趙玉峰, 徐 濤

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

零電阻性和完全抗磁性是超導(dǎo)材料所具有的特性,因此在科研和工業(yè)生產(chǎn)等多領(lǐng)域內(nèi)都有著非常廣泛的應(yīng)用,超導(dǎo)材料一方面可以制成大型器件如超導(dǎo)電纜、超導(dǎo)電機,另一方面可以制成小型精密儀器如超導(dǎo)量子干涉器件,超導(dǎo)計算機等.一般超導(dǎo)復(fù)合材料中都存在裂紋和夾雜物,這也已經(jīng)成為一種普遍現(xiàn)象[1-2].YBCO材料作為超導(dǎo)技術(shù)應(yīng)用的首選材料從室溫加工冷卻過程中會產(chǎn)生裂紋并影響YBCO超導(dǎo)體的機械能[3].當(dāng)研究這些材料的斷裂行為時[4-6],裂紋與夾雜物之間有著重要的關(guān)系.高志文等[7]首先研究了超導(dǎo)體的裂紋問題.Ren等[8]通過研究塊體熔融織構(gòu)YBCO材料在不同溫度下的俘獲磁場特性為超導(dǎo)體的磁體損傷提供實驗數(shù)據(jù)支持.Gao等[9]研究了Ⅱ型超導(dǎo)體中裂紋與夾雜物之間的關(guān)系,并討論了場冷卻后外磁場的問題.Gao等[10]研究了在臨界狀態(tài)Bean模型描述下電磁力作用下的Ⅱ型超導(dǎo)體內(nèi)共線裂紋的相互作用.張朝霞等[11]研究了外加磁場下REBCO超導(dǎo)體塊中平行裂紋的相互作用.Xue等[12]研究了橢圓形夾雜物對臨界電流密度的影響,結(jié)果表明夾雜物的存在導(dǎo)致臨界電流密度明顯降低.Xue等[13]研究了電磁力作用下超導(dǎo)塊體中斜向裂紋與圓形夾雜物之間的關(guān)系.Zhao等[14-15]研究了具有非均勻臨界電流分布的長圓柱型超導(dǎo)體的裂紋夾雜一般問題.Zhao等[16]考慮非均勻超導(dǎo)體的電流密度與空間相關(guān)的俘獲磁通特性.劉俊杰[17]和郭俊宏等[18]研究了夾雜物變硬或者帶孔的特殊情況.以上研究并沒有考慮夾雜物與兩個或者兩個以上裂紋之間的影響,而夾雜雙裂紋之間是有顯著影響的.

本文研究了高溫超導(dǎo)體在外加磁場與粘性磁通量流動的共同作用下含夾雜物的共線裂紋的斷裂行為,同時還比較了裂紋長度與夾雜物對應(yīng)力強度因子的影響.電磁行為由臨界狀態(tài)(Bean模型)描述,圓形夾雜物和裂紋對臨界電流密度造成的擾動假定可以忽略不計,在該模型中不予考慮.

1 幾何模型和基本方程

如圖1所示放置在外磁場Ba中的一個寬為2w的無限長超導(dǎo)平板,在平板中心有一個半徑為r的圓形夾雜物,在平板中心處,沿y軸有兩個長度為2a的共線裂紋,d代表夾雜物中心到裂紋的距離,超導(dǎo)基體和夾雜物的彈性模量不同,分別用E1和E2表示.在塊狀體裂紋部分,電流回路完全破壞,沒有電流通過該區(qū)域.本文的斷裂問題基于以下假設(shè)：1) 忽略裂紋和夾雜物對屏蔽電流的干擾；2) 由于忽略磁效應(yīng)和低臨界場.可將其視為平面應(yīng)變問題；3) 假設(shè)超導(dǎo)體是線彈性的.

圖1 含有夾雜-共線裂紋的超導(dǎo)體Fig.1 Superconductor plate with inclusion collinear crack

在當(dāng)前超導(dǎo)體板模型中,根據(jù)臨界狀態(tài)Bean模型.電磁場中的磁通釘扎力可以用以下形式給出：

(1)

討論零場冷卻條件下外磁場下降階段的超導(dǎo)體內(nèi)磁場分布,超導(dǎo)體板內(nèi)磁通分布如下：

(2)

式中：B為超導(dǎo)體板中的磁場；Jc為臨界電流密度；根據(jù)Bean模型等于常數(shù).η為與磁通運動相關(guān)的粘度；v為局部磁通速度；φ0為磁通量子；μ0為真空磁導(dǎo)率.?表示增加或減小磁場的超導(dǎo)體的磁通運動或離開.

超導(dǎo)體板內(nèi)的磁通連續(xù)性方程表示如下：

(3)

根據(jù)Liu等[19]的研究結(jié)果,本文假設(shè)：B(x,t)=B(δ),δ=x-v0t,v0是超導(dǎo)體板內(nèi)恒定通量流速.得到v=v0時,B(x-v0t)是式(3)的解.將超導(dǎo)體板沿厚度方向?qū)積分可以得到應(yīng)力表達式：

(4)

當(dāng)外磁場從最大值Bm逐漸下降到Ba時,超導(dǎo)板體內(nèi)部的磁通密度分布可以表示為

外磁場的下降率dBa/dt與v0有關(guān),dBa/dt=-μ0[Jc+(ηv0/φ0)]v0，v0表示恒定速率,并假設(shè)η和φ0.通過式(5),當(dāng)x=x0時板體內(nèi)磁通被分成激活區(qū)域和非激活區(qū)域；當(dāng)xx0時,該區(qū)域處于活動狀態(tài).

通過Bp=μ0Jcw將Bm,Ba,Bx進行正則化：

(8)

含夾雜共線裂紋尖端的應(yīng)力強度因子值能作為判斷超導(dǎo)材料斷裂性能的重要依據(jù),而J積分表示含夾雜共線裂紋尖端的應(yīng)力強度因子,在本模型中應(yīng)用平面應(yīng)變法J積分表示為

(9)

式中:Γ為裂紋底端開始到裂紋頂端結(jié)束的積分圍線;W為超導(dǎo)板體內(nèi)應(yīng)變能密度；Ti為作用在超導(dǎo)板體上的張力矢量；u是超導(dǎo)板體上的位移矢量.

在平面應(yīng)變條件下計算J積分值與應(yīng)力強度因子K1之間的關(guān)系：

(10)

式中:ν是泊松比，ν=0.3；E為楊氏模量,E=80 GPa.進行無量綱處理.目的是將運算過程盡量簡單化：

(11)

式中

(12)

2 結(jié)果及分析

圖2展示了裂紋A端應(yīng)力強度因子隨著外磁場從4Bp減小到0過程中變化情況.隨著外磁場逐漸減小,圖中假設(shè)的三種磁通粘滯流動速率下的應(yīng)力強度因子在初始階段迅速增加,大約在Ba=2Bp處達到峰值,之后增大趨勢放緩,在2Bp到0這個階段內(nèi),應(yīng)力強度因子值緩慢下降,磁通粘滯流動速率越大其下降程度越緩慢,且粘滯磁通速率越大含夾雜共線雙裂紋尖端處應(yīng)力強度因子的峰值出現(xiàn)在外磁場Ba越小處.

圖2 不同磁通粘滯速率下Ba/Bp對K1/K0的影響Fig.2 Effect of Ba/Bp on K1/K0 under different flux viscosity rates

圖3描述了夾雜半徑r/w對應(yīng)力強度因子K1/K0的影響.從圖中可以看出隨著裂紋長度增長,應(yīng)力強度因子K1/K0也逐漸減小,說明兩者之間負相關(guān).同時可以看出在相同裂紋長度情況下,遠離夾雜的裂紋端A和D與靠近夾雜的裂紋尖端B和C之間的應(yīng)力強度因子值幾乎是相同的,同時B和C端要小于A和D端的應(yīng)力強度因子值,從圖中可以得出夾雜半徑r越大對含夾雜共線裂紋尖端應(yīng)力強度因子的抑制作用也就越強.

圖3 r/w對裂紋尖端K1/K0的影響Fig.3 Effect of r/w on crack tip K1/K0

圖4描述了不同的彈性模量E2/E1對應(yīng)力強度因子K1/K0的影響.由圖可知隨著夾雜與基體彈性模量比值E2/E1的增大,應(yīng)力強度因子K1/K0逐漸減小,說明兩者之間負相關(guān).在E2/E1<1之前,隨著E2/E1的增大,應(yīng)力強度因子快速下降,且在0

圖4 E2/E1對裂紋尖端K1/K0的影響Fig.4 Effect of E2/E1 on crack tip K1/K0

圖5描述了a/w對裂紋尖端A和C處在Ba=2Bp,Ba=3.5Bp兩種情況下對應(yīng)力強度因子K的影響.在外部磁場激勵過程中,對于不同的外部磁場條件,當(dāng)Ba=3.5Bp時,應(yīng)力強度因子K1/K0<0,此時整個超導(dǎo)體受壓,產(chǎn)生壓縮裂紋,在這種情況下a/w與K1/K0正相關(guān),當(dāng)Ba=2Bp時，應(yīng)力強度因子K1/K0>0,超導(dǎo)塊體受拉而產(chǎn)生裂紋,在這種情況下a/w與K1/K0負相關(guān).

圖5 外磁場下降過程中a/w對不同處裂紋尖端K1/K0的影響Fig.5 Effect of a/w on crack tip K1/K0 at different places during the decrease of external magnetic field

圖6描述了a/w對裂紋尖端A和C處在v0/w=2,v0/w=3兩種情況下對應(yīng)力強度因子K1/K0的影響.如圖可見,a/w與K1/K0正相關(guān).v0/w=3時,裂紋尖端C處應(yīng)力強度因子值要大于v0/w=2時裂紋尖端A處的值,說明夾雜對裂紋尖端的影響要明顯小于粘性磁通量流速v0對裂紋尖端的影響.

圖6 不同粘性磁通量流速下a/w對裂紋尖端K1/K0的影響Fig.6 Effect of a/w on crack tip K1/K0 under different viscous flux flow rates

圖7描述了r/w對裂紋尖端A與C處在Ba=2Bp,Ba=3.5Bp兩種情況下對應(yīng)力強度因子K1/K0的影響.逐漸增大的夾雜半徑r會緩慢抑制應(yīng)力強度因子K1/K0的擴展,處于不同外界磁場條件下的裂紋尖端有著明顯的差別.在外磁場下降初始階段會抑制裂紋的擴展,隨著外磁場不斷下降這種抑制作用會減弱.

圖7 外磁場下降過程中r/w對裂紋尖端K1/K0的影響Fig.7 Effect of r/w on crack tip K1/K0 during the decrease of external magnetic field

圖8描述了r/w對裂紋尖端A和C處在v0/w=2與v0/w=3兩種情況下對應(yīng)力強度因子K的影響.如圖可見,r/w與K1/K0負相關(guān).v0/w=3時裂紋C端應(yīng)力強度因子大于v0/w=2時裂紋A端應(yīng)力強度因子的比值,說明粘性磁通量流速v0對裂紋尖端應(yīng)力強度因子的促進作用強于夾雜對裂紋尖端應(yīng)力強度因子的抑制作用.

圖8 不同粘性磁通量流速下r/w對裂紋尖端K1/K0的影響Fig.8 Effect of r/w on crack tip K1/K0 at different viscous flux flow rates

圖9展示了在不同磁通粘滯流動速率v0/w下,A和 C處裂紋尖端與夾雜物的距離d/a對共線裂紋尖端應(yīng)力強度因子K1/K0的影響.當(dāng)夾雜物與裂紋之間的距離比較近時(d/a<2)A和C處裂紋尖端應(yīng)力強度因子K1/K0都迅速增加,夾雜對于C處應(yīng)力強度因子的抑制強于A處；在夾雜物與裂紋之間的距離比較遠時,含夾雜共線裂紋尖端處應(yīng)力強度因子值的增長速率逐漸放緩,可以預(yù)見的是，當(dāng)本模型中裂紋尖端與夾雜物之間的距離足夠遠時,A和C處裂紋尖端應(yīng)力強度因子K1/K0幾乎相等.通過對比,發(fā)現(xiàn)當(dāng)夾雜物與裂紋尖端d/a處于某一定值時,磁通粘滯流動速率v0/w越快,裂紋尖端應(yīng)力強度因子K1/K0越大.隨后都慢慢趨于定值.

圖9 外磁場下降過程中K1/K0隨d/a的變化

3 結(jié)論

本文基于 Bean模型提出了一個解決超導(dǎo)體中具有中心夾雜的共線雙裂紋的理論模型，其中不考慮夾雜物和裂紋對屏蔽電流的擾動，忽略磁效應(yīng)和低臨界場.結(jié)果表明：外磁場，裂紋長度，以及夾雜物尺寸等因素都對超導(dǎo)體板的裂紋有著明顯的影響，夾雜物能明顯抑制裂紋近端處(B和C端)應(yīng)力強度因子值的大小，超導(dǎo)體基體與夾雜的楊氏模量之比對裂紋影響非常劇烈，尤其是彈性夾雜能明顯抑制基體裂紋的擴展.