陳舒越 蔣闖 柯少林? 王兵? 陸培祥

1) (華中科技大學(xué)物理學(xué)院,武漢 430074)

2) (武漢工程大學(xué),光學(xué)信息與模式識(shí)別湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430205)

能帶理論在光學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用為控制光傳輸提供了有效手段,非厄米趨膚效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)擴(kuò)展了傳統(tǒng)能帶理論的范疇,能夠?qū)崿F(xiàn)新型光局域和單向傳輸現(xiàn)象.然而在光學(xué)體系,如何有效地產(chǎn)生并調(diào)控非厄米趨膚效應(yīng)仍然是重要的研究主題.本文研究了具有規(guī)范勢(shì)的準(zhǔn)一維菱形光晶格中的非厄米趨膚效應(yīng),通過(guò)計(jì)算本征能譜、環(huán)繞數(shù)和模式演化特性,發(fā)現(xiàn)規(guī)范勢(shì)能夠?qū)吥w效應(yīng)強(qiáng)弱進(jìn)行有效調(diào)節(jié).當(dāng)規(guī)范勢(shì)大小為π 時(shí),趨膚效應(yīng)被完全抑制,而由Aharonov-Bohm 籠效應(yīng)引起的平帶局域占主導(dǎo).利用間接耦合微環(huán)諧振腔陣列,可同時(shí)產(chǎn)生合成光子規(guī)范勢(shì)和非對(duì)稱(chēng)耦合,為研究Aharonov-Bohm 籠和趨膚效應(yīng)的競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制提供了可能的實(shí)現(xiàn)方案.本研究結(jié)果為利用規(guī)范勢(shì)調(diào)控趨膚效應(yīng)提供理論基礎(chǔ),在發(fā)展片上非磁性單向傳播器件也具有潛在的應(yīng)用前景.

1 引言

光的傳輸和局域調(diào)控是發(fā)展下一代集成光子芯片的重要基礎(chǔ),能有效應(yīng)對(duì)信息處理和計(jì)算能力日益增長(zhǎng)的需求.隨著對(duì)光子晶體[1]、光波導(dǎo)陣列[2]和合成光子晶格[3]等光學(xué)體系的深入研究,光子調(diào)控的手段變得更加豐富.例如,通過(guò)能帶工程,可以實(shí)現(xiàn)如衍射管理[4]、負(fù)折射[5]、無(wú)衍射傳輸[6]、布洛赫震蕩[7]等豐富的光束控制;也可實(shí)現(xiàn)不同類(lèi)型的光波局域,如動(dòng)態(tài)局域[8],平帶局域[9,10],摩爾晶格局域[11].而能帶理論和拓?fù)涞慕Y(jié)合發(fā)展出了拓?fù)涔庾訉W(xué)這一新領(lǐng)域,基于量子霍爾效應(yīng)[12]、量子反?；魻栃?yīng)[13]、谷自旋[14]等效應(yīng)的光學(xué)類(lèi)比,能構(gòu)建具有拓?fù)浔Ｗo(hù)、抵抗擾動(dòng)的單向光波輸運(yùn),有效抑制制造缺陷和無(wú)序擾動(dòng)引起的背向散射問(wèn)題[15];此外,利用拓?fù)浣缑鎽B(tài),拓?fù)浣菓B(tài)等也可實(shí)現(xiàn)抵抗擾動(dòng)的光局域,應(yīng)用于拓?fù)浼す獾萚16,17].

近年來(lái),能帶理論的研究推廣至非厄米系統(tǒng),對(duì)具有非對(duì)稱(chēng)耦合的一類(lèi)格點(diǎn)系統(tǒng)的研究發(fā)現(xiàn),在開(kāi)放邊界條件下,系統(tǒng)的體態(tài)與拓?fù)溥吔鐟B(tài)都局域于結(jié)構(gòu)邊緣,這一新奇現(xiàn)象被命名為非厄米趨膚效應(yīng)[18].非厄米趨膚效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)給傳統(tǒng)能帶理論帶來(lái)了發(fā)展,同時(shí)也為控制光局域和單向傳輸提供了新途徑[19,20].首先,非厄米系統(tǒng)的能隙擴(kuò)展為點(diǎn)能隙和線能隙,系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性也變得更為復(fù)雜[21].其次,在這類(lèi)系統(tǒng)中,開(kāi)放邊界條件與周期邊界條件下的能譜呈現(xiàn)完全不同的特性,布洛赫能帶圖像不能準(zhǔn)確刻畫(huà)體態(tài)性質(zhì).更為重要的是,拓?fù)淠軒Ю碚撝?傳統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系受到了極大的挑戰(zhàn);在開(kāi)放邊界條件下存在的拓?fù)溥吘墤B(tài)或界面態(tài),其性質(zhì)由系統(tǒng)的體態(tài)特性所決定,這種全息關(guān)系叫作體邊對(duì)應(yīng);然而,由于趨膚效應(yīng),體態(tài)局域于邊界,常規(guī)的拓?fù)洳蛔兞繜o(wú)法準(zhǔn)確描述拓?fù)浞瞧接惯吔鐟B(tài)的性質(zhì),導(dǎo)致體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系的破缺.為解決這一問(wèn)題,人們發(fā)展了能譜拓?fù)?、廣義布里淵區(qū)和非布洛赫拓?fù)洳蛔兞?成功預(yù)測(cè)了非厄米趨膚效應(yīng)的產(chǎn)生條件和拓?fù)溥吔鐟B(tài)的出現(xiàn)與消失,重構(gòu)了非厄米系統(tǒng)中的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系[18].目前,非厄米趨膚效應(yīng)在凝聚態(tài)[22]、冷原子[23]、電路[24]、聲學(xué)[25]和機(jī)械振動(dòng)[26]引起了廣泛的研究興趣.

在光學(xué)體系中,如何產(chǎn)生和調(diào)控非厄米趨膚效應(yīng)是重要的研究課題,最基本的方法是產(chǎn)生非對(duì)稱(chēng)耦合.利用光纖環(huán)路可以實(shí)現(xiàn)等效的時(shí)間、頻率晶格[7,27],利用放大器構(gòu)建非對(duì)稱(chēng)耦合進(jìn)而實(shí)現(xiàn)合成維度的趨膚效應(yīng)[28].在間接耦合微環(huán)諧振腔陣列中,在連接微環(huán)中一半周期引入增益,另一半引入損耗,構(gòu)建傳輸路徑依賴(lài)的等效耦合,同樣能夠?qū)崿F(xiàn)非對(duì)稱(chēng)耦合[29].此外,利用磁性或各向異性光子晶體,規(guī)范勢(shì)和增益損耗相互作用,反射波干涉等手段,不直接產(chǎn)生非對(duì)稱(chēng)耦合也可實(shí)現(xiàn)趨膚效應(yīng)[30].此外,趨膚效應(yīng)和其他局域模式和物理效應(yīng)的相互作用也是重要的研究課題.例如,隨機(jī)擾動(dòng)引起的安德森局域和非厄米趨膚效應(yīng)可以產(chǎn)生多種相變[31];在二維體系中,拓?fù)浜头菍?duì)稱(chēng)耦合產(chǎn)生雜化趨膚模,磁場(chǎng)對(duì)趨膚效應(yīng)會(huì)產(chǎn)生抑制作用[32];在一維體系中,利用時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)局域,也可以控制趨膚效應(yīng)[33].其他物理效應(yīng)和趨膚效應(yīng)相互作用會(huì)有哪些新現(xiàn)象,特別是在集成光學(xué)體系,其作用又會(huì)給光操控帶來(lái)哪些機(jī)會(huì)?

本文擬研究準(zhǔn)一維菱形晶格中的規(guī)范勢(shì)和非厄米趨膚效應(yīng)的相互作用.通過(guò)計(jì)算本征能譜和環(huán)繞數(shù),發(fā)現(xiàn)規(guī)范勢(shì)能夠?qū)吥w效應(yīng)的強(qiáng)弱進(jìn)行有效調(diào)節(jié).當(dāng)規(guī)范勢(shì)大小為π 時(shí),周期邊界和開(kāi)放邊界條件下的能譜演變?yōu)槠綆Р⑶抑匦轮睾?趨膚效應(yīng)被完全抑制,而由Aharonov-Bohm 籠效應(yīng)(Aharonov-Bohm cage,AB 籠)引起的平帶局域占主導(dǎo),從演化特性可以觀察到從趨膚模式向平帶局域模式的變化情況.進(jìn)一步提出利用間接耦合微環(huán)諧振腔陣列,可以同時(shí)產(chǎn)生規(guī)范勢(shì)和非對(duì)稱(chēng)耦合,并利用傳輸矩陣法詳細(xì)分析了耦合特性,模擬仿真了光場(chǎng)分布和透射譜,為研究AB 籠和趨膚效應(yīng)的競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制提供了可能實(shí)驗(yàn)方案.本文的研究成果為利用規(guī)范勢(shì)調(diào)控趨膚效應(yīng)提供了途徑.

2 理論模型

2.1 緊束縛模型和本征能譜

考慮如圖1 所示的菱形晶格,每個(gè)單元包含A,B,C三個(gè)格點(diǎn),只考慮最近鄰耦合.同一個(gè)晶胞中A和B格點(diǎn)以及C和相鄰晶胞A格點(diǎn)的耦合為非厄米非對(duì)稱(chēng)耦合(紅色和綠色箭頭),同時(shí),每個(gè)晶胞具有大小為φ的規(guī)范勢(shì),可以由A和C格點(diǎn)耦合系數(shù)中的非互易相位引入(黃色虛線).該晶格在實(shí)空間的哈密頓量為

圖1 準(zhǔn)一維非厄米菱形晶格示意圖Fig.1.Schematic of non-Hermitian quasi-one-dimensional rhombic chain.

其中,t為耦合系數(shù);h為虛規(guī)范勢(shì),導(dǎo)致非對(duì)稱(chēng)耦合,h越大非對(duì)稱(chēng)度越大.

周期邊界條件下,系統(tǒng)的哈密頓量為

其中,k為布洛赫動(dòng)量.由于存在非對(duì)稱(chēng)耦合,系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)趨膚效應(yīng),模式會(huì)趨向局域于結(jié)構(gòu)邊緣處.局域方向由h的符號(hào)決定,h＞ 0 時(shí),向左耦合系數(shù)大于向右的耦合,出現(xiàn)左趨膚效應(yīng);而h＜ 0 的情況相反.此前對(duì)菱形晶格的研究已表明,厄米情況下,當(dāng)規(guī)范勢(shì)大小為φ=π 時(shí),由A格點(diǎn)耦合到相鄰A格點(diǎn)的波經(jīng)過(guò)B和C兩條路徑發(fā)生相消干涉,形成AB 籠效應(yīng),此時(shí),能帶退化為無(wú)色散的平帶,體態(tài)變?yōu)榫o湊局域態(tài)[34,35].

因此,為理解調(diào)節(jié)規(guī)范勢(shì)對(duì)趨膚效應(yīng)的影響以及其之間的相互作用,首先考慮厄米情況,即h=0.圖2(a)—(c) 所示為不同規(guī)范勢(shì)取值情況下的能譜,計(jì)算中選取的總格點(diǎn)數(shù)N=61,結(jié)果顯示,周期邊界和開(kāi)放邊界條件下的能譜重合在一起,此時(shí)系統(tǒng)都不支持趨膚效應(yīng).而當(dāng)φ=π 時(shí),發(fā)生相消干涉,體帶退化為3 個(gè)平帶,對(duì)應(yīng)復(fù)平面上3 個(gè)點(diǎn)E=0,±t,如圖2(c)所示.此外,復(fù)平面上存在能量為的點(diǎn),是開(kāi)放邊界條件下的拓?fù)溥吔鐟B(tài),其拓?fù)洳蛔兞繛榘胝麛?shù)[36].

引入非對(duì)稱(chēng)耦合后,一般情況下,系統(tǒng)能譜對(duì)邊界條件很敏感,周期邊界條件下能譜和開(kāi)放邊界的不再重和,如圖2(d)所示,選取的參數(shù)h=0.6,φ=0 和t=1.在復(fù)平面上,周期邊界條件下的能譜為有面積的閉合曲線,具有非厄米點(diǎn)能隙,而開(kāi)邊能譜則退化成弧線并且被周期邊能譜所包圍,此情況下,開(kāi)放邊界條件下系統(tǒng)具有趨膚效應(yīng),其出現(xiàn)條件可以根據(jù)周期邊界的拓?fù)渥V環(huán)繞數(shù)來(lái)預(yù)測(cè),定義為[37,38]

式中,k為布洛赫動(dòng)量,E0為任意基準(zhǔn)點(diǎn).存在趨膚效應(yīng)的充要條件為存在E0∈C使得W(E0) ≠ 0.當(dāng)周期邊為閉合曲線時(shí),選取E0為閉合曲線內(nèi)部點(diǎn),則W(E0) ≠ 0;而無(wú)趨膚效應(yīng)時(shí),周期邊能譜塌縮成一條弧線,不存在內(nèi)部點(diǎn),W(E0)=0.進(jìn)一步將規(guī)范勢(shì)大小改變?yōu)棣?0.5π,如圖2(e)所示,仍然能觀察到周期邊界條件下的能譜是閉合曲線,周期和開(kāi)放邊界條件下不一致,但周期邊能譜圍繞的面積顯著減小.規(guī)范勢(shì)增大為φ=π 時(shí),如圖2(f)所示,周期邊界能譜塌縮為平帶,不再具有內(nèi)部面積,并且和開(kāi)邊能譜重合,此時(shí)系統(tǒng)不再具有趨膚效應(yīng).通過(guò)對(duì)角化H(k),求解出周期邊能譜為E=0,±2t,和耦合系數(shù)非對(duì)稱(chēng)度大小無(wú)關(guān),并且和厄米情況保持一致.因此,當(dāng)出現(xiàn)AB 籠效應(yīng)時(shí),趨膚效應(yīng)被完全抑制.

圖2 周期邊界條件(藍(lán)色實(shí)心圓)和開(kāi)放邊界條件(紅色空心圓)下的復(fù)能譜 (a)—(c) 分別對(duì)應(yīng)厄米情況下(h=0)規(guī)范勢(shì) φ=0,0.5π,π 的能譜圖;(d)—(f) 分別對(duì)應(yīng)非厄米情況下(h=0.6)規(guī)范勢(shì) φ=0,0.5π,π 的能譜圖Fig.2.Complex energy spectra under periodic (blue solid circles) and open boundary conditions (red hollow circles): (a)—(c) Energy spectra for Hermitian cases (h=0) with φ=0,0.5π,π,respectively;(d)—(f) energy spectra for non-Hermitian cases (h=0.6) with φ=0,0.5π,π,respectively.

2.2 趨膚效應(yīng)及演化分析

以上討論的能譜特征可用來(lái)預(yù)測(cè)趨膚效應(yīng),而從本征模式分布可更直接觀察趨膚模式.圖3(a)—(f)所示為不同規(guī)范勢(shì)φ和非對(duì)稱(chēng)耦合系數(shù)h下的模式分布圖,其中,模式編號(hào)按能量實(shí)部從小到大排列.首先考慮規(guī)范勢(shì)φ=0 時(shí)的情況,由于h=0,無(wú)趨膚效應(yīng),模式在整個(gè)結(jié)構(gòu)的格點(diǎn)都有分布,如圖3(a)所示.而當(dāng)h增大時(shí),系統(tǒng)具有非厄米非對(duì)稱(chēng)耦合,所有模式都局域于結(jié)構(gòu)的左邊界處,而遠(yuǎn)離邊界呈現(xiàn)指數(shù)衰減的特性,即出現(xiàn)趨膚效應(yīng),如圖3(b)所示.隨著h進(jìn)一步增大,如圖3(c)所示,趨膚效應(yīng)強(qiáng)度變得越來(lái)越強(qiáng),模式的局域性進(jìn)一步增強(qiáng).值得一提的是,從圖3(b),(c)還可發(fā)現(xiàn),中等能量大小附近的模式在非對(duì)稱(chēng)耦合系數(shù)h不為0 時(shí),并未表現(xiàn)出明顯的趨膚效應(yīng),這是由系統(tǒng)本身的能帶結(jié)構(gòu)所決定的.可知準(zhǔn)一維菱形鏈的能帶是由一條無(wú)色散的零能平帶和兩條色散帶組成,只有當(dāng)規(guī)范勢(shì)φ=π 時(shí),兩條色散帶退化為平帶,才形成了具有三條平帶的能帶系統(tǒng)[34];通過(guò)圖2也可以發(fā)現(xiàn),無(wú)論規(guī)范勢(shì)φ和非對(duì)稱(chēng)耦合系數(shù)h取何值,始終存在零能帶(Re(E)=Im(E)=0).即無(wú)論φ和h取何值,都始終存在一條E=0 的零能平帶,能量低且無(wú)色散,使其對(duì)應(yīng)模式的趨膚效應(yīng)并不明顯.而對(duì)于規(guī)范勢(shì)φ=π 的情況,發(fā)生AB 籠效應(yīng),體態(tài)模式演化為緊湊局域模式,如圖3(d)所示;在非對(duì)稱(chēng)耦合系數(shù)不是很大時(shí),隨著當(dāng)h增大,本征模式并沒(méi)有向左邊緣局域,而仍然為緊湊局域模式,如圖3(e),(f)所示,這充分說(shuō)明了AB 籠效應(yīng)對(duì)趨膚效應(yīng)的有效抑制.為了定量表征模式的局域性,通過(guò)數(shù)值計(jì)算了MPR(mean participation ratio),其定義為[39,40]

圖3 不同參數(shù)下的本征模式分布和MPR 變化 (a)—(c) φ=0 時(shí),h 取0,0.6,1.2 時(shí)的本征模式分布;(d)—(f) φ=π 時(shí),h取0,0.6,1.2 時(shí)的本征模式分布;(g) 規(guī)范勢(shì) φ=0 時(shí)MPR 隨h 變化情況;(h) 規(guī)范勢(shì) φ=π 時(shí)MPR 隨h 變化情況;藍(lán)色圓點(diǎn)表示數(shù)值計(jì)算的結(jié)果,紅色實(shí)線表示回歸分析的結(jié)果Fig.3.The distribution of eigenmodes and the variation of MPR via h under different parameters: (a)—(c) the distributions of eigenmodes with φ=0 as h=0,0.6,and 1.2,respectively;(d)—(f) the distributions of eigenmodes with φ=π as h=0,0.6,and 1.2,respectively;(g) MPR as a function of h for φ=0;(h) MPR as a function of h for φ=π.The blue dots indicate the result of numerical calculation and the red solid lines indicate the result of regression.

其中,j為節(jié)點(diǎn)編號(hào),n為模式編號(hào),表示第n個(gè)本征模式在第j個(gè)節(jié)點(diǎn)上的分布大小.MPR 值越大,模式越不局域;MPR 越趨于1,模式越局域.圖3(g)描述了φ=0 情況下MPR 隨耦合非對(duì)稱(chēng)度h的變化關(guān)系,藍(lán)色點(diǎn)為數(shù)值計(jì)算結(jié)果,為了更好地描述變化趨勢(shì),也給出了基于四次多項(xiàng)式擬合的擬合結(jié)果,如紅色曲線所示.在此情況下,MPR隨著非厄米耦合的非對(duì)稱(chēng)度增大而減小,表明模式的局域性逐漸增強(qiáng),即趨膚效應(yīng)的增強(qiáng).而當(dāng)φ=π,情況不同,首先,由于AB 籠的效果,體態(tài)變?yōu)榫o湊局域態(tài),局域于結(jié)構(gòu)不同位置,即使厄米情況,MPR 也較小,約等于3.5;隨著h增大,MPR 數(shù)值變化并不明顯,并沒(méi)有發(fā)生單調(diào)減小的情況,這是由于緊湊局域態(tài)并沒(méi)有由于非對(duì)稱(chēng)耦合而打破.因此,由于AB 籠效應(yīng),趨膚效應(yīng)被有效抑制.

從模式演化能更清楚地觀察趨膚效應(yīng)及AB籠效應(yīng).圖4 描述了不同規(guī)范勢(shì)和非對(duì)稱(chēng)度情況下的模場(chǎng)演化結(jié)果圖.計(jì)算中選取了格點(diǎn)總數(shù)目為N=31,初始態(tài)為Ψ(16)=1,其他格點(diǎn)為0.當(dāng)φ=0,厄米情況時(shí),無(wú)趨膚效應(yīng),可以觀察到呈現(xiàn)對(duì)稱(chēng)演化情況,如圖4(a)所示;當(dāng)h=0.6 時(shí),為左趨膚效應(yīng),模式趨于向節(jié)點(diǎn)編號(hào)N較小值演化,到達(dá)邊界后,局域于邊界處,如圖4(b)所示;而當(dāng)h=—0.6 時(shí),趨膚效應(yīng)方向也相應(yīng)反過(guò)來(lái),模式趨于向節(jié)點(diǎn)編號(hào)較大值演化,如圖4(c)所示.而對(duì)于φ=π 情況,AB 籠效應(yīng)占主導(dǎo),無(wú)論h取多大值,模式呈現(xiàn)平帶局域,分布于入射端口相鄰節(jié)點(diǎn),趨膚效應(yīng)被抑制,如圖4(d)—(f)所示.

圖4 不同參數(shù)下的單點(diǎn)激發(fā)隨時(shí)間演化特性 (a)—(c) 規(guī)范勢(shì) φ=0 時(shí)h 分別取0,0.6,—0.6 時(shí)的演化;(d)—(f) 規(guī)范勢(shì) φ=π 時(shí)h 分別取0,0.6,—0.6 時(shí)的演化Fig.4.Time-dependent wave dynamics for single-site injection with different parameters: (a)—(c) For φ=0 with h=0,0.6,—0.6,respectively;(d)—(f) for φ=π with h=0,0.6,—0.6,respectively.

接著,從模式演化的角度來(lái)定量的描述φ趨于π 的過(guò)程中趨膚效應(yīng)的變化情況,計(jì)算了系統(tǒng)在單點(diǎn)激發(fā)下,輸出模式分布隨規(guī)范勢(shì)的變化情況,如圖5 所示.可以清楚地觀察到,在規(guī)范勢(shì)φ＜0.8π 時(shí)模場(chǎng)表現(xiàn)出顯著的趨膚效應(yīng),到達(dá)邊界后并局域在邊界處.在規(guī)范勢(shì)0.8π ＜φ＜ 0.95π 時(shí),趨膚效應(yīng)變得較弱,模場(chǎng)未演化到邊界;并且從圖5可以發(fā)現(xiàn),趨膚效應(yīng)的強(qiáng)度也會(huì)隨著規(guī)范勢(shì)φ的變大而逐漸變?nèi)?在規(guī)范勢(shì)φ＞ 0.95π 時(shí),可以看出,此時(shí)趨膚效應(yīng)已經(jīng)幾乎被抑制,沒(méi)有顯示出向邊界演化的趨勢(shì),AB 籠效應(yīng)帶來(lái)的局域效果占主導(dǎo)地位,模場(chǎng)被局域在入射端口處的一個(gè)原胞內(nèi).由此可以看出,在單點(diǎn)激發(fā)下,模場(chǎng)演化的趨膚效應(yīng)會(huì)隨著規(guī)范勢(shì)φ的變大逐漸減弱,而在φ＞ 0.95π時(shí),趨膚效應(yīng)基本被抑制,從而便可以得到良好的趨膚效應(yīng)抑制效果.

圖5 單點(diǎn)激發(fā)下一段時(shí)間演化后(時(shí)間取20)的輸出模場(chǎng)分布隨規(guī)范勢(shì)φ 的變化情況.格點(diǎn)總數(shù)N=31,激發(fā)位置始終位于結(jié)構(gòu)的正中間A 格點(diǎn)(n=16),選取固定不變的趨膚強(qiáng)度h=0.6,模場(chǎng)強(qiáng)度已做歸一化處理Fig.5.The variation of the output field distribution with the gauge potential φ after a period of evolution under single-site excitation (Time is 20).The total number of site N=31.The field is incident from the middle A site of the structure (n=16),the skin strength is fixed at h=0.6,and the intensity of the field is normalized.

3 模擬結(jié)果

3.1 微環(huán)諧振腔耦合分析

利用間接耦合微環(huán)諧振器陣列可以實(shí)現(xiàn)規(guī)范勢(shì)和非對(duì)稱(chēng)耦合,為上述規(guī)范勢(shì)和趨膚效應(yīng)的相互作用提供可實(shí)現(xiàn)的集成光學(xué)方案[41,42].通過(guò)傳輸矩陣法可以推導(dǎo)微環(huán)之間的耦合關(guān)系,為簡(jiǎn)單起見(jiàn),考慮如圖6(a)所示的一維晶格,相鄰主環(huán)通過(guò)連接環(huán)相耦合,主環(huán)和連接環(huán)的長(zhǎng)度分別記為L(zhǎng)和L+ΔL.其中,連接環(huán)設(shè)置額外的長(zhǎng)度ΔL,可以使得連接環(huán)的共振頻率與主環(huán)的共振頻率不同,用以控制主環(huán)之間的耦合.連接環(huán)的上下半周分別引入了增益和損耗,增益損耗系數(shù)記為h,同時(shí)也引入了傳播相位差,記為φ,分別通過(guò)紅色和綠色來(lái)表示.每個(gè)環(huán)都支持兩種模式,包括順時(shí)針(CW)和逆時(shí)針(CCW)模式.例如,相鄰CCW 模式的主環(huán)是通過(guò)連接環(huán)中CW 模式相耦合.主環(huán)與連接環(huán)之間耦合的散射矩陣為

圖6 微環(huán)耦合特性示意圖 (a) 一維環(huán)形諧振腔陣列演示傳輸矩陣法的原理示意圖;(b) 利用連接環(huán)實(shí)現(xiàn)不同類(lèi)型的耦合Fig.6.Schematic diagram of microring coupling characteristics: (a) Schematic diagram of the 1D array of ring resonators to demonstrate the principle of the transmission matrix method;(b) implementation of different types of coupling using link rings.

再將光在連接環(huán)中的傳播考慮進(jìn)去后可得到:

接著,寫(xiě)出剩余需要的傳輸矩陣:

并將它們?nèi)柯?lián)系起來(lái)后得到

其中M為傳輸矩陣.考慮周期條件,結(jié)合布洛赫定理存在非零解的條件為

其中,k為布洛赫動(dòng)量.當(dāng)連接環(huán)反諧振時(shí),其額外長(zhǎng)度ΔL=π+2mπ,將其代入(11)式并化簡(jiǎn)可得到色散關(guān)系:

由于主環(huán)是共振的,滿(mǎn)足

其中,ω0和vg分別表示諧振頻率和群速度,而β則表示傳播常數(shù).色散關(guān)系化簡(jiǎn)為

其中,等效耦合系數(shù)t=vgκ2/(2L).可以看出傳播相位差φ引入了非互易相位,等效實(shí)規(guī)范勢(shì);而增益損耗系數(shù)h引入虛規(guī)范勢(shì),導(dǎo)致非厄米非對(duì)稱(chēng)耦合.

圖6(b)描述了通過(guò)在主環(huán)之間設(shè)置不同類(lèi)型的連接環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)不同類(lèi)型的等效耦合系數(shù).不引入增益損耗和相位差直接在主環(huán)之間引入強(qiáng)度為t的耦合,其強(qiáng)度則可以通過(guò)環(huán)之間的間距來(lái)控制.黃色連接環(huán)表示通過(guò)垂直移動(dòng)連接環(huán),使得從左到右和從右到左傳輸?shù)墓鈺?huì)經(jīng)歷不同的路徑長(zhǎng)度,產(chǎn)生的規(guī)范勢(shì)大小為φ=2βη=2neffk0·η,其中η為垂直移動(dòng)位移,neff表示環(huán)內(nèi)的有效折射率,k0表示真空中的波矢.紅、綠色的連接環(huán)則表示分別在連接環(huán)的上下半周中引入了增益(紅色)和損耗(綠色),誘導(dǎo)出了與方向相關(guān)的放大與耗散,從而導(dǎo)致了非厄米的非對(duì)稱(chēng)耦合.

3.2 微環(huán)諧振腔中趨膚效應(yīng)及抑制現(xiàn)象

利用諧振環(huán)陣列來(lái)驗(yàn)證準(zhǔn)一維菱形鏈中的非厄米趨膚效應(yīng)及其抑制現(xiàn)象,并通過(guò)基于有限元方法的數(shù)值仿真軟件COMSOL 進(jìn)行全波仿真,其幾何結(jié)構(gòu)如圖7(a)所示.在該菱形鏈的中間和兩端分別放置了端口S1,S2 和S3,其中,S1 為輸入端口,S2 和S3 為輸出端口.模擬中,芯層和包層的折射率分別為ncore=3 和nair=1,且每個(gè)環(huán)芯層的寬度w固定為0.27 μm.這樣的設(shè)計(jì)是為了在單個(gè)環(huán)的共振頻率為f0=190.694 THz 時(shí),波導(dǎo)內(nèi)僅支持有效折射率neff=2.465 的單個(gè)TE 偏振模式.主環(huán)的邊長(zhǎng)L0=10 μm,并在其4 個(gè)角設(shè)計(jì)了半徑r=3 μm 的圓角.連接環(huán)相對(duì)主環(huán)具有額外的長(zhǎng)度ΔL=π/(neffk0),這是為了讓連接環(huán)滿(mǎn)足反諧振條件.微環(huán)之間的間隙g=0.375 μm,由此來(lái)確保環(huán)與環(huán)之間的弱耦合.增益和損耗是通過(guò)給連接環(huán)的折射率設(shè)置虛部,其大小設(shè)置為γ=0.007.從S1 端口激發(fā)的單頻光為f=190.675 THz,這是因?yàn)楫?dāng)規(guī)范勢(shì)φ=π 時(shí)形成的一維AB 籠的能帶結(jié)構(gòu)為3 條平帶,由此在利用該諧振環(huán)陣列結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真過(guò)程中,在單個(gè)諧振環(huán)頻率f0=190.694 THz附近還存在兩處能夠激發(fā)E=—2t,2t這兩條體帶的吸收峰.經(jīng)計(jì)算,分別為f1=190.675 THz 和f2=190.725 THz.選取這3 處峰值頻率附近的光,可以使打入該結(jié)構(gòu)中的光盡可能達(dá)到最大,展示出的光場(chǎng)效果更佳.在下文仿真中,皆采用了第1 個(gè)吸收峰值處的頻率,f=190.675 THz.圖7(b)—(g)分別繪制了當(dāng)規(guī)范勢(shì)φ和用于引入增益損耗的折射率虛部γ取不同值時(shí)光場(chǎng)的空間分布圖,通過(guò)S1端口激發(fā).通過(guò)圖7(b),(c)可知,在沒(méi)有引入增益損耗時(shí),光場(chǎng)會(huì)在φ=0 時(shí)擴(kuò)散到整個(gè)系統(tǒng)中,而在φ=π 時(shí)則會(huì)被束縛在入射端口S1 附近.另一方面,在引入增益損耗γ=0.007 后,繪制出了S2端口處的透射率隨規(guī)范勢(shì)φ的變化趨勢(shì),如圖7(h)所示,可以清楚看到S2 端口處的透射率T,隨著規(guī)范勢(shì)φ的變大而逐漸減小,說(shuō)明其趨膚效應(yīng)也在逐漸減弱,直至被完全抑制.圖7(d)—(g)繪制了透射譜中紅色圓圈處所對(duì)應(yīng)的模場(chǎng)分布,可以清楚看到,在規(guī)范勢(shì)φ=0 時(shí)向右的趨膚效應(yīng)十分明顯,模場(chǎng)分布在右邊界處,其對(duì)應(yīng)的透射率最大,約為1;φ=0.8π 時(shí),趨膚效應(yīng)較弱,模場(chǎng)分布在入射端口右側(cè),大約為T(mén)=—15 dB;φ=0.95π 時(shí),幾乎沒(méi)有展現(xiàn)出趨膚效應(yīng),主要的模場(chǎng)已經(jīng)呈現(xiàn)平帶局域現(xiàn)象,此時(shí)的透射率T≈ —22 dB;當(dāng)φ=π 時(shí),趨膚效應(yīng)被完全抑制,光被局域在入射端口S1 附近,T=—40 dB.由此說(shuō)明,仿真結(jié)果與上述的理論預(yù)測(cè)基本吻合,即該結(jié)構(gòu)的趨膚效應(yīng)在φ=0 時(shí)最強(qiáng),而后隨著φ的增大而逐漸減弱,并在φ=π 時(shí)因?yàn)锳B 籠效應(yīng)使光被局域在入射端口附近,完全抑制了趨膚效應(yīng);另一方面,可以看出,在φ=0.95π 時(shí)便已經(jīng)可以獲得良好的趨膚效應(yīng)抑制現(xiàn)象.

圖7 耦合微環(huán)諧振腔陣列的趨膚效應(yīng)模擬結(jié)果 (a) 菱形微環(huán)諧振腔陣列示意圖;(b)—(g) 分別展示了規(guī)范勢(shì)φ 和用于引入增益損耗的折射率虛部大小γ 取不同值時(shí)的模場(chǎng)強(qiáng)度空間分布(|E|2);(h) S21 隨φ 的變化趨勢(shì)Fig.7.Simulation results based on coupled resonator arrays: (a) Geometry of non-Hermitian quasi 1D rhombic chain with ring resonator arrays;(b)—(g) the spatial intensity(|E|2) distributions of light with different values of gauge potential φ and the imaginary index γ used to introduce gain and loss;(h) the trend of S21 with φ.

4 結(jié)論

本文研究了具有合成光子規(guī)范勢(shì)的準(zhǔn)一維菱形光晶格中的非厄米趨膚效應(yīng).該結(jié)構(gòu)中具有兩種局域模式,由非對(duì)稱(chēng)耦合引起的趨膚模式,局域于結(jié)構(gòu)的邊緣處;當(dāng)規(guī)范勢(shì)φ=π 時(shí),由Aharonov-Bohm 籠效應(yīng)引起的平帶局域,束縛于任意入射端口及相鄰節(jié)點(diǎn).另一方面,通過(guò)分析發(fā)現(xiàn),在規(guī)范勢(shì)φ從0 逐漸變化至π 的過(guò)程中,趨膚效應(yīng)會(huì)逐漸減弱,直至φ=π 時(shí)被完全抑制;其中在φ＞0.95π 時(shí),便已經(jīng)可以得到良好的趨膚效應(yīng)抑制效果.因此,利用二者的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系,能夠通過(guò)改變規(guī)范勢(shì)對(duì)趨膚效應(yīng)的強(qiáng)弱進(jìn)行有效調(diào)節(jié),這可以從本征能譜、環(huán)繞數(shù)和模式演化特性反映出來(lái).利用傳輸矩陣法分析了間接耦合微環(huán)諧振腔陣列的耦合特性,指出產(chǎn)生規(guī)范勢(shì)和非對(duì)稱(chēng)耦合的方法,模擬仿真了規(guī)范勢(shì)對(duì)趨膚效應(yīng)的調(diào)控作用.本文的研究局限于平帶局域和趨膚效應(yīng)的相互作用,此晶格中還存在拓?fù)溥吔缇钟蚰Ｊ?該局域和趨膚效應(yīng)的作用還有待進(jìn)一步探索;微環(huán)陣列能夠構(gòu)建二維光晶格,存在更多類(lèi)型的局域模式,不同模式之間的相互作用也值得深入研究.總之,本文的研究結(jié)果為一維晶格中利用規(guī)范勢(shì)控制趨膚效應(yīng)提供了理論方案,為設(shè)計(jì)緊湊的非磁性單向傳播光器件也具有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值.