陳 華,洪德成,武圣哲

(1.中國石油大學(華東)理學院,山東青島 266580;2.吉林大學物理學院計算方法與軟件國際中心,吉林長春 130012)

21世紀初,為探測砂泥巖薄交互層組這類低阻油儲層宏觀電各向異性信息,電纜感應(yīng)測井儀器由傳統(tǒng)單一分量的軸向型儀器發(fā)展到多分量感應(yīng)儀器(也稱為三軸感應(yīng)儀器),可以測量同一空間位置上9個磁場分量[1]。它們構(gòu)成空間矢量場完備集,用于反演電導率各向異性、地層邊界位置及方位信息。以此為借鑒,隨鉆電磁波測井儀器也由傳統(tǒng)無方位性的軸向型儀器發(fā)展到以傾斜線圈或正交線圈為基本結(jié)構(gòu)單元的方位電磁波測井儀器[2-4]。在理論研究方面,水平層狀分層地層和圓柱狀分層地層是儀器工作原理分析、參數(shù)優(yōu)化設(shè)計和測井資料處理的基礎(chǔ)模型[5-9]。圓柱狀分層地層主要用于電纜測井及隨鉆測井的井眼環(huán)境影響校正及儀器徑向響應(yīng)特征分析。正演模擬方法與發(fā)射源類型、地層幾何結(jié)構(gòu)和電學性質(zhì)等參數(shù)有關(guān)。發(fā)射源一般分為磁偶極子源與電流源:磁偶極子源可以是任意方向磁偶極子或三軸正交磁偶極子[7-9];電流源考慮發(fā)射線圈幾何形狀,包含傾斜線圈和水平線圈。圓柱幾何結(jié)構(gòu)包括共軸多層和偏心多層;其電學性質(zhì)主要包含電導率各向同性和單軸各向異性。早期針對水平線圈,Chew等[10-11]分別推導了共軸各向同性地層和偏心各向同性地層中儀器響應(yīng)正演解析算法。直到2003年,Hagiwara等[12]給出了共軸各向同性地層居中傾斜線圈正演解析算法。在此基礎(chǔ)上,Hue[13]將該工作推廣到偏心各向同性地層。Liu等[14]進一步推導了多重偏心單軸各向異性地層中傾斜線圈的正演解析算法。國內(nèi)學者魏寶君等[15-16]對柱狀分層介質(zhì)居中傾斜線圈及偏心水平線圈電磁場的解析解分別做了深入研究。值得注意的是上述工作均采用Chew給出的廣義反射/透射遞推系數(shù)描述電磁波在柱狀分層介質(zhì)中的傳播。在頻率-波數(shù)域中其解析公式包含單獨存在的貝塞爾函數(shù)和漢克爾函數(shù)。這類柱函數(shù)的宗量為復數(shù),當其虛部增加時會引起發(fā)散,造成積分計算過程中的數(shù)值溢出問題,為計算機編程帶來不便。Hong等[17]推導了一組新的無溢出廣義反射/透射系數(shù),以柱函數(shù)比值為基本單元,從解析公式的表達上解決了數(shù)值溢出這個難題。隨后,分別給出了水平線圈和傾斜線圈在偏心地層中接收線圈電壓正演解析算法[18-20]。在求解偏心問題的幾何模型中,偏心線圈內(nèi)仍可含有共軸多層介質(zhì)[11,13-14,18-20]。這類模型可用來考察儀器鉆桿對測井響應(yīng)的影響,但由于內(nèi)部柱狀介質(zhì)的電磁散射作用,需要通過矩陣方程求解電磁場分量的駐波和外行波系數(shù)。這使得其解析表達式是非閉合的,不便于對線圈偏心引起的電磁場角模量耦合關(guān)系進行數(shù)理分析。當線圈放置在最內(nèi)層時可得到其閉合的解析表達式,便于物理參數(shù)之間關(guān)系的考察。考慮到電纜測井儀器的玻璃鋼芯棒對電磁波影響較小,隨鉆測井儀器接收線圈的相對測量值受金屬鉆桿的影響可以忽略或為恒定值,求解線圈在最內(nèi)層偏心正演問題也具有實際應(yīng)用價值。筆者針對共軸圓柱各向異性地層推導傾斜電流源在最內(nèi)層偏心時激發(fā)電磁場的解析解閉合表達式,分析角模量耦合強度隨偏心距變化關(guān)系;給出共軸傾斜線圈系電壓解析解,分析當發(fā)射/接收線圈水平放置時電壓表達式的退化過程。最后,通過數(shù)值模擬研究接收線圈電壓與儀器參數(shù)、地層參數(shù)及偏心參數(shù)的變化關(guān)系。

1 偏心線圈正演模型

圖1給出了共軸圓柱地層中偏心線圈系的3種結(jié)構(gòu)。共軸的任意傾斜發(fā)射/接收線圈如圖1(a)所示,為中海油服公司隨鉆測井儀器基本結(jié)構(gòu)單元[18]。發(fā)射線圈徑向半徑ρT與接收線圈徑向半徑ρR大小相同,即ρT=ρR。φT和θT分別為發(fā)射線圈方位角與傾斜角;φR和θR分別為接收線圈方位角與傾斜角。當發(fā)射線圈水平放置時,物理模型簡化為圖1(b),為斯倫貝謝方位電阻率測井儀器PeriScope基本結(jié)構(gòu)單元[2]。當發(fā)射線圈和接收線圈均水平放置時,物理模型進一步簡化,如圖1(c)所示,為傳統(tǒng)軸向型電纜感應(yīng)測井儀器和隨鉆測井儀器基本機構(gòu)單元[11]。

圖1 圓柱狀分層地層中的偏心線圈Fig.1 Eccentric coil in a cylindrical layered stratum

圖2 圓柱狀分層地層中的偏心線圈俯視圖Fig.2 Top view of eccentric coil in cylindrical layered formation

2 正演計算方法

2.1 均勻地層中的電磁場

傾斜線圈加載電流IT=I0exp(-iωt),在空間中激發(fā)交變電磁場。在圓柱坐標系下通過TE/TM波分解技術(shù)實現(xiàn)電磁場正交分解。為匹配圓柱面邊界條件,需首先通過傅里葉變換將電磁場分量轉(zhuǎn)換到波數(shù)域:

(1)

在波數(shù)域中,電磁場z分量為多重角模量的疊加,其在均勻各向同性介質(zhì)中的表達式[12,20]為

(2)

其中

cTE=iνJν(kzρTtanθT)exp(-i(kzzT+νφT)).

(3)

(4)

2.2 圓柱狀分層地層中的電磁場

將線圈放置在圓柱分層地層最內(nèi)層。在儀器坐標系下,以線圈半徑為界,電磁場內(nèi)區(qū)間表達式[20]為

(5)

外區(qū)間表達式為

(6)

式(5)和(6)中的右側(cè)第一項為來自界面的反射場,第二項代表由發(fā)射源產(chǎn)生的背景場。

在地層坐標系下,電磁場一般表達式為

(7)

Jν′-ν(γd)exp(-i(ν′-ν)φE)),

Jν′-ν(γd)exp(-i(ν′-ν)φE).

(8)

(9)

與式(8)比較,有

(10)

(11)

(12)

因為ν與ν′為不同的求和指標,式(12)進一步改寫為

(13)

在等式兩側(cè)乘以常數(shù)Jν′-ν″(γ1d)exp(i(ν′-ν″)φE),ν″為任意整數(shù),整理得

(14)

式(14)對任意ν′階模量都成立,所以對其所有模量求和也成立:

(15)

交換求和順序,得

(16)

利用Graf加法定理[8]:

(17)

其中

式(17)化簡為

exp(i(ν-ν″)φE)a1,ν.

(18)

進一步改寫為

(19)

(20)

(21)

將式(21)代入式(5)或(6)即可求出儀器坐標系下電磁場垂直分量閉合表達式:

(22)

(23)

代入式(21),得

(24)

(25)

所有角模量解耦,駐波為相同角模量外行波的廣義反射波。

2.3 傾斜線圈系電壓

在儀器坐標系下任意傾斜發(fā)射-接收線圈,如圖1(a),電壓表達式[12]為

(26)

積分核:

dTM(ν,kz)ez,ν(ρR,kz)].

(27)

其中

dTE(ν,kz)=i-νJν(κR),

κR=kzρRtanθR.

ez,ν為電場z-分量的ν階模量,由式(5)和(6)得

(28)

eφ,ν為電場φ-分量的ν階模量,利用公式(3)得

(29)

駐波系數(shù)b1,ν已由式(19)求出,將式(28)和(29)中相應(yīng)電場分量代入到式(26)、(27)中即可求出傾斜線圈電壓。

數(shù)理分析顯示,當發(fā)射-接收線圈徑向半徑相等時,式(28)右側(cè)第二項,即背景場,收斂緩慢。為提高數(shù)值積分的計算精度與計算效率,接收線圈電壓計算式(26)中只對反射場積分。反射電場對應(yīng)分量為

(30)

(31)

背景場對應(yīng)電壓求解則采用空間域變量二重有限區(qū)間積分[12]，即

(32)

2.4 水平線圈系電壓

(1)當發(fā)射線圈水平放置,發(fā)射線圈仍為任意方位傾斜時,如圖1(b),積分核(26)進一步簡化。令θT=0,結(jié)合貝塞爾函數(shù)在原點處的性質(zhì)(23)及式(3)知,水平線圈只激發(fā)電磁場零階模量,即

(33)

將式(33)代入式(22),得

(34)

其中

(35)

式(35)即由(20)腳標互換νν″并令ν″=0得到?？梢?雖然水平線圈只激發(fā)電磁場零階模量,但經(jīng)偏心邊界反射后,仍耦合出其他高階模量。

(2)當發(fā)射線圈水平放置,接收線圈也水平放置時,如圖1(c)。接收線圈傾斜角θR=0。積分核(27)進一步簡化得

w(kz)=-ρRγ1eφ,0(ρR,kz).

(36)

其中

2.5 柱函數(shù)及其數(shù)值溢出問題

(37)

(38)

表1 解析算法計算結(jié)果與有限體積法計算結(jié)果統(tǒng)計Table 1 Results comparison between analytical algorithm and finite volume method

3 數(shù)值模擬

3.1 計算方法驗證

考慮三層各向異性地層模型。最內(nèi)層為井眼,半徑為22.86 cm,電導率σ1=0.01 S/m;第2層為侵入帶,半徑為30.48 cm,水平電導率σh,2=0.5 S/m,垂直電導率σv,2=0.062 5 S/m;第3層為原狀地層,水平電導率σh,3=1 S/m,垂直電導率σv,3=0.1 S/m。發(fā)射-接收線圈徑向半徑ρT=ρR=11.43 cm,電流強度IT=1安培,發(fā)射頻率f=2 MHz。發(fā)射線圈位置zT=0;接收線圈位置zR=99.06 cm。其他參數(shù)及計算結(jié)果見表1。與有限體積法對比[21],相對誤差小于0.5%,驗證了本文算法的正確性?；谠撃Ｐ?考慮儀器響應(yīng)隨各參數(shù)變化關(guān)系。

3.2 水平發(fā)射-水平接收線圈系

當發(fā)射線圈-接收線圈均水平放置時,傾斜角θT=0°,θR=0°;由式(38)知電壓只與偏心距d有關(guān),與發(fā)射/接收線圈方位φT、φR及偏心角φE無關(guān)。圖3給出了電壓隨偏心距d變化關(guān)系。可以看出隨著偏心距的增加,電壓實部和虛部信號與居中時的數(shù)值偏離增加。虛部信號居中時為負值,當偏心距很大時則可變?yōu)檎?。令σv,2=0.5 S/m,σv,3=1 S/m,即各向同性地層。當儀器居中時,感應(yīng)電場空間部分為共軸的同心圓,地層中的感應(yīng)電流大小只與水平電導率有關(guān),與各向異性無關(guān),所以從圖3上可以看出此時當接收線圈上的電壓與各向異性無關(guān);但當儀器偏心時對稱性破壞,電壓受各向異性影響,且隨著偏心距的增加各向異性影響增加。

令侵入帶為各向同性,σh,2=σv,2=0.5 S/m,原狀地層為各向異性,圖4給出了偏心距為0.101 6 m時電壓隨地層水平電導率變化規(guī)律?？梢钥闯?當?shù)貙铀诫妼市∮?.1 S/m時,各向異性影響可以忽略;當?shù)貙铀诫妼瘦^大時電導率各向異性影響明顯增加。

圖3 水平發(fā)射-水平接收線圈系電壓隨偏心距變化Fig.3 Voltages of horizontal transmitter-horizontal receiver along with eccentric distance

圖4 偏心距0.101 6 m時電壓隨偏地層水平電導率變化規(guī)律Fig.4 Voltages along with horizontal conductivity of formation for eccentric distance of 0.101 6 m

保持原接收線圈zR1=0.990 6 m,增加接收線圈zR2=0.787 4 m,定義兩個接收線圈電壓信號的幅度比和相位差:

s=|V1|/|V2|,Δφ=φ1-φ2.

(39)

從圖5可以看出,幅度比和相位差均隨著偏心距增加而減小。當儀器居中時,幅度比和相位差與各向異性無關(guān);當儀器偏心時候幅度比和相位差與向異性有關(guān),偏心距越大,受各向異性影響越大。該結(jié)論與圖3中單個線圈電壓受各向異性影響規(guī)律一致。

圖5 相對測量值隨偏心距變化Fig.5 Relative measures between two receivers against eccentric distance

3.3 水平發(fā)射-傾斜接收線圈系

當發(fā)射線圈水平放置,接收線圈傾斜時,令θR=45°,方位角φR=0°;偏心距d分別為0.025 4,0.050 8,0.076 2,0.101 6 m。圖6給出了各向同性地層中電壓隨偏心方位φE變化關(guān)系。在相同偏心距情況下,接收線圈電壓信號隨方位角近似余弦變化關(guān)系。該結(jié)論也可由式(34)看出,但考慮到多階模量的疊加作用,并不滿足嚴格的余弦變化關(guān)系。圖7顯示各向異性地層中電壓隨偏心方位φE變化規(guī)律與各向異性地層中的基本相同,但變化幅度略小。圖8給出了當偏心距為0.101 6 m時兩接收線圈間的幅度比和相位差隨φE變化規(guī)律。與圖5中水平接收線圈的模擬結(jié)果比較,可以看出傾斜接收線圈的幅度比變化規(guī)律更為復雜,相位差變化強度更大。

圖6 各向同性地層中水平發(fā)射-傾斜接收線圈系電壓隨偏心方位變化Fig.6 Voltages of horizontal transmitter-tilted receiver system along with eccentric angle in isotropic formation

圖7 各向異性地層中水平發(fā)射-傾斜接收線圈系電壓隨偏心方位變化Fig.7 Voltages of horizontal transmitter-tilted receiver system along with eccentric angle in anisotropic formation

圖8 相對測量值隨偏心方位變化Fig.8 Relative measures between two receivers again eccentric angle

3.4 傾斜發(fā)射-傾斜接收線圈系

當發(fā)射線圈水和接收線圈均傾斜時,影響電壓信號的因素很多,這里只給出電壓與方位角變化關(guān)系。令發(fā)射線圈θT=-45°,0°,45°,φT=0°;接收線圈θR=45°,φR=0°;偏心距d=0.076 2 m。圖9給出了各向同性地層中接收線圈電壓隨方位角變化規(guī)律?？梢钥闯?不同發(fā)射線圈傾斜角的電壓差別很大。傾角θT=0°為斯倫貝謝方位電阻率測井儀器PeriScope基本結(jié)構(gòu)單元[2],傾角θT=-45°時收發(fā)線圈對稱放置,為海油服公司隨鉆測井儀器基本結(jié)構(gòu)單元[22],它們都要比傾角為θT=45°時受偏心角影響大。

圖10給出了各向異性性地層中接收線圈電壓隨方位角變化規(guī)律。與各向同性地層相比較,除了幅值大小略有不同外,變化規(guī)律相同。圖11給出當發(fā)射線圈傾角為θT=45°時各向同性地層與各向異性地層中幅度比與相位差的比較。它們的變化規(guī)律基本相同,隨偏心角增加相對變化幅度不大,但受各向異性影響明顯。

圖9 各向同性地層中傾斜發(fā)射-傾斜接收線圈電壓隨偏心方位變化Fig.9 Voltages of tilted transmitter-tilted receiver along with eccentric angle in isotropic formation

圖10 各向異性地層中傾斜發(fā)射-傾斜接收線圈電壓隨偏心方位變化Fig.10 Voltages of tilted transmitter-tilted receiver along with eccentric angle in anisotropic formation

圖11 相對測量值隨偏心方位變化Fig.11 Relative measures between two receivers again eccentric angle

4 結(jié)束語

針對圓柱狀分層各向異性介質(zhì),推導了傾斜線圈在最內(nèi)層偏心時電磁場解析解的閉合表達式,并討論了角模量在界面處的反射及耦合關(guān)系。給出了偏心傾斜發(fā)射-傾斜接收線圈系電壓積分表達式,討論了線圈水平放置時電壓表達式的簡化過程以及如何避免積分過程中的數(shù)值溢出問題。數(shù)值模擬結(jié)果顯示對于無方位的水平發(fā)射-水平接收共軸線圈,儀器偏心時電壓信號仍會受到電導率各向異性影響;對于有方位的傾斜接收線圈,偏心距、偏心方位、電導率各向異性對電壓信號的實部、虛部以及兩接收線圈間的幅度比、相位差均有很大影響,且影響規(guī)律復雜,這些影響將為方位電磁波測井儀器的井眼環(huán)境校正帶來很大的挑戰(zhàn)。