江蘇省蘇州高新區(qū)景山實驗初級中學(xué)校(215129) 黃賢明 徐敬元

1 問題提出

筆者曾在七年級上學(xué)期的校級測試中設(shè)置了如下問題:

用若干個棱長為1cm 的正方體組成如圖1 所示的幾何體.

圖1

(1)該幾何體的體積是____cm3, 表面積是____cm2(包括底面積);

(2)請在方格紙中用實線畫出它的三個視圖.

本題主要考察的是蘇科版七年級數(shù)學(xué)第五章內(nèi)容. 測試結(jié)果顯示: 本題難度為0.84,區(qū)分度為0.44,屬于一道基礎(chǔ)題.該類題型學(xué)生在小學(xué)中也接觸過一些,但實際得分情況并不理想.

本題滿分5 分,平均分僅有3.99 分(共統(tǒng)計247 人),其中有146 人未得滿分,占總?cè)藬?shù)的59.11%;在這146 人中,有128 人在表面積一空丟分,占出錯人數(shù)的87.67%,也就是說求堆疊立方體(將若干個立方體有序堆疊形成的幾何體)的表面積是該題的難點. 圖2 是表面積一空的錯誤回答情況,可以看出,錯誤答案五花八門,從10 到30 之間的數(shù)幾乎都有涉及,其中有67.19%的學(xué)生是漏數(shù)了幾何體的表面積,且21和18 這兩個答案出現(xiàn)頻率較高. 個別談話后發(fā)現(xiàn),大部分錯因都是采用了一個個面數(shù)的方式,導(dǎo)致了部分面漏數(shù)或重復(fù)數(shù)的情況,當(dāng)他們再次嘗試,部分同學(xué)也能夠數(shù)出正確答案.

圖2

針對上述現(xiàn)象,不妨思考以下兩個問題,其一,為何學(xué)生時而數(shù)對時而數(shù)錯;其二,有無解決此類問題的更好方法. 針對第一個問題,學(xué)生將其歸咎于“粗心”、“沒看到”等原因上,究其本質(zhì)就是該階段的學(xué)生的空間想象能力還處于較低的水平,使平面圖形的立體化的能力較弱,因而常常會忽視平面上未呈現(xiàn)的圖形或表面,這就導(dǎo)致了漏數(shù)的情況;而學(xué)生利用做標(biāo)記的方式數(shù)表面,由于部分面被擋住,這就使學(xué)生在能看到的面上重復(fù)標(biāo)記,導(dǎo)致了圖上標(biāo)記混亂,學(xué)生看得一頭霧水,最終漏數(shù)或多數(shù). 針對第二個問題,數(shù)表面積可以利用以下兩個方法. 方法一,從每個小正方體出發(fā),依次看各個小正方體的表面積,而后全部加起來即可,但這種方法也存在明顯缺點,如: 容易漏數(shù)那些被擋住的小正方體的表面積等等. 方法二,利用三視圖求表面積. 三視圖是立體圖形從三個視角下在平面上的正投影圖,若試題中小正方體的擺放呈凸字型,那么此立體圖形的表面正投影就是該圖形的三視圖,所以其表面積就是三視圖面積和的兩倍;若試題中小正方體的擺放呈凹字型,那就會存在三視圖無法表示出來的面,其表面積就要原先三視圖面積和的兩倍的基礎(chǔ)上加上被擋住的面的面積.

在教學(xué)中,教師常會認(rèn)為此類問題小學(xué)講過,學(xué)生“不學(xué)也會”,但其恰恰忽視了學(xué)生知識水平和能力水平的差異,沒有捋清學(xué)生“會什么”與“不會什么”的關(guān)系; 進(jìn)而淡化初小重疊內(nèi)容的講授,失去了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的契機(jī). 基于此,筆者及時“亡羊補(bǔ)牢”,開設(shè)了一節(jié)“數(shù)堆疊立方體表面積問題”的微專題復(fù)習(xí)課.

2 微專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計與實踐

2.1 情景創(chuàng)設(shè)

圖3 是由數(shù)學(xué)家皮亞特·海恩(Piet Hein)發(fā)明的索瑪立方體,也被稱為立體七巧板,它是由七塊形狀不同的幾何體組成,其變化多端,就連最簡單的大正方體拼搭都有240 種.

圖3

活動1 嘗試從1～7 號組塊中任意選擇兩塊畫出它的三視圖.

學(xué)生獨立完成,教師挑選部分作品展示.

活動2 若每個小正方體的棱長都為1cm,請分別計算出剛選擇的兩個組塊的表面積(包括底面積).

學(xué)生獨立思考,并說出數(shù)表面積的方法. 由于這七個組塊都是由4 塊及以內(nèi)的小正方體拼搭而成,因此學(xué)生可以采用一個個面數(shù)的方法,也能夠給出正確答案. 若對于部分有困難的同學(xué),教師可以為其提供相關(guān)教具,讓他們通過直觀看、動手摸等形式感受幾何體的表面積,從而獲得正確答案.最后,學(xué)生小結(jié)解決問題的方法.

設(shè)計意圖從索瑪立方體出發(fā),滲透數(shù)學(xué)文化,激發(fā)了學(xué)生興趣,同時也給出具體的觀察素材. 以最簡單的幾何體來引出本課主要探究的問題,讓學(xué)生通過最原始的方式解決問題,并讓學(xué)生有意識地總結(jié)解決問題的方法,初步調(diào)動學(xué)生的直觀想象能力.

2.2 探究思考

問題1 數(shù)表面積的方法最基本的就是一個個面數(shù),這個方法有什么缺點?

缺點是容易漏數(shù)或多數(shù).

追問: 如何彌補(bǔ)這些缺點?

按照一定的順序來數(shù),如: 依次從每個小正方體的表面積去數(shù)、依次從上下前后左右六個方向去數(shù)等.

思路1 從每個小正方體出發(fā).

以5 號組塊為例, 給四個小正方體分別標(biāo)上序號①～ ④, 便于講解. 如圖4 所示, 小正方體①的表面積是5cm2,在其上方標(biāo)記5;小正方體②的表面積是4cm2,在其上方標(biāo)記4,同理,小正方體③和④上依次標(biāo)記5 和4,得到如圖5 所示的效果圖. 最后將各個正方體表面積相加得到該幾何體表面積是18cm2.

圖4

圖5

思路2 從三視圖出發(fā).

問題2 如果依次從上下前后左右六個方向看立體圖形,得到的表面積與它的三視圖有什么關(guān)系?

學(xué)生先獨立思考,再小組討論,得到: 從前后兩個方向看到的表面積都是主視圖的面積,從左右兩個方向看到的表面積都是左視圖的面積,從上下兩個方向看到的表面積都是俯視圖的面積,幾何體的表面積就是三視圖面積和的兩倍.

追問: 這個規(guī)律一定成立嗎?

設(shè)計意圖隨著學(xué)生認(rèn)知水平的不斷提升,僅停留于現(xiàn)實生活原型和數(shù)學(xué)表象是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的. 通過問題1 指出學(xué)生方法的缺陷,并引導(dǎo)學(xué)生有條理、有方法、有邏輯地分析、思考、解決問題,促進(jìn)學(xué)生形成借助圖形解決問題的習(xí)慣. 思路1 從單個正方體依次出發(fā),讓學(xué)生視角從整體轉(zhuǎn)向個體,促使學(xué)生按照一定順序解決問題,減少出錯. 思路2 從三視圖出發(fā),進(jìn)一步揭示三視圖的本質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生建立三視圖與幾何體表面積的關(guān)系,歸納出解決問題的方法,但此思路受限于幾何體的形狀,還需通過實例進(jìn)一步補(bǔ)充與完善.

2.3 例題講解

例1 一個由棱長為1cm 的小立方體搭成的幾何體如圖6 所示,請畫出它的三視圖并求出它的表面積(包括底面積).

圖6

學(xué)生自主探究,此時大部分同學(xué)更青睞于思路2,直接計算三視圖面積和的兩倍,得到了24cm2的錯誤答案,而少部分同學(xué)由思路1 出發(fā),得到了26cm2的正確答案.

問題3 按照思路1,分別在小正方體上標(biāo)記它們的表面積(如圖7),那么立體圖形的表面積是26cm2. 按照思路2,三視圖的面積分別5 cm2、3cm2、4cm2,那么立體圖形的表面積是24cm2. 為何在兩個思路下得到了不同的答案? 問題的本質(zhì)在哪?

圖7

學(xué)生小組討論,教師請小組代表發(fā)言.

小結(jié)使用三視圖的本質(zhì)是從三個角度出發(fā)觀察物體,如果幾何體是凸字型,如組塊1～7 號,三視圖中不存在看不到的面,則表面積的計算按照原先的思路2 即可. 但如果幾何體是凹字型,這就會存在著三個方向都看不到的面,即內(nèi)對面,它們相互遮擋. 因此,對于凹字型的幾何體,我們要在三視圖的基礎(chǔ)上,再加上內(nèi)對面的表面積.

設(shè)計意圖對于所給的兩個思路,最簡便的就是從三視圖出發(fā),這里通過例1 給出凹字型幾何體,讓學(xué)生在原先不完善的思路2 下發(fā)現(xiàn)問題、分析問題,讓數(shù)學(xué)表象在現(xiàn)實生活原型的基礎(chǔ)上進(jìn)行第二次直觀,形成數(shù)學(xué)想象,進(jìn)一步豐富與完善解決此類問題的方法網(wǎng)絡(luò).

例2 一個幾何體由一些棱長為1cm 的小正方體搭成從上面看到的幾何體形狀如圖8 所示,其中小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體的個數(shù),請分別畫出該幾何體的主視圖和左視圖, 并求出它的表面積(包括底面積).

圖8

學(xué)生先自主探究,再小組討論思考. 教師借助GeoGebra軟件將幾何體還原,而后根據(jù)兩個思路分別解決此問題.

設(shè)計意圖通過學(xué)生自主探究中,發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在繪制出三視圖后直接計算了三視圖面積和的兩倍,進(jìn)而導(dǎo)致表面積漏算. 此時教師需引導(dǎo)學(xué)生思考“這個幾何體是什么形狀的,你能嘗試還原一下嗎? ”、“這個幾何體是凸字型還是凹字型? ”等問題,讓其有意識地將數(shù)學(xué)信息具象化,同時借助GeoGebra 軟件還原幾何體,放大問題中的“陷阱”,培養(yǎng)學(xué)生的理性精神.

2.4 小結(jié)歸納

(1)歸納思維導(dǎo)圖(如圖9).

圖9

(2)課堂檢測反饋.

3 教學(xué)反思

3.1 摸清能力基礎(chǔ),關(guān)注內(nèi)容深度

由于數(shù)學(xué)教材的編寫是遵循逐級遞進(jìn)、螺旋上升的原則[1]. 在七年級階段,教學(xué)內(nèi)容會存在許多與小學(xué)內(nèi)容重疊的部分,尤其是作為小學(xué)與初中幾何內(nèi)容銜接的第五章“走進(jìn)圖形世界”,在本章中有著大量“不學(xué)也會”的內(nèi)容,如: 繪制三視圖、展開與折疊等,這些內(nèi)容教師教起來輕松,學(xué)生學(xué)起來也輕松. 然而這就會導(dǎo)致教師教學(xué)中片面地認(rèn)為學(xué)生“什么都會”,進(jìn)而忽略教學(xué)內(nèi)容的深度,忽視學(xué)生能力素養(yǎng)的培養(yǎng).

在實際教學(xué)中,學(xué)生的認(rèn)知水平參差不齊,作為教師更應(yīng)關(guān)注學(xué)生整體情況,摸清學(xué)生的能力基礎(chǔ),了解學(xué)生“會什么”,真正做到“有的放矢”. 就數(shù)堆積正方體的表面積問題來說,學(xué)生會一個個面來數(shù)表面積,這是他們“不學(xué)也會”的基本方法,但受限于其空間想象能力,并不一定能數(shù)對. 而大部分學(xué)生不會的是幾何體表面積與三視圖的關(guān)系,或有規(guī)律、條理地數(shù)幾何體表面積的方法,這就會造成他們遇到類似問題就會時不時出錯. 因此,教師抓住此類問題的根本,讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)活動、歸納總結(jié)來得到解決問題的“法寶”,并使學(xué)生在獲得“法寶”的過程中,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2].

3.2 重視探索過程,發(fā)展能力素養(yǎng)

在講評測試題時,有學(xué)生說:“這表面積就是三視圖面積乘二. ”當(dāng)追問其原因時,該學(xué)生卻說不出來,只表示小學(xué)講過. 這個現(xiàn)象反映著兩個問題,一是學(xué)生的回答是不全面的,這既有可能是學(xué)生記憶模糊,也有可能是小學(xué)階段教師講解不透徹;二是學(xué)生只知結(jié)論,不探原由. 因此,教師應(yīng)重視問題的探索過程,例如在本課中,先通過具體事物出發(fā),讓學(xué)生獲得“真感受”,鼓勵學(xué)生借助具體實物圖形來解決問題,發(fā)展幾何直觀意識. 隨后,通過一系列問題提出,并結(jié)合自主探究和小組討論,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并完善三視圖與幾何體表面積的關(guān)系,促使學(xué)生數(shù)學(xué)交流、合作學(xué)習(xí)等能力的提升. 從結(jié)果看, 學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)知識、問題解決方法, 形成了思維導(dǎo)圖.更重要的是,在探索的過程中,學(xué)生的綜合能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)在不知不覺地提升,這更有利于學(xué)生未來的學(xué)習(xí)與發(fā)展.

3.3 借助信息技術(shù),擊破問題難點

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 年版)》中指出: 數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施應(yīng)合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù),把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具[2]. GeoGebra 作為一款自由且跨平臺的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件,在數(shù)學(xué)幾何的教學(xué)中擁有著廣泛的運(yùn)用. 在例2 的講解中,對于一部分空間想象能力較差的學(xué)生是無法直接還原幾何體全貌,只能通過具體實物來構(gòu)建條件與問題的橋梁. 教師利用GeoGebra 軟件動態(tài)還原搭幾何體的過程,使得結(jié)果可視化,促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題中的“陷阱”,擊破問題難點. 總之,現(xiàn)代信息技術(shù)的融入讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得動態(tài)化、可視化,教師在教學(xué)中適當(dāng)運(yùn)用信息技術(shù),使之成為學(xué)生擊破數(shù)學(xué)問題難點的“秘密武器”.