廣東省廣州市第二中學(510040) 唐 琦

1 試題呈現

(廣東中考第25 題)已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象過點(-1,0),且對任意實數x,都4x-12 ≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.

(1)求該二次函數的解析式;

(2)若(1)中二次函數圖象與x軸的正半軸交點為A,與y軸交點為C;點M是(1)中二次函數圖象上的動點. 問在x軸上是否存在點N,使得以A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形. 若存在,求出所有滿足條件的點N的坐標;若不存在,請說明理由.

2 試題特色

第二小題是平行四邊形的存在性問題,一般可用平移法或對角線法(中點法)解決問題. 在中考第二輪專題復習的教學中,教師也會設計一些特殊的幾何圖形的存在性復習專題,包括等腰三角形的存在性問題,直角三角形的存在性問題,平行四邊形的存在性問題,或者特殊的平行四邊形(如矩形,菱形,正方形)的存在性問題等. 本文主要針對第一小題分析.

2.1 問題新穎,條件簡約

待定系數法求函數的解析式是初中函數教學的一個重要知識點, 也是考試中最?？嫉念}型之一. 一般的問題設計都是函數圖象經過特定具體的點, 將這些點的坐標代入到函數解析式中列出方程或方程組求出函數解析式中的待定系數. 本題先給出二次函數最常見的一般解析式y=ax2+bx+c,其圖象過一個簡單的點(-1,0),這一部分的條件比較常見,學生非常熟悉. 然后,馬上又給出了一個連不等式,并且是一個任意性命題,超出考生的預料,讓人覺得有些“猝不及防”. 有點像聽一首歌曲前面平淡熟悉,突然曲風一轉,引人入勝,耳目一新. 但條件依然簡約,就一個解析式,一個點,一個練不等式,甚至不像第二小題那樣題目條件變得更加復雜.

2.2 來源課本,初高銜接

從題目的形式看,讓學生和老師“猝不及防”的原因可能有幾個: 一是連不等式在平常的教學中不多見;二是二次不等式在初中數學的教學要求并不高;三是含參數的不等式在初中的思維性比較高;四是不等式的恒成立問題或者任意性問題在初中平常教學中不太常見,甚至有些老師也懷疑這是否超綱. 其實這些問題雖然不是常考的類型,但仍來源于課本. 以人教版為例,七年級下冊課本第130 頁習題4 中出現了連不等式的求解(如圖1),第6 題的“盈不足”實際問題列出連不等式更加容易解決問題(如圖2),九年級上冊課本第47 頁第5 題通過畫二次函數圖象的方式來求解二次不等式(如圖3),九年級上冊課本第17 頁第13 題是有關含參二次方程的任意性問題(如圖4).

圖1

圖2

圖3

圖4

通過和教材溯源比較,這些我們有些“猝不及防”的知識也都是在教材上的重點習題中出現,也更是初高中銜接的重點內容. 其中根據二次函數的圖象來判斷二次函數解析式中字母系數的特征,二次方程,二次不等式,二次函數這三個“二次”的結合問題都是初高中銜接知識的熱點和重點問題.

3 解題分析

分析因為二次函數y=ax2+bx+c的圖象過點(-1,0),所以首先肯定將(-1,0)代入解析式y=ax2+bx+c中,得到

接下來處理連不等式4x- 12 ≤ax2+bx+c≤2x2- 8x+ 6 這個條件了, 當然, 中間的二次函數的解析式ax2+bx+c參數較多, 不好直接處理, 反倒是第一個代數式4x-12 和第三個代數式2x2-8x+6 是確定的.首先我們就有一個思考, 對于任意的實數x, 根據不等式的傳遞性, 應該有4x-12 ≤2x2-8x+6, 但真的會這樣嗎? 不免就要產生要驗證這個不等式的想法. 可以從“數”的角度驗證, 我們使用作差法, 將2x2-8x+6 與4x-12相減,得到2x2-12x+18,即2(x-3)2,結果是非負數,所以4x-12 ≤2x2-8x+6 成立, 特別的, 當x= 3 時, 差為0, 即當x= 3 時, 4x-12 = 2x2-8x+6 = 0. 這時,0 ≤ax2+bx+c≤0,所以,當x=3 時,ax2+bx+c=0.

而另一個角度就是從“形”出發(fā), 作出y= 4x-12和y= 2x2- 8x+ 6 的圖象, 如圖5, 根據圖象我們可以發(fā)現,除了點(3,0),拋物線y= 2x2-8x+6 的其它各點都在直線y= 4x-12 上方. 也就是拋物線y= 2x2-8x+6 與直線y= 4x-12只有一個交點(3,0), 也就是拋物線y= 2x2-8x+6 與直線y= 4x-12 相切于(3,0). 根據連不等式4x-12 ≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6 可知,二次函數y=ax2+bx+c的圖象在拋物線y=2x2-8x+6 與直線y=4x-12 兩者之間,且必然過點(3,0),直線y= 4x-12 同樣也是拋物線y=ax2+bx+c的切線.

圖5

而這個結果就令人喜出望外,根據前面的分析,必然有當x=3 時,ax2+bx+c=0,即

對這個不等式是一次不等式還是二次不等式進行討論. 當a= 0 時,不等式就變成-4x+12 ≥0,不能對任意的實數x成立, 所以有a ?= 0. 而當a ?= 0 時, 不等式為二次式, 將ax2-(2a+4)x+(12-3a)看作一條拋物線的解析式,那么這條拋物線的點就要在x軸上或上方, 也就是拋物線與x軸只有一個交點或者沒有交點, 畫示意圖可知:a ＞0 且Δ ≤0,即(2a+4)2-4a(12-3a)≤0,整理后得

兩邊約去16 得到a2-2a+1 ≤0, 即(a-1)2≤0. 而由平方的非負性(a-1)2≥0, 所以只能(a-1)2= 0, 非常巧妙甚至是巧合的得到a= 1, 所以二次函數的解析式為y=x2-2x-3.

從函數的圖象來看,如圖6,二次函數y=x2-2x-3的圖象在拋物線y= 2x2-8x+6 與直線y=4x-12 兩者之間, 且都過公共點(3,0),直線y= 4x- 12 同樣是拋物線y=x2- 2x- 3 和y=2x2-8x+6 的切線.

圖6

當然, 從不等式③的分析看上去a= 1 的這個結果有些巧合, 自然我們也會考慮如果是從不等式④入手會不會更自然一點. 不妨試試看, 對任意的實數x都有ax2-2ax-3a≤2x2-8x+6,即

同樣這個不等式是一次不等式還是二次不等式進行討論. 當a= 2 時, 不等式變?yōu)?4x+ 12 ≥0, 同樣不能對任意的實數x成立(這個結果和上述不等式③的結果竟然相同) . 而當a ?= 2 時, 不等式⑦為二次式, 將(2-a)x2+ (2a- 8)x+ (3a+ 6) 同樣看作一條拋物線的解析式,那么這條拋物線的點還是要在x軸上或上方,也就是拋物線與x軸沒有交點或者只有一個交點,即2-a ＞0且Δ ≤0,也即a ＜2 且(2a-8)2-4(2-a)(3a+6) ≤0,整理得

(這個結果和上述不等式③的結果還是相同, 即不等式⑦⑧相同) , 后面的部分同理, 我們可以得到二次函數的解析式為y=x2-2x-3.

4 從高中數學的角度分析

以上在討論不等式

兩部分的過程中, 都非常巧合的出現了部分相同的運算結果, 如當分類討論為一次不等式時, 兩者都化為-4x+ 12 ≥0, 即4x- 12 ≤0, 而4x- 12 也恰好都是連不等式4x-12 ≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6 的第一不等號前面的部分. 而當分類討論為二次不等式,兩個不等式的判別式⑦⑧也是相同,都為Δ=16a2-32a+16,從而根據非負性得到a= 1. 數學中一般不存在這種“巧合”的偶然性,應該有著必然性. 也就是這道題的數學本質是什么? 其實,如果從高中的觀點來分析這道題的話,會更加容易挖掘這道題背后蘊含的內涵和本質.

我們再來看原題中最重要的這個連不等式條件: 對任意實數x, 都有4x-12 ≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.結合前面的分析, 我們不難發(fā)現: 如果不考慮二次函數y=ax2+bx+c的圖象過點(-1,0)這個條件, 其實二次函數y=ax2+bx+c的圖象是一條與直線y= 4x-12相切于(3,0) 的拋物線. 而且這條拋物線是夾在拋物線y=2x2-8x+6 與直線y=4x-12 兩者之間.

再來看拋物線還要滿足是夾在拋物線y=2x2-8x+6與直線y= 4x-12 兩者之間, 即滿足對任意實數x, 都滿足4x-12 ≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6 的不等關系. 可根據圖象與y軸的位置來處理,直線y= 4x-12 與y軸交于(0,-12),拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于(0,c),拋物線y= 2x2-8x+6 與y軸交于(0,6),所以我們可以得到-12 ≤c≤6. 而c= 9a-12, 則-12 ≤9a-12 ≤6,解得0 ≤a≤2. 又a ?= 0, 則0＜a≤2. 即對任意實數x, 都滿足4x-12 ≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6的二次函數y=ax2+bx+c(a ?= 0) 的解析式為y=ax2+(4-6a)x+(9a-12)(0＜a≤2).

從高中數學的觀點來看這道題, 我們可以歸納: 對任意實數x, 都成立

4x-12 ≤ax2+bx+c≤2x2- 8x+ 6 的二次函數y=ax2+bx+c的圖象就是與直線y= 4x- 12 相切于(3,0) 的拋物線系. 而且這些拋物線是夾在拋物線y=2x2-8x+6 與直線y=4x-12 兩者之間(如圖7).

圖7

這個拋物線系的解析式可以表示為y=ax2+(4-6a)x+(9a-12)(0＜a≤2). 當a= 0,y=ax2+bx+c的解析式就退化為一次函數y= 4x- 12. 當a= 2 時,y=ax2+bx+c的解析式就是y=2x2-8x+6.

5 教學導向

5.1 關注課本,“以本為本”

教科用書是集眾多數學教育家和教育工作者智慧的結晶,其權威性和科學性毋庸置疑. 雖然作為教學的補充,市面上會出現各種讓人眼花繚亂的教輔用書,還有隨著信息技術的發(fā)展,各種超大容量的電子題庫也層出不窮. 然而,越來越多有識之士達成的共識都是要把數學從題海中跳出來,我們的數學教學不只是簡單機械的刷題,而是要更關注培養(yǎng)學生的學科核心素養(yǎng),讓學生養(yǎng)成終生學習,自主學習所必備的數學思想方法. 所以我們更應該追本溯源,回歸課本. 課本中的每個知識的呈現, 每道例題和習題的設計都是大有深意,都是專家們在深思熟慮后最好的統籌. 我們在教學中可以在課本中挖掘更多的教學資源, 并且以課本為教學核心資源,不要被所謂的“學案”和“題庫”牽著鼻子走,失去自己的教學節(jié)奏.

5.2 關注初高中銜接

中考作為初中生學業(yè)水平考試,也是學生進入高中學習的最重要選拔考試,邏輯的壓軸題中更是成為一種新的趨勢.從數學史的角度,數學學科知識的產生與發(fā)展和學生認知的過程不完全一致, 所以在教學中數學學科知識的呈現是以“螺旋式上升”的方式讓學生更容易接受. 像小初銜接中的正負數,簡易數軸,簡易方程,簡易不等式,幾何圖形初步,簡單的統計等等. 而如果說初中的一般的教學內容難度為1 個單位,高中的相關數學內容難度為2 個單位,那么在中考的壓軸題中對初高中銜接的考查設計到1.5 個難度單位,完全是可行而且是有必要的. 所以我們要加大初高中銜接的內容的重視度和關注度,在教學中,特別是壓軸題的教學中,加大初高中知識融入和整合教學. 而從高中數學更高的角度來看初中數學,讓我們對初中數學有更深入的理解和思考,教學教研上就可以有更充分的挖掘.

5.3 落實數學核心素養(yǎng)

教育的最終目的就是為了讓受教育者能自主的學習. 數學教學不僅僅是教會學生數學知識,教會學生做題,更重要的是提升學生的思維邏輯水平, 培養(yǎng)學生的數學思想方法,落實數學學科素養(yǎng). 而學科素養(yǎng)并不是一招一式中獲取,也不是一課一時之中,而是在不斷的積累中,在探究問題,分析問題,解決問題中最終落實. 這對我們老師對課程設計,教學活動組織,問題探究,資源整合提出了新的要求. 而從高觀下,或者說另一個角度來理解教學,理解數學,就來更容易抓住教育教學的本質,更有針對性的培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).