張珂，蘇凱倫，成果

(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)，上海 201418)

0 前言

軸承是回轉(zhuǎn)機(jī)械中的重要傳動(dòng)支撐件，在機(jī)床、飛機(jī)、航天器等精密機(jī)器和設(shè)備中應(yīng)用廣泛；軸承的精度決定了設(shè)備的精度，進(jìn)而影響整臺(tái)機(jī)械設(shè)備的性能，因此正確而精準(zhǔn)地表達(dá)出軸承的圓度誤差十分重要。

在測(cè)量領(lǐng)域，如果“測(cè)量結(jié)果”僅表示測(cè)量量的估計(jì)值并不是十分準(zhǔn)確，還應(yīng)使用測(cè)量不確定度表示測(cè)量結(jié)果的可信程度，即在評(píng)定軸承圓度誤差時(shí)，還應(yīng)給出相應(yīng)測(cè)量不確定度。目前，使用和研究較多的測(cè)量不確定度評(píng)定方法為《測(cè)量不確定度表示指南》(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，GUM法)和蒙特卡洛法(Monte Carlo Method，MCM)。

目前測(cè)量不確定度方面有很多研究，竇光武等研究了道路動(dòng)態(tài)彎沉計(jì)算因子測(cè)量不確定度；PUEO等給出了估算雙面齒輪滾動(dòng)試驗(yàn)測(cè)量不確定度的一般表達(dá)式；GUILLORY 等研究了多點(diǎn)坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)樣機(jī)的不確定度評(píng)定；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等方法評(píng)定測(cè)量不確定度也有相關(guān)研究；MIURA、WANG 等在蒙特卡洛法評(píng)定測(cè)量不確定度方面有很深的研究。但以上研究大多是使用單一方法評(píng)定圓度誤差測(cè)量不確定度；或在測(cè)量風(fēng)速等其他領(lǐng)域研究GUM法和MCM評(píng)定測(cè)量不確定度對(duì)比。因此，為分析GUM法和MCM在評(píng)定軸承圓度誤差測(cè)量不確定度實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域的情況，本文作者采用這兩種方法進(jìn)行評(píng)定，綜合分析每種方法在軸承圓度誤差評(píng)定領(lǐng)域的適用范圍、可操作性、可信度等。

1 圓度誤差評(píng)定

首先對(duì)圓錐滾子軸承33009型外圈(外徑公稱尺寸75 mm)進(jìn)行實(shí)際測(cè)量，獲取坐標(biāo)數(shù)據(jù)。本文作者使用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)獲取零件坐標(biāo)信息，型號(hào)為德國(guó)蔡司CMM PRISMO 9/13/7 ultra型，對(duì)軸承外圈大端面13 mm處進(jìn)行測(cè)量，選取均勻分布的38個(gè)測(cè)量點(diǎn)，測(cè)量情況如圖1所示。

圖1 軸承外圈實(shí)測(cè)情況

測(cè)量數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù) 單位：mm

基于方法簡(jiǎn)便程度和工程應(yīng)用成熟度的考量，本文作者采用最小二乘擬合圓法進(jìn)行評(píng)定。將實(shí)測(cè)獲取的采樣點(diǎn)測(cè)量值(,)進(jìn)行最小二乘擬合，得到圓心坐標(biāo)(,)，擬合目標(biāo)可表示為

(1)

距離擬合圓圓心最遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為(,)，距離擬合圓圓心最近點(diǎn)坐標(biāo)為(,)，因此，圓度誤差可表示為

(2)

使用MATLAB對(duì)表1測(cè)量值進(jìn)行最小二乘擬合，具體結(jié)果如表2所示。

表2 最小二乘擬合結(jié)果

2 測(cè)量誤差不確定度評(píng)定

2.1 GUM法

采用GUM法評(píng)定測(cè)量不確定度的流程如圖2所示。

圖2 使用GUM法評(píng)定測(cè)量不確定度的流程

2.2 單批次MCM

(1)最小二乘模型式(2)中有、、、、、六個(gè)變量，其中、、、的測(cè)量值由表2可知，不確定度分別為、、、，可根據(jù)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的不確定度來(lái)源得到；、的值可由式(3)求得，其不確定度為、。

(3)

(2)、、、、、可以通過(guò)MATLAB生成的六維隨機(jī)數(shù)組進(jìn)行模擬，隨機(jī)數(shù)組根據(jù)變量的期望和方差值獲得，樣本量越大越可以使結(jié)果更具真實(shí)性。利用MATLAB的隨機(jī)數(shù)生成命令，生成期望分別為、、、、、，方差分別為、、、、、的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)組。

(3)將得到的數(shù)據(jù)代入式(2)得到個(gè)圓度誤差為的值，構(gòu)造概率分布，判斷分布類型，求出其期望和方差，期望即為圓度誤差的值，方差值即為所要求的圓度誤差測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

2.3 自適應(yīng)MCM

(1)選擇所需的包含概率；

(2)選擇不確定度()的十進(jìn)制數(shù)字的個(gè)數(shù)=1；

(3)給出變量所進(jìn)行的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)的批數(shù)；

(4)對(duì)于第批次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，執(zhí)行次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，計(jì)算得到個(gè)模型值,…,，并計(jì)算出、()、、；

(5)每批次試驗(yàn)后計(jì)算參數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差

(4)

(5)

(6)設(shè)定數(shù)值容差，為標(biāo)準(zhǔn)不確定度最后一位有效數(shù)字下一位的一半；

(7)進(jìn)行穩(wěn)定性判斷，當(dāng)()、()()、()、()均小于2時(shí)，則表明達(dá)到統(tǒng)計(jì)學(xué)的穩(wěn)定，評(píng)定結(jié)束；否則+1，返回步驟(3)。若所有的結(jié)果達(dá)到穩(wěn)定，利用×個(gè)模型值計(jì)算、()和100概率包含區(qū)間。

2.4 MCM驗(yàn)證GUM法

(1)用GUM法得到輸出量的概率的包含區(qū)間±，此處為約定包含概率；

(2)用自適應(yīng)MCM獲得輸出量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度()和最短包含區(qū)間的端點(diǎn)值和；

(3)通過(guò)式(6)、式(7)確定兩個(gè)包含區(qū)間各自端點(diǎn)的絕對(duì)偏差，如果和不大于，則GUM法可以通過(guò)驗(yàn)證。

=|--|

(6)

=|--|

(7)

3 評(píng)定結(jié)果

3.1 GUM法

以表1測(cè)量值為例，先計(jì)算單點(diǎn)不確定度。分析合成單點(diǎn)不確定度的來(lái)源，過(guò)程如下：

(1)實(shí)驗(yàn)時(shí)對(duì)單點(diǎn)坐標(biāo)重復(fù)測(cè)量10次，即=10，不確定度分量可由下式求得

(8)

(9)

(3)測(cè)試時(shí)，室溫恒定保持在20 °C，因此溫度引起的不確定度近似為0。

(4)在實(shí)際測(cè)量中，測(cè)力變形引起的不確定度分量近似為0。

(5)合成單點(diǎn)不確定度由下式得出

(10)

(6)實(shí)際測(cè)量中測(cè)量環(huán)境相同，各測(cè)量點(diǎn)的不確定度也相同均等于合成單點(diǎn)不確定度：====

(7)擬合圓心坐標(biāo)(,)的不確定度、可通過(guò)下列兩個(gè)式子計(jì)算得到

(11)

(12)

(8)實(shí)際測(cè)量中，測(cè)量點(diǎn)較多，和的相關(guān)系數(shù)近似為零，即=0，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度見(jiàn)下式：

(13)

(9)選取95%的包含概率區(qū)間，區(qū)間因子=1.96計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 GUM法計(jì)算結(jié)果

3.2 單批次MCM

使用MATLAB軟件里自帶的函數(shù)生成隨機(jī)數(shù)，由此可得每組隨機(jī)數(shù)的期望和方差，期望即為所需的實(shí)驗(yàn)測(cè)得值，方差即為各參數(shù)的單點(diǎn)不確定度。使用MCM產(chǎn)生足夠多的圓度誤差數(shù)據(jù)，仿真結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 單批次MCM結(jié)果 單位：μm

3.3 自適應(yīng)MCM

(1)設(shè)定、、、、、的分布為正態(tài)分布；

(2)設(shè)置包含概率為95%，批次內(nèi)運(yùn)行次數(shù)=10 000，設(shè)定=1，對(duì)應(yīng)數(shù)值容差=0.5×10；

(3)設(shè)定循環(huán)次數(shù)=1；

(4)設(shè)定隨機(jī)抽取樣本數(shù)=10 000，當(dāng)=1和=2時(shí)，執(zhí)行兩個(gè)單批次MCM實(shí)驗(yàn)，取得相應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并獲取各自的最佳估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)不確定度和95%概率的包含區(qū)間；

(5)當(dāng)執(zhí)行完兩個(gè)單批次MCM后，達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。

仿真結(jié)果如表5所示。

表5 自適應(yīng)MCM結(jié)果 單位：μm

4 對(duì)比評(píng)定

GUM法是基于中心極限定理而衍生的方法，因此，不論輸入量的分布是否為正態(tài)分布，輸出量的分布類型一定可以近似為正態(tài)分布或者近似為分布，即在GUM法中，輸出量的分布類型不受輸入量分布類型改變的影響。

而在MCM中，輸出量的概率密度分布受輸入量概率密度分布的影響，且為了獲取更加可靠和穩(wěn)定的評(píng)定結(jié)果，一般采用較大的執(zhí)行次數(shù)。因此使用MCM可以獲得更多的輸出量信息，使得結(jié)果更精確。

為更直觀對(duì)比GUM法和MCM的評(píng)定效果,對(duì)GUM法的評(píng)定結(jié)果，以最佳估計(jì)值為期望、標(biāo)準(zhǔn)不確定度為方差作概率密度分布圖，以由MCM所提供的概率密度分布的離散數(shù)據(jù)作概率密度分布直方圖，對(duì)比兩個(gè)分布圖的差異并驗(yàn)證GUM法是否通過(guò)MCM的驗(yàn)證。

4.1 輸入量分布為正態(tài)分布

設(shè)定輸入量即、、、、、的分布為正態(tài)分布。GUM法的概率密度分布圖和MCM所得的概率分布直方圖對(duì)比如圖3所示，從表6可看出：輸入量為正態(tài)分布時(shí)，單批次MCM和自適應(yīng)MCM都與GUM法有較好的結(jié)果一致性，、均小于數(shù)值容差0.05，GUM法通過(guò)單批次MCM和自適應(yīng)MCM的驗(yàn)證。

圖3 GUM法和MCM的概率密度分布

表6 GUM法、MCM評(píng)定結(jié)果

4.2 輸入量分布為非正態(tài)分布

因?yàn)閷⑤斎肓吭O(shè)為正態(tài)分布，剛好滿足了GUM法的評(píng)定條件，和MCM的評(píng)定結(jié)果有較好的匹配度。但在實(shí)際中無(wú)法將輸入量假設(shè)為正態(tài)分布,此時(shí)輸入量、、、、、可能且常見(jiàn)的分布有均勻分布、三角分布和梯形分布。改變輸入量的概率分布類型，觀察改變輸入量分布的單批次MCM、自適應(yīng)MCM和GUM法的結(jié)果對(duì)比，來(lái)探討不滿足GUM適用性的情況。同時(shí)觀察GUM法是否可以通過(guò)MCM驗(yàn)證。方案及輸入量分布類型如表7所示。方案一、二、三的GUM法和MCM的概率密度分布圖分別如圖4—圖6所示，評(píng)定結(jié)果如表8—表10所示。

表7 輸入量分布類型

由圖4、表8可以看出：當(dāng)輸入量為均勻分布時(shí)，最佳估計(jì)值相差不大，但MCM的標(biāo)準(zhǔn)不確定度明顯小于GUM法，且95%概率包含區(qū)間明顯比GUM法更窄；、均大于數(shù)值容差0.05，GUM法沒(méi)有通過(guò)單批次MCM和自適應(yīng)MCM的驗(yàn)證。

表8 方案一GUM法、MCM評(píng)定結(jié)果

圖4 方案一GUM法和MCM的概率密度分布

由圖5、表9可以看出：當(dāng)輸入量為三角分布時(shí)，MCM的最佳估計(jì)值小于GUM法，MCM的標(biāo)準(zhǔn)不確定度小于GUM法，95%概率包含區(qū)間與GUM法差距不大但范圍有明顯偏離；、均大于數(shù)值容差0.05，GUM法沒(méi)有通過(guò)單批次MCM和自適應(yīng)MCM的驗(yàn)證。

圖5 方案二GUM法和MCM的概率密度分布

圖6 方案三GUM法和MCM的概率密度分布

表9 方案二GUM法、MCM評(píng)定結(jié)果

表10 方案三GUM法、MCM評(píng)定結(jié)果

由圖6、表10可以看出：當(dāng)輸入量為梯形分布時(shí)，MCM的最佳估計(jì)值明顯小于GUM法，MCM的標(biāo)準(zhǔn)不確定度明顯小于GUM法，95%概率包含區(qū)間明顯比GUM法窄且范圍有明顯偏離；、均大于數(shù)值容差0.05，GUM法沒(méi)有通過(guò)單批次MCM和自適應(yīng)MCM的驗(yàn)證。

4.3 結(jié)果分析

通過(guò)輸入量分布類型的改變可以看出：當(dāng)輸入量分布類型為正態(tài)分布即滿足GUM法的條件時(shí)，GUM法與MCM得到的結(jié)果一致性好；當(dāng)輸入量分布為非正態(tài)分布時(shí)，由于GUM法采用近似的線性模型會(huì)忽略泰勒極值展開(kāi)項(xiàng)，使得標(biāo)準(zhǔn)不確定度更大，95%概率包含區(qū)間更寬，結(jié)果就更保守；單批次MCM和自適應(yīng)MCM的結(jié)果大體相同但有細(xì)微的差別，因?yàn)樽赃m應(yīng)MCM有穩(wěn)定性判定等條件的約束，且計(jì)算機(jī)執(zhí)行程序時(shí)會(huì)有一定的隨機(jī)性，導(dǎo)致結(jié)果略有變化。

5 結(jié)論

為了正確而精準(zhǔn)地評(píng)定軸承零件圓度，不僅需要評(píng)定圓度誤差，還要給出其標(biāo)準(zhǔn)不確定度。GUM法和MCM都是目前計(jì)量領(lǐng)域主流的測(cè)量不確定度評(píng)定方法，本文作者使用這兩種方法評(píng)定軸承零件圓度誤差并進(jìn)行對(duì)比分析，得出如下結(jié)論：

(1)輸入量為正態(tài)分布時(shí)，GUM法和MCM的輸出結(jié)果相近；當(dāng)輸入量為非正態(tài)分布時(shí)，MCM擁有更好的適應(yīng)性，可以得到更精確的結(jié)果，GUM法未通過(guò)MCM驗(yàn)證，得出的結(jié)果較為保守，僅可用于誤差不敏感場(chǎng)合，當(dāng)對(duì)精度需求較高時(shí)，更建議使用MCM。

(2)MCM具有更貼近實(shí)際的模擬策略，且 MCM在評(píng)定測(cè)量不確定度時(shí)，表征了更多的輸入量的分布信息，結(jié)果可信度高。且不需要繁復(fù)的求導(dǎo)計(jì)算，可操作性強(qiáng)。

(3)單批次 MCM 和自適應(yīng) MCM 評(píng)定測(cè)量不確定度的結(jié)果一致性較好，在進(jìn)行測(cè)量不確定度評(píng)定時(shí)可自由選擇。