郝培德

(浙江省杭州學軍中學 310012)

作為一名教師，我們不僅要注重課堂教學，命制試卷也是我們的必修課.一份數(shù)學試卷的題目從難度上大致分成簡單題、中檔題、難題三個檔次.簡單題主要考查基本知識、基本技能等，目標在于考查學生對數(shù)學基礎知識的掌握程度，命制的時候可以從概念、技能本身出發(fā)；中檔題主要是對重難點知識的考查，主要從思想方法、計算技巧、知識整合能力等方面進行命制；難題主要考查學生的綜合能力，譬如分析能力、邏輯推理能力、知識遷移能力、計算能力等，在整張試卷中起到區(qū)分度的作用.試題的命制有兩類：改編和原創(chuàng)，現(xiàn)筆者通過介紹自己原創(chuàng)的一道導數(shù)壓軸題(第22題)的過程，淺談如何命制一道題目.具體過程分為以下五個步驟.

1 立意——考什么？

P·R·哈爾莫斯曾說過：“問題是數(shù)學的心臟.”所以在試卷命制過程中，考什么很重要.根據(jù)高三備考和選題要求，要緊抓教材內(nèi)容和考綱.在人教版導數(shù)章節(jié)前言中這樣寫道：導數(shù)定量地刻畫了函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)增減、變化快慢、最值等問題的基本方法.浙江省高考數(shù)學考綱中對導數(shù)部分的要求是：了解導數(shù)的概念和背景，理解導數(shù)的幾何意義；會計算基本初等函數(shù)及簡單的復合函數(shù)的導數(shù)；函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系；函數(shù)的極值與最值等.基于以上內(nèi)容決定本次命題以導數(shù)的幾何意義、單調(diào)性以及極值點為出題方向，再結(jié)合參變量的討論.

2 選擇模型——函數(shù)f(x)的形式

首先構(gòu)建以下函數(shù)模型：f(x)=ex-alnx、f(x)=ex+alnx，f(x)=aexlnx，這里可以用幾何畫板先把函數(shù)圖象畫出來，然后通過參數(shù)a的變化研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，但是這幾個函數(shù)圖象均未達到筆者所希望的要求(幾何畫板演示部分省略)，所以重新構(gòu)造函數(shù)：f(x)=aex-xlnx(a>0)，函數(shù)圖象如圖1，圖2：

圖1

圖2

參數(shù)a在變化的時候，函數(shù)f(x)的圖象可在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，也可在定義域內(nèi)有兩個極值點，這就為我們研究函數(shù)性質(zhì)提供多種可能，所以就選定此函數(shù)為本題的函數(shù)模型.

3 問題設置

根據(jù)初始所定的考點設置問題，首先確定本題有三問，難度層層遞進：第一小問設定為求切線方程(考查學生求導能力及導數(shù)的幾何意義，屬于簡單題)；第二小問設定根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)a的范圍(考查函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關系，以及關于含參恒成立問題，屬于中檔題)；第三小問設定討論參數(shù)a與函數(shù)f(x)的極值點或者零點之間的關系(考查學生數(shù)學推理的綜合能力，屬于難題).這樣設定難易梯度既考慮到壓軸題要讓大部分學生能做的同時又可以體現(xiàn)區(qū)分度．

第一小問和第二小問在下一步驟再展示給大家，這里主要展示第三問成型的過程：

由圖1可知存在參數(shù)a使得函數(shù)f(x)有兩個極值點：xM和xN．

依據(jù)幾何畫板作圖，參數(shù)a取值變化影響兩個極值點的大小，但是我們可以得到如下不等式：

若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有兩個極值點x1，x2(x1

當參數(shù)a小于某個值時，函數(shù)f(x)有兩個零點，具體如圖1：xD和xE．

根據(jù)參數(shù)a以及兩個極值點和兩個零點的大小我們可以得到如下不等式：

利用參數(shù)a的變化以及相應零點和極值點的大小可以構(gòu)造出很多不等式，但是構(gòu)造的不等式證明的可行性需要研究，并不是所有構(gòu)造出來的不等式都可以順利證明．同時也因為筆者能力有限，構(gòu)造出來的不等式，憑借數(shù)學直覺是對的，但是無法給出具體證明．通過對上面不等式證明的可行性探究，最后形成下面考題．

4 題目成型

題目已知函數(shù)f(x)=aex-xlnx(a>0).

(1)若a=1，求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；

解析(1)f′(x)=ex-lnx-1，f′(1)=e-1,f(1)=e， 所以函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程是：y=(e-1)x+1.

(2)由題知f′(x)=aex-lnx-1，因為a>0，所以當x→+∞時，f′(x)→+∞，所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，即f′(x)≥0恒成立.

下面證明：

所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

5 過程反思

命制題目有以下四個步驟：立意→確定模型→問題設置→題目成型.在命制過程中可利用一些軟件，譬如幾何畫板或者GeoGebra軟件作圖，尤其是函數(shù)問題，畫出圖象會更直觀地感知函數(shù)的性質(zhì)，方便設置題目.當然在命制題目時可以選擇改編，這樣就可以省掉一些步驟.關于本題也有些許遺憾，第三問不等式的設置起點高，讓一些優(yōu)秀的學生無從下手，這樣導致全對的同學偏少，同時學生剛剛完成一輪復習，大部分學生對函數(shù)的理解還不深刻，對數(shù)學基本方法和技巧應用的不熟練，如果這道題目放到二輪復習階段進行測試，結(jié)果會好一些.

作為一線數(shù)學教師，我們不僅要會做題、會教書，同時也要根據(jù)學生的特點去命題.平時教學中我們常常教導學生要揣測命題人的意圖，那么我們教師也可以轉(zhuǎn)換角色作為命題人，在講解問題時可以全面地教導學生思考每一個問題的意圖.誠如著名數(shù)學家Jacobi把數(shù)學比喻成畫家或者詩人的創(chuàng)作一樣——是思想的綜合.教師所精心命制的每一道數(shù)學題，也是我們的杰作，是我們教師對學生的認知和教學內(nèi)容的有機結(jié)合.