喬建永，劉冬橋，郭允朋

(1.中國礦業(yè)大學(xué)(北京)深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083；2.北京郵電大學(xué)理學(xué)院，北京 100876)

0 引 言

自21世紀(jì)以來，隨著我國在能源、交通、國防等領(lǐng)域重大基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的大規(guī)模推進(jìn)，涌現(xiàn)出一批典型巖石工程，如三峽水電站、葛洲壩水電站、錦屏水電站等大型水電水利工程，青藏鐵路、川藏鐵路等鐵路工程[1]。深入研究各類巖石非線性變形力學(xué)特性對這些巖體工程的災(zāi)害預(yù)測及防控起到至關(guān)重要的作用，而巖石本構(gòu)關(guān)系不僅是描述各類巖石非線性變形特征的關(guān)鍵，也是巖石力學(xué)與工程的基石。

巖石本構(gòu)關(guān)系從早期的線性本構(gòu)關(guān)系研究開始，即假定巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為一條或幾條理想的直線段，線性本構(gòu)關(guān)系主要包括線彈性模型[2]、雙線性模型[3-6]、三線性模型[7-8]、四線性模型[9-11]和五線性模型[12]等，如圖1所示，其中雙線性模型包括脆性跌落[3](AB段)、應(yīng)變軟化[4](AC段)、理想塑性[5](AD段)或應(yīng)變硬化[6](AE段)，三線性模型包括理想彈脆塑性[7](ABD段)或非理想彈脆塑性[8](ACD段)，四線性模型包括線彈性-雙線性軟化-殘余理想塑性[9]、雙線彈性-線性軟化-殘余理想塑性[10](BDE段)或雙線彈性-脆性跌落-殘余理想塑性[11](BCE段)。這些模型針對不同試驗(yàn)結(jié)果具有較好的適用性，且線性本構(gòu)關(guān)系形式簡單，求解方便，但也存在諸多局限，這些模型假定的理想應(yīng)力-應(yīng)變曲線具有較大主觀性，它們多將巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線劃分為多個階段，分別研究其各階段變形力學(xué)機(jī)制和本構(gòu)關(guān)系，而忽略了巖石壓縮變形破壞是一個完整過程，故分段式線性本構(gòu)關(guān)系不能實(shí)現(xiàn)對應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)^程簡單而統(tǒng)一的描述。實(shí)際上，由于巖石自身非連續(xù)、非均質(zhì)、各向異性等特征導(dǎo)致其變形力學(xué)行為表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性特征，這也促進(jìn)豐富了巖石非線性本構(gòu)關(guān)系的研究，主要成果有雙曲線模型[13]、Loland模型[14]、Mazars模型[15]、Sidoroff模型[16]、Weibull分布模型[17]以及其他分段式曲線模型[18-20]等，如圖2所示。非線性本構(gòu)關(guān)系相對線性本構(gòu)關(guān)系能夠較準(zhǔn)確地描述巖石材料受荷過程中的變形響應(yīng)，但依然多采用分段方式進(jìn)行描述，無法對巖石變形全過程實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一完整描述，基于損傷統(tǒng)計的本構(gòu)模型雖然能夠?qū)崿F(xiàn)全過程的統(tǒng)一，但不能解釋線彈性現(xiàn)象，且?guī)r石微元強(qiáng)度為何服從Weibull分布也并不清楚。此外，這些模型大都參數(shù)較多、形式復(fù)雜，給后續(xù)推廣或工程應(yīng)用帶來了極大不便。

圖1 線性本構(gòu)關(guān)系Fig.1 Linear stress-strain relations

圖2 非線性本構(gòu)關(guān)系Fig.2 Nonlinear stress-strain relations

巖石作為一種天然地質(zhì)材料，內(nèi)部隨機(jī)分布著大量多尺度初始裂紋、孔隙，其在荷載作用下的變形破壞是一個具有明顯非線性特征的復(fù)雜動態(tài)過程。究其原因，巖石在外荷載作用下的變形過程是前一時刻狀態(tài)向后一時刻狀態(tài)的轉(zhuǎn)變，或者說后一時刻狀態(tài)與前一時刻狀態(tài)存在某種關(guān)系，而該過程可視為一個不斷迭代的過程。因此，從迭代角度出發(fā)，建立能夠描述巖石壓縮變形全過程的損傷演化模型及其本構(gòu)關(guān)系，將有助于解釋巖石破壞過程中會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的原因。此外，近年來基于掃描電鏡的巖石力學(xué)實(shí)驗(yàn)研究也取得一系列積極進(jìn)展，觀察到各種巖石的大量微觀結(jié)構(gòu)[21-24]。本文以此為基礎(chǔ)，借助統(tǒng)計力學(xué)理論，建立解釋巖石尤其是軟巖迭代膨脹的力學(xué)模型，深入研究其物理化學(xué)效應(yīng)引起的膨脹現(xiàn)象。

1 巖石損傷本構(gòu)模型

巖石由于其復(fù)雜的成巖過程，內(nèi)部都含有或多或少的天然原生缺陷或微裂紋，這些初始缺陷對巖石力學(xué)性能產(chǎn)生了強(qiáng)烈的影響，如應(yīng)力-應(yīng)變曲線初始非線性變形、峰值強(qiáng)度及有效彈性模量降低、各向異性性質(zhì)增強(qiáng)等[25]。巖石在外荷載(如靜載或動載)和環(huán)境(如溫度、風(fēng)化作用、水巖作用等)的耦合作用下力學(xué)性能逐漸劣化，損傷不可逆累積。受力變形的過程中，初始缺陷或張開性微裂紋首先被壓縮閉合，隨荷載增加新的微裂紋開始萌生發(fā)育并擴(kuò)展演化形成宏觀裂縫直至巖石完全破壞，因此，從損傷演變的角度研究巖石受力變形規(guī)律更符合客觀實(shí)際。

利用損傷理論研究巖石變形破壞過程的前提是合理定義損傷變量，在此基礎(chǔ)上建立損傷本構(gòu)方程，并探討損傷演化規(guī)律。任建喜等[26]、張全勝等[27]較早地借助CT檢測技術(shù)實(shí)時監(jiān)測巖石受荷損傷過程，并基于CT數(shù)建立了損傷變量，對應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)^程進(jìn)行分段，分別給出了本構(gòu)關(guān)系。不少學(xué)者考慮到巖石本身存在的微缺陷具有隨機(jī)性的特征，假定巖石由無數(shù)個微單元組成，并假設(shè)這些微單元物理性能服從某種分布函數(shù)，如Weibull分布[28-30]、對數(shù)正態(tài)分布[31]和正態(tài)分布[32]等，進(jìn)而建立了損傷演化模型及適用于不同條件的損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型。還有通過巖石宏觀力學(xué)試驗(yàn)，選取試驗(yàn)過程中某種宏觀易獲取的動態(tài)參量如變形模量衰減[33]、波速變化[34]、裂紋體積應(yīng)變[35-36]、AE特征參數(shù)[37]和能量耗散[38-39]等來定義損傷變量，這其中基于Lemaitre應(yīng)變等效性假說[40]的彈性模量法應(yīng)用最為廣泛，也是研究巖石材料損傷演化規(guī)律的重要理論基礎(chǔ)。

1.1 損傷變量

圖3 應(yīng)變等效性假設(shè)示意圖Fig.3 Illustration of strain equivalence hypothesis

對于一維問題，可表示為式(1)。

(1)

根據(jù)損傷變量D以及有效應(yīng)力的定義[41-42]，可得到式(2)。

(2)

將式(2)代入式(1)，得到基于應(yīng)變等效性假說的一維受損材料的本構(gòu)方程，見式(3)。

σ=(1-D)Eε

(3)

由式(3)可知，得到巖石材料本構(gòu)方程的關(guān)鍵是獲得其損傷變量演化過程的表達(dá)式，巖石損傷變量表達(dá)式的建立過程如下所述。

1.2 巖石迭代損傷演化模型及本構(gòu)方程

基于唯象的宏觀統(tǒng)計損傷力學(xué)，按照單元破壞、無損的二元假設(shè)，把宏觀破壞現(xiàn)象看作是許多微觀單元破壞的平均效應(yīng)，不均質(zhì)的微細(xì)觀破壞用正態(tài)分布或Weibull分布來描述，從宏觀的唯象角度出發(fā)定義損傷變量，建立了能夠反映單軸壓縮、三軸壓縮下的巖石損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型[29-32]，但定義的損傷變量沒有與損傷的物理機(jī)制相聯(lián)系。所以，本節(jié)在破壞、無損的二元假設(shè)基礎(chǔ)上，建立了一種新的損傷演化模型，引入如下假設(shè)。

1) 假設(shè)巖石由無數(shù)單元組成，單元總數(shù)為k(k→+∞)，且單元僅包括無損單元和破壞單元2種類型，如圖4所示。白色部分表示無損單元，記其數(shù)量為u，陰影部分表示破壞單元，記其數(shù)量為v，則k=u+v。

圖4 巖石微單元結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Structure diagram of rock micro units

2) 破壞單元不能承受荷載，無損單元在一定條件下都可以轉(zhuǎn)化為破壞單元，破壞單元不可以轉(zhuǎn)化為無損單元。

3) 無損單元和破壞單元的面積相等，記為A0。

4) 無損單元為彈性體，滿足胡克定律，彈性模量相等，記為E0。

5) 巖石受載破壞過程滿足應(yīng)變等效性假說。

6) 不考慮時間效應(yīng)，即無損單元向破壞單元轉(zhuǎn)化的過程是瞬間完成的。

根據(jù)RABOTNOV[42]提出的損傷變量定義，則損傷變量可表示為式(4)。

(4)

式中，0≤v≤k，所以損傷變量D∈[0，1]。

已有研究表明，巖石變形破壞是一個從局部開始、漸進(jìn)演化的過程，最弱處首先產(chǎn)生缺陷，并不斷衍生新缺陷,最終導(dǎo)致巖石破壞[26]，也就是說新缺陷由已存在缺陷和外界條件共同作用產(chǎn)生。因此，可以將巖石變形破壞的損傷演化過程看作是無損單元不斷向破壞單元轉(zhuǎn)換的過程。結(jié)合上述假設(shè)及分析，可以將破壞單元看成生物學(xué)中的某個單種種群，而巖石變形破壞的損傷演化過程相當(dāng)于該種群(破壞單元)的增長過程。假設(shè)破壞單元增長是無界的，即破壞單元在無限的環(huán)境中增長，巖石變形發(fā)展不受空間環(huán)境等條件的限制，則破壞單元的增長值將和上一時刻的基數(shù)成正比[43]，設(shè)比值為p，即vn+1-vn=pvn，也就是說巖石內(nèi)部第n+1時刻的損傷狀態(tài)(破壞單元數(shù)量)與第n時刻的損傷狀態(tài)存在某一函數(shù)關(guān)系，見式(5)和式(6)。

Dn+1=f(Dn)=(1+p)Dn

(5)

Dn=D0(1+p)n

(6)

式中：Dn=vn/k；p為破壞單元的增長率。式(5)和式(6)表示的缺陷增長形式是呈幾何級數(shù)式增長或指數(shù)式增長，增長率p與巖石內(nèi)部破壞單元密度無關(guān)。

如果把巖石變形過程中的應(yīng)變值抽象為該種群(破壞單元)增長模型中的時間，外加荷載抽象為該種群(破壞單元)增長所需的食物，巖石微單元總數(shù)量即為該種群(破壞單元)的環(huán)境容納量。將巖石變形破壞的損傷演化過程看作無損單元不斷轉(zhuǎn)化為破壞單元的過程，如果每隔應(yīng)變間隔Δε測量一次破壞單元的數(shù)量，用vn表示第n次的破壞單元數(shù)量，則可得式(7)。

(7)

然而自然界中巖石內(nèi)部微缺陷受環(huán)境空間因素制約，不可能無限制地增長，即破壞單元總數(shù)量v不會超過最大環(huán)境容納量k，且隨著破壞單元數(shù)量不斷增加到接近最大環(huán)境容納量k時，破壞單元的增長速度由于環(huán)境容量等限制因素將逐漸減緩，直至停止增長，因此破壞單元增長率p不再為常數(shù)，而是與破壞單元總數(shù)量v和剩余可供轉(zhuǎn)化為破壞單元的無損單元總數(shù)量(k-v)呈某一函數(shù)關(guān)系。借助生物學(xué)一種簡單的、隨種群大小而變化的連續(xù)增長模型，即邏輯斯蒂模型(Logistic model)，也稱為阻滯增長模型[44]，可知破壞單元數(shù)量隨著應(yīng)變增加的關(guān)系見式(8)。

(8)

式(8)轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量的形式見式(9)。

(9)

結(jié)合損傷變量的定義(式(4))，式(9)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為式(10)。

(10)

式中，r=kp為損傷變量的內(nèi)稟增長率。

對式(10)進(jìn)行積分，可得到損傷變量的表達(dá)式，見式(11)。

(11)

式中：a=ln(k/v0-1)反映了初始損傷程度；v0為初始時刻破壞單元的數(shù)量。

式(11)即為基于Logistic方程建立的巖石迭代損傷演化模型。根據(jù)上述假定及描述，破壞單元在有限環(huán)境空間下的增長呈現(xiàn)為“S”型，如圖5所示?！癝”型增長曲線具備兩個特點(diǎn)[44]：①“S”型曲線有一個上漸近線，即“S”增長曲線最終會漸近于k值，但不會超過最大值水平；②“S”型曲線呈逐漸、平滑的變化趨勢，從曲線斜率來看，起初增長速率較慢，隨后逐漸加快，到曲線中心處存在一拐點(diǎn)，此時增長速率最快，以后又逐漸變慢，直至最終停止增長。

圖5 Logistic增長模型Fig.5 Growth model of Logistic

進(jìn)一步將損傷變量表達(dá)式(式(11))代入一維受損材料的本構(gòu)方程(式(3))中，即可得到巖石迭代損傷本構(gòu)方程表達(dá)式，見式(12)。

(12)

1.3 模型驗(yàn)證

(13)

圖6 新坐標(biāo)系下應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.6 Stress-strain curve in a new coordinate system

根據(jù)圖6并結(jié)合上述分析可知，新坐標(biāo)系下巖石迭代損傷本構(gòu)方程表達(dá)式(式(12))可變化為式(14)。

(14)

式中，E0為基準(zhǔn)彈性模量，可根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變曲線彈性段斜率確定。

新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系之間存在關(guān)系見式(15)，將式(15)代入式(14)，可進(jìn)一步得到巖石在原坐標(biāo)系下的迭代損傷本構(gòu)方程表達(dá)式為式(16)。

(15)

σ=(1-D)E0(ε-εcc)=

(16)

至此完全建立了巖石單軸壓縮迭代損傷本構(gòu)方程。 損傷本構(gòu)方程中各參數(shù)確定方法與步驟如下所述。

1) 根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變曲線彈性段斜率確定基準(zhǔn)彈性模量E0。

2) 將線性段反向延長至與應(yīng)變軸相交(圖6)，交點(diǎn)即為巖石裂紋閉合應(yīng)變εcc。

5) 將式(11)進(jìn)行對數(shù)變換可得ln(1/D-1)=a-rε，按該式進(jìn)行線性擬合即可得到參數(shù)a和r的值。

6) 將各參數(shù)值代入式(16)，即可得到基于應(yīng)變等效性假說和Logistic函數(shù)的迭代損傷本構(gòu)方程。

根據(jù)砂巖單軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果[45]，按照上述步驟計算得到所有參數(shù)值為：E0=28.41 GPa，裂紋閉合應(yīng)變εcc=0.09%，參數(shù)a和r分別為12.15和17.92，進(jìn)而得到砂巖迭代損傷演化模型及其迭代損傷本構(gòu)方程見式(17)和式(18)。

(17)

(18)

根據(jù)式(17)和式(18)計算得到理論損傷演化曲線、本構(gòu)關(guān)系曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比結(jié)果如圖7所示。從圖7(a)可以看出，本文所建迭代損傷演化模型與基于變形模量衰減法計算得到的試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，且根據(jù)該模型可以較清晰地將巖石損傷演化過程劃分為損傷保持、損傷開始、損傷加速、損傷減緩及損傷終止5個階段，這與以往研究結(jié)果相符。從圖7(b)可以看出，本文建立的迭代損傷本構(gòu)方程與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好，應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰前和峰后兩部分都得到了較好的描述，特別是峰前的非線性特征和峰后的應(yīng)力突降現(xiàn)象，都通過本模型較好地體現(xiàn)了出來。唯一的不足是還不能很好地描述巖石單軸壓縮條件下初始壓密階段的非線性變形特征。但對于工程實(shí)際來說，工程巖體大多已經(jīng)被壓密，所以在研究巖石單軸壓縮條件下變形特性時，很少考慮巖石壓密階段部分。因此，本文建立的巖石損傷迭代本構(gòu)模型合理，可以用于描述巖石單軸壓縮條件下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

圖7 試驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合曲線比較Fig.7 Comparison between test data and fitting curves

2 損傷演化模型的混沌特征

巖石的變形破壞與其內(nèi)部微裂紋的萌生和演化存在密切聯(lián)系，具有顯著的復(fù)雜性、模糊性、非線性和不確定性等特征，而混沌理論為研究巖石力學(xué)行為的非線性特征提供了新的方法和思路。鄭穎人等[46]通過研究也認(rèn)為巖石的變形、損傷和破壞是一類非平衡、非線性的動態(tài)演化過程，其破壞結(jié)果對初始損傷及結(jié)構(gòu)分布具有敏感依賴性，從細(xì)觀上講，建立非線性動力學(xué)演化模型來描述損傷演化導(dǎo)致失穩(wěn)破壞的過程才能反映該過程的本質(zhì)特征。因此，從損傷角度對巖石變形破壞過程的混沌特征進(jìn)行研究具有合理性。

2.1 損傷演化離散模型

倍周期分岔可用來判別混沌現(xiàn)象，倍周期分岔是指隨著控制參數(shù)的增加，將依次經(jīng)歷1-周期點(diǎn)、2-周期點(diǎn)、4-周期點(diǎn)……的周期加倍的分岔現(xiàn)象，也稱為倍周期分支。1978年，F(xiàn)EIGENBAUM[47-48]發(fā)現(xiàn)了由倍周期分岔進(jìn)入混沌的途徑，而某些條件下的Logistic方程具有典型的倍周期分岔現(xiàn)象[49]，如圖8所示。

圖8 Logistic方程倍周期分岔現(xiàn)象Fig.8 Periodic bifurcation of Logistic equation

標(biāo)準(zhǔn)的Logistic離散方程見式(19)。

xn+1=Fμ(xn)=μxn(1-xn)

(19)

對于區(qū)間I=[0，1]，μ>0，當(dāng)xn∈I時，隨著μ的增加，Logistic離散方程的解將經(jīng)歷倍周期分岔進(jìn)入混沌。此時，從任一點(diǎn)鄰域，都可以找到這樣的點(diǎn)，它的軌道能進(jìn)入其他任一點(diǎn)鄰域。在I=[0，1]中有這樣的不可數(shù)點(diǎn)集，其中任意兩點(diǎn)在映射Fμ的作用下，可以一再地任意靠近，又一再地拉開距離，出現(xiàn)類似于隨機(jī)過程的狀態(tài)。

對損傷變量演化方程(式(11))進(jìn)行離散化處理，可以得到單位應(yīng)變下?lián)p傷變量演化的離散模型，見式(20)。

(20)

若每隔應(yīng)變間隔Δε測量D值一次，用Dn表示第n次的D值，則原來的連續(xù)變量D(ε)和ε就變?yōu)殡x散變量(D0，D1，D2，…)和(n=0，1，2，…)，連續(xù)微分方程(式(20))就相應(yīng)地變?yōu)槭?21)所示的離散差分方程。

(21)

(22)

2.2 損傷演化混沌過程

以1.3節(jié)中砂巖單軸壓縮變形破壞過程為例，詳細(xì)描述巖石損傷演化的混沌特征，其損傷演化方程見式(23)。

(23)

進(jìn)一步求導(dǎo)，可得損傷演化方程的微分形式，見式(24)。

(24)

由式(21)可知損傷演化微分方程的離散差分方程為式(25)。

(25)

(26)

1) 當(dāng)0<Δε<0.111 6時，有1<μ<3，其廣義損傷演化過程如圖9所示，其損傷演化終值都將趨于0.5，并保持穩(wěn)定。

圖9 廣義損傷演化過程(Δε=0.055 8)Fig.9 The generalized damage evolution process(Δε=0.055 8)

2) 當(dāng)0.111 6≤Δε≤0.143 4時，有3≤μ<3.569 9，其廣義損傷演化過程將隨著Δε的增大出現(xiàn)倍周期分岔現(xiàn)象，圖10(a)和圖10(b)分別為2-周期和4-周期分岔現(xiàn)象。

圖10 廣義損傷演化過程(0.111 6≤Δε≤0.143 4)Fig.10 The generalized damage evolution process(0.111 6≤Δε≤0.143 4)

3) 當(dāng)0.143 4≤Δε<0.167 4時，有3.569 9≤μ<4，其廣義損傷演化混沌過程如圖11所示，隨著迭代的進(jìn)行，廣義損傷變量可以跑遍區(qū)間(0，1)之間的所有狀態(tài)，看似隨機(jī)實(shí)則有序。

圖11 廣義損傷演化過程(Δε=0.15)Fig.11 The generalized damage evolution process(Δε=0.15)

3 巖石損傷膨脹迭代模型

巖石壓縮變形過程中，損傷不斷增加，其體積呈現(xiàn)先壓縮后膨脹的特性，該膨脹過程也可視為迭代演化的過程。巖石是由不同礦物顆粒組成的非均質(zhì)連續(xù)體，不同礦物顆粒具有不同的膨脹系數(shù)，因此，礦物顆粒會產(chǎn)生不協(xié)調(diào)變形形成局部應(yīng)力集中，導(dǎo)致巖石體積發(fā)生膨脹，當(dāng)這種膨脹應(yīng)力超過或者達(dá)到礦物顆粒之間黏結(jié)強(qiáng)度時，就會破壞掉礦物顆粒之間的連接，進(jìn)而形成微裂紋。因此，巖石的膨脹特性對于理解巖石破壞有著重要意義。如軟巖膨脹機(jī)理被認(rèn)為是世界性難題[50]，雖然近幾十年圍繞巖石膨脹研究比較豐富，但一直缺少同實(shí)驗(yàn)觀察吻合的有效理論模型。掃描電鏡觀察到的軟巖微觀結(jié)構(gòu)組合元件包括粉砂質(zhì)顆粒元件和黏土礦物層元件，粉砂質(zhì)顆粒元件起骨架作用，黏土礦物層元件起膠結(jié)的作用，這一微觀結(jié)構(gòu)具有明顯的自相似性，是一種層級結(jié)構(gòu)[21-24]。在研究其膨脹效應(yīng)時，作為統(tǒng)計力學(xué)系統(tǒng)，這種結(jié)構(gòu)同下述金剛石型等級晶格等效。

3.1 金剛石型等級晶格模型及迭代動力系統(tǒng)

金剛石型等級晶格[51]由下述規(guī)則迭代生成：首先，設(shè)有1個由2個點(diǎn)和1條棱構(gòu)成的晶格，稱為1-級結(jié)構(gòu)；然后，用每個分支含有2條棱的2個分支的結(jié)構(gòu)取代上面的1-級結(jié)構(gòu)，從而形成2-級結(jié)構(gòu)；接著，用2-級結(jié)構(gòu)代替這一結(jié)構(gòu)中的每一條棱，得到3-級結(jié)構(gòu)。重復(fù)上述迭代構(gòu)造過程，直至無窮多次，最終形成金剛石型等級晶格，如圖12所示。在軟巖微觀結(jié)構(gòu)中，點(diǎn)代表粉砂質(zhì)顆粒的位置，棱代表黏土礦物的位置。

圖12 金剛石型等級晶格Fig.12 The diamond hierarchical lattice

對于上述金剛石型等級晶格體每個格點(diǎn)放置一個粒子σi，每個粒子具有λ種狀態(tài)，σi可取1，2，…，λ。將其配分函數(shù)記為Z，便得到統(tǒng)計力學(xué)中的Potts模型。在軟巖微觀動力學(xué)研究中，λ是粉砂質(zhì)顆粒σi的膨脹、收縮等可能狀態(tài)，不同的狀態(tài)通過黏土礦物的膠結(jié)而產(chǎn)生相互作用。

在統(tǒng)計力學(xué)中，通常相變問題的主要任務(wù)是研究配分函數(shù)零點(diǎn)的分布問題，這往往十分困難。按照楊振寧和李政道的相變理論[52-53]，把exp(J/kT)記為自變量z(其中，J是相互作用常數(shù)，k是Boltzmann常數(shù)，T是溫度)，如果把z開拓到復(fù)數(shù)域，則配分函數(shù)自然解析開拓為一個復(fù)變函數(shù)，它在復(fù)數(shù)域上的零點(diǎn)稱為Yang-Lee零點(diǎn)，配分函數(shù)零點(diǎn)的極限集與實(shí)軸的交點(diǎn)即為相變點(diǎn)的考察對象。

為了深入分析粒子之間的相互作用和統(tǒng)計平均效應(yīng)，統(tǒng)計力學(xué)提出把多粒子問題轉(zhuǎn)化為少粒子問題的研究思想，即重整化群方法的“粗?；彼枷?，其關(guān)鍵是尋找一個稱為重整化變換[49]的映照，使這一過程實(shí)現(xiàn)。在二維情況，重整化變換往往是有理映照或整函數(shù)映照。20世紀(jì)80年代初，物理學(xué)家們發(fā)現(xiàn)[49,54]，重整化變換的復(fù)動力系統(tǒng)的混沌集(Julia集)對應(yīng)上述物理模型中Yang-Lee零點(diǎn)的極限集。

復(fù)動力系統(tǒng)理論考慮復(fù)解析映照R的迭代序列的收斂性問題。記R的k次迭代為Rk。為了使得迭代能夠延續(xù)下去，要求R的定義域和值域是一致的。粗略而言，如果序列{Rk}在某一點(diǎn)z的局部鄰域內(nèi)的收斂一致性比較好，則稱這個點(diǎn)z為穩(wěn)定點(diǎn)，全體穩(wěn)定點(diǎn)組成的集合F(R)稱為Fatou集，其余集J(R)稱為Julia集。F(R)為開集，J(R)為閉集。進(jìn)一步把Fatou集的每個連通分支稱為Fatou分支，從而把R的定義域按序列{Rk}收斂的穩(wěn)定性進(jìn)行了二元劃分：Fatou集和Julia集。Fatou集稱為穩(wěn)定集，Julia集總是非空集；Fatou集是完全不變集，即F(R)在R映照下的前像和后像仍然是F(R)，這是設(shè)計計算機(jī)程序繪制Julia集圖像的基本依據(jù)。淹沒點(diǎn)是指Julia集上那些不在任一Fatou分支邊界上的點(diǎn)，由此可見，淹沒點(diǎn)的存在性反映出是Julia集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的復(fù)雜性[55]。 另外，{Rk}在J(R)上具有周期點(diǎn)的稠密性、拓?fù)鋫鬟f性、對初始值的敏感依賴性，這三條性質(zhì)說明R的迭代動力系統(tǒng)在J(R)上呈現(xiàn)混沌狀態(tài)[49]，故Julia集稱為動力系統(tǒng)的混沌集。

3.2 淹沒點(diǎn)、玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變和軟巖膨脹

2020年，JIANG等[56]構(gòu)建了長程作用下的廣義金剛石型等級晶格上的Potts模型，這是一種鐵磁作用和反鐵磁作用競爭的金剛石Potts模型。具體構(gòu)造過程：在上述金剛石型等級晶格的構(gòu)造過程中，每一次總是“去除”一條棱，而“替代”為金剛石型結(jié)構(gòu)，這次保留原來的棱(如圖12所示用虛線表示的棱)，在上述Potts模型的基礎(chǔ)上，在保留的棱(虛線)上加一個長程作用τ，這個模型的重整化變換U為一個帶雙參數(shù)τ和λ的四次有理映照族[56](其中參數(shù)τ代表長程作用)。

通過這族重整化變換迭代動力學(xué)的研究，可以發(fā)現(xiàn)：在鐵磁作用和反鐵磁作用競爭的廣義金剛石Potts模型中，形成鐵磁鏈和反鐵磁鏈的逐級競爭，該族重整化變換的Julia集里，存在實(shí)參數(shù)τ以及某個自然數(shù)參數(shù)λ，使得Julia集上有淹沒點(diǎn)位于正實(shí)軸上的情況出現(xiàn)。從Yang-Lee零點(diǎn)的物理意義可見，這種淹沒點(diǎn)的出現(xiàn)對應(yīng)玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變現(xiàn)象。玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變是物理學(xué)和材料科學(xué)中的前沿科學(xué)難題，它是2005年國際期刊《Science》公布的125個人類面臨的最具挑戰(zhàn)性的科學(xué)前沿問題的第47個問題。

近年來，玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變的研究一直在不斷發(fā)展。從20世紀(jì)50年代出現(xiàn)的自由體積理論到現(xiàn)在還在不斷完善的模態(tài)耦合理論以及其他眾多理論，都只能解釋玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變中的一部分現(xiàn)象，完備的玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變理論遠(yuǎn)未建立。在眾多玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變的理論模型中，幾乎沒有同基礎(chǔ)數(shù)學(xué)具體前沿成果緊密相關(guān)的模型[56]。本文的模型建立了上述軟巖Potts模型、玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變與復(fù)動力系統(tǒng)的淹沒點(diǎn)概念之間的聯(lián)系。

綜合以上討論，取λ=2，即軟巖微觀顆粒取膨脹和收縮兩種狀態(tài)，就可以給出軟巖自由膨脹的相變分類：有限次相變、無窮次相變以及玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變[57]。圖13所描繪的Julia集就是在不同長程作用下(對應(yīng)于不同的τ值)，上述軟巖Potts模型Yang-Lee零點(diǎn)的極限集。

圖13 不同參數(shù)τ對應(yīng)的重整化變換U的Julia集Fig.13 The Julia sets for different parameters

上述分類說明，軟巖膨脹的物理化學(xué)效應(yīng)既可能引起有限次物理相變，也可能引起無窮次物理相變，甚至使軟巖體進(jìn)入異常復(fù)雜的玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變狀態(tài)，這同軟巖膨脹機(jī)理的復(fù)雜性高度契合。

4 結(jié) 論

本文基于應(yīng)變等效性假說的變形模量損傷衰減理論，通過分析巖石壓縮變形過程中迭代的演化特征，得出了巖石損傷演化規(guī)律，并從迭代角度建立了模擬該損傷演化規(guī)律的方法，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了一種新的巖石損傷本構(gòu)模型，進(jìn)而分析了損傷演化過程的混沌特征；基于掃描電鏡觀察到的軟巖微觀結(jié)構(gòu)，建立了統(tǒng)計力學(xué)模型，分析了軟巖膨脹的物理化學(xué)效應(yīng)，主要得出以下結(jié)論。

1) 基于微缺陷迭代生長提出的損傷演化模型，實(shí)現(xiàn)了對巖石壓縮變形全過程損傷演化規(guī)律統(tǒng)一、完整的描述，且損傷表達(dá)式清楚、物理意義明確。

2) 借助應(yīng)變等效理論，從損傷迭代的角度，得到了巖石應(yīng)變軟化的本構(gòu)方程表達(dá)形式，該本構(gòu)方程僅用一個簡單函數(shù)就描述了巖石壓縮應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)^程曲線，通過與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比，模擬結(jié)果吻合度高。

3) 對提出的損傷演化模型進(jìn)行適當(dāng)變換后，廣義損傷可以表示為離散的方程，分析了其分岔及混沌特征，表明巖石在外載荷作用下的變形破壞過程是一個具有混沌特征的損傷演化過程，從而解釋了巖石變形破壞過程具有混沌特征的原因。

4) 軟巖膨脹的物理化學(xué)效應(yīng)既可能引起有限次物理相變，也可能引起無窮次物理相變，甚至使軟巖體進(jìn)入異常復(fù)雜的玻璃態(tài)轉(zhuǎn)變狀態(tài)，這同軟巖膨脹機(jī)理的復(fù)雜性高度契合。