溫曉蕾，李妙玲，陳智勇,，徐穎強(qiáng)，姚永玉

(1.河南水利與環(huán)境職業(yè)學(xué)院 土木工程系，鄭州 450008；2.洛陽理工學(xué)院 智能制造學(xué)院，河南 洛陽 471023；3.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，西安 710072)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)軸承的振動(dòng)質(zhì)量提出了更高要求。如何降低工作中軸承的振動(dòng)，是軸承應(yīng)用領(lǐng)域的重要技術(shù)難題。利用吸振技術(shù)對(duì)配套主機(jī)進(jìn)行振動(dòng)控制是有效的振動(dòng)抑制手段，但目前傳統(tǒng)吸振器吸振頻帶狹窄，對(duì)寬轉(zhuǎn)速軸承減振效果不明顯。

國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)基于能量阱的減振控制進(jìn)行了大量的研究：20世紀(jì)中葉，文獻(xiàn)[1]提出吸振器添加非線性剛度元件——非線性能量阱(Nonlinear Energy Sink，NES)進(jìn)行振動(dòng)控制，非線性能量阱可有效拓寬減振頻帶，且附加質(zhì)量小，穩(wěn)定性好；文獻(xiàn)[2]對(duì)NES靶能量傳遞進(jìn)行了深入研究，證明系統(tǒng)能量可單向傳遞至NES中，且其具備附加質(zhì)量小，減振頻帶寬，可靠性高等優(yōu)點(diǎn)；文獻(xiàn)[3]證明能量阱可以快速吸收耗散梁的大部分振動(dòng)能量，并基于能量耗散率優(yōu)化了能量阱在梁上的安裝位置；文獻(xiàn)[4]將能量阱附加在機(jī)械臂上，利用數(shù)值法分析了能量阱的工作性能；文獻(xiàn)[5]研究表明，能量阱可以有效抑制星載飛輪在瞬態(tài)激勵(lì)和穩(wěn)態(tài)激勵(lì)下的振動(dòng)；文獻(xiàn)[6]利用振子內(nèi)部旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)了一種能量阱，與純立方剛度能量阱的對(duì)比表明該結(jié)構(gòu)具備更好的減振性能及穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[7]研究了沖擊載荷下能量阱的減振性能，結(jié)果表明能量阱能使船艦快速減振，但能量阱對(duì)沖擊強(qiáng)度較為敏感，只有達(dá)到觸發(fā)閾值時(shí)才可高效減振；文獻(xiàn)[8]將能量阱安裝在夾層梁內(nèi)，研究能量阱對(duì)梁的振動(dòng)抑制，結(jié)果表明減小能量阱阻尼可提高其工作性能；文獻(xiàn)[9]研究了受控系統(tǒng)在附加能量阱后產(chǎn)生高分支響應(yīng)的條件，并通過串聯(lián)能量阱在一定范圍內(nèi)消除高分支響應(yīng)，提高了能量阱在不同激勵(lì)強(qiáng)度下的減振穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[10]基于分段線性構(gòu)造了非光滑非線性恢復(fù)力，建立了軸承系統(tǒng)耦合NES的力學(xué)模型，利用遺傳算法對(duì)NES的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，分析了多自由度系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化問題，試驗(yàn)結(jié)果表明，優(yōu)化后的NES可在更寬的頻帶內(nèi)對(duì)軸進(jìn)行振動(dòng)抑制；文獻(xiàn)[11]以能量阱耗散為工作性能指標(biāo)，分析了能量阱在沖擊激勵(lì)下的減振性能，并研究了能量阱結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)觸發(fā)閾值的影響，結(jié)果表明提高非線性剛度可以降低能量阱觸發(fā)閾值，但非線性剛度過大，會(huì)造成強(qiáng)激勵(lì)下能量阱性能下降；文獻(xiàn)[12]研究了在諧波激勵(lì)下受控系統(tǒng)安裝能量阱及壓電俘能器時(shí)振動(dòng)控制與能量收獲的集成問題，并分析了共振附近的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)對(duì)振幅、能量收集帶寬的影響；文獻(xiàn)[13]利用數(shù)值仿真分析了雙穩(wěn)態(tài)能量阱各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其減振性能的影響，通過對(duì)能量阱結(jié)構(gòu)參數(shù)的逐次優(yōu)化，得到了質(zhì)量比以及調(diào)諧頻率比的最佳區(qū)間，同時(shí)兼顧了能量阱減振性能及能量俘獲，且只有當(dāng)外界激勵(lì)強(qiáng)度達(dá)到一定程度時(shí)，能量阱才能高效工作。

綜上分析，如何降低NES觸發(fā)閾值，提高NES在低擾動(dòng)工況下的工作性能具有重要研究意義。雙穩(wěn)態(tài)非線性能量阱(Bistable Nonlinear Energy Sink，BNES)的非線性剛度由立方剛度及負(fù)剛度構(gòu)成，可降低能量阱的觸發(fā)閾值，提高其在低擾動(dòng)下的工作性能。本文利用線性剛度元件，通過非線性幾何關(guān)系構(gòu)建BNES，并耦合于懸臂梁系統(tǒng)進(jìn)行減振分析；通過數(shù)值計(jì)算，利用勢(shì)能函數(shù)分析NES觸發(fā)閾值與非線性剛度比的關(guān)系，研究BNES的瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)工作性能。

1 軸承系統(tǒng)耦合BNES模型構(gòu)建

BNES由質(zhì)量單元、阻尼單元、非線性剛度及負(fù)剛度組成。文中利用線性元件，通過幾何非線性關(guān)系構(gòu)造非線性恢復(fù)力以實(shí)現(xiàn)非線性剛度，如圖1所示。

圖1 非線性剛度實(shí)現(xiàn)

振子在位置3利用2個(gè)剛度系數(shù)相同的線性彈簧連接，此時(shí)為預(yù)緊狀態(tài)；位置1，2為兩彈簧自由狀態(tài)。當(dāng)振子離開位置3時(shí)，可得恢復(fù)力F與位移x的關(guān)系為

(1)

式中：F為位移x方向的恢復(fù)力；k為彈簧的剛度系數(shù)；x為偏離位置3的位移；L為彈簧原長；s為振子位于位置3時(shí)，彈簧處于壓縮狀態(tài)下的長度。利用麥克勞林公式把(1)式展開為

(2)

F≈-K1x+K3x3，

(3)

當(dāng)振子的位移滿足|x|≤0.4s時(shí)，(3)式的誤差不高于5%[14]。

將上述BNES安裝于軸承系統(tǒng)(即主系統(tǒng))中，如圖2a所示，并將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為如圖2b所示的二自由度模型。

(a)軸承系統(tǒng)安裝能量阱示意圖

外界激勵(lì)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

，(4)

式中：mn，m分別為能量阱和軸的等效質(zhì)量；Cn，C分別為能量阱和軸的等效阻尼；K1，K3分別為能量阱負(fù)剛度和立方剛度；K為軸的等效剛度；X，Y分別為能量阱和軸的位移；F(t)為激勵(lì)。

諧波激勵(lì)Fcos(ωt)下，對(duì)(4)式進(jìn)行量綱一化得

，(5)

ζn=Cn/(2mnωn)，ζ=C/(2mωn)，

τ=ωnt，k1=K1/K，k3=L2K3/K，

x=X/L，y=Y/L，f=F/(KL)，μ=mn/m，

式中：ω，ωn分別為外界激勵(lì)頻率、主系統(tǒng)固有頻率；t為時(shí)間。

2 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

本節(jié)利用勞斯-赫爾維茨法則對(duì)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)進(jìn)行分析。

首先，取x1=x，x2=y，x3=x′，x4=y′，則(5)式的一階微分形式表示為

(6)

由(5)式可知

(7)

令

(8)

由(5)式可求得平衡點(diǎn)(0,0,0,0)對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣為

(9)

對(duì)應(yīng)的特征方程為det(J1-λI)=0，則

a0λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0，

(10)

a0=1，a1=2ζ+4ζn，

根據(jù)勞斯-赫爾維茨可知，(8)式由上述特征系數(shù)組成的勞斯-赫爾維茨行列式為

(11)

對(duì)應(yīng)的特征方程為det(J2-λI)=0，則

b0λ4+b1λ3+b2λ2+b3λ+b4=0，

(12)

b0=1，b1=2ζ+4ζn，

Δ1=b1=2ζ+4ζn>0，

圖3 非線性剛度比對(duì)勢(shì)能函數(shù)的影響

由圖3可知，勢(shì)能函數(shù)存在1個(gè)勢(shì)壘和2個(gè)勢(shì)阱，在BNES跨過勢(shì)壘做阱間大幅振蕩時(shí)，BNES高效減振，且勢(shì)阱深度隨非線性剛度比α的變大而降低，故通過調(diào)節(jié)非線性剛度比可以控制勢(shì)阱深度，進(jìn)而改變BNES的觸發(fā)閾值。

3 BNES減振性能分析

3.1 瞬態(tài)減振性能分析

利用集中參數(shù)模型，根據(jù)(5)式建立的二自由度動(dòng)力學(xué)方程，分析BNES的減振性能。系統(tǒng)中參數(shù)設(shè)置為：μ=0.05，ζn=0.01，k1=0.1，k3=1，ζ=0.05，ωn=2rad/s，主系統(tǒng)初始條件為x(0)=y(0)=x′(0)=0，y′(0)=0.45，對(duì)所有物理量進(jìn)行量綱一化處理，并利用四階龍格庫塔法進(jìn)行數(shù)值分析。

為表明BNES的減振性能，對(duì)比分析了有無安裝能量阱時(shí)主系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，結(jié)果如圖4、圖5所示。由圖4可知，在初始條件下，主系統(tǒng)隨時(shí)間做衰減振動(dòng)，利用本身阻尼耗散初始能量，至τ=100時(shí)，主系統(tǒng)仍有較大振幅。由圖5可知，在BNES作用下，主系統(tǒng)振動(dòng)快速衰減，在約τ=50時(shí)，振幅趨于0。

圖4 無BNES時(shí)主系統(tǒng)的時(shí)域圖

(a)主系統(tǒng)的時(shí)域圖

主系統(tǒng)與BNES的小波圖如圖6所示，τ=0至τ=19間主系統(tǒng)和BNES發(fā)生1∶1共振及諧波共振，在τ=36時(shí)主系統(tǒng)振幅接近零。

(a)主系統(tǒng)小波圖

為對(duì)比分析BNES與NES在相同工況下的減振效果，取相同系統(tǒng)參數(shù)和初始條件，分析NES作用時(shí)主系統(tǒng)和NES的振動(dòng)情況，結(jié)果如圖7所示。由圖可知，對(duì)同一系統(tǒng)，在相同激勵(lì)條件下，NES對(duì)主系統(tǒng)有一定減振作用，系統(tǒng)部分振動(dòng)能量在NES中消耗，但由小波圖可知，主系統(tǒng)在τ=60附近仍有較大能量，因此BNES的減振效果更好。

(a)主系統(tǒng)的時(shí)域圖

3.2 穩(wěn)態(tài)減振性能分析

利用四階龍格庫塔法，在諧波激勵(lì)下對(duì)BNES進(jìn)行穩(wěn)態(tài)性能分析。分析中系統(tǒng)參數(shù)與之前保持一致，激勵(lì)為F(t)=0.1cos(1.5τ)，初始條件為x(0)=y(0)=x′(0)=y′(0)=0，仿真結(jié)果如圖8所示。同時(shí)，為對(duì)比BNES和NES的減振效果，相同條件下分析NES作用時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)果如圖9所示。BNES及NES在相同系統(tǒng)參數(shù)及外界激勵(lì)條件下與主系統(tǒng)的相對(duì)速度關(guān)系如圖10所示。

圖8 BNES減振性能

圖9 NES減振性能

圖10 BNES及NES在相同系統(tǒng)參數(shù)及外界激勵(lì)條件下與主系統(tǒng)的相對(duì)速度

對(duì)比圖8和圖9可知，在相同系統(tǒng)參數(shù)及外界激勵(lì)條件下，BNES振動(dòng)幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于NES；由圖10可知，BNES與主系統(tǒng)相對(duì)速度極值約為NES與主系統(tǒng)相對(duì)速度極值的3.2倍。因?yàn)槟芰口逑哪芰縋正比于能量阱與主系統(tǒng)的相對(duì)速度Δv的平方[13]，而BNES與主系統(tǒng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)劇烈，可保證能量通過能量阱阻尼耗散。

4 BNES觸發(fā)閾值分析

基于能量傳遞率分析BNES在諧波激勵(lì)下的觸發(fā)閾值，系統(tǒng)參數(shù)仍保持不變，激勵(lì)為F(t)=fcos(2τ)，初始條件為x(0)=y(0)=x′(0)=y′(0)=0。定義能量傳遞率為[7]

T(τ)={μx′2(τ)+k1[x(τ)-y(τ)]2+

(13)

式中：T(τ)為BNES在不同時(shí)刻存儲(chǔ)的總瞬態(tài)動(dòng)能及勢(shì)能與系統(tǒng)瞬態(tài)總能量的比值。

分析不同激勵(lì)幅值f下BNES的能量傳遞率，結(jié)果如圖11所示:在諧波激勵(lì)幅值f=0.25時(shí)，系統(tǒng)能量傳遞至BNES的不足2%，絕大部分能量仍在主系統(tǒng)里被阻尼消耗；而在激勵(lì)幅值為f=0.30時(shí)，主系統(tǒng)傳至BNES的能量接近90%，大部分能量在BNES消耗。

圖 11 不同激勵(lì)強(qiáng)度下BNES的能量傳遞率

不同激勵(lì)強(qiáng)度下能量傳遞率的Colormap圖如圖12所示，非線性能量阱的觸發(fā)閾值為0.29，當(dāng)諧波激勵(lì)幅值不小于0.29時(shí)，BNES發(fā)生共振俘獲，實(shí)現(xiàn)高效減振。

圖12 BNES能量傳遞率Colormap圖

此外，由圖12可知在非線性剛度比一定時(shí)，當(dāng)激勵(lì)強(qiáng)度超過閾值后，隨著激勵(lì)的進(jìn)一步增加，能量傳遞率相應(yīng)降低。進(jìn)一步做如下定義[7]

(14)

式中：En(τ)為各時(shí)刻能量阱的能量耗散率；En為穩(wěn)定后能量阱的能量耗散占比；p為沖擊作用下軸的初速度，沖擊下系統(tǒng)總能量可表示為E=p2/2。

由(14)式可得不同非線性剛度比下BNES的能量耗散率，如圖13所示；隨著非線性剛度比的增加，觸發(fā)閾值降低，但隨著軸的初速度(激勵(lì)強(qiáng)度)增加，能量耗散率降低；非線性剛度比較小時(shí)，觸發(fā)閾值較大，但隨軸的初速度(激勵(lì)強(qiáng)度)增加，能量耗散率可保持在較高水平。

圖13 非線性剛度比對(duì)觸發(fā)閾值影響

5 結(jié)論

利用線性剛度元件，通過幾何非線性構(gòu)建了BNES，得到以下結(jié)論：

1)通過勞斯-赫爾維茨法則，對(duì)平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，發(fā)現(xiàn)BNES存在1個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)和2個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

2)通過數(shù)值方法分析了BNES的工作性能，發(fā)現(xiàn)相比于普通NES，BNES在低擾動(dòng)下減振性能更好，更適合高精儀器低擾動(dòng)下的振動(dòng)控制。

3)利用能量傳遞率及能量耗散率分析了BNES的觸發(fā)閾值，發(fā)現(xiàn)觸發(fā)閾值與非線性剛度比存在反比例關(guān)系，在觸發(fā)閾值附近BNES能量傳遞率及能量耗散率最高，之后隨著激勵(lì)強(qiáng)度的增加，兩者逐漸降低。