廣西省南寧市第三中學(xué) 欒 功 （郵編：530021）

甘肅省蘭州市第二中學(xué) 曹 艷 （郵編：730030）

1 試題呈現(xiàn)

（2022年高考全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)第20題）設(shè)拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D()p，0，過(guò)F的直線交C與M、N兩點(diǎn)，當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，|MF|=3.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線MD、ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，記直線MN、AB的傾斜角分別為α、β，當(dāng)α-β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

分析試題第（1）問(wèn)考查拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，面向全體考生，體現(xiàn)了試題的基礎(chǔ)性；試題第（2）問(wèn)以2010年四川省預(yù)賽試題第8題為題源，設(shè)計(jì)了過(guò)拋物線C對(duì)稱軸上一點(diǎn)D的兩條動(dòng)直線引發(fā)的定值問(wèn)題.一方面題設(shè)所給四個(gè)點(diǎn)M、N、A、B以及四條直線MN、MA、BN、AB具有相同的邏輯結(jié)構(gòu)，便于考生從不同視角構(gòu)圖設(shè)參，為不同考生展示思維品質(zhì)、發(fā)揮能力水平提供了空間；另一方面試題以拋物線為載體深入考查考生運(yùn)用坐標(biāo)法解決解析幾何問(wèn)題的一般程序，突出考查考生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，服務(wù)高校選才.

2 解法探究

試題第（1）問(wèn)考查拋物線的定義，答案為C:y2=4x；試題第（2）問(wèn)解決的關(guān)鍵在于如何建立點(diǎn)A、B與點(diǎn)M、N坐標(biāo)之間的聯(lián)系，以便刻畫幾何關(guān)系α-β，而當(dāng)α-β最大時(shí)，直線MN的斜率確定，從而點(diǎn)M，N的坐標(biāo)明確，直線AB的方程也便迎刃而解，下面從不同視角探究第（2）問(wèn)的解法.

思路1從直線MN入手構(gòu)圖設(shè)參，以點(diǎn)M的坐標(biāo)驅(qū)動(dòng)運(yùn)算

圖1

點(diǎn)評(píng)該解法從直線MN入手構(gòu)圖設(shè)參，借助點(diǎn)M、N的坐標(biāo)并通過(guò)設(shè)一求一的方法建立與點(diǎn)A、B坐標(biāo)的聯(lián)系，從而突破對(duì)幾何關(guān)系α-β代數(shù)刻畫的難點(diǎn).整個(gè)解題過(guò)程不論是對(duì)直線MN、MA方程的表達(dá)，還是點(diǎn)A坐標(biāo)的求解，都在體現(xiàn)解答解析幾何問(wèn)題的一般思考程序和通性通法，自然流暢.

思路2從直線MA與NB入手構(gòu)圖設(shè)參，借助三點(diǎn)共線消參求解

點(diǎn)評(píng)該解法從直線MA與NB入手構(gòu)圖設(shè)參，借助韋達(dá)定理和同構(gòu)關(guān)系快速建立了點(diǎn)M、N與點(diǎn)A、B之間的坐標(biāo)關(guān)系，再通過(guò)M、F、N三點(diǎn)共線消參求解，思路清晰，運(yùn)算目標(biāo)明確.和解法1 異曲同工，相得益彰.

思路3從點(diǎn)A、B入手構(gòu)圖設(shè)參，借助直線的同構(gòu)特征整體運(yùn)算

同理，直線MN的方程為4x-(y3+y4)y+y3y4=0，又直線MN過(guò)點(diǎn)F(1,0)，所以y3y4=-4，

直線AM、BN的方程分別為4x-(y1+y3)y+y1y3=0，4x-()y2+y4y+y2y4=0，又直線AM、BN都過(guò)點(diǎn)D(2,0)，所以y1y3=-8，y2y4=-8，于是當(dāng)，又y1+y2=，故，即tanα=2 tanβ.

由解法1 知，當(dāng)α-β最大時(shí)，，此時(shí)，因此，直線AB的方程為4x-，即

點(diǎn)評(píng)該解法緊緊抓住拋物線C上四個(gè)點(diǎn)M、N、A、B的同構(gòu)特點(diǎn)，探索過(guò)拋物線上任意兩點(diǎn)的直線方程形式，借助直線過(guò)定點(diǎn)消參求解，整個(gè)解答過(guò)程簡(jiǎn)捷明了，相比解法1,2 很大程度上優(yōu)化了運(yùn)算，降低了運(yùn)算難度，體現(xiàn)了考生的思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

思路4從直線共性入手設(shè)參，借助同構(gòu)特征優(yōu)化運(yùn)算

評(píng)注該解法從直線系方程入手構(gòu)圖設(shè)參，抓住四條直線都與x軸相交的特點(diǎn)解題，不僅解法精妙，還發(fā)現(xiàn)了直線AB過(guò)定點(diǎn)，為試題進(jìn)一步的變式推廣提供了探究思路.

3 探究推廣

上述四種解法從不同視角闡釋了直線AB與MN在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中保持的規(guī)律性，即直線AB與MN的斜率之比為定值，這個(gè)定值恰好是點(diǎn)F與點(diǎn)D的橫坐標(biāo)之比，這不禁引起筆者的思考，在點(diǎn)D和F一般化的情形下，直線AB是否還保持類似的規(guī)律？

探究1如圖2，已知點(diǎn)M1(m1,0)，M0(m0,0)，（m0>m1>0），過(guò)點(diǎn)M1的直線交拋物線C:y2=4x于點(diǎn)M、N，直線MM0、NM0與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，則（1）直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（2）直線AB與MN的斜率之比為定值

圖2

如果拋物線C:y2=4x一般化為y2=2px(p>0)，由上述探究，便有如下推廣：

推廣1已知點(diǎn)M1(m1,0)，M0(m0,0)(m0>m1>0)，過(guò)點(diǎn)M1的直線交拋物線C:y2=2px(p>0)與點(diǎn)M、N，直線MM0、NM0與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，則（1）直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（2）直線AB與MN的斜率之比為定值，即

推廣2已知點(diǎn)M1(m1,0)，M0(m0,0)(m0>m1>0)，過(guò)點(diǎn)M1的直線交拋物線C:y2=2px(p>0)與點(diǎn)M、N，直線MM0、NM0與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，記直線MN、AB的傾斜角分別為α、β，當(dāng)α-β取得最大值時(shí)，

探究2已知點(diǎn)D(2,0)，過(guò)點(diǎn)D的兩條直線分別交拋物線C:y2=4x與點(diǎn)M、A和點(diǎn)N、B（點(diǎn)B、M在x軸上方），直線x=2 與直線BM、AN分別交于點(diǎn)P、Q.求證：DP=DQ.

證設(shè)M(x1,y1)，B(x2,y2)，N(x3,y3)，A(x4,y4)，由解法3 知，直線BM、AN的方程分別為：

所以yP=-yQ，從而DP=DQ.

推廣3已知點(diǎn)D(t,0)(t>0)，過(guò)點(diǎn)D的兩條直線分別交拋物線C:y2=2px(p>0)與點(diǎn)M、A和點(diǎn)N、B（點(diǎn)B、M在x軸上方），直線x=t與直線BM、AN分別交于點(diǎn)P、Q，則DP=DQ.

探究3已知點(diǎn)D(2,0)，過(guò)點(diǎn)D作兩條直線分別交拋物線C:y2=4x與點(diǎn)M、A和點(diǎn)N、B（點(diǎn)B，M在x軸上方），求證：直線AN與BM的交點(diǎn)在定直線x=-2 上.

證設(shè)M(x1,y1)，B(x2,y2)，N(x3,y3)，A(x4,y4)，由變式1知y1y4=-8，y2y3=-8，又直線BM，AN的方程分別為：

推廣4已知點(diǎn)D(t,0)(t>0)，過(guò)點(diǎn)D作兩條直線分別交拋物線C:y2=2px(p>0)與點(diǎn)M、A和點(diǎn)N、B（點(diǎn)B、M在x軸上方），則直線AN與BM的交點(diǎn)在定直線x=-t上.

圓錐曲線蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想和神奇的規(guī)律性質(zhì)，猶如推廣3，實(shí)際上是蝴蝶定理在拋物線中的推廣，像這樣引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一個(gè)問(wèn)題展開深入探究，對(duì)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升運(yùn)算能力，培育核心素養(yǎng)都大有裨益.

4 教學(xué)啟示

4.1 關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重通性通法

解析幾何的本質(zhì)是用坐標(biāo)法研究幾何關(guān)系，難點(diǎn)是幾何關(guān)系代數(shù)化的過(guò)程，就如本題，如何構(gòu)圖設(shè)參、消參求解、利用坐標(biāo)刻畫幾何關(guān)系αβ，都是指向問(wèn)題的本質(zhì)，即兩直線AB與MN斜率關(guān)系的探究，如果洞悉了本質(zhì)，那解法便思如泉涌.再回顧四種解法，無(wú)不都在體現(xiàn)直角坐標(biāo)系下點(diǎn)、直線的表達(dá)，解決問(wèn)題的方法最終回到了通性通法.進(jìn)一步啟發(fā)我們?cè)谝痪€教學(xué)中更要注重對(duì)問(wèn)題背后數(shù)學(xué)本質(zhì)的分析和通性通法的練習(xí).

4.2 挖掘試題價(jià)值，提升關(guān)鍵能力

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，通過(guò)一題多解、一題多變、一題多思等學(xué)習(xí)活動(dòng)充分挖掘試題價(jià)值，對(duì)于夯實(shí)必備知識(shí)、提升關(guān)鍵能力、培育核心素養(yǎng)、開闊數(shù)學(xué)視野及培養(yǎng)創(chuàng)新精神等方面具有重要作用，尤其是在新高考改革和雙減政策實(shí)施的當(dāng)下，更需增質(zhì)減負(fù)，立德樹人.