內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（010022）芳 慧 畢力格圖

一、問題的提出

研究數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的文獻(xiàn)有很多，仁者見仁，智者見智。從思維主體的認(rèn)知形成過程與特點(diǎn)來看，科學(xué)合理地把數(shù)學(xué)發(fā)展史融入數(shù)學(xué)教學(xué)過程之中，不僅能提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的理解能力，還能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和文化修養(yǎng)。但是，要想全面提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果和持續(xù)發(fā)展數(shù)學(xué)技能，就要深入挖掘數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值、文化價(jià)值與科學(xué)價(jià)值，切忌簡(jiǎn)單機(jī)械、生搬硬套、單一敘述。

二、數(shù)學(xué)史融入的準(zhǔn)則

1.歷史發(fā)生原理

數(shù)學(xué)史的融入需要遵循歷史發(fā)生的規(guī)律。英國(guó)的學(xué)者布蘭富德在其《數(shù)學(xué)教育研究》一書中提出：“我的目的是展示人類幾何知識(shí)演進(jìn)的實(shí)際方式與學(xué)生最樂意和最有效吸收該經(jīng)驗(yàn)的方式之間的相似性……幾何學(xué)最有效的講授方式乃是遵循科學(xué)歷史演進(jìn)的順序?！笔聦?shí)上，學(xué)生的思維從具體到抽象、從感性到理性的過程正是科學(xué)再現(xiàn)人類祖先發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的過程。例如，學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)時(shí)，需要先從培養(yǎng)數(shù)感開始。

2.創(chuàng)生原理

創(chuàng)生原理具有兩個(gè)方面的含義：第一，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要在一定層面上重復(fù)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史；第二，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程不是將知識(shí)強(qiáng)加給學(xué)生的過程，而是學(xué)生主動(dòng)“創(chuàng)造”的過程。只有這樣，數(shù)學(xué)才能夠成為學(xué)生素質(zhì)的一部分。雖然數(shù)學(xué)史的融入需要重建知識(shí)產(chǎn)生的過程，但并不是簡(jiǎn)單的歷史重現(xiàn)過程。教師需要合理運(yùn)用，讓學(xué)生通過有限的歷史重現(xiàn)，去理解知識(shí)的來龍去脈，從而讓知識(shí)仿佛在學(xué)生的腦海中重新創(chuàng)造一樣。

三、數(shù)學(xué)史的融入——從PEM層面分析

按現(xiàn)代認(rèn)知結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)理論，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程就是新的數(shù)學(xué)內(nèi)容與原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容相互作用，從而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或擴(kuò)大原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。同時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還受情感、意志、動(dòng)機(jī)、興趣、個(gè)性品質(zhì)等的影響，這些因素雖不直接參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知活動(dòng)，但都對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著推進(jìn)、增強(qiáng)、維持、調(diào)節(jié)把控等作用。認(rèn)知因素和非認(rèn)知因素都是促進(jìn)學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要因素。

一方面，數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、方法和思想的理解。從教育心理學(xué)的角度來看，理解是知識(shí)遷移的重要條件，所以說數(shù)學(xué)史影響學(xué)習(xí)活動(dòng)過程。另一方面，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)來說，認(rèn)知因素和非認(rèn)知因素是知識(shí)產(chǎn)生同化、順應(yīng)的主要因素。因此，數(shù)學(xué)史的融入更應(yīng)側(cè)重對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，也就是說，要考慮認(rèn)知因素和非認(rèn)知因素的加強(qiáng)應(yīng)用。

認(rèn)知因素是直接參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的，并且認(rèn)知因素是隨著年齡與思維的增長(zhǎng)而變化的。從皮亞杰對(duì)認(rèn)知發(fā)展階段的劃分來看，小學(xué)生正處于具體運(yùn)算階段。該階段學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)已經(jīng)重組和改善，思維具有一定的彈性，不過還是需要具體實(shí)物的支持，不能徹底抽象。而從知識(shí)的理解和存儲(chǔ)來看，由于不同學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不同，在知識(shí)遷移的過程中容易產(chǎn)生不一樣的圖式和腳本。圖式是一種將關(guān)于世界的一般性知識(shí)與關(guān)于特殊事件的信息結(jié)合于一身，對(duì)過去反應(yīng)或過去經(jīng)驗(yàn)的主動(dòng)組織。腳本是圖式的一種，它們被用來指明各種信息的關(guān)系和描述事件，能夠引導(dǎo)我們做一系列的推斷，但往往記憶集中與腳本有關(guān)的信息會(huì)侵入我們的記憶中，造成記憶的錯(cuò)亂。因此，對(duì)學(xué)生認(rèn)知因素的了解顯得尤為重要。數(shù)學(xué)史的融入既要考慮每個(gè)學(xué)生的認(rèn)知要素，也要完成抽象化知識(shí)的具體化。

非認(rèn)知因素是不能直接參與學(xué)習(xí)活動(dòng)過程的一種情感、態(tài)度、動(dòng)機(jī)和意志的結(jié)合體，是對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生積極影響的一種心理因素。而數(shù)學(xué)史的融入可以在很大程度上活躍課堂氛圍，引起學(xué)生的興趣，促使非認(rèn)知因素對(duì)學(xué)習(xí)過程產(chǎn)生積極的影響。另外，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)科學(xué)和文化價(jià)值，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程有著良好的推進(jìn)作用。

從認(rèn)知心理學(xué)的角度來看，數(shù)學(xué)史的融入需要全面地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，包括通過影響認(rèn)知因素來參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，通過影響非認(rèn)知因素來推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，從而直接影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的記憶和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度。

四、數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的方法與實(shí)施

1.融合型方法：生活化

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，困擾學(xué)生的主要是數(shù)學(xué)抽象思維的轉(zhuǎn)變。這也是阻礙學(xué)生認(rèn)知水平提高的主要原因，因而將抽象思維轉(zhuǎn)化成形象思維是解決這種困難的有效路徑。雖然數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)可以促進(jìn)認(rèn)知水平的提高，但作為研究數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué)，其內(nèi)容有很強(qiáng)的抽象性，要融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更是存在一定的困難。因此，需要運(yùn)用生活化的方法，讓數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的優(yōu)秀方法、思想重新呈現(xiàn)，讓學(xué)生在自己熟悉的認(rèn)知環(huán)境中理解其中的奧妙。

如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的加法”時(shí)，教師可以充分應(yīng)用《九章算術(shù)》里的“約分法”。分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)本身是數(shù)系概念的又一次抽象，學(xué)生理解起來有一定的困難。教師可以通過具體情境，讓分?jǐn)?shù)概念和生活實(shí)際產(chǎn)生聯(lián)系，在認(rèn)知發(fā)展水平和思維特點(diǎn)的基礎(chǔ)上給學(xué)生提供自主思考的機(jī)會(huì)，從而讓學(xué)生掌握其中的思想和方法。

分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算實(shí)際上要解決兩個(gè)問題：一是統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位，二是分子之間的運(yùn)算。首先，教師可以給出生活情境，提出問題：為迎接新學(xué)期的到來，學(xué)校要在圖書館門前的一塊正方形的空地上擺放牡丹花和海棠花的盆栽，其中牡丹花占地面積為，海棠花占地面積為，那么哪種花的占地面積大？這兩種花的總占地面積為多少？

通過實(shí)際的例子來引發(fā)學(xué)生的思考：分?jǐn)?shù)單位不同的分?jǐn)?shù)能不能直接相加？（不能）為什么？采用什么方法才能將它們相加？而后教師可以通過直觀的圖形來解釋這些問題：把表示和的兩個(gè)圖形重疊在一起（如圖1），看看所得的結(jié)果。

圖1

學(xué)生對(duì)比圖片，經(jīng)過討論得出：只有分?jǐn)?shù)單位相同的分?jǐn)?shù)才能進(jìn)行加法運(yùn)算。隨后，教師啟發(fā)學(xué)生思考：如何計(jì)算

通過展示學(xué)生對(duì)圓形紙片的不同分法（如圖2），引導(dǎo)學(xué)生分別按分母是6或12通分，再比較，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到用分母的最小公倍數(shù)作分母比較簡(jiǎn)便。順勢(shì)而下，引導(dǎo)學(xué)生提煉異分母分?jǐn)?shù)相加的算法：先通分，再相加。通分的時(shí)候一般用分母的最小公倍數(shù)作分母。

圖2

經(jīng)典問題“雞兔同籠”的情境是典型的古代生活中的情境，和現(xiàn)代學(xué)生的認(rèn)知環(huán)境有著一定的差距。教學(xué)時(shí)，教師可以將其轉(zhuǎn)換成學(xué)生熟悉的環(huán)境。如教師重新創(chuàng)設(shè)一個(gè)生活情境，把場(chǎng)景換成超市里，工作人員把小雞玩偶和小兔玩偶放在一起搞促銷活動(dòng)。這種情境可以避免學(xué)生對(duì)“雞兔同籠”情境不熟悉而帶來的尷尬，讓學(xué)生在熟悉的環(huán)境中體會(huì)“雞兔同籠”問題的解法，也可以更好地與學(xué)生以往的認(rèn)知水平關(guān)聯(lián)起來，使其更快地接受新知識(shí)。

生活化的方法主要是將數(shù)學(xué)發(fā)展史中的經(jīng)典內(nèi)容通過生活實(shí)例重新反饋給學(xué)生。這種方法將注意點(diǎn)更多地轉(zhuǎn)向方法、思想的傳授，并不單單注重史料本身的呈現(xiàn)，是一種綜合有效的融合型方法。

2.應(yīng)用型方法：故事化

對(duì)小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)更多是作為知識(shí)的背景內(nèi)容，思想和方法上的內(nèi)容涉及較少。針對(duì)這種情況，運(yùn)用故事化的方法融入數(shù)學(xué)史是一種切實(shí)可行的方式。數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)往往“標(biāo)本化”，故事化融入方法可以提高知識(shí)的彈性和趣味性，極大地活躍學(xué)生的非認(rèn)知因素，推動(dòng)學(xué)習(xí)過程。不過，在運(yùn)用這種方法時(shí)，要避免故事和課程內(nèi)容的割裂，不能只將所應(yīng)用的故事當(dāng)成活躍氣氛的工具。

如在教學(xué)“認(rèn)識(shí)1~5以內(nèi)的自然數(shù)”的時(shí)候，教師可以選用古希臘名著《荷馬史詩》里獨(dú)眼巨人波呂斐摩斯放羊的故事。他所使用的方法是把羊和石子相對(duì)應(yīng)，借助一一對(duì)應(yīng)的方法來比對(duì)數(shù)量的多與少。通過該故事的講述，讓學(xué)生感悟數(shù)字演變的經(jīng)歷，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)，為更直觀地學(xué)習(xí)自然數(shù)做鋪墊。

相信大家在學(xué)前班或幼兒園里都學(xué)過數(shù)數(shù)了，那么同學(xué)們知道古人是怎么數(shù)數(shù)的嗎？在很久很久以前，那時(shí)候還沒有數(shù)字，人們只能根據(jù)自己的感覺來確認(rèn)事物的數(shù)量。不過，在古希臘，聰明的波呂斐摩斯怕自己的羊被人偷走或者被其他動(dòng)物吃掉，就想出了一個(gè)數(shù)羊的辦法：早晨從山洞里每出來一只羊，他就撿起一顆石子，晚上每返回一只羊，他就扔掉一顆石子，以此來記錄自己的羊的數(shù)量。當(dāng)早晨撿起的石子都扔光時(shí)，他就能確認(rèn)所有的羊都返回了山洞。這種方法很快受到其他人的推崇。不過，隨著所記錄的事物不斷增加，石頭記數(shù)法漸漸演變成了結(jié)繩和畫線的記錄方式。

同學(xué)們可以用上述三種方法來記錄自己的東西數(shù)量嗎？接下來我們來學(xué)習(xí)1~5以內(nèi)的自然數(shù)。（教學(xué)時(shí)，建議教師出示情境圖或視頻）

又如，在教學(xué)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”的時(shí)候，教師可以介紹小數(shù)產(chǎn)生的背景故事，探討整數(shù)與小數(shù)的區(qū)別，為接下來的學(xué)習(xí)做鋪墊。

今天我們來學(xué)習(xí)小數(shù)。同學(xué)們知道小數(shù)是怎么產(chǎn)生的嗎？早在一個(gè)世紀(jì)以前，我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在注解《九章算術(shù)》時(shí)為了表示寫的數(shù)量與實(shí)際量之間的差異，發(fā)明了一種方法：在整數(shù)后面加上非整數(shù)。這就是今天我們所學(xué)習(xí)的小數(shù)，那時(shí)候稱為“微數(shù)”。后來，其他國(guó)家也根據(jù)自己的實(shí)際應(yīng)用需求分別以不同的方法表示整數(shù)和非整數(shù)。直到1585年，荷蘭的數(shù)學(xué)家西蒙·斯蒂文在自己的著作《論十進(jìn)》中把整數(shù)后面的非整數(shù)用十進(jìn)制來表示，發(fā)明了十進(jìn)制系統(tǒng)，也就是我們今天所認(rèn)識(shí)的十進(jìn)制小數(shù)。

故事化融入方法是一種普遍的融入形式，但要合理高效運(yùn)用故事化方法，才能將數(shù)學(xué)發(fā)展史中的教育價(jià)值、科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值最大化。另外，故事化融入方法是豐富教學(xué)內(nèi)容、深化知識(shí)認(rèn)知、實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移、調(diào)動(dòng)知識(shí)情感的最直接的手段。

3.綜合型方法：圖示化

從認(rèn)知心理學(xué)的角度來看，圖式是知識(shí)產(chǎn)生內(nèi)化的第一步，也是進(jìn)行記憶的首要步驟。新圖式受與該記憶有關(guān)的舊圖式的影響，會(huì)產(chǎn)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。但有時(shí)候新圖式會(huì)被錯(cuò)誤或殘缺的舊圖式影響，從而產(chǎn)生認(rèn)知上的誤區(qū)。數(shù)學(xué)史的融入應(yīng)當(dāng)立足于正確且完整的圖式上，為知識(shí)的遷移打下基礎(chǔ)。對(duì)此，可以運(yùn)用綜合型的圖示化方法，將數(shù)學(xué)史作為一種信息單元傳授給學(xué)生。這種信息單元可以是任何一種形式的信息，只要能對(duì)學(xué)習(xí)過程的圖式產(chǎn)生積極作用，都可作為信息單元。教師可以充分利用現(xiàn)代化手段，結(jié)合圖影和音頻，讓知識(shí)充分“動(dòng)”起來，形成利于推進(jìn)學(xué)習(xí)活動(dòng)的圖示形式，加深理解和便于記憶，這對(duì)以后認(rèn)知結(jié)構(gòu)的擴(kuò)大和完善有著積極作用。

如在教學(xué)“十進(jìn)制自然數(shù)”的時(shí)候，教師先讓學(xué)生思考：為何人類會(huì)選擇十進(jìn)制系統(tǒng)作為數(shù)字系統(tǒng)？然后在下節(jié)課上課時(shí)，直接通過講解記數(shù)系統(tǒng)的視頻，或者卡通漫畫的形式為學(xué)生解答，由此極大地提高了知識(shí)的彈性，促進(jìn)了學(xué)生的理解和記憶，同時(shí)也對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了普及。

這種方法對(duì)硬件條件和素材的要求很高，并不是所有學(xué)校都能實(shí)現(xiàn)。不過，隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，這種方式無論是對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善，還是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)文化的普及，都有著積極作用。

五、結(jié)語

學(xué)習(xí)過程是一個(gè)復(fù)雜的過程，將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)，會(huì)對(duì)學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生積極影響。相信在改革不斷深入的背景下，教師一定能夠充分利用數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識(shí)，通過數(shù)學(xué)史知識(shí)的講解充分挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人理念，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，并推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的不斷提高。