廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校(518001) 唐麗艷

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》[1]特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生綜合實(shí)踐素養(yǎng)能力的培養(yǎng),由此推動(dòng)育人模式的改革,并將“模型觀念”列為初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),至此數(shù)學(xué)建模正式進(jìn)入初中數(shù)學(xué)教學(xué),數(shù)學(xué)建模具有綜合性強(qiáng)、與其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)聯(lián)系緊密、相互交融的特點(diǎn),是培養(yǎng)學(xué)生綜合實(shí)踐素養(yǎng)的重要途徑.

課程標(biāo)準(zhǔn)指出: 學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程,從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義[1]. 因初中學(xué)生普遍缺乏數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)經(jīng)驗(yàn),面對(duì)實(shí)際問(wèn)題往往無(wú)從下手,獨(dú)立開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)很可能就變成漫無(wú)目的的探索,因此需要教師設(shè)計(jì)邏輯連貫、循序漸進(jìn)的問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生有序開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)[2]. 筆者在2019 年代表深圳市參加廣東省總工會(huì)、廣東省教育廳聯(lián)合主辦的第二屆廣東省中小學(xué)青年教師教學(xué)能力大賽,在上課環(huán)節(jié)中講授了“球賽積分表問(wèn)題”,最終獲得廣東省初中數(shù)學(xué)決賽第一名,整個(gè)課堂以邏輯連貫、具有思維挑戰(zhàn)性的6 個(gè)問(wèn)題串,引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展系列化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng),本文將結(jié)合該案例,探討數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的問(wèn)題串設(shè)計(jì).

以下是教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì):

1 教學(xué)內(nèi)容及其地位和作用

1.1 教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課內(nèi)容是人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)“第三章一元一次方程”第四節(jié)實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程—探究2 球賽積分表問(wèn)題[3].

1.2 地位和作用

在學(xué)習(xí)了解一元一次方程和列簡(jiǎn)單的方程解應(yīng)用題后,本節(jié)課通過(guò)對(duì)球賽積分問(wèn)題的探索,讓學(xué)生自主學(xué)習(xí),合作交流,尋求問(wèn)題的解決方法.

本節(jié)課內(nèi)容的教學(xué)涉及代數(shù)式和一元一次方程等數(shù)學(xué)概念的理解與運(yùn)用,需要掌握運(yùn)用問(wèn)題中的等量關(guān)系列方程的基本方法,并對(duì)運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟有所認(rèn)識(shí),在此基礎(chǔ)上向?qū)W生滲透方程的思想,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2 教學(xué)目標(biāo)及解析

2.1 教學(xué)目標(biāo)

(1)通過(guò)用字母、代數(shù)式和方程表示球賽積分表問(wèn)題中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

(2)通過(guò)用一元一次方程探究球賽積分表問(wèn)題,明確列方程的基本方法,體會(huì)方程思想,發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2.2 目標(biāo)解析

教學(xué)目標(biāo)(1)與(2)的確定,基于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)涵的概念與原理、思想與方法及數(shù)學(xué)素養(yǎng),這表明: 探究球賽積分表不僅僅是為了解決一個(gè)具體問(wèn)題,更重要的是引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用字母表示數(shù)與變量,學(xué)習(xí)用代數(shù)式和方程去表示、刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系,并將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元一次方程這個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)求解,在此過(guò)程中落實(shí)“四基”“四能”,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

3 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

3.1教學(xué)重點(diǎn)用一元一次方程解決球賽積分表問(wèn)題,體會(huì)方程思想.

3.2教學(xué)難點(diǎn)利用球賽積分表問(wèn)題中的等量關(guān)系列出一元一次方程,發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

4 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

導(dǎo)入: 觀看一段2019 年男籃世界杯比賽視頻.

【師生活動(dòng)】

學(xué)生觀看視頻,教師以此引入課題.

【設(shè)計(jì)意圖】

以學(xué)生熟悉的場(chǎng)景引入課題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

問(wèn)題1 觀察下列表1,你能得出比賽的積分規(guī)則嗎? 即勝一場(chǎng)積幾分? 負(fù)一場(chǎng)積幾分?

表1 2019 年男籃世界杯小組賽A 組積分____榜

追問(wèn): 觀察下列表2,你能得出比賽的積分規(guī)則嗎? 即勝一場(chǎng)積幾分? 負(fù)一場(chǎng)積幾分?

_表2____________________某次籃球聯(lián)賽積分榜

【師生活動(dòng)】

教師給出問(wèn)題后,讓學(xué)生思考如何得出本次比賽的積分規(guī)則.

學(xué)生觀察表1 波蘭隊(duì)的數(shù)據(jù)得出勝一場(chǎng)得2 分,科特迪瓦隊(duì)的數(shù)據(jù)得出負(fù)一場(chǎng)得1 分.

教師給出表2 即教科書(shū)中的某次籃球聯(lián)賽積分榜,追問(wèn)學(xué)生,你能得出比賽的積分規(guī)則嗎?

學(xué)生觀察表2 最后一行可以得到,負(fù)一場(chǎng)積1 分,再利用其他任意一行的數(shù)據(jù)可以算出勝一場(chǎng)積2 分.

若學(xué)生無(wú)法得出積分規(guī)則,可讓學(xué)生回憶表1 獲取積分規(guī)則的過(guò)程,迫使學(xué)生遷移前面“先觀察特殊的數(shù)據(jù)”再觀察其他數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn).

同時(shí),引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到,用兩行不同的數(shù)據(jù)即可得出積分規(guī)則.

【設(shè)計(jì)意圖】

引導(dǎo)學(xué)生觀察表1 和表2 數(shù)據(jù),利用兩隊(duì)數(shù)據(jù)得出積分規(guī)則,并認(rèn)識(shí)到并沒(méi)有用上表1 和表2 中的全部數(shù)據(jù)解決問(wèn)題,為問(wèn)題2 打下鋪墊. 培養(yǎng)學(xué)生觀察圖表、分析圖表及獲取圖表信息的能力.

問(wèn)題2 只用表2 中藍(lán)天隊(duì)和雄鷹隊(duì)的數(shù)據(jù),你能得出積分規(guī)則嗎?_________________________________

隊(duì)名比賽場(chǎng)數(shù)勝場(chǎng)數(shù)負(fù)場(chǎng)數(shù)積分藍(lán)天14 9 5 23雄鷹14 7 7 21

【師生活動(dòng)】

教師給出問(wèn)題后,讓學(xué)生嘗試解決問(wèn)題,教師加以適當(dāng)引導(dǎo).

收集學(xué)生的解答進(jìn)行點(diǎn)評(píng),整理歸納學(xué)生可能的不同解法,并引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)列方程的方法. 如果學(xué)生提供的解答單一,教師可啟發(fā)學(xué)生探究不同的方法. 在得出積分規(guī)則后,可進(jìn)一步追問(wèn)學(xué)生: 若利用表2 其他兩隊(duì)的數(shù)據(jù),你可以得出比賽的積分規(guī)則嗎? 讓學(xué)生分組探究,教師點(diǎn)評(píng)學(xué)生的探究結(jié)果.

追問(wèn): 給出前進(jìn)隊(duì)和東方隊(duì)的數(shù)據(jù)可以求出積分規(guī)則嗎?

隊(duì)名比賽場(chǎng)數(shù)勝場(chǎng)數(shù)負(fù)場(chǎng)數(shù)積分_前進(jìn)14 10 4 24__東方14 10 4 24__

學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩行數(shù)據(jù)一樣后,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)一行數(shù)據(jù)不能得出積分規(guī)則.

【設(shè)計(jì)意圖】

通過(guò)表2 信息獲取積分規(guī)則,體會(huì)方程思想,明確用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

問(wèn)題3 你能用代數(shù)式(或等式)表示某隊(duì)的總積分與勝場(chǎng)數(shù)(或負(fù)場(chǎng)數(shù))之間的數(shù)量關(guān)系嗎?

【師生活動(dòng)】

與學(xué)生約定用m,n分別表示勝場(chǎng)數(shù)和負(fù)場(chǎng)數(shù).

讓學(xué)生分別用含有勝場(chǎng)數(shù)m或負(fù)場(chǎng)數(shù)n的代數(shù)式表示總積分.

追問(wèn): 某隊(duì)的總積分能等于17 嗎? 能等于13 嗎?

【設(shè)計(jì)意圖】

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析表格數(shù)據(jù),學(xué)習(xí)用字母或代數(shù)式表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系;利用等量關(guān)系列出一元一次方程,并通過(guò)檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際問(wèn)題的意義,體會(huì)方程思想,明確檢驗(yàn)是用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的必要步驟.

問(wèn)題4 某隊(duì)的勝場(chǎng)總積分能等于它的負(fù)場(chǎng)總積分嗎?

【師生活動(dòng)】

讓學(xué)生在問(wèn)題3 所獲結(jié)論的基礎(chǔ)上,建立一元一次方程,并通過(guò)求解方程、檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際意義進(jìn)行判斷.

追問(wèn): 某隊(duì)勝場(chǎng)總積分能等于它的負(fù)場(chǎng)總積分的2 倍嗎? 教師在學(xué)生回答基礎(chǔ)上進(jìn)行點(diǎn)評(píng).

【設(shè)計(jì)意圖】

加強(qiáng)學(xué)生用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)意識(shí),積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),體會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

想一想觀察表2,你還能得到這次比賽的哪些信息呢?

引導(dǎo)學(xué)生思考,表格中每隊(duì)的比賽場(chǎng)數(shù)都是14,這場(chǎng)比賽的賽制是什么呢? 引出雙循環(huán)賽,并用具體實(shí)例介紹雙循環(huán)賽的基本規(guī)則及計(jì)算比賽場(chǎng)數(shù)的方法.

【設(shè)計(jì)意圖】

介紹籃球比賽規(guī)則,讓學(xué)生了解雙循環(huán)賽比賽場(chǎng)數(shù)的計(jì)算方法,為問(wèn)題5 打下鋪墊.

問(wèn)題5 你能否在下面的表格中添加最少的數(shù)據(jù),使其他小組的同學(xué)根據(jù)你給出的數(shù)據(jù)復(fù)原表2?

表3 某次籃球聯(lián)賽積分榜

【師生活動(dòng)】

讓學(xué)生分組研討,再讓各組填好教師發(fā)下的表格供展示交流.

【設(shè)計(jì)意圖】

幫助學(xué)生進(jìn)一步提升用一元一次方程探究實(shí)際問(wèn)題的能力,體會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的好處.

問(wèn)題6 用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟是怎樣的?

【師生活動(dòng)】

教師結(jié)合已經(jīng)解決的問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生歸納概括列方程的基本方法.

教師引導(dǎo)學(xué)生得出以下用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題步驟的圖示:

【設(shè)計(jì)意圖】

小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容,幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題必須經(jīng)歷的步驟,加深對(duì)方程思想、數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí).

5 教學(xué)反思

“用問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”是教學(xué)的一條基本準(zhǔn)則,提高設(shè)問(wèn)能力也是教師提升教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)水平的關(guān)鍵. 區(qū)別于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)活動(dòng),數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)具有學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)淺、入手難度大、綜合要求高、思維發(fā)散強(qiáng)等特征,問(wèn)題串的設(shè)計(jì)應(yīng)該注意以下幾點(diǎn):

5.1 問(wèn)題串設(shè)計(jì)應(yīng)注重教學(xué)的整體性

完整的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)包括“問(wèn)題情境——問(wèn)題分析與簡(jiǎn)化——建立模型——求解模型——模型分析與檢驗(yàn)——模型應(yīng)用”等環(huán)節(jié),問(wèn)題串的設(shè)計(jì)應(yīng)該將數(shù)學(xué)建模的各個(gè)要素和環(huán)節(jié)不露痕跡地體現(xiàn)在教學(xué)過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程,積累數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)經(jīng)驗(yàn),形成數(shù)學(xué)建模的“一般套路”.“球賽積分表問(wèn)題”中,通過(guò)設(shè)計(jì)6 個(gè)邏輯連貫、具有思維挑戰(zhàn)性的問(wèn)題串, 將數(shù)學(xué)建模的各個(gè)過(guò)程無(wú)縫連接起來(lái),較好地體現(xiàn)了教學(xué)的整體性.

5.2 問(wèn)題串設(shè)計(jì)應(yīng)立足學(xué)生的認(rèn)知水平

數(shù)學(xué)建模入手難度大、綜合性強(qiáng),學(xué)生缺乏相關(guān)經(jīng)驗(yàn),教師在問(wèn)題串設(shè)計(jì)時(shí)一定要充分考慮學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)、能力水平和生活經(jīng)驗(yàn). 比如在拋出“球賽積分表問(wèn)題”之前先觀看籃球視頻,可以激發(fā)學(xué)生好奇心. 在問(wèn)題串設(shè)置的基礎(chǔ)上,以互動(dòng)追問(wèn)的形式給予學(xué)生啟發(fā),幫助學(xué)生逐步解決問(wèn)題,一步一步引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中形成一個(gè)整體框架,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程的合理性與思維過(guò)程的合理性.

5.3 問(wèn)題串設(shè)計(jì)應(yīng)注重開(kāi)放性

數(shù)學(xué)建模具有高度開(kāi)放性,已知條件不清晰,需要建模者根據(jù)情況自己提出假設(shè),簡(jiǎn)化或者約束問(wèn)題條件. 數(shù)學(xué)建模沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)方法和標(biāo)準(zhǔn)答案,合理的方法和結(jié)論就是好的模型, 因此數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的問(wèn)題串設(shè)計(jì)要格外注重開(kāi)放性,給學(xué)生自主探究留足空間. 開(kāi)放性問(wèn)題能夠促進(jìn)學(xué)生討論交流,充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維. 比如案例中的問(wèn)題5 有較強(qiáng)的開(kāi)放性,學(xué)生可以有不同的選擇和方案,從實(shí)際課堂效果來(lái)看,學(xué)生的表現(xiàn)亮點(diǎn)頻現(xiàn),正是這些問(wèn)題的拋出將課堂不斷推向高潮,起到“畫(huà)龍點(diǎn)睛”的作用.