

和質(zhì)量守恒條件:

然后把內(nèi)解進(jìn)行漸近展開:

去掉內(nèi)解系統(tǒng)里的高階無窮小,可得內(nèi)解首級(jí)近似下的控制方程:

界面條件為當(dāng)η*0 時(shí),有Gibbs-Thomson 條件:

和質(zhì)量守恒條件:

以及轉(zhuǎn)化后的質(zhì)量守恒條件:

其中:

此時(shí),可把(52)式重寫成以下形式的控制方程:

其中:

(55)式有5 個(gè)孤立奇點(diǎn)和轉(zhuǎn)向點(diǎn):ρ±i,±iα,ρc,其中ρc是方程中復(fù)平面ρ內(nèi)的一個(gè)簡單轉(zhuǎn)向點(diǎn),ρ±i,±iα分別是函數(shù)S(ρ)和P(ρ)的零點(diǎn).由于:

因此,要研究轉(zhuǎn)向點(diǎn)ρc附近內(nèi)解行為以得出一致有效漸近解,需要考慮以下兩種情況: 1)|σ0|O(1);2)|σ0|?1 .情況1)可得如下的連接條件:

后一種情況則無法與外解匹配,故排除.

4.4 內(nèi)解結(jié)果總結(jié)

內(nèi)部區(qū)域遠(yuǎn)離遠(yuǎn)場的內(nèi)部方程可寫成如下的Airy 方程:

在這基礎(chǔ)上運(yùn)用尖端光滑條件后,復(fù)特征值σ0可以確定ε和其他參數(shù).

5 整體穩(wěn)定性機(jī)制

5.1 復(fù)特征值的頻譜及整體振蕩(GTW)不穩(wěn)定性

對(duì)于4.4 節(jié)的情況1,p01,v1/3 .假設(shè)σ0σR-iω(ω＞0),只考慮生長速度較小的模式,即|σR?1|進(jìn)行穩(wěn)定性分析.在外部區(qū)域使用復(fù)特征值σ0表示物理解:

其中H(ρ)D1H1+D3H3,D1,D3是H波的系數(shù),H1,H3是H波,且有:

然后根據(jù)(59)式,則有:

由尖端光滑性條件,d1和d3要滿足:

1)對(duì)稱S-模式:

2)反對(duì)稱A-模式:

由(61)和(62)式,得量子化條件:

由(24),(56),(63)式,發(fā)現(xiàn)對(duì)于同一個(gè)n,GTWS 模式增長率比GTW-A 模式更大,也稱GTWS 模式比GTW-A 模式更危險(xiǎn).此外還可以得到ε*和λ0的關(guān)系,并得到不同的物理參數(shù)下ε*和λ0的圖像,得到界面動(dòng)力學(xué)參數(shù)M*對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域大小的影響.

通過繪圖發(fā)現(xiàn),一級(jí)近似下,界面動(dòng)力學(xué)參數(shù)M*越大,系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域越大.圖2 展示了首級(jí)近似和一級(jí)近似下ε*和λ0的關(guān)系.圖像表示,對(duì)于同一個(gè)胞晶相對(duì)寬度λ0,一級(jí)近似下的ε*小于首級(jí)近似下的ε*.圖3 展示了n0,1,2 時(shí)的GTW-S 中性曲線,發(fā)現(xiàn)GTW 機(jī)制下n0 時(shí)最危險(xiǎn).圖4和5分別展 示了E0.1,0.25 時(shí)和m*1,5,10 時(shí)的GTW-S 中性曲線.發(fā)現(xiàn)對(duì)于同一個(gè)λ0,E越小,系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域越大,或m*越大,系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域越大.這里m*是一個(gè)與界面動(dòng)力學(xué)參數(shù)M*有關(guān)的參數(shù),有是一個(gè)和純?nèi)垠w溫度TM相關(guān)的參數(shù).

圖2 首級(jí)近似與一級(jí)近似的GTW-S 中性模式曲線.參數(shù)分別為 n=0 ,λG=0.3991,κ=0.29 ,Gc=0.14485×10-4,εc=0.5388×10-2 ,M=0.09552,E=0.25,m*=1Fig.2.The neutral curves of GTW-S-modes with zero-thorder approximation and first-order approximation for the case n=0 ,λG=0.3991,κ=0.29 ,Gc=0.14485×10-4,εc=0.5388×10-2 ,M=0.09552,E=0.25,m*=1 .

圖3 一級(jí)近似下的GTW-S 中性模式曲線.參數(shù)分別為n=0,1,2 ,λG=0.3991,κ=0.29,Gc=0.14485×10-4,εc=0.5388×10-2 ,M=0.09552,E=0.25,m*=1Fig.3.The neutral curves of GTW-S-modes with first-order approximation for the case n=0,1,2 ,λG=0.3991,κ=0.29 ,Gc=0.14485×10-4,εc=0.5388×10-2 ,M=0.09552,E=0.25,m*=1 .

圖4 一級(jí)近似下的GTW-S 中性模式曲線.參數(shù)分別為E=0.1,0.25,n=0 ,λG=0.3991,κ=0.29,Gc=0.14485×10-4 ,εc=0.5388×10-2 ,M=0.09552,m*=1Fig.4.The neutral curves of GTW-S-modes with first-order approximation for the case of E=0.1, 0.25,n=0,λG=0.3991,κ=0.29 ,Gc=0.14485×10-4 ,εc=0.5388×10-2 ,M=0.09552,m*=1 .

從以上分析發(fā)現(xiàn),GTW-S 中性模式的曲線將平面分成了穩(wěn)定區(qū)域(S)和不穩(wěn)定區(qū)域(Os.U).由此得到振蕩穩(wěn)定性判斷依據(jù): 若 (ε,λ0)∈(S),則穩(wěn)定;若 (ε,λ0)∈(Os.U),則振蕩不穩(wěn)定.

對(duì)于4.4 節(jié)的情況2,這種情況導(dǎo)致實(shí)特征值(|σ0|?1)的頻譜.此時(shí)系統(tǒng)此時(shí)系統(tǒng)允許兩種整體低頻模式,包括對(duì)稱模式與反對(duì)稱模式.但是在該模式的首級(jí)近似下,界面動(dòng)力學(xué)參數(shù)不起作用,不影響系統(tǒng)在該模式下的穩(wěn)定性.一階近似下界面動(dòng)力學(xué)會(huì)影響穩(wěn)定性,后續(xù)會(huì)跟進(jìn)研究.

圖5 一級(jí)近似下的GTW-S 中性模式曲線.參數(shù)分別為m*=1,5,10,E=0.25 ,λG=0.3991,κ=0.29 ,Gc=0.14485×10-4 ,εc=0.5388×10-2,M=0.09552Fig.5.The neutral curves of GTW-S-modes with first-order approximation for the case of m*=1,5,10,E=0.25,n=0,λG=0.3991,κ=0.29 ,Gc=0.14485×10-4 ,εc=0.5388×10-2 ,M=0.09552 .

6 結(jié)論

本文通過匹配漸近展開法和多重變量展開法,研究了定向凝固過程中界面動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)深胞晶界面形態(tài)的穩(wěn)定性造成的影響.通過定義快變量進(jìn)行變量替換,尋找外部系統(tǒng)和根部系統(tǒng)的模式解,導(dǎo)出了胞晶界面擾動(dòng)振幅的變化率滿足的色散關(guān)系,得到了整體模式解,界面形態(tài)的量子化條件,內(nèi)解與外解的匹配條件以及深胞晶生長的臨界穩(wěn)定性判斷依據(jù).結(jié)果表明,界面動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)定向凝固中對(duì)整體波動(dòng)不穩(wěn)定性有影響.考慮了界面動(dòng)力學(xué)的胞晶擁有兩種整體不穩(wěn)定性機(jī)制: 整體振蕩不穩(wěn)定性和整體低頻不穩(wěn)定性.整體振蕩不穩(wěn)定性出現(xiàn)在復(fù)特征值頻譜的情況下,表示沿著界面?zhèn)鞑サ男胁?此時(shí)系統(tǒng)允許對(duì)稱S-模式和反對(duì)稱A-模式.而整體低頻不穩(wěn)定性出現(xiàn)在實(shí)特征值頻譜的情況下,此時(shí)系統(tǒng)允許允許對(duì)稱模式和反對(duì)稱模式.穩(wěn)定性分析表明,在整體波動(dòng)不穩(wěn)定性中,GTWS 模式n0是最危險(xiǎn)的模式,其整體振蕩模式中的枝晶結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定區(qū)域最大.在其他參數(shù)固定的情況下,界面動(dòng)力學(xué)參數(shù)M*越大,則系統(tǒng)越穩(wěn)定,整體振蕩模式中的枝晶結(jié)構(gòu)的整體波動(dòng)不穩(wěn)定性的穩(wěn)定區(qū)域越大.