馬淑華，王錦華，馬賢春，何 平

（1.東北大學(xué)秦皇島分校控制工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.暨南大學(xué)智能科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 珠海 519072）

0 引言

相較于傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)器人，輪式移動(dòng)機(jī)器人具有體積小、自重輕、靈活性強(qiáng)、運(yùn)動(dòng)噪聲低、工作環(huán)境多樣化等特點(diǎn)，近年來(lái)被廣泛應(yīng)用于軍事和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，因此，其軌跡跟蹤控制問(wèn)題一直是廣大科研工作者的研究熱點(diǎn)。由于輪式移動(dòng)機(jī)器人是典型的非完整約束系統(tǒng)，具有非線性、強(qiáng)耦合、外界干擾隨機(jī)性等特點(diǎn)，使其高精度軌跡跟蹤控制研究具有極大的挑戰(zhàn)性。

針對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，縱觀國(guó)內(nèi)外研究文獻(xiàn)可知，主要的控制方法有：反演控制、滑?？刂啤㈩A(yù)測(cè)控制、自適應(yīng)控制等。Chwa針對(duì)二維極坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)的移動(dòng)機(jī)器人，提出一種滑?？刂品椒ǎ嗽c(diǎn)的小鄰域之外，全局區(qū)域的參考軌跡都實(shí)現(xiàn)了漸近姿態(tài)的穩(wěn)定和軌跡跟蹤。Li等為解決移動(dòng)機(jī)器人在軌跡跟蹤控制中無(wú)法獲得全球定位環(huán)境的問(wèn)題，提出基于全向攝像頭的視覺(jué)反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制方法，針對(duì)機(jī)器人模型的參數(shù)進(jìn)行在線調(diào)節(jié)。目前，常用相對(duì)笛卡爾坐標(biāo)和相對(duì)極坐標(biāo)兩種局部位置表示方法對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問(wèn)題進(jìn)行研究，其中，Miguel 等利用相對(duì)笛卡爾坐標(biāo)，提出一種分布式控制方法來(lái)實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定；Park 等在極坐標(biāo)系下對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問(wèn)題進(jìn)行研究。Yang 等設(shè)計(jì)了一種新型跟蹤控制器，該控制器能夠產(chǎn)生平滑連續(xù)的速度，驅(qū)動(dòng)移動(dòng)機(jī)器人實(shí)時(shí)跟蹤路徑。Sun 等針對(duì)領(lǐng)航者速度無(wú)法測(cè)量的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的速度觀測(cè)器來(lái)估計(jì)領(lǐng)航者的速度，實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間內(nèi)的軌跡跟蹤，但不能應(yīng)用于沒(méi)有通信的環(huán)境。為了消除測(cè)量噪聲的負(fù)面影響，并且使跟蹤控制方案適用于機(jī)器人之間沒(méi)有通信的情況，Liang等提出了一種基于速度觀測(cè)器的控制方案，實(shí)現(xiàn)了軌跡跟蹤控制，但沒(méi)有考慮到隨機(jī)外部擾動(dòng)的因素。Yang 等針對(duì)移動(dòng)機(jī)器人受到外部干擾時(shí)的軌跡跟蹤問(wèn)題，提出了一種基于非線性干擾觀測(cè)器的積分滑模控制系統(tǒng)，該方法能夠很好地克服外部帶來(lái)的非線性和不確定性，從而提高控制性能和魯棒性。Chwa 等提出了一種基于自適應(yīng)模糊輸出反饋的輪式移動(dòng)機(jī)器人同步位姿穩(wěn)定和跟蹤的控制方法，能夠在運(yùn)動(dòng)和動(dòng)態(tài)干擾下實(shí)現(xiàn)姿態(tài)穩(wěn)定和跟蹤控制。Luca 等提出了一種基于模型預(yù)測(cè)的控制方案，利用機(jī)器人狀態(tài)反饋來(lái)適應(yīng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的擾動(dòng)。Sharma 等提出一種新的控制方案，在完整和非完整移動(dòng)機(jī)器人模型都受到外部干擾的情況下，實(shí)現(xiàn)多個(gè)簡(jiǎn)單連接的機(jī)器人在確保連通性和避免碰撞的同時(shí)保持穩(wěn)定。Wang 等針對(duì)一系列遭受不可預(yù)測(cè)時(shí)變干擾的非線性系統(tǒng)，提出了一種魯棒有限時(shí)間輸出反饋的控制方法，利用有限時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器提供的狀態(tài)估計(jì)控制閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 問(wèn)題描述

研究對(duì)象是4 輪結(jié)構(gòu)移動(dòng)機(jī)器人，如圖1 所示，其中，R為領(lǐng)航機(jī)器人，R為跟隨機(jī)器人。2 個(gè)后輪為驅(qū)動(dòng)輪，通過(guò)調(diào)節(jié)各自驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸入電壓形成差速來(lái)實(shí)現(xiàn)車(chē)體位置和角度的變化，2 個(gè)前輪為隨動(dòng)輪，僅起支撐車(chē)體的作用。本文采用笛卡爾坐標(biāo)系，XOY 是全局坐標(biāo)系，xoy 是以移動(dòng)機(jī)器人自身為參考系的局部坐標(biāo)系，選取移動(dòng)機(jī)器人的質(zhì)心點(diǎn)為參考點(diǎn)。領(lǐng)航者R的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如式（1）所示。

圖1 移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

其中，r=（x，y）表示領(lǐng)航者R在全局坐標(biāo)系中的位置；θ表示領(lǐng)航者R前進(jìn)軸方向與X 軸的偏轉(zhuǎn)角度；v與ω分別為領(lǐng)航者R的實(shí)際線速度與實(shí)際角速度。

跟隨者R的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型表示為：

其中，r=（x，y）表示跟隨者R在全局坐標(biāo)系中的位置；θ表示跟隨者R前進(jìn)軸方向與X 軸的偏轉(zhuǎn)角度；v與ω分別為跟隨者R的線速度與角速度；d 為未知時(shí)變外部擾動(dòng)。

其中，l表示參考點(diǎn)P在前進(jìn)軸方向的偏移量。對(duì)式（5）求導(dǎo)得：

2 控制器設(shè)計(jì)

在實(shí)際應(yīng)用中，領(lǐng)航者速度在測(cè)量時(shí)存在噪聲影響，導(dǎo)致其無(wú)法精確測(cè)量。因此，本文在領(lǐng)航者速度無(wú)法精確測(cè)量的基礎(chǔ)上，考慮跟隨者受到未知擾動(dòng)的情況，分析移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，提出基于運(yùn)動(dòng)學(xué)特性的軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)。

2.1 恒定速度

當(dāng)領(lǐng)航者速度（v，ω）無(wú)法測(cè)量且為恒定值時(shí)，速度觀測(cè)器設(shè)計(jì)為：

其中，K為對(duì)稱正定矩陣。

將式（14）代入式（6）可得：

在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，需要保證整個(gè)觀測(cè)器-控制器閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即移動(dòng)機(jī)器人的觀測(cè)器估計(jì)誤差和跟蹤誤差均為收斂，利用Lyapunov 穩(wěn)定性判據(jù)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷。

假設(shè)1：未知擾動(dòng)信號(hào)d 是有界的，即|d|≤b，|d˙|≤b，其中，b、b是大于零的常數(shù)。

定理1：由一對(duì)領(lǐng)航-跟隨機(jī)器人構(gòu)成的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)，領(lǐng)航者速度為常數(shù)，使得0＜v＜∞和|ω|＜∞，初始時(shí)刻的相對(duì)方向滿足條件|θ（0）|＜π。當(dāng)領(lǐng)航者速度為恒定值時(shí)，針對(duì)式（15）描述的誤差動(dòng)態(tài)方程，若跟隨機(jī)器人采用的控制器為式（8）、式（9）、式（12）和式（14），則當(dāng)t→∞時(shí)，r收斂到原點(diǎn)小鄰域內(nèi)。

證明選取Lyapunov 函數(shù)為：

對(duì)式（16）求導(dǎo)并將式（15）代入可得：

將式（10）、式（11）和式（13）代入式（17）可得：

通過(guò)假設(shè)1 可得：

式（18）可進(jìn)一步寫(xiě)成：

2.2 時(shí)變速度

當(dāng)領(lǐng)航者速度（v，ω）為時(shí)變的情況下，速度觀測(cè)器設(shè)計(jì)為：

其中，σ和σ表示大于零的常數(shù)。則其導(dǎo)數(shù)為：

假設(shè)2：領(lǐng)航者的速度是有界的，即|v|≤b，|v˙|≤b，|ω|≤b，|ω˙|≤b，其中，b、b、b、b是大于零的常數(shù)。

定理2：當(dāng)領(lǐng)航者速度為時(shí)變值時(shí)，針對(duì)式（15）描述的誤差動(dòng)態(tài)方程，若跟隨機(jī)器人采用的控制器為式（12）、式（14）、式（21）和式（22），則當(dāng)t→∞時(shí)，r收斂到原點(diǎn)小鄰域內(nèi)。

證明 選取Lyapunov 函數(shù)為式（16），將式（23）、式（24）和式（13）代入式（17）可得：

通過(guò)假設(shè)1 和假設(shè)2 可得：

進(jìn)一步寫(xiě)成：

綜上所述，在速度觀測(cè)器和擾動(dòng)觀測(cè)器的基礎(chǔ)上，結(jié)合移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器，使跟隨者在指定軌跡上進(jìn)行跟蹤，有效提高移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤精度。

3 系統(tǒng)仿真及分析

為驗(yàn)證該控制方法的有效性，在Matlab 中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。選取1 臺(tái)領(lǐng)航者與1 臺(tái)跟隨者來(lái)實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤控制，分別對(duì)恒定速度和時(shí)變速度下圓形軌跡跟蹤進(jìn)行仿真。

圖2 恒定速度控制輸入

圖3 恒定速度估計(jì)誤差收斂曲線

圖4 恒定速度跟蹤誤差收斂曲線

圖5 恒定速度軌跡跟蹤曲線

由仿真結(jié)果可知，在領(lǐng)航者速度恒定的情況下，跟隨者雖然在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到擾動(dòng)作用，但是在軌跡跟蹤控制算法的作用下，領(lǐng)航者的線速度和角速度以及未知擾動(dòng)的觀測(cè)估計(jì)誤差都收斂到有界范圍內(nèi)，且實(shí)際的運(yùn)動(dòng)軌跡在目標(biāo)軌跡附近波動(dòng)，即跟蹤誤差收斂到原點(diǎn)的小鄰域內(nèi)，可以通過(guò)選擇較大的控制增益，使跟蹤誤差根據(jù)需要變小。

仿真2：領(lǐng)航者的時(shí)變速度設(shè)置為v=0.1-0.02 cos（0.1t）m/s，ω=0.1-0.02cos（0.1t）rad/s。時(shí)變外部擾動(dòng)設(shè)置為d=0.01sin（0.1t）m/s。跟隨者的觀測(cè)器參數(shù)分別為：K=0.7I，k=0.1，k=0.6，k=0.3，σ=0.01，σ=0.01，σ=0.5。在領(lǐng)航者速度時(shí)變的情況下，由式（12）、式（14）、式（21）和式（22）給出方案的仿真結(jié)果如圖6～圖9 所示。

圖6 時(shí)變速度控制輸入

圖7 時(shí)變速度估計(jì)誤差收斂曲線

圖8 時(shí)變速度跟蹤誤差收斂曲線

圖9 時(shí)變速度軌跡跟蹤曲線

由仿真結(jié)果可知，在領(lǐng)航者速度時(shí)變的情況下，領(lǐng)航者的線速度和角速度的估計(jì)誤差、未知擾動(dòng)的觀測(cè)估計(jì)誤差以及跟隨者的跟蹤誤差相對(duì)于恒定速度時(shí)的誤差要大，但最終還是收斂到有界范圍內(nèi)，使其實(shí)際的運(yùn)動(dòng)軌跡在目標(biāo)軌跡附近波動(dòng)。

4 結(jié)論

本文針對(duì)移動(dòng)機(jī)器人跟隨者受到未知擾動(dòng)影響時(shí)的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，提出一種基于估計(jì)擾動(dòng)前饋補(bǔ)償?shù)能壽E跟蹤控制方案，實(shí)現(xiàn)了在未知擾動(dòng)作用下能夠跟蹤目標(biāo)軌跡的控制效果。通過(guò)選擇較大的控制增益，使跟蹤誤差根據(jù)需要變小。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制方法的有效性。