韋堯兵, 趙 成, 張 震, 劉儉輝

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

工程零件在服役期間都會(huì)因承受循環(huán)載荷而導(dǎo)致疲勞失效,而疲勞失效是結(jié)構(gòu)零件的主要失效形式之一[1-3].在循環(huán)載荷作用下,隨著載荷循環(huán)作用次數(shù)增加,零件內(nèi)部的疲勞損傷會(huì)因不斷累積,而導(dǎo)致零件的剩余強(qiáng)度、安全性以及可靠性降低.由于服役工況存在復(fù)雜性,所以零件承受的循環(huán)載荷往往并不是恒幅載荷,而是變幅載荷,甚至是隨機(jī)的.因此,如何建立多級(jí)載荷作用下剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型成為工程領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題之一.

剩余強(qiáng)度模型有很多,不同零件材料剩余強(qiáng)度衰減形式也存在差異,相應(yīng)的剩余強(qiáng)度模型也各不相同.Wan等[4]提出了考慮缺口和應(yīng)力比影響的S-N-R-D-R剩余強(qiáng)度模型,通過玻璃纖維3238A/EW250F和碳纖維3238A/CF3052這2種機(jī)織層合板(DEN)的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性.Gao等[5]基于干涉理論提出了新的材料剩余強(qiáng)度概率模型,并利用單向碳/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了所提模型的有效性.Wang等[6]通過對(duì)自然腐蝕的鋼板進(jìn)行表面測(cè)量和拉伸實(shí)驗(yàn),研究了腐蝕對(duì)鋼板機(jī)械性能的影響,并基于輪廓的數(shù)值方法實(shí)現(xiàn)對(duì)鋼板剩余強(qiáng)度的預(yù)測(cè).Chen等[7]研究了平紋碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧復(fù)合材料在隨機(jī)疲勞載荷作用下的剩余強(qiáng)度和破壞概率.高建雄等[8]基于剩余強(qiáng)度和剩余壽命取決于材料內(nèi)部同一損傷狀態(tài)的假設(shè),推導(dǎo)出隨機(jī)載荷作用下風(fēng)電葉片復(fù)合材料剩余強(qiáng)度的概率模型,并通過風(fēng)電葉片復(fù)合材料層合板的靜強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與疲勞壽命實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性.林小燕等[9]基于非線性疲勞損傷累積理論建立剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型,并通過材料的S-N曲線求解模型中的未知參數(shù),最后將模型預(yù)測(cè)結(jié)果與材料實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較,驗(yàn)證模型的合理性.李莉等[10]討論了Schaff模型能較好地描述35CrMo的剩余強(qiáng)度退化規(guī)律.

零件的強(qiáng)度退化具有隨機(jī)性和不可逆性,Gamma過程是獨(dú)立、單增的過程,具有描述零件強(qiáng)度退化的基本特征[11].楊周等[12]利用Gamma過程來描述零件結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度退化過程,并對(duì)零件進(jìn)行動(dòng)態(tài)可靠性建模,結(jié)果表明,所建立的模型能準(zhǔn)確反映出零件可靠度隨時(shí)間的變化規(guī)律.呂昊等[13]利用Gamma函數(shù)描述強(qiáng)度退化隨機(jī)過程,并利用攝動(dòng)法、四階矩法和Edgeworth級(jí)數(shù)法解決隨機(jī)參數(shù)服從任意分布的可靠性計(jì)算問題,最后以螺栓為例驗(yàn)證該方法的有效性.安宗文等[14]建立基于P-S-N曲線的強(qiáng)度退化模型,并利用材料P-S-N曲線對(duì)Gamma過程的特征參數(shù)進(jìn)行估計(jì),最后以20CrMnTi鋼疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性.Yan等[15]考慮海洋船舶機(jī)構(gòu)所受應(yīng)力的隨機(jī)性和強(qiáng)度降低過程的隨機(jī)性,建立基于半隨機(jī)過程的可靠性模型,最后利用Gamma過程求解未知參數(shù).Zeng等[16]結(jié)合腐蝕速率的諾索克預(yù)測(cè)模型,考慮密封性能下降過程的隨機(jī)性和不可逆性,提出基于Gamma過程的海底連接器密封性能下降的隨機(jī)模型.

本文基于Schaff模型,考慮載荷加載次序?qū)κＳ鄰?qiáng)度的影響,引入載荷次序影響因子α,提出等損傷比剩余強(qiáng)度預(yù)估模型,推導(dǎo)出多級(jí)載荷作用下剩余強(qiáng)度表達(dá)式,在此基礎(chǔ)上討論了兩級(jí)加載下剩余強(qiáng)度退化方式.剩余強(qiáng)度模型本身隱含著循環(huán)載荷作用下零部件的強(qiáng)度退化信息,考慮到強(qiáng)度退化具有隨機(jī)性和不可逆性,Gamma過程具有單調(diào)遞增的性質(zhì)，因此,本文選用Gamma過程來描述零件的強(qiáng)度退化過程.假定Gamma過程的形狀參數(shù)v為線性函數(shù),利用45#鋼和30CrMnSiA的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性,并估計(jì)Gamma過程的形狀參數(shù)v和尺寸參數(shù)u.

1 剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型

剩余強(qiáng)度是指結(jié)構(gòu)零件在經(jīng)歷載荷一定循環(huán)次數(shù)作用之后還具有的強(qiáng)度極限值,它從宏觀上反映零件內(nèi)部損傷狀態(tài)的平均效應(yīng),是載荷的循環(huán)次數(shù)N與加載應(yīng)力S的函數(shù)[17],因此剩余強(qiáng)度R(N)的表達(dá)式為

R(N)=f(N,S)

(1)

不同材料在循環(huán)載荷作用下剩余強(qiáng)度的退化規(guī)律是不同的,即使是同種材料在不同循環(huán)載荷作用下剩余強(qiáng)度的退化規(guī)律也存在差異.就金屬材料而言,從疲勞機(jī)理上看,疲勞加載初期,零件在循環(huán)載荷作用下產(chǎn)生的缺陷,如位錯(cuò)、滑移、空洞等,對(duì)零件的強(qiáng)度影響很小；但后期零件內(nèi)部會(huì)不斷萌生出新裂紋,會(huì)引起有效接觸面積減小,從而導(dǎo)致零件強(qiáng)度迅速降低,最終發(fā)生疲勞破壞.金屬材料的剩余強(qiáng)度退化規(guī)律具有“突然死亡”的特點(diǎn),即剩余強(qiáng)度開始降低得很慢,但當(dāng)循環(huán)載荷比N/Nf接近1時(shí)剩余強(qiáng)度急劇降低,最終發(fā)生疲勞破壞.結(jié)合邊界條件,剩余強(qiáng)度曲線應(yīng)具有以下特征：

1)R0=σb,初始邊界條件,剩余強(qiáng)度的初始值等于材料的靜強(qiáng)度；

2)R(N)=Smax,破壞邊界條件,剩余強(qiáng)度等于疲勞載荷峰值時(shí),零件發(fā)生疲勞破壞,此時(shí)的循環(huán)數(shù)即為疲勞壽命Nf；

4)N→Nf時(shí),具有“突然死亡”特點(diǎn)；

5)R(N)是單調(diào)遞減函數(shù).

滿足特征1)和特征2)的一般函數(shù)為

R(N)=R0-(R0-Smax)f(N/Nf)

(2)

其中,

(3)

式中：R0為零件的初始靜強(qiáng)度；Smax為循環(huán)載荷峰值；N為循環(huán)載荷作用次數(shù)；Nf為在載荷Smax作用下的疲勞壽命.

滿足以上所有特征的模型有很多,本文選擇Schaff剩余強(qiáng)度模型.該模型的優(yōu)點(diǎn)在于需要確定的參數(shù)相對(duì)較少,精度也相對(duì)較高,在機(jī)械、電子、復(fù)合材料等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[18].模型定義為

(4)

其中，c為材料系數(shù),c取不同值時(shí),零件剩余強(qiáng)度的具體衰減形式也存在差異,當(dāng)c=1時(shí),剩余強(qiáng)度呈線性衰減,如圖1所示.

圖1 剩余強(qiáng)度退化規(guī)律Fig.1 Degradation law of residual strength

在實(shí)際工程中,一些關(guān)鍵的結(jié)構(gòu)零件在服役期間往往承受多級(jí)載荷作用,甚至承受隨機(jī)載荷的作用.因此,載荷加載次序和不同載荷的相互作用必然會(huì)對(duì)零件的剩余強(qiáng)度退化規(guī)律產(chǎn)生重要影響.本文引入載荷次序影響因子α(恒幅載荷時(shí)α=1),建立等損傷比剩余強(qiáng)度預(yù)估模型.模型定義為

(5)

其中,載荷次序影響因子α的定義式為

(6)

假設(shè)零件在循環(huán)載荷S1作用下的疲勞壽命為Nf1,則第1級(jí)載荷S1作用N1次后,零件的剩余強(qiáng)度為

(7)

零件在第2級(jí)載荷S2作用下的疲勞壽命為Nf2,基于文獻(xiàn)[19],假設(shè)第2級(jí)載荷S2作用N′2次造成的損傷比等于第1級(jí)載荷S1作用N1次所造成的損傷比,即

(8)

其中,

(9)

原理如圖2所示.

圖2 等損傷比模型示意圖

由式(7～9)可得:

(10)

其中,等效循環(huán)作用次數(shù)為

(11)

在循環(huán)載荷作用N1和N2次后,零件的剩余強(qiáng)度為

R(N1+N2)=R(N′2+N2)=

(12)

同理,可以推導(dǎo)出零件受到多級(jí)載荷Sk作用后的剩余強(qiáng)度表達(dá)式為

(13)

其中,

(14)

2 Gamma強(qiáng)度退化過程

零件的損傷會(huì)隨著載荷作用次數(shù)的增加不斷累積,強(qiáng)度會(huì)隨之降低.從宏觀表象上看,強(qiáng)度退化具有隨機(jī)性和不可逆性兩大特征[20].Gamma過程是有獨(dú)立、非負(fù)增量并服從同一尺寸參數(shù)Gamma分布的隨機(jī)過程,適合描述一系列隨時(shí)間變化而產(chǎn)生微小增量的損傷過程,如零件的強(qiáng)度退化、腐蝕以及裂紋擴(kuò)展等[21].

根據(jù)文獻(xiàn)[22],設(shè)零件的強(qiáng)度退化量x(t)服從形狀參數(shù)v和尺度參數(shù)u的Gamma分布,則Gamma分布的概率密度函數(shù)為

(15)

Gamma過程滿足以下性質(zhì)：

1)x(0)=0 ；

2) 對(duì)?τ>t≥0,x(τ)-x(t)～Ga[x|v(τ)-v(t),u]；

3)x(t) 具有獨(dú)立增量.

由Gamma過程的定義可得x(t)的均值和方差分別為

當(dāng)形狀參數(shù)v(t)為線性函數(shù)時(shí),Gamma過程為平穩(wěn)隨機(jī)過程；當(dāng)形狀參數(shù)v(t)為非線性函數(shù)時(shí),Gamma過程為非平穩(wěn)隨機(jī)過程.在疲勞試驗(yàn)中,零件的強(qiáng)度退化量隨載荷次數(shù)的增加呈現(xiàn)平穩(wěn)遞增的趨勢(shì),不會(huì)出現(xiàn)大的波動(dòng)和跳躍[14].因此,本文選擇線性形狀參數(shù)v(t)=at的Gamma過程來描述強(qiáng)度退化規(guī)律.零件使用過程中所受的載荷具有隨機(jī)性,但最大載荷的期望和分布函數(shù)是不變的,即最大載荷的期望值和分布函數(shù)不會(huì)隨時(shí)間發(fā)生改變.根據(jù)疲勞試驗(yàn)機(jī)的工作原理,循環(huán)次數(shù)比例是載荷在一段時(shí)間連續(xù)作用形成的,因此,可以將循環(huán)次數(shù)比例轉(zhuǎn)換成關(guān)于時(shí)間t的函數(shù),即

(18)

若零件在任意時(shí)間區(qū)間 (ti,tj) 內(nèi)的強(qiáng)度退化量為ΔRij=R(ti)-R(tj)(i,j=1,2,…,n),則整個(gè)壽命周期內(nèi)零件強(qiáng)度退化量的均值和方差估計(jì)值分別為

在循環(huán)載荷作用下,若零件的強(qiáng)度退化服從Gamma過程,則根據(jù)Gamma過程的性質(zhì),任意時(shí)間區(qū)間(ti,tj) 內(nèi)的強(qiáng)度退化量ΔRij服從Ga[v(ti)-v(tj),u]分布,即零件強(qiáng)度退化量服從形狀參數(shù)為v(ti)-v(tj)、尺寸參數(shù)為u的Gamma退化過程.

平穩(wěn)Gamma過程的形狀參數(shù)v(t)為線性函數(shù),即v(t)=at≥0,則零件的強(qiáng)度退化量 ΔRij的均值和方差可表示為

(21)

(22)

由式(21)和式(22)可得：

(23)

將式(19)和式(20)代入式(23)可得：

(24)

對(duì)ui取均值,則得到平穩(wěn)Gamma過程尺寸參數(shù)u的估計(jì)值為

(25)

將式(21)和式(22)相加可得：

(26)

則

(27)

將式(19)和式(20)代入式(27)可得：

(28)

對(duì)ai取平均值,從而得到Gamma過程特征參數(shù)a的估計(jì)值為

(29)

3 算例分析

3.1 剩余強(qiáng)度模型驗(yàn)證

3.1.1恒幅加載

45#鋼經(jīng)過調(diào)質(zhì)處理后具有良好的綜合機(jī)械性能,廣泛應(yīng)用于各種重要的結(jié)構(gòu)零件,特別是處于交變載荷下工作的連桿、螺栓、齒輪及軸類等.45#鋼在恒幅載荷作用下的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)和誤差分析如表1所列[23].

通過MATLAB最小二乘法擬合得到45#鋼剩余強(qiáng)度退化曲線如圖3所示,式(5)常數(shù)c的擬合值為6.276.

由表1可以看出,剩余強(qiáng)度R(N)的預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值相對(duì)誤差較小,最大誤差僅為7.5%,表明本文模型預(yù)測(cè)精度較高.

圖3 45#鋼在恒幅載荷作用下的剩余強(qiáng)度Fig.3 Residual strength of 45#steel under constant loading

3.1.2兩級(jí)加載

在驗(yàn)證兩級(jí)載荷作用時(shí),引用文獻(xiàn)[24]中2組低-高、高-低加載得到的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)與本文模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如表2所列.其中，加載的平均應(yīng)力為250 MPa，低載荷應(yīng)力為732 MPa,高載荷應(yīng)力為836 MPa.

圖4為30CrMnSiA在低-高、高-低不同加載次序下試驗(yàn)數(shù)據(jù)與本文模型預(yù)測(cè)結(jié)果的對(duì)比情況.可以看出,零件所受載荷的加載次序不同,剩余強(qiáng)度衰減的規(guī)律也不同.低-高加載時(shí),循環(huán)次數(shù)比之和大于1；高-低加載時(shí),循環(huán)次數(shù)比之和小于1.低-高加載時(shí),Schaff模型的最大誤差為17.26%,本文模型的最大誤差僅為6.24%；高-低加載時(shí),Schaff模型的最大誤差為21.31%,本文模型的最大誤差僅為9.27%.最大誤差對(duì)比如表3所列.

圖4 兩級(jí)加載時(shí)30CrMnSiA剩余強(qiáng)度對(duì)比結(jié)果Fig.4 Comparison results of residual strength of 30CrMnSiA under two-stage loading

無論是低-高加載還是高-低加載,本文模型相比于Schaff模型,試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分散性更小,預(yù)測(cè)精度更高.

3.2 Gamma過程參數(shù)估計(jì)

基于表1,可以計(jì)算出各時(shí)間區(qū)間的強(qiáng)度退化量,結(jié)果如表4所列.

將表4中的ΔRij分別代入式(19)和式(20)可得：

(32.59-174.586)2+(179.77-174.586)2+

(657.79-174.586)2}=62 734.639 MPa2

因此，45#鋼的強(qiáng)度退化規(guī)律可以描述為服從形狀參數(shù)v(t)=0.873t、尺寸參數(shù)u=2.783×10-3的Gamma分布.

低-高加載下，零件在t1=0.233時(shí)，各時(shí)間區(qū)間強(qiáng)度退化量估算結(jié)果如表5所列.

將表5中的ΔRij分別代入式(19)和式(20)可得：

同理可以得到，低-高加載下，t1=0.269、0.448、0.628、0.807時(shí)對(duì)應(yīng)的ui和ai，如表6所列.

高-低加載下，t1=0.208、0.417、0.694時(shí)對(duì)應(yīng)的ui和ai如表7所列.

由式(24)和式(28)可得，低-高加載下,Gamma退化過程的特征參數(shù)估計(jì)值分別為

高-低加載下,Gamma退化過程的特征參數(shù)估計(jì)值分別為

因此，30CrMnSiA在低-高加載下的強(qiáng)度退化規(guī)律可以描述為服從形狀參數(shù)v(t)=7.609t、尺寸參數(shù)u=1.465×10-2的Gamma分布；在高-低加載下的強(qiáng)度退化規(guī)律可以描述為服從形狀參數(shù)v(t)=7.104t、尺寸參數(shù)u=9.374×10-3的Gamma分布.

4 結(jié)論

1) 提出了考慮載荷加載次序影響的等損傷比剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型,并推導(dǎo)出多級(jí)載荷作用下剩余強(qiáng)度表達(dá)式.

2) 利用30CrMnSiA的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)討論了零件在兩級(jí)加載下剩余強(qiáng)度退化規(guī)律.低-高加載下,Schaff模型的最大誤差為17.62%,本文模型的最大誤差為6.24%；高-低加載下,Schaff模型的最大誤差為21.31%,本文模型的最大誤差為9.27%.結(jié)果表明本文模型預(yù)估精度要高于Schaff模型.

3) 基于剩余強(qiáng)度模型的強(qiáng)度退化量,估計(jì)了Gamma過程的形狀參數(shù)和尺寸參數(shù).結(jié)果表明,不同加載方式下,強(qiáng)度退化量服從不同的Gamma分布.