賁晨陽， 何雪明， 劉振超

(1.江南大學 機械工程學院， 江蘇 無錫 214122；2.江南大學 江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室， 江蘇 無錫 214122)

轉(zhuǎn)子形狀主要由轉(zhuǎn)子型線決定，羅茨泵轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計，直接關(guān)系到羅茨泵性能的高低。

國內(nèi)外專家學者對羅茨泵轉(zhuǎn)子型線設(shè)計進行了具有價值的分析研究。王建等[1]建立基于流量脈動系數(shù)的齒輪泵中齒廓的主動設(shè)計的數(shù)學模型。鄒旻等[2]分析了2轉(zhuǎn)子間差動角對雙嚙合弦線轉(zhuǎn)子泵流量脈動率的影響，提出了一種具有2對轉(zhuǎn)子的雙嚙合弦線轉(zhuǎn)子泵。楊舒然[3]基于齒廓嚙合原理,建立了圓弧與其包絡(luò)線、偏心漸開線與其包絡(luò)線的嚙合模型,提出了3種新型羅茨泵轉(zhuǎn)子。黃龍龍等[4]對擺線泵進行CFD和FSI仿真，并將仿真結(jié)果進行對比。李玉龍等[5-6]基于漸開線齒廓的構(gòu)造方法,提出了具有漸開線齒廓的轉(zhuǎn)子型線，并為實現(xiàn)羅茨轉(zhuǎn)子便捷高效的輪廓構(gòu)造，提出了一種雙對稱圖解法。Kang等[7]開發(fā)了一種新的轉(zhuǎn)子型線，該轉(zhuǎn)子型線由圓弧和擺線組成；通過體積計算和流場分析，分析不同型線對轉(zhuǎn)子性能的影響。Hsieh等[8]利用共軛齒輪原理對羅茨泵擺線轉(zhuǎn)子型線進行數(shù)學建模。Wu等[9]等建立多級羅茨真空泵IVEC型轉(zhuǎn)子型線，提出了面積利用率和嚙合間隙面積2個幾何性能指標，用于評估轉(zhuǎn)子型線的優(yōu)劣。

傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)子型線包括圓弧型、擺線型以及它們之間的發(fā)展和組合線型。然而以容積效率作為性能參數(shù)來評判羅茨泵轉(zhuǎn)子型線的性能，傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子型線性能普遍偏低。故課題組提出了一種橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線，并詳細推導了轉(zhuǎn)子型線由葉峰曲線到葉谷線的設(shè)計算法，并分析了橢圓率對轉(zhuǎn)子型線的影響。該型線的容積效率明顯高于傳統(tǒng)羅茨泵轉(zhuǎn)子型線。

1 橢圓旋輪線轉(zhuǎn)子型線設(shè)計

羅茨泵的2個轉(zhuǎn)子形狀是完全一樣的，轉(zhuǎn)子每個葉峰和葉谷[10]也是完全一樣，且每個葉上的轉(zhuǎn)子形狀又是對稱的。所以設(shè)計轉(zhuǎn)子型線時，只需要設(shè)計1個葉或者半個葉上的齒廓，進而可以通過旋轉(zhuǎn)和對稱變換，將轉(zhuǎn)子型線完整設(shè)計出來。

羅茨泵轉(zhuǎn)子型線的節(jié)圓將單葉上型線分成了2個部分，分別為葉峰曲線和葉谷曲線。葉谷曲線在節(jié)圓內(nèi)，葉峰曲線在節(jié)圓外。根據(jù)羅茨泵轉(zhuǎn)子的工作原理，羅茨泵的左側(cè)轉(zhuǎn)子的葉峰曲線和右側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線為共軛關(guān)系，所以只需設(shè)計左側(cè)轉(zhuǎn)子的一條葉峰曲線，通過包絡(luò)法求解右側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線，進而通過坐標轉(zhuǎn)換得到左側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線，完成整個轉(zhuǎn)子的型線設(shè)計。

一條光滑曲線在另一條光滑曲線上做無滑動的滾動運動，光滑曲線上的一點的運動軌跡定義為廣義旋輪線。當光滑曲線為圓時，圓做純滾動形成的軌跡即為旋輪線，又稱擺線[11]。當滾動圓換成滾動橢圓時，滾動橢圓上的一點軌跡也為一種旋輪線，可以將它定義為橢圓旋輪線。

建立羅茨泵轉(zhuǎn)子坐標系如圖1所示，其中包含了2對坐標系，分別是固結(jié)在羅茨泵泵體的左側(cè)轉(zhuǎn)子的靜坐標系O1X1Y1和固結(jié)在右側(cè)轉(zhuǎn)子的靜坐標系O2X2Y2；固結(jié)在羅茨泵泵體的左側(cè)轉(zhuǎn)子的動坐標系O1x1y1和固結(jié)在右側(cè)轉(zhuǎn)子的動坐標系O2x2y2；靜坐標系不隨著轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動而發(fā)生任何位置變化，動坐標系隨著轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動發(fā)生相應(yīng)角度的轉(zhuǎn)動；R為羅茨泵轉(zhuǎn)子的節(jié)圓半徑；φ為羅茨泵轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角；ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的角速度。

圖1 羅茨泵轉(zhuǎn)子坐標關(guān)系Figure 1 Rotor coordinate relation of Roots pump

如圖2所示，當滾動橢圓在純滾動運動中圍繞節(jié)圓的圓周逆時針旋轉(zhuǎn)時，滾動橢圓上的點p的運動軌跡，即為橢圓旋輪線。定義橢圓的參數(shù)方程為：

圖2 橢圓旋輪線軌跡Figure 2 Trajectory of elliptical rotary wheel line

(1)

式中:ψ為橢圓參數(shù)角，a為橢圓長軸，b為橢圓短軸。

如圖3所示，點A為橢圓開始滾動前圓與橢圓的接觸點;當橢圓滾動一個角度θ時，點B′為橢圓和圓的接觸點，可以看出橢圓上的曲線AB的長度等于橢圓在節(jié)圓上滾動經(jīng)過的曲線AB′的長度。對橢圓弧長計算需要進行橢圓積分，則2條曲線的長度之間的關(guān)系可表示為:

圖3 橢圓旋輪線的幾何關(guān)系Figure 3 Geometric relationship of elliptical rotary wheel line

(2)

式中：L為橢圓滾動1周的長度，rp為節(jié)圓的半徑，θ為滾動橢圓在圓上滾動角。

(3)

得到了橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線的葉峰曲線，可求解葉谷曲線：

(4)

則葉谷曲線的表達式為：

(5)

由三角函數(shù)中的輔助角公式[12]求解φ與參數(shù)θ的關(guān)系,需要分別求x1和y1對參數(shù)θ的導數(shù)。

(6)

其中：

求解出φ與θ的關(guān)系后，將φ代入式(5)中右側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線，將葉谷曲線和葉峰曲線進行連接得到了1葉轉(zhuǎn)子的四分之一型線，如圖4所示。曲線CD為橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線。

圖4 橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線Figure 4 Rotor profile of elliptical rotary wheel line type

2 橢圓率對轉(zhuǎn)子型線的影響

2.1 橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線根切條件

橢圓旋輪線是由橢圓在節(jié)圓上滾動形成的軌跡，其形狀主要受橢圓短軸和橢圓長軸的比值影響，即橢圓率λ=b/a。不同的橢圓率會形成不同的橢圓旋輪線，當λ=1時，橢圓旋輪線即為擺線，構(gòu)成的轉(zhuǎn)子型線為常用的擺線型轉(zhuǎn)子型線；當λ≠1時，轉(zhuǎn)子型線為橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線。

橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線會產(chǎn)生如同齒輪設(shè)計過程中根切現(xiàn)象。出現(xiàn)根切的轉(zhuǎn)子會使得轉(zhuǎn)子的抗彎曲能力下降，重合度減少，影響轉(zhuǎn)子運轉(zhuǎn)的平穩(wěn)性。

根據(jù)齒輪嚙合原理[13]，得到羅茨泵轉(zhuǎn)子的嚙合條件：

vr2=vr1+v12=0。

(7)

令：

(8)

則橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線的根切條件為：

(9)

其中：

可將式(9)化簡為：

(10)

2.2 橢圓率對轉(zhuǎn)子型線的影響

針對不同橢圓率的轉(zhuǎn)子型線情況， 設(shè)定轉(zhuǎn)子的節(jié)圓半徑rp為60 mm、轉(zhuǎn)子葉數(shù)Z為2。將式(2)代入式(5),計算得到不同橢圓率λ對應(yīng)的a,b和rp，其參數(shù)如表1所示。

表1 不同橢圓率下轉(zhuǎn)子型線參數(shù)

根據(jù)以上參數(shù)，繪制完整的轉(zhuǎn)子型線，其中不同橢圓率下轉(zhuǎn)子型線如圖5所示。從圖中可以看出，橢圓率越小，整個轉(zhuǎn)子型線的凹凸性越明顯。

圖5 不同橢圓率下的轉(zhuǎn)子型線Figure 5 Rotor profile under different ellipticity

3 橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線性能分析

轉(zhuǎn)子在運轉(zhuǎn)過程中，1個轉(zhuǎn)子每轉(zhuǎn)動1/Z周，1個腔室的氣體就從羅茨泵進口輸送到了羅茨泵出口，當轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)1周時，即完成1個周期的氣體輸送工作。該運轉(zhuǎn)過程反映了羅茨泵的性能，通常該性能以容積效率[14]來量化。所謂容積效率是指羅茨泵在抽氣過程中所輸送的實際氣體體積除以泵整個腔室的體積。同時因為羅茨泵的整個轉(zhuǎn)子在軸的方向上形狀完全一致，所以理論上羅茨泵的容積效率只與轉(zhuǎn)子的端面形狀相關(guān)，與其他因素關(guān)系不大。為了計算羅茨泵的容積效率更加方便，可以將容積效率的三維問題換算成二維問題。圖6即為1個2葉羅茨泵的腔室橫截面。陰影部分即為轉(zhuǎn)子的腔室部分，根據(jù)圖形可以得到轉(zhuǎn)子的容積效率公式為：

圖6 2葉轉(zhuǎn)子的腔室橫截面Figure 6 Cross section of chamber of 2-blade rotor

(11)

式中S為單個轉(zhuǎn)子的面積。

根據(jù)轉(zhuǎn)子型線的方程，可以得到轉(zhuǎn)子型線的所有直角坐標，并將直角坐標換算成極坐標，對應(yīng)函數(shù)為ρ=g(β)，ρ為極徑，β為極徑對應(yīng)的角度，所以轉(zhuǎn)子的面積公式為:

(12)

容積效率作為羅茨泵性能的重要參考之一，因此，為了驗證新型轉(zhuǎn)子型線的性能優(yōu)劣，就橢圓旋輪線轉(zhuǎn)子型線的不同參數(shù)對容積效率的影響進行了分析。根據(jù)橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線的數(shù)學模型，轉(zhuǎn)子型線的形狀主要受橢圓率λ和轉(zhuǎn)子葉數(shù)Z這2個參數(shù)的影響。為了準確地分析不同參數(shù)對轉(zhuǎn)子型線容積效率的影響規(guī)律，采用唯一變量原則，即控制唯一變量而排除其他因素的干擾從而驗證唯一變量的作用。

為了分析不同橢圓率對容積效率的影響規(guī)律，需限定轉(zhuǎn)子型線的齒頂圓半徑一定，即保證各個轉(zhuǎn)子的大小一樣；同時保證轉(zhuǎn)子葉數(shù)相同，即保證各個轉(zhuǎn)子形狀一樣。取齒頂圓半徑為60 mm，轉(zhuǎn)子葉數(shù)為2葉，不同橢圓率下橢圓旋輪線型線容積效率如表2所示。

根據(jù)表2所示數(shù)據(jù)，當橢圓率不斷變小，轉(zhuǎn)子的面積也越來越小，轉(zhuǎn)子的容積效率越來越大。當橢圓率為0.4時，轉(zhuǎn)子的容積效率最大，為0.665 6。

表2 不同橢圓率下羅茨泵的容積效率

傳統(tǒng)擺線轉(zhuǎn)子受擺線形成原理的限制，節(jié)圓半徑和齒頂圓半徑比值固定，轉(zhuǎn)子齒頂圓半徑和節(jié)圓半徑的比值即徑距比固定，2葉擺線轉(zhuǎn)子型線徑距比固定為1.5，取齒頂圓半徑為60 mm，計算得到2葉擺線型轉(zhuǎn)子的容積效率如表3所示?？芍獢[線型轉(zhuǎn)子型線的容積效率小于橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線。

表3 擺線型轉(zhuǎn)子參數(shù)

根據(jù)表2和表3所示數(shù)據(jù)分析，橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子容積效率均大于擺線型轉(zhuǎn)子，當橢圓率為0.4時其容積效率相比擺線轉(zhuǎn)子最大容積效率0.540 9提高了約23.09%。

對圓弧型轉(zhuǎn)子設(shè)計時，圓弧型轉(zhuǎn)子型線徑距比不固定，2葉圓弧型轉(zhuǎn)子型線徑距比的取值范圍為1.236 8～1.669 8。同樣對圓弧型轉(zhuǎn)子容積效率分析時，參照唯一變量原則，取齒頂圓半徑為60 mm，取不同徑距比分別為1.300 0，1.400 0，1.500 0和1.600 0，圓弧型轉(zhuǎn)子相對應(yīng)參數(shù)如表4所示。

表4 圓弧型轉(zhuǎn)子參數(shù)

根據(jù)表2、表3和表4所示的數(shù)據(jù)分析，當圓弧型轉(zhuǎn)子的徑距比變大到1.5時，圓弧型轉(zhuǎn)子容積效率與擺線型轉(zhuǎn)子容積效率基本一樣，當徑距比繼續(xù)變大時，圓弧型轉(zhuǎn)子容積效率超過擺線型轉(zhuǎn)子。橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子的橢圓率在0.6以下時，橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子的容積效率比圓弧型轉(zhuǎn)子大，當橢圓率為0.4時，其容積效率相比圓弧轉(zhuǎn)子最大容積效率61.59%，提高了約8.07%。當橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線橢圓率在0.6以下時，轉(zhuǎn)子的容積效率最高，比傳統(tǒng)羅茨泵轉(zhuǎn)子型線更有優(yōu)勢。

4 結(jié)論

課題組提出了一種新型的橢圓旋輪線轉(zhuǎn)子型線，推導其數(shù)學模型。對于齒頂圓半徑為60 mm，轉(zhuǎn)子葉數(shù)為2葉的羅茨泵轉(zhuǎn)子，在不發(fā)生根切的情況下，橢圓率與轉(zhuǎn)子的容積利用率大小成反比。當橢圓率為0.4時，橢圓旋輪線型線容積效率最大，達到66.56%，相比于傳統(tǒng)擺線型和圓弧型轉(zhuǎn)子，容積效率分別提高了23.09%和8.07%，說明橢圓旋輪線型線在性能方面比傳統(tǒng)擺線型與圓弧形轉(zhuǎn)子型線更有優(yōu)勢?，F(xiàn)有的改善是直接對轉(zhuǎn)子型線的改善，后續(xù)可以運用NURBS曲線直接表達旋轉(zhuǎn)的橢圓，通過曲線局部可調(diào)性進一步優(yōu)化轉(zhuǎn)子型線。