譚彬彬，金華，劉爽，陳紹寬

(1.北京交通大學(xué) 綜合交通運(yùn)輸大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)交通運(yùn)輸行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044；2.北京交通大學(xué) 中國(guó)綜合交通研究中心，北京 100044)

目前，關(guān)于城市軌道交通列車運(yùn)行組織優(yōu)化模型的研究通常借助最小折返時(shí)間代替折返進(jìn)路組織的安排[1-2]，列車在折返站內(nèi)的作業(yè)過程猶如一個(gè)“黑箱”。隨著線路高峰小時(shí)斷面客流的持續(xù)增加，發(fā)車間隔不斷壓縮至最小，在傳統(tǒng)列車運(yùn)行圖編制的過程中考慮折返進(jìn)路的占用，可以進(jìn)一步壓縮折返間隔，提高折返效率。大小交路運(yùn)營(yíng)模式由于列車折返作業(yè)辦理頻繁，考慮折返進(jìn)路排列對(duì)提高線路通過能力更具意義[3]。國(guó)內(nèi)外關(guān)于列車運(yùn)行組織優(yōu)化的研究主要集中在時(shí)變客流需求下的非周期列車運(yùn)行圖，但模型中關(guān)于列車折返接續(xù)、車底運(yùn)用的約束設(shè)置得較為簡(jiǎn)單[4-6]。姚宇等[1,7-9]針對(duì)列車折返接續(xù)過程僅考慮了折返時(shí)間的限制和車次間的接續(xù)匹配。關(guān)于折返間隔計(jì)算的文獻(xiàn)較多，但多數(shù)學(xué)者是通過典型的數(shù)學(xué)歸納法、圖解法進(jìn)行實(shí)例分析和評(píng)估，提出提高折返效率的可實(shí)施措施。王俊鋒[10]對(duì)典型站后折返站的單線折返和雙線交替折返方式進(jìn)行了詳細(xì)的折返間隔計(jì)算；徐意[11]推導(dǎo)了列車折返時(shí)間與折返間隔之間的相互關(guān)系；王瀟驍?shù)萚12]分析了影響站后雙折返線折返站折返能力的關(guān)鍵因素；陳垚等[13]以站后雙折返線折返站為例，闡述了接車進(jìn)路的安全區(qū)段不同延伸長(zhǎng)度情況下的單線折返過程。僅有少數(shù)文獻(xiàn)對(duì)折返組織過程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，且通常是在給定列車到發(fā)時(shí)刻的前提下進(jìn)行研究，如JIANG等[14-15]基于N-track理論構(gòu)建相關(guān)模型。折返站能力計(jì)算通常獨(dú)立分析，未考慮列車時(shí)刻表與折返間隔的相互影響。鑒于此，本文在不考慮客流因素的前提下，對(duì)典型站前、站后折返站型的折返過程進(jìn)行建模，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了運(yùn)營(yíng)高峰時(shí)期考慮折返進(jìn)路占用的大小交路列車運(yùn)行組織優(yōu)化模型。

1 問題描述

考慮有N個(gè)車站且具備開行大小交路列車條件的城市軌道交通線路，如圖1所示。車站n是中間折返站，車站1及車站n后方通過出入段線相連車輛段。在站1和站N之間開行大交路，在站N和站n之間開行小交路，不考慮嵌套交路等情況。

圖1 大小交路模式下的城市軌道交通線路示意圖Fig.1 Urban rail transit line under the full-length and short-turn routingmode

研究問題可描述為：在已知大小交路形式和發(fā)車比例的前提下，考慮不同折返方式，通過調(diào)整列車在各站點(diǎn)的到發(fā)時(shí)刻以及對(duì)折返站軌道資源的占用情況進(jìn)行運(yùn)行圖通過能力的優(yōu)化。模型假設(shè)線路所屬車底數(shù)量有限、技術(shù)參數(shù)相同且車輛段能力充足。此外由于中間普通站的到發(fā)時(shí)刻不影響通過能力，為簡(jiǎn)化求解，僅考慮折返站的到發(fā)時(shí)間，普通站的停站時(shí)間與站間運(yùn)行時(shí)間約束將整合為折返站間的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間約束。

后續(xù)建模涉及的符號(hào)定義如表1所示。表中僅列出上行車次相關(guān)的符號(hào)，下行車次符號(hào)與上行類似。

表1 參數(shù)、變量定義Tab le 1 Definition of parametersand variables

2 基于累積0-1變量的折返組織建模

依據(jù)T?RNQUIST等[16]提出的N-track理論，對(duì)較為典型的站前交叉渡線折返站和站后雙折返線折返站進(jìn)行建模，區(qū)域劃分如圖2和圖3所示，其中交叉渡線與折返線視為雙向通行的軌道，其余軌道單向通行，通行方向如圖中箭頭標(biāo)記所示。對(duì)所有軌道依次標(biāo)號(hào)，渡線區(qū)域的軌道記為折 返 線 區(qū) 域 的 軌 道 記 為則 站 前“直進(jìn)側(cè)出”折返方式的折返路徑為：，“側(cè) 進(jìn) 直 出”的 折 返 路 徑 為：。站后折返路徑以此類推。

圖2 典型站前交叉渡線折返站區(qū)域劃分Fig.2 A rea division for typical station w ith crossovers located in frontof the platform

圖3 典型站后雙折返線折返站區(qū)域劃分Fig.3 A rea division for typical station w ith crossovers located behind the platform

折返組織建模主要需要解決折返軌道占用相容性約束以及折返路徑選擇約束。前者保證軌道占用不產(chǎn)生沖突，后者保證每個(gè)車次選擇一條折返路徑，且該路徑的占用符合作業(yè)要求。

2.1 折返軌道占用相容性約束

根據(jù)折返組織過程，任意時(shí)刻，每條折返線及整個(gè)渡線區(qū)域只能被一列列車占用。據(jù)此可以分別定義折返線占用相容性約束和渡線區(qū)域軌道占用相容性約束。為方便表達(dá)這兩類約束，本文假設(shè)：當(dāng)某上行車次iup與某下行車次idown在折返站N的某一折返線λN上接續(xù)時(shí)，整個(gè)折返過程都視為上行車次走行的一部分，記錄到上行車次的時(shí)刻表中。下行方向類似。

采用累積0-1變量表示車次i到達(dá)和離開折返線軌道λ的時(shí)刻，首先要對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散化，再引入變量ai,λ,t和di,λ,t分別表示車次i在t時(shí)刻是否已經(jīng)到達(dá)和離開折返線軌道λ。借助變量ai,λ,t，di,λ,t和中間變量yi,λ,t即可表示車次i對(duì)軌道λ的時(shí)間占用，如圖4所示。中間變量yi,λ,t表示車次i在t時(shí)刻是否占用λ。yi,λ,t與ai,λ,t，di,λ,t之間的計(jì)算關(guān)系如式(1)所列。

圖4 車次對(duì)折返線軌道資源的占用時(shí)長(zhǎng)示意圖Fig.4 Illustration of train’soccupation duration of turn-back track

車次i到達(dá)和離開軌道λ的時(shí)刻ai,λ，di,λ可以由ai,λ,t，di,λ,t計(jì)算得到，如式(2)和式(3)所列。式中，T表示運(yùn)行圖編制的總時(shí)間，acc表示時(shí)刻t的離散粒度。故軌道占用相容性約束可表達(dá)如式(4)所列。

2.2 折返路徑選擇約束

對(duì)于每個(gè)折返站一般都有2種折返路徑，用和分別表示車次i是否采用這2種路徑。式(5)保證了每個(gè)車次只選擇一條折返路徑，其中I為所有車次集合。

此外對(duì)每種折返路徑需單獨(dú)根據(jù)折返作業(yè)確定其路徑上軌道的占用時(shí)間。以站前折返方式下的“直進(jìn)側(cè)出”折返路徑為例，列車在各軌道資源的到發(fā)時(shí)刻之間存在由列車占用折返進(jìn)路作業(yè)決定的推算關(guān)系。令折返站的到發(fā)時(shí)刻為aiup,N,didown,N+1，據(jù)此可獲得列車占用折返線及渡線區(qū)域軌道的時(shí)間如圖5所示，其中和分別是列車在進(jìn)折和出折方向渡線區(qū)域軌道的最小作業(yè)時(shí)間。據(jù)此可依次得到該折返路徑對(duì)的占用時(shí)間約束如下，其中iup為上行方向車次，下行方向類似。

圖5 站前折返方式下列車折返進(jìn)路時(shí)空占用Fig.5 Space-time occupancy of train’s turn-back route under the ahead-station turn-backmode

1)進(jìn)折方向渡線區(qū)域軌道：

式(6)保證了進(jìn)折作業(yè)時(shí)間；式(7)保證車次要在離開進(jìn)折方向渡線區(qū)域軌道再進(jìn)入折返線。

2)折返線區(qū)域軌道：

式(8)和式(9)保證了折返線區(qū)域軌道占用時(shí)間要包含折返站的到發(fā)；式(10)保證了折返線的作業(yè)時(shí)間。

3)出折方向渡線區(qū)域軌道：

式(11)保證了出折作業(yè)時(shí)間；式(12)保證車次要在先離開折返線區(qū)域再進(jìn)入出折方向渡線區(qū)域軌道。

3 大小交路列車運(yùn)行組織優(yōu)化模型建立

3.1 目標(biāo)函數(shù)

從運(yùn)營(yíng)角度出發(fā)，模型的目標(biāo)設(shè)置為最小化列車運(yùn)行圖的周期時(shí)間，如式(13)所列，等價(jià)于最大化線路通過能力。式中aLdown,2N是一個(gè)完整周期內(nèi)下行末班車次到達(dá)終點(diǎn)站的時(shí)刻，d1up,1是上行首班車次離開起點(diǎn)站的時(shí)刻。

3.2 約束條件

模型主要考慮列車運(yùn)行、折返接續(xù)相關(guān)約束以及額外的一些約束。為簡(jiǎn)化表達(dá)，僅列出上行車次的各類約束，下行車次以此類推：

1)首班車運(yùn)營(yíng)時(shí)間約束。上、下行各交路的首班車次在起點(diǎn)站的發(fā)車時(shí)刻須確保在一個(gè)合理的范圍內(nèi)變化。

2)停站時(shí)間約束。由于列車在起終點(diǎn)站的停站時(shí)間包含在折返過程中，這里僅考慮大交路列車在中間折返站的停站時(shí)間。

3)區(qū)間運(yùn)行時(shí)間約束?？紤]折返站間列車運(yùn)行時(shí)間的范圍限制。

4)行車間隔約束。各行車方向上車次間到達(dá)、離開同一站臺(tái)的時(shí)刻需要大于等于最小間隔。

另外，對(duì)于中間折返站，若是站前折返站型，小交路列車在折返過程中會(huì)占用正線，如圖6所示，則還需加入折返列車與通過列車的發(fā)到間隔約束。

圖6 中間折返站列車行車間隔示意圖Fig.6 Illustration of trains'headway at intermediate turn-back station

5)接續(xù)唯一性約束。上、下行車次間的接續(xù)必須滿足唯一性要求。具體來講，對(duì)于折返站N，任意上行車次結(jié)束運(yùn)營(yíng)后必須與下行某一車次在某一條折返線上實(shí)現(xiàn)接續(xù)。這類約束是嚴(yán)格約束，即式(21)和式(22)左項(xiàng)等于1。

對(duì)于折返站1和n，由于連接車輛段，允許不被接續(xù)的車次，這類約束是寬松約束，上式左項(xiàng)小于等于1。

6)折返時(shí)間約束。當(dāng)2個(gè)行車方向的車次接續(xù)時(shí)，列車的折返時(shí)間需要滿足折返時(shí)間的范圍限制，具體的折返時(shí)間取值視折返站站型而定。

7)軌道占用相容性約束與占用開始和結(jié)束時(shí)間約束，詳見第2節(jié)。

8)累積0-1變量連續(xù)性約束。由累積0-1變量本身的性質(zhì)所決定，0-1序列后一時(shí)刻的取值大于等于前一時(shí)刻的取值，式中x是折返站任意折返線、渡線區(qū)域軌道的索引。

9)車底數(shù)量限制約束。由于線路所屬的車底數(shù)量有限，承擔(dān)車次任務(wù)的車底數(shù)量必須小于等于最大車底數(shù)。

綜上所述，考慮折返進(jìn)路占用的大小交路列車運(yùn)行圖優(yōu)化模型構(gòu)建完畢。

4 案例分析

4.1 參數(shù)設(shè)置

以虛擬線路數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)進(jìn)行算例驗(yàn)證。模型涉及的列車運(yùn)行、折返相關(guān)參數(shù)見表2和表3。其中σ為參考經(jīng)典折返間隔計(jì)算方法[10-11]得到的最小折返間隔，用作對(duì)比分析。模型借助Gurobi求解器進(jìn)行求解。

表2 模型基本參數(shù)取值Table 2 Basic parameters for themodel

表3 折返站基本參數(shù)取值Tab le 3 Basic parameters for the turn-back stations

4.2 考慮折返進(jìn)路占用的效果分析

構(gòu)建2種線路折返站布置形式：方案1設(shè)折返站N為站后雙折返線折返站，折返站1和折返站n為站后單折返線折返站；方案2設(shè)折返站N為站后雙折返線折返站，折返站n為站前單渡線折返站，折返站1為站后單折返線折返站。在大、小交路發(fā)車比例為1∶1的情況下進(jìn)行案例分析，其中本文優(yōu)化模型求得結(jié)果作為實(shí)驗(yàn)組，傳統(tǒng)基于折返間隔計(jì)算公式[7-8]推算的大小交路列車運(yùn)行圖作為對(duì)照組。

方案1結(jié)果如表4所列，采用本文優(yōu)化模型的實(shí)驗(yàn)組結(jié)果中的運(yùn)行圖周期時(shí)間較小，線路通過能力較大，且最小發(fā)車間隔相較對(duì)照組降低了15 s，這說明通過對(duì)折返進(jìn)路具體占用的考慮可以充分挖掘折返能力，提高運(yùn)行圖效率。

表4 方案1結(jié)果對(duì)比Table 4 Results comparison of case 1

方案2結(jié)果如表5所列，當(dāng)中間折返站為站前折返站時(shí)，實(shí)驗(yàn)組運(yùn)行圖可以壓縮小交路的發(fā)車間隔至145 s，相比對(duì)照組降低了30 s，線路通過能力每小時(shí)提高了4對(duì)，同樣提高了運(yùn)行圖效率。需要說明的是方案2和方案1的實(shí)驗(yàn)組均調(diào)整了車次接續(xù)，從而增加了部分車底，但未違反線路配屬最大車底數(shù)的限制。此外，對(duì)比方案1和方案2可以發(fā)現(xiàn)，中間折返站形式對(duì)開行大小交路列車的線路通過能力影響顯著：中間站為站前單渡線折返站的方案2的線路通過能力相較于中間站為站后雙折返線折返站的方案1，降低了33.3%。

表5 方案2結(jié)果對(duì)比Tab le 5 Results comparison of case 2

5 結(jié)論

1)基于累積0-1變量對(duì)典型站前折返站型和站后折返站型進(jìn)行了折返組織過程的數(shù)學(xué)建模。然后在此基礎(chǔ)上，從運(yùn)營(yíng)角度出發(fā)最大化線路通過能力，著重優(yōu)化列車折返進(jìn)路的排列，建立了大小交路運(yùn)營(yíng)模式下的考慮折返進(jìn)路占用的列車運(yùn)行組織優(yōu)化模型。

2)案例分析著重對(duì)考慮進(jìn)路占用的優(yōu)化模型與基于最小折返間隔的傳統(tǒng)模型進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明優(yōu)化模型求得的列車運(yùn)行圖具有較高的折返效率，驗(yàn)證了考慮折返進(jìn)路占用可進(jìn)一步壓縮列車折返間隔，提高線路的整體通過能力。

3)考慮到加入折返進(jìn)路排列的列車運(yùn)行組織優(yōu)化模型整體的復(fù)雜性，本文對(duì)模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化。該模型未考慮時(shí)變客流，未來可以嘗試引入時(shí)變斷面客流對(duì)發(fā)車間隔進(jìn)行同步優(yōu)化，同時(shí)目標(biāo)函數(shù)也可以從乘客的角度進(jìn)行設(shè)置。