黃智鵬，徐悅鵬，曹瑞康，付承偉，任 旺，孔祥東，李文鋒

(燕山大學 機械工程學院，河北 秦皇島 066004)

引言

摩擦現(xiàn)象廣泛存在于機械系統(tǒng)中，特別是對控制品質(zhì)要求較高的伺服控制系統(tǒng)，摩擦的出現(xiàn)會降低其跟蹤精度，產(chǎn)生控制極限環(huán)以及不必要的爬行現(xiàn)象。特別當系統(tǒng)處于低速運動時，摩擦現(xiàn)象會表現(xiàn)出復雜的強非線性特性，無法找到準確描述這些現(xiàn)象的非線性函數(shù)[1]；而且摩擦非線性是摩擦因素中最影響伺服進給系統(tǒng)精度的摩擦現(xiàn)象[2]，對系統(tǒng)的低速伺服性能影響尤為顯著[3-5]。

為此，諸多學者對于非線性系統(tǒng)的控制技術進行了廣泛的研究。李淵等[6]對電液伺服泵控系統(tǒng)中的非線性理論進行了研究，提出了廣義排量的壓力控制策略，通過試驗和仿真驗證了對系統(tǒng)控制的效果。趙爽等[7]針對閥控液壓馬達系統(tǒng)受到的非線性擾動問題，提出了一種三階線性控制器，采用跟蹤誤差前饋與擴張狀態(tài)觀測器相分離的辦法，增強了液壓伺服系統(tǒng)的抗干擾能力。范珂等[8]針對不確定性及外部干擾下主動升沉補償系統(tǒng)的非線性控制問題，提出一種基于擴展干擾觀測器自適應魯棒控制器，通過李雅普諾夫函數(shù)證明整個閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。馮浩等[9]針對挖掘機器人伺服系統(tǒng)存在高度非線性、參數(shù)不確定和未建模動態(tài)等諸多不利因素，提出了一種結合徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡的非線性滑?？刂破鳎岣吡讼到y(tǒng)的控制精度和魯班性。謝宜含等[10]針對機電伺服系統(tǒng)存在較多不確定性的現(xiàn)象，設計了一種自適應非線性控制策略，不僅有效補償了系統(tǒng)不確定性，而且實現(xiàn)了非線性控制器與線性頻寬參數(shù)的一體化設計。何耀濱等[11]針對大行程直線運動平臺復雜的非線性時變系統(tǒng)的不確定因素，將系統(tǒng)的速度、位移作為狀態(tài)變量，設計一個線性自抗擾控制器，通過與PID控制算法進行比較，提升了運動平臺的響應速度和精度。

采用基于摩擦模型的摩擦補償控制可以有效地對摩擦進行一定程度上的預測，提高控制精度。因此，本研究在系統(tǒng)控制策略設計中，將摩擦現(xiàn)象進行模型化分析并納入系統(tǒng)特性，并通過遺傳算法完成系統(tǒng)摩擦參數(shù)的辨識，提高系統(tǒng)控制精度。

1 摩擦現(xiàn)象數(shù)學模型

摩擦現(xiàn)象的數(shù)學模型可根據(jù)是否由微分方程描述大致分為兩類：靜態(tài)摩擦模型和動態(tài)摩擦模型。常見靜態(tài)摩擦模型有庫倫摩擦模型、黏性摩擦模型、Stribeck摩擦模型、Karnopp模型、Armstrong模型。常見的動態(tài)模型有Dahl摩擦模型、鬃毛摩擦模型、LuGre摩擦模型[12]。采用基于摩擦模型的摩擦補償控制可以有效地對摩擦進行一定程度上的預測，提高控制精度。

1.1 靜態(tài)摩擦模型

一般的線性系統(tǒng)數(shù)學模型所采用的摩擦模型為靜態(tài)摩擦模型，多為庫倫摩擦、靜摩擦、黏滯摩擦和Stribeck摩擦等幾種特性的組合。通過摩擦力與物體相對運動速度的關系揭示的各個摩擦特性的主要特點如圖1所示。

圖1 經(jīng)典摩擦特性示意圖

經(jīng)典常見的摩擦模型由庫倫摩擦特性、黏性摩擦特性和靜摩擦特性三者共同描述。庫倫摩擦揭示了當物體間相對運動速度不為0時，相對運動方向與摩擦力方向相反的現(xiàn)象；黏性摩擦體現(xiàn)了黏性力對物體運動的影響；靜摩擦則補充了當物體間相對運動速度為0時摩擦力的變化特性。

靜摩擦摩擦模型如下：

(1)

式中,Ft——外力，N

Fs——最大靜摩擦力，N

v——相對滑動速度，mm/s

庫侖摩擦模型結合黏性摩擦模型如下：

Ff=Fcsgn(v)+Bv

(2)

式中，F(xiàn)c——庫倫摩擦力，N

B——黏性摩擦系數(shù)，N·s/m

上述模型對物體間最大靜摩擦力到滑動摩擦力過渡的數(shù)學描述是突變的，然而Stribeck摩擦現(xiàn)象表明，物體間相對運動速度在較低時摩擦力的變化是呈現(xiàn)負斜率特性的。Karnopp模型結合了對Stribeck摩擦現(xiàn)象的數(shù)學描述，并通過設定零速度區(qū)間對相對運動速度進行劃分，即當相對速度值位于該區(qū)時，速度被等效為0，視為靜摩擦。但是零速區(qū)間的選取存在一定困難，無法真實反映零速附近摩擦力的變化情況，公式如下所示：

(3)

F(v)=[Fs+(Fs-Fc)e-(v/vs)δ]sgn(v)+Bv

(4)

式中F(v)——對Stribeck摩擦現(xiàn)象以及黏性摩擦的數(shù)學描述

δ——經(jīng)驗常數(shù)，取值通常為2

DV——所選擇的零速區(qū)間

靜態(tài)摩擦模型從宏觀方面體現(xiàn)了物體間相對運動速度穩(wěn)定時摩擦力所表現(xiàn)的靜態(tài)特性，但是當速度發(fā)生變化，諸如預滑移、可變靜摩擦力、摩擦滯后等摩擦微觀非線性動態(tài)特性無法從中得以體現(xiàn)。因此，采用單一的靜態(tài)摩擦模型進行補償控制并不能取得較為理想的控制效果。

1.2 動態(tài)摩擦模型

通過一階微分方程對摩擦現(xiàn)象的動態(tài)微觀行為描述，逐漸形成了動態(tài)摩擦模型。其中被普遍應用的動態(tài)摩擦模型為Dahl摩擦模型、復位積分摩擦模型、鬃毛摩擦模型以及LuGre摩擦模型。相較于其他模型，LuGre模型，結合了Dahl模型的鬃毛摩擦思想，同時引入對摩擦預滑動位移特性的描述，能夠以較為精確的數(shù)學語言同時描述摩擦力的動態(tài)特性和靜態(tài)特性。圖2為LuGre摩擦模型的基本原理圖。

圖2 LuGre摩擦模型原理圖

如圖2所示，LuGre摩擦模型關注運動物體接觸面間的相對微觀運動。該模型假設物體之間通過無數(shù)具有彈性形變特性的鬃毛接觸，當有切向力施加于鬃毛時，鬃毛會像彈簧一樣產(chǎn)生形變并發(fā)生預滑移，從而由此產(chǎn)生靜摩擦力，此時鬃毛的彈性形變量約等于滑動位移。當切向力變得足夠大，其中一部分鬃毛發(fā)生過度偏移后便會彼此滑脫，物體間相對運動由此產(chǎn)生，同時形成滑動摩擦力，此時鬃毛的彈性形變量由物體間的相對運動速度決定。實際運動中，由于接觸面形狀不規(guī)則，鬃毛彼此間的接觸形態(tài)被認為是高度隨機的。因此LuGre模型研究的是鬃毛的平均運動行為，其表達公式如下：

(5)

g(v)=σ0[Fc+(Fs-Fc)e-(v/vs)2]

(6)

(7)

式中,Fc,Fs——靜摩擦力參數(shù)，N

z——鬃毛平均彈性形量，mm

g(v)——取決于物體材料、潤滑、溫度等因素的正函數(shù)

σ0——剛度系數(shù)，N/m

σ1——阻尼系數(shù)，N·s/m

σ2——黏性摩擦系數(shù)，N·s/m

vs——Stribeck速度，mm/s

下面對LuGre摩擦模型的穩(wěn)定性和可行性進行證明。假設物體間的相對運動速度v是分段函數(shù)，連續(xù)且有界，函數(shù)g除零點外有界，由此可得：

≤L|z1-z2|

(8)

由于v是有界的，且g>ε>0，該利普希茨連續(xù)條件保證了摩擦模型解的存在性和唯一性。

假設00時，那么|z(t)|≤a。

取李雅普諾夫函數(shù)V(t)=z2/2，當z(t)≠0時，顯然V(t)>0是恒成立的，那么：

(9)

當|z|>g(v)時，由于函數(shù)g嚴格為正且有界，那么集合Ω={z:|z|≤a}是式(9)解的不變集，因此所有z(t)解的軌線始于Ω并保留于其中。從物理學角度而言，物理系統(tǒng)的耗散特性與能量有關。對于控制系統(tǒng)上的數(shù)學描述，亦可借用該原理描述反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的數(shù)學模型可以被定義為能夠?qū)⑤斎胗成涞捷敵龅乃阕?，?9)可被認為是輸入-輸出映射算子，由此可證明該映射關系是耗散的。

(10)

對兩邊同時取積分，可得:

≥V[z(t)]-V[z(0)]

(11)

顯然，式(11)是自然耗散的。

由上述公式可以看出，LuGre摩擦模型清晰簡潔，與其他模型相比，該模型能夠平滑地從當前摩擦狀態(tài)過渡到另一摩擦狀態(tài)，在一定程度上具有良好的連續(xù)性。此外，該模型可以將庫倫摩擦、黏性摩擦、摩擦滯后、Stribeck效應和摩擦記憶等復雜的非線性摩擦特性較為準確地表達出來。而其中的未知參數(shù)可采用參數(shù)辨識方法獲得，為多種摩擦補償算法的設計與應用提供了可能性。

2 基于遺傳算法的Lugre摩擦模型參數(shù)辨識

2.1 模型參數(shù)辨識機理

遺傳算法是一種基于自然界中生物間“物競天擇，適者生存”的演化法則的算法。相較于傳統(tǒng)算法，其求解方案起始于群體數(shù)據(jù)，并非單個點。其良好的全局搜索能力可以快速地得到解空間的全體解并同時避免陷入局部最優(yōu)解的快速下降陷阱。此外，該算法的內(nèi)在并行特質(zhì)提供了具有更快求解速度的分布式計算。就其本質(zhì)而言，遺傳算法是一種高效、并行、全局搜索的方法。

圖3展示了遺傳算法基本流程圖。首先，遺傳算法在進行搜索前會將解空間的數(shù)據(jù)進行編碼，形成基因串型結構數(shù)據(jù)，并同時隨機生成n個初始串數(shù)據(jù)結構，作為初始種群；然后，根據(jù)需要求解或優(yōu)化目標函數(shù)，計算群體中每個個體的目標函數(shù)值，并通過給定的適應度函數(shù)對相關個體作出評價；隨后，按照個體的適應度和一定的選擇函數(shù)對父代種群進行擇優(yōu)選擇，同時基于預設概率對選定的個體進行交叉、變異等操作，從而產(chǎn)生子代種群；接下來，算法會對子代種群重復執(zhí)行上述操作，直至輸出滿足終止條件的最優(yōu)結果。

圖3 遺傳算法辨識流程圖

通過遺傳算法分別對LuGre模型中的靜態(tài)摩擦參數(shù)和動態(tài)摩擦參數(shù)[19]進行辨識，從而為摩擦補償提供較為準確的模型以獲取更優(yōu)的控制效果。

2.2 靜態(tài)摩擦參數(shù)辨識

F=σ0z+σ2v

=[Fc+(Fs-Fc)e-(v/vs)2]sgn(v)+σ2v

(12)

根據(jù)上述公式可知，待辨識參數(shù)向量設定如下:

(13)

那么參數(shù)辨識誤差為:

e(x,vi)=ui-F(x,vi)

(14)

其中：

(15)

取誤差函數(shù)的平方和作為目標函數(shù):

(16)

取適應度函數(shù)為:

(17)

遺傳算法中需要設定的相關參數(shù)將在后面的仿真小節(jié)中給出，結合上述推導出的供述，便可獲得LuGre摩擦模型的靜態(tài)摩擦參數(shù)。

2.3 動態(tài)摩擦參數(shù)辨識

將2.2節(jié)中靜態(tài)摩擦參數(shù)辨識得到的最優(yōu)結果將作為動態(tài)摩擦參數(shù)辨識的基礎。利用系統(tǒng)輸出的加速度以及系統(tǒng)輸出的控制力即可進行動態(tài)摩擦參數(shù)辨識。待辨識參數(shù)向量設定如下:

(18)

聯(lián)立LuGre摩擦模型公式，有:

(19)

(20)

通過系統(tǒng)辨識可得到的控制力為：

(21)

參數(shù)辨識誤差為：

e(xd,ti)=u(ti)-u(xd,ti)

(22)

其中，u(ti)為系統(tǒng)輸出的控制力。

取誤差函數(shù)的平方和作為目標函數(shù)：

(23)

取適應度函數(shù)：

(24)

遺傳算法中需要設定的相關參數(shù)將在后面的仿真小節(jié)中給出，結合上述公式，便可獲得LuGre摩擦模型的動態(tài)摩擦參數(shù)。

2.4 摩擦補償復合控制

根據(jù)LuGre摩擦模型的結構，雖然已由參數(shù)辨識獲知模型大部分參數(shù)，可不難發(fā)現(xiàn)，鬃毛的平均彈性形變量是一階微分方程的未知數(shù)，因此該數(shù)值是無法直接獲得的。針對鬃毛彈性形變量z設計摩擦力狀態(tài)觀測器，從而能夠完整地實現(xiàn)基于模型的摩擦補償控制策略。

摩擦力觀測器數(shù)學模型表達如下：

(25)

(26)

(27)

那么：

(28)

對上式兩邊同時積分，有:

(29)

由此可知，式(27)是耗散的。

下面將設計摩擦補償復合控制算法。圖4是泵控缸的簡化傳遞框圖。

圖4 泵控缸傳遞框圖

其中：

G4(s)=βeCts+V0s/[V0mts3+(Ctsβemt+V0Bp)s2+

(30)

令控制器傳遞函數(shù)為G1(s)，對伺服電機傳遞函數(shù)進行一定程度的簡化，設為G2(s)。令G3(s)=βeDpAp/(Ctsβe+V0s)，圖5為油壓機泵控缸系統(tǒng)摩擦補償位置控制傳遞控制框圖。

圖5 泵控缸摩擦補償位置控制傳遞框圖

根據(jù)圖5可得：

(31)

(32)

(33)

聯(lián)立上述公式，可得：

(34)

其中，控制器G1(s)選擇常規(guī)的PID控制器，通過選取合適的控制器參數(shù)，使得G(s)嚴格正實。設G(s)的狀態(tài)空間表達式如下：

(35)

e=Cζ

(36)

由于G(s)是嚴格正實的，根據(jù)Kalman-Yakubovitvh引理，一定存在矩陣P=PT>0和Q=QT>0，使得：

ATP+PA=-Q

(37)

PB=CT

(38)

≤-ζTQζ

(39)

根據(jù)LaSalle定理，可知觀測器誤差和位置誤差會漸進收斂到0，因此該摩擦力觀測器是可行的。

3 摩擦力觀測器的仿真驗證

3.1 靜態(tài)摩擦參數(shù)

真正的摩擦參數(shù)辨識需要由試驗測得的摩擦力與速度的數(shù)據(jù)進行辨識。首先選取一組較為符合實際工況的摩擦參數(shù)，利用MATLAB/Simulink搭建出LuGre靜態(tài)摩擦模型，代入一組等時間間隔的速度值，以此求出的摩擦力作為實際摩擦力，從而獲得參數(shù)辨識的基礎數(shù)據(jù)。圖6是MATLAB/Simulink下LuGre靜態(tài)摩擦仿真模型，其參數(shù)取值如下：

圖6 MATLAB/Simulink LuGre靜態(tài)摩擦模型

x1=[Fc,Fs，σ2,Vs]T=[800,1200,20,1.5]T

根據(jù)前述辨識手段，對于靜態(tài)摩擦模型可以取辨識所需的穩(wěn)定速度值為從0 mm/s開始，間隔為0.2 mm/s 的等差數(shù)列，終止于10 mm/s。除去零點，共50個數(shù)值。將相應數(shù)值代入摩擦模型，所獲得的仿真理論摩擦力如圖7所示，遺傳代數(shù)為n。

圖7 仿真理論靜態(tài)摩擦力與遺傳辨識進化代數(shù)

圖8 辨識與理論摩擦力對比

圖9 仿真理論遺傳辨識誤差

3.2 動態(tài)摩擦參數(shù)

對LuGre摩擦模型進行動態(tài)參數(shù)的辨識，需要以通過遺傳算法辨識得到的靜態(tài)摩擦參數(shù)作為整個數(shù)學模型的部分參數(shù)基礎。模型輸入的速度值取自位速度為y=0.1 sin(0.5πt)正弦曲線，將該組速度值代入圖6所示的MATLAB/Simulink的仿真模型，生成供遺傳算法辨識的理論摩擦力。其中，LuGre動態(tài)摩擦模型參數(shù)取值如下：

x2=[σ0,σ1]T=[100000,316.2]T

將相應數(shù)值代入摩擦模型，所獲得的仿真理論摩擦力如圖10所示。

圖10a和圖10b分別展示了LuGre摩擦模型對滯環(huán)摩擦力的準確描述和該模型的鬃毛變化，可以看出LuGre摩擦模型可以較為精確地對摩擦力的復雜特性進行復現(xiàn)。

圖10 仿真理論動態(tài)摩擦力

種群及其演化的相關參數(shù)設置如下。最大遺傳代數(shù)為500，種群個體數(shù)目為100，變量數(shù)目為4，代溝為0.95，交叉概率和變異概率分別是0.85和0.01。種群生成方式為隨機生成。

圖11 動態(tài)參數(shù)辨識遺傳代數(shù)

圖12 鬃毛微位移

圖13 動態(tài)參數(shù)辨識誤差

由于實際系統(tǒng)的真實的LuGre摩擦模型的參數(shù)未知，本研究通過試驗將遺傳算法辨識得到的實際泵控液壓機位置控制系統(tǒng)的參數(shù)對所設計的摩擦力觀測器的效果進行驗證。

4 摩擦力觀測器的試驗驗證

為了驗證設計的摩擦力觀測器的效果，搭建了工業(yè)用開式泵控液壓機電液伺服位置控制試驗測試平臺，通過遺傳算法對適用于該測試平臺的LuGre摩擦模型的參數(shù)進行辨識。圖15是以圖14為原理圖制成的工業(yè)用開式泵控液壓機電液伺服位置控制系統(tǒng)。

1.粗濾油器 2.伺服電機 3.液壓泵 4.伺服驅(qū)動器 5.旋轉(zhuǎn)編碼器 6.單向閥 7.精濾油器 8.溢流閥 9.液壓控制器 10.電磁換向閥 11.平衡閥 12.充液閥 13.壓力傳感器 14.液壓缸(套缸) 15.位移傳感器

圖15 開式泵控液壓機電液伺服位置控制系統(tǒng)

液壓機系統(tǒng)采用某公司研制的HPM01泵控液壓機數(shù)控系統(tǒng)。該液壓機數(shù)控系統(tǒng)通過Visual Basic編輯用戶界面，并將相關程序內(nèi)置于觸摸屏。

圖16是試驗測試系統(tǒng)上位機的控制界面，用于辨識靜態(tài)摩擦力的參數(shù)設置如下：最大遺傳代數(shù)為500，種群個體數(shù)目為400, 變量數(shù)目為4，代溝為0.6，交叉概率和變異概率分別是0.8和0.05。種群生成方式為隨機生成，選擇算子為輪賭盤算子。參數(shù)搜索范圍Fc∈[0,1500]，F(xiàn)s∈[0,1500]，σ2∈[0,100]，Vs∈[0,10]。經(jīng)過遺傳算法辨識后，LuGre摩擦模型的靜態(tài)參數(shù)為：

圖16 試驗測試系統(tǒng)上位機界面

x1=[Fc,Fs,σ2,Vs]T=[654.6,1347.6,13.4,1.76]T

圖17a是系統(tǒng)的實際測得的靜態(tài)摩擦力和經(jīng)由遺傳算法辨識得到的模型參數(shù)擬合后的靜態(tài)摩擦力，圖17b是摩擦力辨識的誤差。

圖17 靜態(tài)摩擦力辨識

用于辨識動態(tài)摩擦力的參數(shù)設置如下，最大遺傳代數(shù)為500，種群個體數(shù)目為400，變量數(shù)目為4，代溝為0.6，交叉概率和變異概率分別是0.8和0.05。種群生成方式為隨機生成。選擇算子為輪賭盤算子。參數(shù)搜索范圍Fc∈[0，1500]，F(xiàn)s∈[0,1500]，σ2∈[0,100]，Vs∈[0,10]。經(jīng)過遺傳算法辨識后，LuGre摩擦模型的動態(tài)參數(shù)為：

x2=[σ0,σ1]T=[112610,322.2]T

圖18a是系統(tǒng)的實際測得的動態(tài)摩擦力和經(jīng)由遺傳算法辨識得到的模型參數(shù)擬合后的動態(tài)摩擦力，圖18b是摩擦力辨識的誤差。

圖18 動態(tài)摩擦力辨識

本研究所使用的泵控液壓機電液伺服位置控制系統(tǒng)將液壓缸的行程根據(jù)工藝要求劃分為快下運動階段和慢下運動階段，系統(tǒng)的每一運動階段均采用7段S形加減速位移算法。運動行程數(shù)值和速度數(shù)值可以通過上位機軟件進行設定，加速度數(shù)值系統(tǒng)默認與速度值相等。表1所示是系統(tǒng)試驗時的運動軌跡運動表。

表1 運動軌跡規(guī)劃參數(shù)表

快下運動階段的控制策略采用PID和基于摩擦力的前饋補償復合控制算法，借助提出的非線性摩擦力觀測器，由此可解決低速階段摩擦力引起的滯后現(xiàn)象并同時提高快下階段的位置跟蹤精度。圖19～圖22所示為系統(tǒng)經(jīng)過摩擦補償后與常規(guī)PID算法下的位置控制性能表現(xiàn)。

圖19 工況1下系統(tǒng)位移及偏差曲線

圖20 工況2下系統(tǒng)位移及偏差曲線

圖21 工況3下系統(tǒng)位移及偏差曲線

圖22 工況4下系統(tǒng)位移及偏差曲線

由圖19～圖22可以看出，采用PID和基于摩擦力的前饋補償復合控制算法后的控制系統(tǒng)在液壓缸快下運動階段的滯后現(xiàn)象得到一定改善，相比未經(jīng)過補償?shù)目煜码A段，最大滯后量減少了約40%。后續(xù)的運動階段，得到了摩擦補償?shù)南到y(tǒng)表現(xiàn)出了良好的位置跟蹤性能，當系統(tǒng)到達目標位置時，超程現(xiàn)象也得到了顯著改善。隨著工況的變化，加加速度、加速度和最大速度提高，系統(tǒng)快下運動階段的位置跟蹤性能依然表現(xiàn)得較為理想。由此可見，泵控液壓機電液伺服位置控制系統(tǒng)快下階段的控制精度經(jīng)摩擦前饋補償后得到了明顯的提高，證明了辨識出的LuGre摩擦模型對摩擦補償控制的有效性。

5 結論

對廣泛存在于機械系統(tǒng)中的摩擦現(xiàn)象進行了數(shù)學模型化分析，討論并分析了摩擦模型的數(shù)學特性。以能夠較為全面描述摩擦現(xiàn)象豐富特性的LuGre摩擦模型為基礎，通過遺傳算法對模型的6個未知參數(shù)進行識別，于此基礎上提出了一種非線性摩擦力觀測器，并對遺傳算法的有效性和LuGre摩擦模型的效果進行了驗證。仿真結果表明，遺傳算法下的LuGre摩擦模型中，靜態(tài)摩擦力的辨識值十分接近理論靜摩擦力數(shù)值，動態(tài)摩擦力的復雜特性得到了較為精確的復現(xiàn)；試驗結果也證明了參數(shù)辨識的有效性與非線性摩擦力觀測器的效果。