文 何優(yōu)優(yōu) 曹炯

度量是數學的本質，沒有度量就沒有數學。在小學階段，度量的對象主要是線段、角、常見的平面圖形和立體圖形。《認識厘米》是學生認識長度單位的開始，也是今后學習其他面積單位和體積單位的基礎。

結構化教學是指教師安排有組織、有系統(tǒng)的學習環(huán)境，有計劃地幫助學生建立學科知識體系和培養(yǎng)個人學習系統(tǒng)和習慣，提高他們獨立學習的能力。長度度量的本質是度量兩點間距離，這樣的度量依賴的是人對距離遠近感知的本能，這樣的度量是需要參照物的。

一、整體思考：對度量體系的結構化推進

1.找準起點，把握度量單位的數學功能與本質特征。

人的兩個先天本能，一是對數量多少的感知；二是對距離遠近的感知。這兩個先天本能是學生學習數學、度量和度量單位的思維基礎。又因為人具有抽象和想象這兩種特殊能力，因此可以把兩個先天本能延伸到對事物某個指標順序的感知。因此，在教學中我們要把握學生認知度量單位的先天本能和特殊能力。

在教學《認識厘米》時，我們應該找準起點，基于學生的先天本能，進一步深化量感。在教學“面積”時，要基于“長度單位”的基礎，由線想到面，從一維到二維順利過渡，明白為什么面積的計算同樣可以用尺子測量長度得到。在教學“體積”時，從線→面→體，讓學生感受到三維與一維、二維的聯(lián)系，明白“度量”的本質，體會度量體系的結構化思維。

度量單位就是把不同個體的度量方法標準化，是為了對度量的結果進行傳播和交流的需要。度量單位必須能夠揭示度量的本質，即表現(xiàn)事物某些指標的順序，比如，數量的多少以及抽象出來的數的大小、距離的遠近、質量的輕重、速度的快慢等。

2.走向統(tǒng)一，利用非標準長度測量感悟測量的本質。

度量是數學的本質，沒有度量就沒有數學。人們最初度量距離的參照物都是人體自身的某些部位。小學階段度量意識的培養(yǎng)和度量觀念的建立主要表現(xiàn)為理解統(tǒng)一單位的必要性，知道怎樣規(guī)定單位，掌握用單位量計算?！岸攘繂挝弧钡慕y(tǒng)一性與多樣性是人類交流與刻畫多樣化世界的必然需求，即用同樣的“數”刻畫萬千的“量”。

在人教版二年級上冊《認識厘米》之前，教材通過非標準長度單位對課桌進行測量（如圖1），經歷一個從非標準長度單位到標準長度的發(fā)展過程，讓學生在其中感悟統(tǒng)一長度單位的必要性，感悟測量的本質。

圖1

在度量“起始課”活動中，讓學生體會到：因為標準不一樣，測出來的數據就不一樣（如圖2），所以有必要產生米和厘米這些標準的長度，體會統(tǒng)一標準的重要性。利用非標準長度單位進行測量，是幫助學生感悟測量本質的最佳途徑。

圖2

測量長度需要統(tǒng)一標準，在面積和體積測量的時候也應該要統(tǒng)一標準，建立知識之間的結構化聯(lián)系。估計物體的長度，我們可以用身體上非標準單位進行長度估測，最終直面度量的本質：測量就是長度單位、面積單位、體積單位的疊加。

3.多樣體驗，提高直觀表象建立度量單位的鮮活性。

測量來源于生活而用于生活，長度、面積、體積概念對于學生來說是抽象的，其實際意義被學生理解與把握的程度，直接影響學生對測量結果的把握、對物體大小等屬性的感悟、對同類度量單位之間聯(lián)系的體會。

《認識厘米》是“起始課”，也稱之為“種子課”，厘米到底有什么用？通過操作表征描、想、找，圖像表征想、記，口語符號表征拿、說、比，實際情境化表征找、說、認。多樣化體驗感受測量的基本活動。

圖3

“面積”是“轉折課”，面積的概念與長度的概念是不一樣的，長度是兩點間的距離，面積是一個平面的大小。通過讓學生思考：“面的大小能不能用尺直接測出？”讓學生在直觀對比、動態(tài)展示、動手操作中明白為什么“面積”開始不能用尺子度量，到又可以用尺子來測量，體會一維與二維的關聯(lián)。（如圖4）

圖4

“體積”是“延續(xù)課”，體積用什么來度量？在觀察比較、主動運用中感知用尺測量長度為什么能計算長、正方體的體積。讓“體積”教學與“長度”教學相聯(lián)系，讓學生感受到長度、面積、體積在本質上一致，就是用適宜的度量單位個數表示測量對象的相關屬性。（如圖5）

圖5

二、主動關聯(lián)：對度量教學的結構化處理

皮亞杰認知發(fā)展理論認為：發(fā)展是個體在與環(huán)境不斷地相互作用中的一種建構過程，其內部的心理結構是不斷變化的。因此，在對度量教學結構化處理時要主動關聯(lián)：關聯(lián)學習內容、關聯(lián)教學過程、關聯(lián)教學差異。

1.關聯(lián)學習內容，明晰縱向關系。

從整個小學數學教學而言，長度、面積、體積概念具有內在緊密的結構化知識體系。長度概念和面積概念的教學是“教結構”階段，體積概念的教學是“用結構”階段。

二年級上冊的《認識厘米》承擔著奠基性的作用，在教學過程中引導學生把握度量概念、度量方法、度量工具和度量單位。

三年級下冊的《面積》是從一維到二維的變化，引導學生類比長度概念的教學過程來進行面積概念的學習，還要不斷與長度概念進行多種方式和多層次的溝通，為體積概念的教學奠定教學過程與學習方法結構的基礎。

五年級下冊的《體積》是學生從一維的線段度量到二維的面積度量再到三維的體積度量的整體認識，引導學生回憶長度、面積概念教學過程與學習方法結構，也要讓學生進行多種方式和多層次的溝通與比較，更要讓學生學會對長度、面積、體積概念進行系統(tǒng)性的梳理、比較和溝通。

2.關聯(lián)教學過程，厘清結構思路。

為幫助學生建立從一維到二維再到三維的空間觀念，教學過程要保持基本一致。

在長度概念起始課《認識厘米》中，通過直接測量小棒的長度，讓學生形成度量概念。在生活中二年級學生已經有了長度的概念，通過測量感知，讓學生對長度有更深刻的理解。在活動中建立1 厘米的長度觀念，比較度量方法，對于長度的測量，是否給學生一個關于測量的定義并不重要，重要的是讓學生體會到長度是幾個長度單位累加的結果。在情境創(chuàng)設中幫助學生經歷度量標準的統(tǒng)一過程，讓固化了的知識得到活化，形成度量單位。從測量的本質出發(fā)，讓“量感”在“長度測量”中體現(xiàn)。

而面積和體積概念的基本教學過程也應該從長度概念切入，從度量本質上看，不管維度如何，都要立足三個層次：

（1）要讓學生感悟到度量是“給度量對象制定一個合適的數”。為什么我們要統(tǒng)一“長度單位”“面積單位”“體積單位”？其本質就是為了用同樣的“數”刻畫萬千的“量”。

（2）要讓學生感悟到度量單位的特性，這是感悟度量本質的重點。

（3）要讓學生感悟到無論是長度、面積還是體積，在本質上是一致的。無論度量單位的稱謂如何，人們都是用“1”來表示一個度量單位，這是數學研究最為基本的概念。

3.關聯(lián)教學差異，梳理度量個性。

在保持長度、面積、體積概念教學過程基本一致的基礎上，還要注意三者之間的區(qū)別和聯(lián)系，使學生建立起從一維的線到二維的面再到三維的體的整體認識，從而使學生形成結構化的認識和思維方式。

在計量單位的學習中，學生經常會出現(xiàn)計量單位混淆的情況，長度單位作為面積、體積單位的基礎，如果也出現(xiàn)混淆，會增加后面計量單位學習的難度，這是由于學生對這三個不同維度概念沒有做到很好的區(qū)別與聯(lián)系。

因此，在實際教學中應幫助學生梳理長度、面積、體積單位之間的特點。通過比較，能有效區(qū)分三者之間的差別。讓學生用不同的手勢、非標準單位對比三個長度單位之間的差異，從而進一步明確三個長度單位之間的本質。梳理三者概念教學的過程中借助對比凸顯三維概念的區(qū)別與聯(lián)系。

三、主動重構：對教學方法的結構化思考

1.抓住基點，以長度單位認識作為主線。

在長度單位的認識中，都以建立對應長度觀念為首要知識目標。而《認識厘米》這一節(jié)課中，我們的主線就是不斷地認識深化“厘米”這一長度單位。在教學活動中應始終抓住1 厘米這一基點，建立并逐步完善、豐富長度觀念。

【教學片斷1】

在探究“1 厘米”這一表象的活動過程中，讓學生在尺子上找“1 厘米”，學生找到了從1 厘米到2 厘米這樣的一大格就是1 厘米，從2 厘米到3 厘米是1 厘米。然后繼續(xù)追問從5 厘米到多少也是1 厘米呢？這時，學生的思維盲點是只想到從5 到6 是1 厘米，是順向思維。因為我們畫線段一般是從左往右畫，數數也是從小往大數。學生往往想不到，從5 到4 也是1厘米。（如圖6）

圖6

課堂上出現(xiàn)了短時的安靜，但是這樣的安靜給足了學生思考的空間，最終學生突破思維定勢，經歷了逆向思維的過程。這樣有挑戰(zhàn)性的學習，讓學生的思維有了結構化的變化，拓寬了學生的視野，讓學生從多角度去發(fā)散思維，從而有新的發(fā)現(xiàn)。

【教學片斷2】

《認識厘米》作為長度單位的起始課，是以長度單位的認識為線索展開的，其教學目標是以長度觀念的建立作為首要知識目標，建立1 厘米的長度觀念。學生對1 厘米的長度直觀表象有更深刻的把握，那么1厘米的長度觀念就越好。

如果只讓學生借助生活中常見的1 厘米長度的物品感受1 厘米到底有多長，或者只讓學生通過直尺來了解1 厘米有多長，學生對長度的認識就會停留在直尺的刻度中，這樣獨立的活動顯然無法發(fā)展學生1 厘米的長度觀念。教學中應通過多樣化的體驗活動及多樣化活動材料，不斷深化感知1 厘米，建立1 厘米的表象。

這一過程是抓住長度單位為主線的過程，學生認識長度單位的過程一般是“認識測量對象（長度）———認識長度單位——用長度單位直接測量——用公式間接量”。而在面積單位、體積單位的學習中，同樣應該遵從這一過程：“認識測量對象(面積、體積)——認識面積、體積單位——用面積、體積單位直接測量——用公式間接量”。這一過程是融會貫通的過程，有利于學生對數學知識的縱向把握。

2.置身現(xiàn)實，以實際測量活動作為載體。

測量來源于生活而用于生活，長度單位的建立離不開學生的實際活動經驗。在長度測量《認識厘米》一課中，以實際的長度測量開始，簡潔而明了地出示一根小棒，讓學生自己測量長度，在實際測量中鞏固知識，提升量感。

學生依據原有的生活經驗，從“0 刻度線”開始測量，讓學生明晰，測量物體時對準0 刻度線，另一邊指著幾就是幾厘米，這是測量的一般方法。但是我們的教學不應該止于一般方法，于是通過移動小棒，在實際測量活動中解決現(xiàn)實問題，體會測量與生活的聯(lián)系。

【教學片斷】

同一根小棒（8 厘米），從0 刻度線移至2 這一刻度，追問學生：“現(xiàn)在這根小棒的長度是多少？”讓學生感受到，同一根小棒長度不變，但是度量的方法發(fā)生了改變，這樣另一端對著10 這一刻度，并不是10 厘米，進而讓度量回歸本質，通過數來得到有幾個這樣的“1 厘米”。（如圖7）

圖7

在“長度測量”的實踐活動中讓學生經歷整個知識形成的過程，感受長度具有的有限可加性。

3.估測結合，以估測能力培養(yǎng)作為目標。

量感在“度量”中存在一種能力表現(xiàn)即估測能力，量感越好，估測能力就越強。生活中經常需要通過估計量的大小作出合理的判斷，在實際測量之前，可以讓學生先估一估。把學生估測能力的培養(yǎng)作為目標，滲透在“長度測量”的每一個內容中，融合到每一次測量活動當中。

（1）量的推斷，促進積淀“量感”。

對厘米的認識不僅是讓學生把握1 厘米的實際長度，學會量線段和畫指定長度的線段，更重要的是讓學生感悟測量的數學內涵。這樣的教學設計是度量教學結構化的主線，在長度的估測中讓學生慢慢滲透二維面積和三維體積的估測思想。在《認識厘米》的教學中，筆者給學生提供了獨立操作的空間與時間。

【教學片斷】

請同學們把尺子收好，孫悟空想要來考考我們的眼力了。估一估，這一條線段有多長？（如圖8）你是怎么估的？進而讓學生比劃。哦，原來我們食指的寬度大約是一厘米，這條線段有3 個食指寬，就是3 厘米。再讓學生通過精確測量，發(fā)現(xiàn)用這樣的方法估一估能比較精確地估出長度。

圖8

（2）量的深化，促進內化“量感”。

固定長度線段的估測是第一層次的練習，我們更希望學生能有不一樣的估測能力，在估算的過程中不斷修正結果。因此又設計了一條射線，讓學生用自己的方法估一估。

【教學片斷】

在這條線上找到一個點，讓這條線段變成孫悟空需要的6 厘米。（如圖9）看誰的線段最接近6 厘米。我們想在學生思維盲點處追問，讓學生換個視角還能思考，體會不同的估測方法，讓學生在活動中促進內化“量感”。

圖9

總之，“整體思考”“主動關聯(lián)”“主動建構”既是培養(yǎng)目標，也是培養(yǎng)方法。在結構化的度量教學過程中，教師應該關注長度、面積、體積三節(jié)起始課之間的聯(lián)系。從基于知識本身的點狀學習走向基于知識學科的系統(tǒng)學習與基于知識意義的綜合學習。如果教師能夠合理把握好數學知識的框架體系，并能結構化地設計教學過程，學生的數學思維和學習能力就會得到很大的提升。