江一夫，李四海，嚴(yán)恭敏，謝 波

（1. 西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，西安 710029；2. 西安航天精密機(jī)電研究所，西安 710100）

旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)由于其低成本、高效的誤差抑制機(jī)理和系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)方法，已經(jīng)發(fā)展成為長(zhǎng)航時(shí)高精度自主導(dǎo)航的核心關(guān)鍵技術(shù)[1-3]。但雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中尤其是基于實(shí)時(shí)隔離控制的混合式旋轉(zhuǎn)調(diào)制[4,5]過(guò)程中無(wú)法直接從原始慣性測(cè)量信息中準(zhǔn)確提取載體角速度和加速度等導(dǎo)航信息，但二者對(duì)于基于旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)的飛行控制以及基于載體系慣性測(cè)量的自主式行進(jìn)間對(duì)準(zhǔn)都是不可或缺的[6]。將旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣性導(dǎo)航信息轉(zhuǎn)換為與載體固聯(lián)的導(dǎo)航信息的過(guò)程也可稱為解調(diào)過(guò)程[7]。本文注重于原始慣性測(cè)量單元信息的解調(diào)，提出了一種以精確標(biāo)定慣性測(cè)量單元與內(nèi)外框時(shí)空關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)原始慣性測(cè)量信息解調(diào)的方法，目標(biāo)是將動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)慣性測(cè)量輸出等效為靜態(tài)物理殼體輸出，從外部角度來(lái)看，其對(duì)外輸出慣性測(cè)量信息與無(wú)旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的捷聯(lián)慣導(dǎo)一樣，但是內(nèi)部依然在實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)調(diào)制誤差自補(bǔ)償。

目前查閱到的文獻(xiàn)僅關(guān)注慣性測(cè)量與內(nèi)外轉(zhuǎn)軸之間安裝角的標(biāo)定方法。文獻(xiàn)[8]推導(dǎo)了固定轉(zhuǎn)位角度下由地理系方向余弦矩陣計(jì)算安裝角的公式，文獻(xiàn)[9]提出了薄殼算法對(duì)兩者之間安裝角進(jìn)行標(biāo)定；標(biāo)定精度與陀螺非正交安裝角的精度相當(dāng)；文獻(xiàn)[10]采用統(tǒng)一的卡爾曼濾波方法對(duì)慣性測(cè)量組合相對(duì)內(nèi)外轉(zhuǎn)軸的安裝角進(jìn)行了精確標(biāo)定。本文從內(nèi)外框坐標(biāo)系的定義出發(fā)，利用正反旋轉(zhuǎn)求取的轉(zhuǎn)軸方向矢量以及矢量之間的共面關(guān)系，提出了一種簡(jiǎn)單可靠且綜合考量了整圈所有角位置狀態(tài)的安裝角標(biāo)定方法。事實(shí)上，除安裝角這一空間關(guān)系外，轉(zhuǎn)軸的錐擺運(yùn)動(dòng)可能導(dǎo)致其循橢圓軌跡旋轉(zhuǎn)，測(cè)角信息不能反映真實(shí)的旋轉(zhuǎn)角度，因此需要同時(shí)對(duì)測(cè)角信息本身的不圓度誤差進(jìn)行標(biāo)定補(bǔ)償。另外，慣性測(cè)量單元與轉(zhuǎn)位測(cè)角之間存在小量時(shí)間不同步誤差，這對(duì)角加速旋轉(zhuǎn)過(guò)程的載體導(dǎo)航信息提取而言，可產(chǎn)生明顯的影響，因此進(jìn)一步對(duì)兩者之間時(shí)間不同步誤差進(jìn)行了精細(xì)化標(biāo)定和補(bǔ)償。

1 坐標(biāo)系定義

對(duì)于包含內(nèi)外旋轉(zhuǎn)框架的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)，定義三個(gè)陀螺的敏感軸分別為xg、yg和zg，定義三個(gè)加速度計(jì)的敏感軸為ax、ya和za，定義慣性測(cè)量坐標(biāo)系p、內(nèi)框坐標(biāo)系s、內(nèi)框零位坐標(biāo)系s0、外框坐標(biāo)系d系、殼體坐標(biāo)系b系，這些坐標(biāo)系的關(guān)系如圖1所示，其原點(diǎn)位于內(nèi)外框轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)。

圖1 坐標(biāo)系定義Fig.1 Coordinate frames definition

慣性測(cè)量坐標(biāo)系p：xp與陀螺敏感軸xg同向，yp位于xgyg平面上，并垂直于xp，zp與xp、yp成右手直角坐標(biāo)系。

內(nèi)框坐標(biāo)系s：zs與內(nèi)框轉(zhuǎn)軸重合，xs與慣性測(cè)量坐標(biāo)系xp軸在zs垂直平面的投影重合，ys與zs、sx構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。慣性測(cè)量坐標(biāo)系固聯(lián)于內(nèi)框架，跟隨其一起旋轉(zhuǎn)，兩者之間的小角度安裝矩陣可表示為。

內(nèi)框零位坐標(biāo)系s0：即內(nèi)框轉(zhuǎn)軸位于零位時(shí)的內(nèi)框坐標(biāo)系，設(shè)內(nèi)框轉(zhuǎn)角為α，則有。

外框坐標(biāo)系d：xd與外框轉(zhuǎn)軸重合，yd與內(nèi)框零位坐標(biāo)系ys0在轉(zhuǎn)軸xd垂直平面的投影重合，zd與xd、yd構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。內(nèi)框零位坐標(biāo)系與外框架固聯(lián)，跟隨外框一起旋轉(zhuǎn)，兩者之間的小角度安裝矩陣可表示為

載體坐標(biāo)系b：將外框軸在零位時(shí)的外框坐標(biāo)系定義為載體坐標(biāo)系。其與慣導(dǎo)系統(tǒng)物理殼體和載體固聯(lián)。當(dāng)外框轉(zhuǎn)角為β時(shí)，有：

導(dǎo)航坐標(biāo)系n，xn和yn軸位于當(dāng)?shù)厮矫?，且xn指東，yn指北，zn沿地垂線指上，即東北天地理坐標(biāo)系。

2 載體系慣性測(cè)量數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換計(jì)算方法

在慣性測(cè)量誤差已經(jīng)經(jīng)過(guò)精確標(biāo)定，即不會(huì)由于旋轉(zhuǎn)調(diào)制過(guò)程的正反旋轉(zhuǎn)、上下停駐等產(chǎn)生額外慣性測(cè)量誤差的基礎(chǔ)上，可以將慣性測(cè)量坐標(biāo)系角增量和速度增量解調(diào)還原到載體坐標(biāo)系，如式(3)所示。

其中， Δθp（tk）和表示慣性測(cè)量坐標(biāo)系角增量和速度增量，Δ θb（tk）和表示載體坐標(biāo)系角增量和速度增量，由測(cè)角信息計(jì)算得到。

式中，αk、αk-1、βk和βk-1為當(dāng)前采樣時(shí)刻與前一采樣時(shí)刻的內(nèi)外框測(cè)角信息。

可見(jiàn)，要實(shí)現(xiàn)慣性測(cè)量信息的精確解調(diào)和載體系導(dǎo)航信息的提取，關(guān)鍵在于小角度安裝矩陣和的精確標(biāo)定，以及轉(zhuǎn)位測(cè)角 kα和 kβ的實(shí)時(shí)準(zhǔn)確獲取。

3 慣性量與內(nèi)外轉(zhuǎn)軸時(shí)空關(guān)系的標(biāo)定

3.1 慣性測(cè)量單元與內(nèi)外轉(zhuǎn)軸安裝角標(biāo)定

慣性測(cè)量單元與內(nèi)外框安裝角，采用內(nèi)外框正反整周旋轉(zhuǎn)的標(biāo)定方式。首先鎖定外框，驅(qū)動(dòng)內(nèi)框正反整周旋轉(zhuǎn)，設(shè)正反轉(zhuǎn)陀螺原始輸出脈沖累加和分別為轉(zhuǎn)換到慣性測(cè)量坐標(biāo)系后為：

則內(nèi)框繞其zs旋轉(zhuǎn)軸單位矢量在慣性測(cè)量坐標(biāo)系的投影：

如圖2所示，根據(jù)內(nèi)框坐標(biāo)系定義，s系的xs軸為p系xp軸在zs軸垂直平面上的投影，故s系的zs軸、xs軸和p系的xp軸三軸共面，這一平面任意不共線兩個(gè)矢量的叉乘必然與這個(gè)平面垂直。取為其中一個(gè)矢量，沿xp軸的單位矢量為另一個(gè)矢量，則s系ys軸的單位矢量在p系的投影為：

圖2 慣性測(cè)量坐標(biāo)系、內(nèi)框坐標(biāo)系和內(nèi)框轉(zhuǎn)軸的關(guān)系Fig.2 Relationship of inertial-measurement frame,inner-frame and its rotating axis

根據(jù)右手法則，可以計(jì)算出xs軸在p系的投影矢量

由此可以得到慣性測(cè)量坐標(biāo)系p系到內(nèi)框坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣：

圖3 內(nèi)框零位坐標(biāo)系、外框坐標(biāo)系和外框轉(zhuǎn)軸的關(guān)系Fig.3 Relationship of start-point inner frame, outer-frame and its rotating axis

根據(jù)外框坐標(biāo)系定義，yd與內(nèi)框零位坐標(biāo)系ys0在轉(zhuǎn)軸xd垂直平面的投影重合，故d系的xd軸、yd軸和s0系的ys0軸三軸共面。因此有：

同理可得：

至此完成慣性測(cè)量單元與內(nèi)外轉(zhuǎn)軸安裝角關(guān)系標(biāo)定。

3.2 慣性測(cè)量與轉(zhuǎn)位測(cè)角不同步時(shí)間標(biāo)定

設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中tk采樣時(shí)刻的內(nèi)框轉(zhuǎn)位測(cè)角為 kα，內(nèi)框測(cè)角不同步時(shí)間為δtps，陀螺測(cè)量的tk時(shí)刻內(nèi)框坐標(biāo)系轉(zhuǎn)位角速度為由于內(nèi)框繞zs軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此有：

本質(zhì)上所有時(shí)刻的 αk-α0構(gòu)成一條轉(zhuǎn)位測(cè)角增量曲線，所有時(shí)刻的構(gòu)成一條慣性測(cè)量角增量曲線，兩條曲線是相似的，利用其相似平移原理可以求得兩者之間的時(shí)間不同步。因此將式(15)改寫(xiě)成最小二乘的形式，有：

同理，設(shè)外框轉(zhuǎn)位測(cè)角為 βk，外框測(cè)角不同步時(shí)間為δtpd，在內(nèi)框鎖緊，在外框正反旋轉(zhuǎn)過(guò)程中有，其相對(duì)地理系的旋轉(zhuǎn)角速率可以表示為：

求解慣性測(cè)量與外框不同步時(shí)間的最小二乘方程可以表示為：

利用正反旋轉(zhuǎn)過(guò)程中實(shí)時(shí)測(cè)角信息和陀螺測(cè)量信息可以建立遞推最小二乘方程實(shí)現(xiàn)慣性測(cè)量與內(nèi)外框轉(zhuǎn)位測(cè)角不同步時(shí)間δtps和δtpd的估計(jì)。

為了實(shí)現(xiàn)測(cè)角不同步時(shí)間的準(zhǔn)確補(bǔ)償，要求測(cè)角信息具有較高的采樣頻率。一般而言，慣性測(cè)量會(huì)延遲于轉(zhuǎn)位測(cè)角，不同步時(shí)間可能包含數(shù)個(gè)測(cè)角周期Δtα，且不是測(cè)角周期的整數(shù)倍。圖4以內(nèi)框?yàn)槔?，說(shuō)明了測(cè)角不同步時(shí)間的補(bǔ)償方法，其中 αk表示當(dāng)前時(shí)刻的內(nèi)框測(cè)角，表示 δtps/Δtα向下取整，保存n+1長(zhǎng)度滑動(dòng)窗口的測(cè)角信息αk-n～ αk，最小二乘估計(jì)出測(cè)角變化率kα，而經(jīng)延時(shí)補(bǔ)償后的慣性測(cè)量時(shí)刻點(diǎn)往往位于相鄰兩個(gè)測(cè)角采樣點(diǎn)中間，利用測(cè)角信息αk-n和測(cè)角變化率外推獲取當(dāng)前慣性測(cè)量時(shí)刻對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)位測(cè)角信息即：

圖4 慣性測(cè)量與轉(zhuǎn)位測(cè)角之間時(shí)間不同步誤差的補(bǔ)償方法Fig.4 Compensation method of time synchronization between inertial measurement and rotation angle measurement

式中 rem （δ tps,Δtα）表示不同步時(shí)間δtps對(duì)測(cè)角周期Δtα取余數(shù)。

3.3 轉(zhuǎn)位測(cè)角不圓度標(biāo)定

理論上，經(jīng)過(guò)安裝角和時(shí)間不同步誤差補(bǔ)償后，按照式(3)將原始慣性測(cè)量數(shù)據(jù)解調(diào)到載體系進(jìn)行慣性導(dǎo)航解算，當(dāng)載體保持靜止時(shí)，無(wú)論內(nèi)外框如何轉(zhuǎn)動(dòng)，其三維姿態(tài)角應(yīng)該保持不變。但實(shí)際中轉(zhuǎn)軸方向姿態(tài)角仍然存在一定的類三角函數(shù)波動(dòng)誤差，這是由于轉(zhuǎn)位機(jī)構(gòu)安裝間隙等原因，轉(zhuǎn)軸并非按照?qǐng)A形軌跡旋轉(zhuǎn)，測(cè)角信息不能反映真實(shí)的旋轉(zhuǎn)角度，需要對(duì)該誤差進(jìn)行補(bǔ)償。將該誤差擬合成式(20)所示諧波函數(shù)。

其中δψk表示內(nèi)框軸旋轉(zhuǎn)時(shí)載體系航向角波動(dòng)誤差，a0,a1,b1, … a6,b6為內(nèi)框測(cè)角不圓度各次諧波系數(shù)，表示經(jīng)過(guò)時(shí)間不同步補(bǔ)償?shù)膬?nèi)框測(cè)角，δkθ表示外框軸旋轉(zhuǎn)時(shí)載體系俯仰角波動(dòng)誤差，c0,c1,d1, … d6,d6為外框測(cè)角不圓度各次諧波系數(shù)，表示經(jīng)過(guò)時(shí)間不同步補(bǔ)償?shù)耐饪驕y(cè)角，利用轉(zhuǎn)位過(guò)程求得的實(shí)時(shí)慣性導(dǎo)航誤差和實(shí)時(shí)測(cè)角，采用遞推最小二乘方法可以實(shí)現(xiàn)各次諧波系數(shù)的估計(jì)。實(shí)時(shí)補(bǔ)償時(shí)，采用式(21)計(jì)算得到經(jīng)過(guò)不圓度誤差修正的內(nèi)框測(cè)角和外框測(cè)角。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

理論上，載體靜止條件下，原始慣性測(cè)量信息經(jīng)解調(diào)還原到載體系后，內(nèi)外框旋轉(zhuǎn)過(guò)程導(dǎo)航姿態(tài)應(yīng)該趨于平穩(wěn)，不存在波動(dòng)誤差，因此試驗(yàn)驗(yàn)證中以載體系導(dǎo)航解算姿態(tài)波動(dòng)誤差的大小來(lái)考核導(dǎo)航信息提取精度。如圖5所示，基于光纖陀螺雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)，按照內(nèi)框正反各一圈、外框旋轉(zhuǎn)到-180°、外框正反各一圈的流程采樣旋轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。其中光纖陀螺百秒標(biāo)準(zhǔn)差約為0.002 °/h(1σ)和加速度計(jì)百秒標(biāo)準(zhǔn)差約為20 μg(1σ)和轉(zhuǎn)位機(jī)構(gòu)測(cè)角精度2"(1σ)，采樣周期為1 ms，旋轉(zhuǎn)速度設(shè)定值為5 °/s。

圖5 驗(yàn)證試驗(yàn)中陀螺脈沖Fig.5 Gyro pulse in validation test

慣性測(cè)量與內(nèi)外框轉(zhuǎn)位測(cè)角的時(shí)間不同步誤差補(bǔ)償效果分別如圖6和圖7所示。從圖中可以看出，時(shí)間不同步誤差會(huì)造成旋轉(zhuǎn)過(guò)程姿態(tài)角的整體偏移，尤其是旋轉(zhuǎn)加減速階段，會(huì)造成所得載體系姿態(tài)角的突變，這在圖7第一個(gè)子圖中表現(xiàn)得尤為明顯。而經(jīng)過(guò)外框不同步時(shí)間補(bǔ)償后，如圖7第二個(gè)子圖所示，旋轉(zhuǎn)加減速階段的誤差突變消失，正反旋轉(zhuǎn)過(guò)程姿態(tài)誤差也趨于對(duì)稱，但仍存在與角度大小相關(guān)的姿態(tài)誤差，這里將其歸結(jié)為測(cè)角不圓度誤差。由于從圖6中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)內(nèi)框存在明顯的不圓度誤差，圖8中僅給出了相應(yīng)的外框測(cè)角不圓度誤差補(bǔ)償結(jié)果，補(bǔ)償后明顯消除了類三角函數(shù)的波動(dòng)誤差。

圖6 內(nèi)框測(cè)角時(shí)間不同步誤差補(bǔ)償前后的航向角Fig.6 Azimuth before and after compensation of inner-framework angle-measurement time-asynchronous

圖7 外框測(cè)角時(shí)間不同步誤差補(bǔ)償前后的俯仰角Fig.7 Pitch before and after compensation of outer-framework angle-measurement time-asynchronous

圖8 外框測(cè)角不圓度補(bǔ)償后的俯仰角Fig.8 Pitch after compensation of outer-framework non-circularity

最后在補(bǔ)償時(shí)間不同步誤差和測(cè)角不圓度誤差的基礎(chǔ)上，驗(yàn)證慣性測(cè)量與內(nèi)外轉(zhuǎn)軸之間安裝角關(guān)系的補(bǔ)償效果。當(dāng)忽略慣性測(cè)量與內(nèi)外轉(zhuǎn)軸安裝角，即認(rèn)為且=I3×3時(shí)，轉(zhuǎn)換到載體系的姿態(tài)和航向存在較大波動(dòng)，具體如圖9所示。經(jīng)過(guò)安裝角補(bǔ)償后姿態(tài)和航向如圖10所示，圖中可見(jiàn)，旋轉(zhuǎn)軸方向姿態(tài)角在旋轉(zhuǎn)過(guò)程存在峰峰值0.005 °的噪聲誤差，這與采樣周期和旋轉(zhuǎn)速率的乘積正好相當(dāng)，若要進(jìn)一步降低噪聲幅度，需要進(jìn)一步提升采樣頻率。

圖9 轉(zhuǎn)位安裝角補(bǔ)償前的載體系姿態(tài)角Fig.9 Body frame attitude before rotational installation angle compensation

圖10 轉(zhuǎn)位安裝角補(bǔ)償后的載體系姿態(tài)角Fig.10 Body frame attitude after rotational installation angle compensation

除去旋轉(zhuǎn)過(guò)程旋轉(zhuǎn)軸方向姿態(tài)角外，其他姿態(tài)角存在幅值約為0.001 °的毛刺狀隨機(jī)誤差，這是由于雙軸轉(zhuǎn)位機(jī)構(gòu)電鎖控制誤差和轉(zhuǎn)軸間隙導(dǎo)致的小量晃動(dòng)誤差。如果不考慮這些隨機(jī)誤差，經(jīng)誤差補(bǔ)償后，載體系姿態(tài)角基本處于穩(wěn)定狀態(tài)，波動(dòng)幅度小于0.001 °，實(shí)現(xiàn)了角速度測(cè)量信息到載體系的精確轉(zhuǎn)換。

值得說(shuō)明的是，圖10中結(jié)果是在精確標(biāo)定慣性測(cè)量參數(shù)的基礎(chǔ)上得到的，僅保證了原始慣性測(cè)量向載體系慣性測(cè)量的轉(zhuǎn)換精度達(dá)到0.001 °，隨著時(shí)間的推移，慣性測(cè)量參數(shù)必然發(fā)生變化，則彼時(shí)最終載體航姿提取精度取決于慣性測(cè)量單元本身的精度，而其轉(zhuǎn)換誤差仍然可以忽略不計(jì)。

5 結(jié) 論

基于全面、精細(xì)的誤差模型，本文提出了一種基于雙軸旋轉(zhuǎn)慣性測(cè)量信息解調(diào)的載體系進(jìn)行載體導(dǎo)航信息提取的方法。試驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的轉(zhuǎn)換方法能將旋轉(zhuǎn)調(diào)制過(guò)程中的載體航姿誤差控制在0.001 °以內(nèi)，實(shí)現(xiàn)了高精度的載體航姿信息提取。在工程應(yīng)用方面，旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)不但可以維持其長(zhǎng)航時(shí)高精度自主定位優(yōu)勢(shì)，也能為彈、車、艦等載體提供即時(shí)角速度信息和姿態(tài)、方位基準(zhǔn)信息。另外，載體航姿信息提取方法的應(yīng)用也能推動(dòng)旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)與里程計(jì)、測(cè)速儀等航位推算傳感器之間組合導(dǎo)航技術(shù)的發(fā)展，使更高精度自主導(dǎo)航成為可能。