馮 杰 韓笑天 葉彬恩

（上海師范大學天華學院，上海 201815）

著名的錢學森之問：“為什么我們的學?？偸桥囵B(yǎng)不出杰出人才？”這是關(guān)于中國教育事業(yè)發(fā)展的一道艱深命題.人們普遍認為，這需要整個教育界乃至社會各界共同破解.眾所周知，近20年來，我國的基礎(chǔ)教育進行了大張旗鼓的兩輪課程改革，卻出現(xiàn)了全國人民的焦慮之問：“為什么物理難學又難教？”我們要問：“物理真是難學又難教嗎？”難道也需要整個教育界乃至社會各界共同破解嗎？特別是新高考方案的實施，這個“物理難”之問似乎已經(jīng)成為全社會的“共識”了，凡事皆有因，緣由究竟在哪里呢？

按照目前國際上通行的學科分類，數(shù)學被認定為是真正的自然科學，是宇宙的語言.數(shù)學思維無疑是獨特的、抽象的和艱深的.然而，在我國基礎(chǔ)教育階段，為什么沒有出現(xiàn)“數(shù)學難學又難教”的全國人民焦慮之問呢？讓我們從基礎(chǔ)教育階段的課程、教材、教法三位一體的角度，仔細分析物理思維與數(shù)學思維的個性化特征，看看物理思維與數(shù)學思維的差異性，或許不難找到難題的某些癥結(jié)之奧秘.

1 什么是思維

我們知道，思維是人的一種高級的心理活動形式.按照現(xiàn)代信息論觀點和腦科學的最新研究成果，思維是人腦對新輸入信息與腦內(nèi)儲存知識經(jīng)驗進行一系列復(fù)雜的心智操作過程；從認知的角度，思維是人腦借助于語言和相應(yīng)媒體符號對事物的概括和間接的反應(yīng)過程；從認識論的角度，思維是以感知為基礎(chǔ)又超越感知界限的高級意識活動.

人的思維活動（涉及所有的認知或智力活動）的目的是要探索與發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)部本質(zhì)聯(lián)系和規(guī)律性.隨著對各個領(lǐng)域涉及思維活動特點的深入研究，科學家們發(fā)現(xiàn)了邏輯思維即抽象思維、形象思維（具象思維）、頓悟思維（靈感思維）、創(chuàng)新思維等思維形式的許多新特點.

基礎(chǔ)教育階段特別是理科學科的教與學，所依據(jù)的基本上是傳統(tǒng)意義的邏輯思維形式，涉及的主要范疇有分析與綜合、比較與分類、歸納與演繹、模擬與類比、概括與抽象等，其是對事物的間接反映，這符合學校教育間接性特點.同時又要基于青少年已有的知識、經(jīng)驗和情懷，借助于其他媒介手段（教師、各類課程和教學資料）的作用，使中學生獲得知識、技能、方法和情懷，認識客觀事物，推測未知的事物，發(fā)展其能力，達成既定的教學目標.

2 什么是物理思維

物理思維的起點是哲學.從哲學的范疇看，辯證法包括十一對范疇：物質(zhì)與意識、運動與靜止、時間與空間、對立與統(tǒng)一、質(zhì)變與量變、肯定與否定、本質(zhì)與現(xiàn)象、內(nèi)容與形式、必然與偶然、原因與結(jié)果和可能與現(xiàn)實，其中直接與物理學內(nèi)容相重疊的有運動與靜止、時間與空間和原因與結(jié)果3對范疇.認識論包括認識與實踐、感性與理性、真理與謬誤、絕對真理與相對真理4對范疇，而認識與實踐、感性與理性兩對范疇一直是貫穿物理學研究、發(fā)展和物理教學的主線，特別是中學物理的教與學，更是幾乎無時無刻不是運用邏輯學的思維形式、思維規(guī)律、思維方法這3對范疇.

2.1 物理學學科的邏輯結(jié)構(gòu)

物理學具有哲學、知識和實證的復(fù)雜邏輯結(jié)構(gòu).物理學的邏輯范疇可以分為4個層面，其一是物質(zhì)的基本形態(tài)層面：實物與場或曰粒子與場（波）是其主要形式.其二是物質(zhì)的根本屬性層面：運動的絕對性、運動描述的相對性以及各種低級運動形式的特殊性是其研究對象；這兩個層面是基于哲學的角度.其三是物理學理論體系的內(nèi)容層面：即力學、熱學、電磁學、光學、現(xiàn)代物理學（原子物理學、量子物理學和相對論）5大領(lǐng)域的實驗、概念、規(guī)律和原理.從課程的內(nèi)容角度看，無論是初中、高中還是大學，基本上是相同的，只是目標和深淺度不同.其四是狹義的邏輯分類學角度，可以把物理學理論體系概括為4大“概念范疇”：實物與場、粒子與波、時間與空間、運動與靜止.這應(yīng)該是物理學獨特的邏輯結(jié)構(gòu)，顯然與數(shù)學不同.

2.2 物理課程的邏輯特點

我們常常說物理學有6大特點：其一是物理學是一門實驗科學，其二是物理學是一門嚴密的理論科學，其三是物理學是一門定量的精密科學，其四是物理學是一門基礎(chǔ)科學，其五是物理學是一門帶有方法論性質(zhì)的科學，其六是物理學是一門蘊涵著特殊文化的科學.對此已經(jīng)有成熟的討論，此不做贅述，但是其是本文立論基礎(chǔ)之一.

從目前大中學校的物理課程角度，物理學的5大領(lǐng)域的內(nèi)容是按照螺旋結(jié)構(gòu)分成5個完整循環(huán)的，即初中物理、高中物理、大學普通物理學、理論物理學（四大力學）和現(xiàn)代物理學（量子場論和相對論）.那么從科學方法或曰教與學的方法或曰思維方法的角度，可以這樣來認識物理學科教學的邏輯特點：初中物理（自然常識的一部分）根植于實驗歸納+形象思維、高中物理（物理學基礎(chǔ)知識）根植于邏輯演繹+實驗歸納；普通物理學（力熱電光原）根植于源于實驗歸納的系統(tǒng)化基本知識+邏輯演繹；理論物理學（四大力學）根植于源于高等數(shù)學直接對物理學基本定律和原理的結(jié)構(gòu)化邏輯演繹；現(xiàn)代物理學（場論與相對論）根植于哲學化的假說和理想實驗+邏輯演繹.其中數(shù)學起到了一定超前的和不可替代的作用，但是最后還必須由物理學的實證來完成.

2.3 物理課程學習的思維特征

物理思維具有獨特的個性化特征，主要體現(xiàn)在8個方面：模型化、多級性、多向性、表述的多樣性、思維的轉(zhuǎn)換、假設(shè)與驗證、等效思維和實踐性.比如，模型化特征.這是對物理現(xiàn)象進行高度精細化的抽象和概括的一種邏輯形式，是形成物理概念基礎(chǔ)性思維.因為物理學以自然界物質(zhì)的結(jié)構(gòu)和最普遍的運動形式為研究內(nèi)容.對于那些紛繁復(fù)雜的物理事物，首先就需要抓住其主要特征，而舍去那些次要因素，形成一種經(jīng)過抽象概括了的理想化的“物理典型”，在此基礎(chǔ)上才能夠建立物理概念、發(fā)現(xiàn)物理規(guī)律.如何掌握好物理模型的思維，是學生學習物理的困難所在之一.又比如，表述的多樣性特征.因為物理規(guī)律的表述可以用文字，也可以用公式，還可以借助于圖像，有些問題直接可以用圖示.每一種表述，不僅僅是一種“語言”，同樣是一種思維.而且物理概念、規(guī)律和原理的定性表述比其定量的數(shù)學公式重要得多（對此，并沒有引起我國高中物理教師的普遍關(guān)注）.再比如，等效思維方法.把復(fù)雜的物理對象等效為一個簡潔或簡單的物理模型，可以跨越思維“鴻溝”、加速物理思維進程或激發(fā)創(chuàng)新思維，在高一物理階段特別重要.例如，運動的相對性、矢量的合成與分解、等效電路等.

正是這些個性化的物理思維特征，決定了物理的教與學的思維特征不同于數(shù)學的.

3 什么是數(shù)學思維

應(yīng)該說數(shù)學思維的起點更是哲學.從哲學的11對范疇看，其中直接與數(shù)學內(nèi)容相重疊的范疇是多于物理學的.比如運動與靜止、質(zhì)變與量變、肯定與否定、本質(zhì)與現(xiàn)象、內(nèi)容與形式、必然與偶然、原因與結(jié)果、可能與現(xiàn)實7對范疇都與數(shù)學的研究對象有交集.而認識論的認識與實踐、感性與理性、真理與謬誤、絕對真理與相對真理4對范疇一直是貫穿數(shù)學研究和教學的主線.數(shù)學教學也是幾乎無時不用邏輯學的思維形式、思維規(guī)律、思維方法這3對范疇，但是其內(nèi)涵和應(yīng)用形式卻與物理思維有很大不同.

從人類認識和研究自然界的層次角度，物理學是研究自然界最低的層次學科：物質(zhì)的基本運動形式和物質(zhì)最基本的結(jié)構(gòu)（分子、原子以下）.化學是研究物質(zhì)的性質(zhì)、組成、結(jié)構(gòu)、變化和應(yīng)用的科學（分子原子以上）.生物學是研究自然界所有生物的起源、演化、生長發(fā)育和遺傳變異等生命活動的規(guī)律和生命現(xiàn)象的本質(zhì)，各種生物之間、生物與環(huán)境之間相互聯(lián)系的學科.經(jīng)濟學是研究人類賴以“衣食住行用娛樂安全”等“商品或財富的生產(chǎn)、分配、交換、消費的循環(huán)和演變過程”的基礎(chǔ)學科.所有這些學科（自然、社會和人類思維等）都直接或間接地被數(shù)學抽象為單一、純粹和一般化的模式——成為數(shù)學的研究對象.

3.1 數(shù)學學科的邏輯結(jié)構(gòu)

通過以上討論，對比物理學，數(shù)學具有哲學、知識和純粹的單一邏輯結(jié)構(gòu).數(shù)學的邏輯總范疇從研究對象的角度可以分為兩個層面：純粹數(shù)學和應(yīng)用數(shù)學.研究其自身提出的問題的（如哥德巴赫猜想等）是純粹數(shù)學（又稱基礎(chǔ)數(shù)學）；研究來自現(xiàn)實世界中的數(shù)學問題的是應(yīng)用數(shù)學.從數(shù)學是宇宙自然語言的角度，純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學的界限并不那么明顯.一方面由于純粹數(shù)學中的許多對象，追根溯源是來自解決自然界問題的.比如，從宏觀的宇宙學到微觀的量子領(lǐng)域；另一方面，為了要研究從現(xiàn)實世界（人類社會）提出的數(shù)學問題，縱向的，大到如天文學、力學、物理學和工程學等，小到分子、原子的運動；橫向的，如網(wǎng)絡(luò)、動力系統(tǒng)、信息傳輸和經(jīng)濟數(shù)學模型等，都需要數(shù)學科學從更抽象、更純粹的角度來考察，才有可能得到答案和解決.

從純粹的抽象思維的角度，可以分為“數(shù)”與“形”兩大范疇，而且這兩大范疇是交錯或交織在一起的.即數(shù)學“模型”的建立，使得數(shù)學研究的對象在“數(shù)”與“形”的基礎(chǔ)之上可以擴充到這個宇宙，包括自然和人類社會的各種“關(guān)系”，如“語言”“程序”“DNA排序”“選舉”和“動物行為”等，最后又都復(fù)歸抽象為數(shù)學的“數(shù)”與“形”，從而構(gòu)成了數(shù)學科學研究的全部內(nèi)涵.

數(shù)學學科理論體系一般由數(shù)論、代數(shù)學、幾何學、拓撲學、數(shù)學分析、微分方程、泛函分析、概率論與數(shù)理統(tǒng)計和離散數(shù)學等構(gòu)成一個發(fā)展動態(tài)的邏輯結(jié)構(gòu).如果按照上述物理學從狹義的邏輯分類學角度，則數(shù)學的理論體系可以更加簡潔無比地概括為兩大“概念范疇”：數(shù)、形.這是數(shù)學作為宇宙語言最獨特的邏輯結(jié)構(gòu)，顯然與物理學有很大差異.

3.2 數(shù)學課程的邏輯特點

我們常說：數(shù)學是自然界的普適語言.數(shù)學更嚴格的定義是：研究宇宙數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學科，也就是說數(shù)學的本質(zhì)是各種運動形式在空間形式及其數(shù)量關(guān)系的概括.所以，數(shù)學也具有6大特點：其一是高度的抽象性，其二是邏輯上的嚴密性，其三是數(shù)量上的精密性，其四是深刻上的辯證性，其五是應(yīng)用的廣泛性，其六是與物理學一樣，數(shù)學也是一門蘊涵著特殊文化的科學.

目前基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學課程結(jié)構(gòu)，與物理學有基本相同的、也有較大差異的.基本相同的是課程結(jié)構(gòu)也是螺旋結(jié)構(gòu)的5個完整循環(huán)，即小學數(shù)學、初中數(shù)學、高中數(shù)學、大學基礎(chǔ)數(shù)學、現(xiàn)代數(shù)學理論.小學、初中和高中都是代數(shù)、幾何和統(tǒng)計與概率3大領(lǐng)域的逐步深入、擴展和初步應(yīng)用（數(shù)學建模）.與物理學課程的差異有：其一，課程內(nèi)容下移：小學一年級就有數(shù)學課程，初二（8年級）才有物理課程.其二，在初中和高中的數(shù)學課程里是沒有高等數(shù)學的拓撲學、微分方程和泛函分析等學科.這樣在中學階段，暫時沒有許多相應(yīng)的“數(shù)學觀念”.其三，初、高中數(shù)學課程中沒有像初、高中物理的系統(tǒng)性實驗.這樣不僅沒有根植于實驗歸納、理想實驗和假說等思維方法的學習，而且沒有實驗技能訓(xùn)練和實驗方法的學習機會.這顯然是數(shù)學課程與物理課程的很大不同.其四，有趣的是現(xiàn)代數(shù)學理論的高度發(fā)展和抽象，比如拓撲學理論及其應(yīng)用等，需要物理學的超前假說，并最后還必須由物理學的實證來完成.

3.3 數(shù)學課程學習的思維特征

數(shù)學思維的內(nèi)涵是指轉(zhuǎn)化與劃歸、一般與特殊、函數(shù)與映射、歸納與類比、想象與直覺、數(shù)學歸納法、數(shù)學演繹法、數(shù)學反駁法和公理化方法等邏輯范疇.我國義務(wù)教育和高中的數(shù)學教學課程標準中都明確指出，數(shù)學思維能力主要是指：會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理；會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；能運用數(shù)學概念、思想和方法，辨明數(shù)學關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì).所以，數(shù)學思維是多種邏輯思維能力的綜合運用.

一般來說，小學生是掌握形狀、方位、比較、排序、圖形和拼擺等能力.初中學生數(shù)學能力主要包括：數(shù)感和符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念、初步的推理能力以及分析和解決實際問題的能力等.高中學生的數(shù)學能力主要包括：空間想象能力，邏輯思維能力，運算能力，分析問題與解決問題的能力，數(shù)學探究與創(chuàng)新能力以及數(shù)學建模能力等.研究表明：數(shù)學思維能力強的人，基本體現(xiàn)在兩種層面上，其一是數(shù)學聯(lián)想力，其二是數(shù)字敏感度.兩種層面都具有公理化特征.

4 物理思維與數(shù)學思維的差異性與同一性

從哲學、邏輯學和研究方法等角度，物理思維與數(shù)學思維的差異性是顯著的.比如，教學實踐表明：數(shù)學學習的高原期比物理學習的高原期要短得多.這是目前我國普通大眾認為“物理難學又難教”的主要感性依據(jù).但是，作為教育工作者，我們必須貫徹基本的科學觀念，即物理與數(shù)學都是自然科學的有機組成部分，物理思維與數(shù)學思維存在著天然的同一性和本質(zhì)的共性.牛頓的經(jīng)典物理學名著的書名就是《自然哲學的數(shù)學原理》，整個宇宙是自然哲學的統(tǒng)一體.現(xiàn)代物理學的發(fā)展必須借助于現(xiàn)代數(shù)學，二者已經(jīng)“融為一體”.

4.1 物理學與數(shù)學的學科知識交集

從理論物理學的角度看數(shù)學，數(shù)學是物理學的表征，物理學是數(shù)學的實證模型：只要數(shù)學方程是自洽的，則必然有物理的自然客觀模型與之對應(yīng)，只是尚未發(fā)現(xiàn)而已.從物理學應(yīng)用的角度看待數(shù)學，物理學是當代技術(shù)之源，但必須通過數(shù)學進行標準化.因此，當代最偉大的數(shù)學家之一陳省身教授，極力贊成“物理”與“數(shù)學”是一家，他曾賦詩一首寫道：

物理幾何是一家，共同攜手到天涯.

黑洞單極窮奧秘，纖維聯(lián)絡(luò)織錦霞.

進化方程孤立異，對偶曲率瞬息空.

籌算竟有天人用，拈花一笑不言中.

4.2 物理學與數(shù)學的3次重要結(jié)合

物理思維與數(shù)學思維的同一性還體現(xiàn)在物理學的發(fā)展歷史之中.第1次是物理學與歐幾里得幾何的結(jié)合，誕生了經(jīng)典力學、天文學.比如，牛頓的《自然哲學的數(shù)學原理》有大量的幾何圖式；第2次是物理學與微積分的結(jié)合，構(gòu)建了“完美”的經(jīng)典物理學.比如，拉格朗日的《分析力學》沒有一張圖，其后，誕生并逐步完善了數(shù)學物理方法.第3次是物理學與現(xiàn)代數(shù)學（微分幾何）的結(jié)合創(chuàng)建了近代物理學和相對論，比如，愛因斯坦的《廣義相對論》.量子力學中的概率、算子、特征值、群論等基本概念和結(jié)論似乎都是數(shù)學上“預(yù)先”準備好了的.所以，數(shù)學對第3次科學革命起到了有力的推動作用.因此，數(shù)學是創(chuàng)立和發(fā)展物理學理論的主要工具.從技術(shù)革命的角度，物理學理論的應(yīng)用要借助數(shù)學工具，比如，實現(xiàn)單位的標準化和統(tǒng)一等.自20世紀初以來，物理學與數(shù)學就是互相促進和共同發(fā)展的.

4.3 中學物理課程與中學數(shù)學課程的差異

物理學的理論體系是由實驗、定律、定理和原理構(gòu)成的，所以，中學物理的力學、熱學、電磁學、光學、原子物理學是以實驗為先導(dǎo)，從概念、規(guī)律、和原理出發(fā)，在哲學層面把物理學理論體系概括為4大“概念范疇”：實物與場、粒子與波、時間與空間、運動與靜止.已經(jīng)超越了邏輯學層面，進入了哲學層面，是腦動和技能型手動的結(jié)合.

數(shù)學的理論體系是由公理、定義、定理和推論構(gòu)成的.可以說，中學數(shù)學的代數(shù)、數(shù)論、幾何、數(shù)理統(tǒng)計初步等都是相關(guān)學科的預(yù)備性知識，是以數(shù)學建模為后導(dǎo)的.這方面完全不同于物理學.基礎(chǔ)教育階段，沒有涉及泛函分析、微分方程特別是三類偏微分方程.雖然中學數(shù)學也借助于邏輯學，卻完全局限于“算術(shù)”的層面，只有腦動，沒有技能型的手動.

由此可見，如果不涉及微積分，中學數(shù)學的內(nèi)容形式與大學數(shù)學的內(nèi)容形式完全不同，但是，中學物理的內(nèi)容形式與大學物理的內(nèi)容形式幾乎完全重合.這是因為：其一，內(nèi)容差異.物理的課程螺旋結(jié)構(gòu)內(nèi)容是相同的，數(shù)學的不完全相同.其二，難度差異.初、高中課程內(nèi)容的難度臺階，物理特別大，數(shù)學不明顯.其三，邏輯差異.物理是實時情境推理，數(shù)學是固定純粹推理.其四，思維差異.物理有賴于個性，具體體現(xiàn)是抽象化的具象、具象化的抽象；數(shù)學有賴于直接的具象，然后轉(zhuǎn)化為具象化的抽象.其五，直接應(yīng)用物理的定義、定律和定理，可能無法得出物理問題結(jié)論，或者得出的正確結(jié)論是“歪打正著”（個性化物理思維路徑并不正確）；數(shù)學直接可以應(yīng)用公理、定義和定理，就可以得出正確的結(jié)論，數(shù)學幾乎不會出現(xiàn)“歪打正著”現(xiàn)象.

5 物理邏輯與數(shù)學邏輯的教學差異性舉例

教學實踐表明，我們必須從邏輯層面分析物理邏輯與數(shù)學邏輯的教學差異性.所謂邏輯（Logic）是一個外來詞語音譯，指的是思維的規(guī)律和規(guī)則，也指研究思維規(guī)律的學科即邏輯學，包括辯證邏輯、形式邏輯和數(shù)理邏輯（符號邏輯）.它們都是通過人的邏輯思維途徑而達成.邏輯指的是思維的規(guī)律和規(guī)則，邏輯思維（Logicalthinking）是人們在感性認知階段（感覺、知覺、表象）基礎(chǔ)上，借助于理性認識階段（概念、判斷、推理）的思維形式能動地反映客觀現(xiàn)實的認識過程.它是作為對認識者的思維及其結(jié)構(gòu)以及起作用的規(guī)律的分析而產(chǎn)生和發(fā)展起來的.只有經(jīng)過邏輯思維，人們才能達到對具體對象本質(zhì)規(guī)定的把握，進而認識客觀世界，是人的認識的高級階段，但是，邏輯思維具有個體思維的規(guī)律性和差異性.

5.1 “概念”學習的差異

概念是思維的基本形式之一，是邏輯思維進入理性認識階段的起點.概念是反映客觀事物的一般的、本質(zhì)特征的思維形式.人類在形成概念認識過程中，需要把所感覺到的事物的共同特點抽出來，加以概括，就成為概念.

在基礎(chǔ)教育階段，數(shù)學中的“概念”是公理中規(guī)定了的，大量采用了歸納的方法，是“死的”；比如，“數(shù)域”“直角三角形”“反函數(shù)”等等，其定義都是一種“程式化”的思維，是一種純粹化的或機械化的邏輯推理.

而物理學中的“概念”是實驗（情境）中抽象出來的，是“活的”，比如，“力”“杠桿”“電場強度”等等，其定義是一種“情境化”的思維或個性化的邏輯推理.

因此，高中同年級的物理“概念”的建立過程和定義程序比數(shù)學的復(fù)雜得多和難得多.這或許是物理比數(shù)學“難學又難教”的教學層面的原因之一.

5.2 “規(guī)律”學習的差異

規(guī)律亦稱法則，是在一定的條件下，客觀事物發(fā)展過程中的本質(zhì)要素之間的聯(lián)系.規(guī)律具有必然性、普遍性、客觀性和永恒性特點.

在基礎(chǔ)教育階段，數(shù)學中的“規(guī)律”來自于公理中的定義、定理和推論；比如，“實數(shù)的四則運算”“直角三角形的勾股定理”“三角函數(shù)法則”等.這些直接演繹的過程是單純的和純粹的思維過程，是沒有或者不需要客觀實際情境過程對應(yīng)的.比如，如果熟記直角三角形的角邊關(guān)系的公式（公理），你不僅能夠無誤地推出三角函數(shù)各種角邊關(guān)系公式，如倍角關(guān)系、半角關(guān)系、和差化積等，而且會輕松地求解此類題目.只要將相關(guān)的定義、定理、運算法則熟記熟背，即可靈活運用.

物理學中的“規(guī)律”必須是通過實驗（情境）進行歸納或證明的.比如牛頓第二定律、動量守恒定律和法拉第電磁感應(yīng)定律等.不僅條件嚴格，而且其情境是理想化的，即需要進行一系列的思維加工.其內(nèi)容是客觀化的，需要實際的情境，即需要物理實驗與其對應(yīng).正是其情境的理想思維加工和內(nèi)容客觀化的實驗情境，必然要求物理學習者的思維過程和思維成果具有個性化特質(zhì).比如，受力分析可以用不同的分解方法、矢量的方向也與規(guī)定的正方向進行比較、守恒律的運用更需要清晰始末狀態(tài).如果熟記牛頓三定律及其相關(guān)公式（比如，牛頓第二定律F=ma，為簡單計，這里只用標量式），你可能會推導(dǎo)動能定理表達式，但是，你或許根本都不會做基本的動力學題目，因為前者只是數(shù)學，而后者就是物理學.所以，不同于數(shù)學，物理學中的“規(guī)律”是一種個性化物理情境、個性化技能、個性化思維方法和個性化思維過程的綜合實踐活動，需要的是個性化的邏輯推理.而且物理規(guī)律有3個層次：定律、定理和原理，同時其表征有3種形式，除了文字的定性表述，另外兩種都是數(shù)學方法——解析式和圖像.

這或許是物理比數(shù)學“難學又難教”的教學層面的原因之二.

5.3 “原理”學習的差異

原理是具有普遍意義的最基本的規(guī)律.科學的原理，由實踐確定其正確性，可作為其他規(guī)律的基礎(chǔ).初等數(shù)學的原理有加法原理、乘法原理、抽屜原理等等.初等物理的原理有功能原理、杠桿原理、動能定理和惠更斯原理等等.我們僅僅從名稱上就不難發(fā)現(xiàn)，無論是內(nèi)容還是從內(nèi)涵，數(shù)學的原理比物理的原理簡易得多.就表現(xiàn)形式看，物理的原理比數(shù)學的原理要簡單得多，但是其內(nèi)涵和具體應(yīng)用策略上，物理的原理比數(shù)學的原理要復(fù)雜得多，主要體現(xiàn)在物理思維的個性化特質(zhì)上.

比如，組合數(shù)學中抽屜原理（鴿巢原理），其“實踐情境”：桌上有10個蘋果，要把這10個蘋果放到9個抽屜里，無論怎樣放，我們會發(fā)現(xiàn)至少會有一個抽屜里面放不少于2個蘋果.這一現(xiàn)象就是我們所說的“抽屜原理”.我們可以進行數(shù)學簡單而純粹的抽象：“如果每個抽屜代表一個集合，每1個蘋果就可以代表1個元素，假如有n+1個元素放到n個集合中去，其中必定有一個集合里至少有2個元素.”第一抽屜原理的應(yīng)用1及其證明.把多于n+1個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于2件.證明：用反證法——如果每個抽屜至多只能放進一個物體，那么物體的總數(shù)最多是n×1，而不是題設(shè)的n+k（k≥1），故不可能.

在這里，研究對象是具體的、純粹的和有形的“抽屜”和“蘋果”，而可以被抽象為任意內(nèi)涵的“元素”，雖然邏輯的推理是嚴謹、第次而且明顯的（1個示意圖可以表征研究對象），但是，其推理過程是單一的（至少有一個抽屜里的東西不少于2件“元素”）；從邏輯方法上，也用到反證法，其邏輯關(guān)系清晰，結(jié)論也很簡單[n+k（k≥1）不可能]，沒有復(fù)雜的情境內(nèi)涵.即數(shù)學思維具有具體的、機械的和純粹的特點.

下面對比看看物理學波動理論的惠更斯原理和惠更斯-菲涅耳原理.

惠更斯原理：任意時刻球形波面上的每一點都是一個次級球面波的次波源，次波的波速與頻率等于初級波的波速和頻率，此后每一時刻的次波波面的包絡(luò)就是該時刻總的波動的波面.原理的核心概念是次波源，而且是“點波源”.原理的應(yīng)用結(jié)論：介質(zhì)中任一處的波動狀態(tài)是由各處的波動決定的.原理的表述和結(jié)論都很簡潔，其過程的內(nèi)涵卻不是簡單的，因為要應(yīng)用“球面波”和“疊加”兩個概念.

在這里，研究對象是具體的、客觀的和無形的“機械波的反射、折射和衍射現(xiàn)象”（機械波中，只有水波是有形的），雖然邏輯的推理也是嚴謹、第次而且淺顯的（機械波遇到障礙物時如何傳播），但是，其推理過程卻不是單一的.其一，次波源——點波源發(fā)出的球面波，如圖1所示.其二，疊加的含義是什么——物理矢量的一種加減法，是獨立作用原理為前提的，其物理因素是次波面的“疊加”.其三 ，從邏輯方法上，必須考慮實際的物理情境，即次波面的“疊加”必須在一定的范圍內(nèi)，即如果在遠離障礙物的地方繼續(xù)使用“次波源”，會發(fā)現(xiàn)波可能會有繞到“后背”的后退波.這顯然是違背了實際情況的錯誤.因此，雖然該原理的邏輯關(guān)系清晰，但是結(jié)論卻不像數(shù)學那樣的單一：（1）對象是情境式的；（2）對象的結(jié)論是有范圍的，因果關(guān)系是有條件的；（3）惠更斯原理的次波假設(shè)沒有涉及波的時空周期特性：即沒有波長、振幅和位相等概念；（4）沒有關(guān)注衍射的物理現(xiàn)象和物理機制.這顯然是不完備的.實際上，衍射區(qū)域有明暗相間的條紋出現(xiàn)，所以，后來菲涅耳在惠更斯原理的基礎(chǔ)上，補充了“次波相干疊加”的物理原理，給出了次波相位和振幅的定量表示式.這就是惠更斯-菲涅耳原理.此時，該原理呈現(xiàn)的不僅有清晰完整的內(nèi)涵，而且物理思維具有情境的、分析的和個性化的特點.

圖1 點波源

實際上，物理規(guī)律和物理原理的教學方法并沒有任何差異，都需在物理實驗基礎(chǔ)上展開教學過程.這一點顯然與數(shù)學原理的教學方法不同.這或許是物理比數(shù)學“難學又難教”的教學層面的原因之三.

6 結(jié)語

最后，作為本文中心論點的又一佐證，再舉一例，即我們對解析式F=ma的數(shù)學意義和物理意義進行簡單的比較.從數(shù)學的角度，F(xiàn)=ma就是一個方程，3個量中哪一個是未知數(shù)無關(guān)緊要，其形式無論是F=ma，還是F-ma=0，都不會影響方程的解，小學數(shù)學就可以得出結(jié)果.而且3個量是等價的，其因果關(guān)系可以互逆，即其時空反演是對稱的.然而，從物理學的角度，F(xiàn)=ma是牛頓第二定律數(shù)學公式（定量表達式），姑且不說該方程是高中物理的重點知識，其教與學需要運用控制變量法進行科學探究實驗展開，僅方程F=ma的本身就包含了3層涵義.第一層：F=ma是一個矢量式，即F外=ma，而且是系統(tǒng)所受的“合外力”，物理意義非常清晰和具體.第二層：方程F=ma是質(zhì)點動力學嚴格因果關(guān)系的表示，即左邊是力F，右邊是運動狀態(tài)的改變，，即物理量在方程的不同位置，其物理意義是不同的.第三層：該方程或等式F=ma兩邊的物理意義是慣性參考系中質(zhì)點動力學物理規(guī)律因果律的表示.左邊F合外力是質(zhì)點運動產(chǎn)生的“因”，右邊的ma是質(zhì)點的運動狀態(tài)變化，即在慣性參照系中，物體所受合外力不等于0，該物體的運動狀態(tài)一定發(fā)生了變化：是“因”產(chǎn)生的“果”.因此，F(xiàn)=ma與F-ma=0這兩個方程有本質(zhì)的區(qū)別.其一：F-ma=0中的F-ma是合力，即ma也是一個“力”.其二：參照系不同，顯然F=ma是慣性參照系，而F-ma=0是非慣性參照系，即ma是非慣性參照系的“慣性力”，等式F-ma=0的右邊等于0，表示在非慣性參照系中，該“質(zhì)點”的運動狀態(tài)并沒有發(fā)生變化.因此，對于牛頓第二定律F=ma的層次分析和物理內(nèi)涵，如果我們的物理教師不能夠如此地把握，只是一味地要求學生做題，學生可能在相當長的時間內(nèi)也難以或者根本不可能領(lǐng)會和掌握.結(jié)合這個典型的例子并綜上討論，對于“物理難學又難教”的社會焦慮，我們顯然需要給出明確的結(jié)論：答案應(yīng)該是“物理難學不難教！”問題在于我們的物理教師是否名副其實的物理學的學科教師.