陸凱華

(南京航空航天大學(xué)，江蘇 南京 210000)

1 引言

軌道交通是指運(yùn)營(yíng)車輛需要在特定軌道上行駛的一類交通工具或運(yùn)輸系統(tǒng)。地下軌道交通作為其中一種，因其便利、快捷的出行，以及帶來的經(jīng)濟(jì)發(fā)展，越來越受到城市發(fā)展的青睞。地下軌道交通具有典型且清晰的超網(wǎng)絡(luò)特征。選取具有代表特征的三個(gè)城市地下軌道交通線路及換乘站點(diǎn)，利用超網(wǎng)絡(luò)和超圖模型基本測(cè)度進(jìn)行對(duì)比分析，有利于從整體發(fā)現(xiàn)三大城市地下軌道交通建設(shè)的長(zhǎng)處和不足，并采取相應(yīng)改進(jìn)措施。

錢學(xué)森對(duì)于超網(wǎng)絡(luò)給出了一種嚴(yán)格的定義：具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無標(biāo)度中部分或全部性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)稱之為超網(wǎng)絡(luò)。超網(wǎng)絡(luò)中σ-代數(shù)、連通性、頂點(diǎn)度序列、拓?fù)浔孀R(shí)方及準(zhǔn)隨機(jī)圖也多得到了分析和研究[1-5]。

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，社會(huì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)也日益繁雜，網(wǎng)絡(luò)的分析也得到了多方面引用。如在球面、音樂網(wǎng)絡(luò)、車間通信、連桿機(jī)構(gòu)、災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)、企業(yè)網(wǎng)絡(luò)等方面。作為城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要部分，地下軌道交通得到很大的重視和發(fā)展，但一般都只是通過乘客量指標(biāo)等就地下軌道交通進(jìn)行分析規(guī)劃[6]，缺少整體網(wǎng)絡(luò)和定量定性分析。

由于在城市發(fā)展中具有引領(lǐng)作用，交通基礎(chǔ)設(shè)施在城市面積不斷擴(kuò)大、謀求新一輪發(fā)展的過程中已顯示出更為突出的重要性，而準(zhǔn)入門檻較高的城市軌道交通開始受到更多城市的青睞，也引發(fā)了中國(guó)大城市之間地下軌道交通的競(jìng)爭(zhēng)發(fā)展。未來，中國(guó)將共有43個(gè)城市開建地下軌道，處于地下軌道交通的高速發(fā)展期。本研究在一般網(wǎng)絡(luò)雖直觀，但不能反映網(wǎng)絡(luò)定量特征和特性的基礎(chǔ)上，選取中國(guó)目前地下軌道交通里程建設(shè)前三名的三大城市上海、北京、廣州進(jìn)行超網(wǎng)絡(luò)及超圖分析對(duì)比。并提出了地下軌道交通超圖及分割算法數(shù)學(xué)模型，提供了新的網(wǎng)路分析路徑。

2 地下軌道交通超網(wǎng)絡(luò)模型

截止2018年底，根據(jù)上海、北京、廣州城市地下軌道交通官網(wǎng)運(yùn)營(yíng)線路查詢：上海開通1 號(hào)、2 號(hào)、3 號(hào)等共16 條線路。北京開通1號(hào)、2號(hào)、4DX線等共21條線路。廣州開通1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)等共14條線路。

2.1 地下軌道交通邊-邊超網(wǎng)絡(luò)模型

一般超網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D按照地下軌道交通線路為點(diǎn)，線路之間有換乘站點(diǎn)即有連邊，建立邊-邊網(wǎng)絡(luò)模型。能反映實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的小世界特性和大聚類特性的簡(jiǎn)潔可視聚類圖。

地下軌道交通超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的基本假設(shè)如下：

(1) 線路網(wǎng)絡(luò)為無向網(wǎng)絡(luò)。

(2) 假定各線交集為1(包括交集點(diǎn)大于1)、無交集為0。

(3) 線路與線路之間為鄰接矩陣。

(4) 重疊線路和兩條線路只算一次換乘站點(diǎn)。

(5) 不考慮發(fā)車頻率的影響，將超網(wǎng)絡(luò)為非加權(quán)網(wǎng)絡(luò)。

(6) 不考慮站點(diǎn)間里程的長(zhǎng)短。建立地下軌道交通邊-邊超網(wǎng)絡(luò)模型矩陣：

ei(i=1，2…n)為第i條運(yùn)營(yíng)線路。n為各大城市目前運(yùn)行線路數(shù)量。aij為線路與線路之間相關(guān)性表示。

An×n=(en，en)為鄰接矩陣。顯示每條運(yùn)營(yíng)線路之間的兩兩關(guān)系中，當(dāng)線路與線路之間有換乘站點(diǎn)，aij取1，反之取0。線路自身之間不計(jì)相關(guān)性。

圖1(a)、(b)和(c)顯示上海地下軌道交通連邊最復(fù)雜，顯示線路之間連接比較緊密。北京地下軌道交通節(jié)點(diǎn)最多，顯示線路最多。但相對(duì)上海，線路之間交叉連接較小。廣州地下軌道交通線路和線路之間的連接都相對(duì)較少。同時(shí)三大城市都有線路外延，說明當(dāng)主城發(fā)展后，有向城市外圍發(fā)展擴(kuò)張的趨勢(shì)。地下軌道交通的發(fā)展也同三大城市的實(shí)際的城市發(fā)展相符合。

圖1 軌道交通超網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D

2.2 地下軌道交通點(diǎn)-點(diǎn)超網(wǎng)絡(luò)模型

點(diǎn)-邊超網(wǎng)絡(luò)模型以換乘站點(diǎn)和線路為節(jié)點(diǎn)，線路在該換乘站點(diǎn)換乘即有連邊，建立點(diǎn)-點(diǎn)超網(wǎng)絡(luò)模型。反映出實(shí)際網(wǎng)絡(luò)具體線路和換乘站的相關(guān)性。

地下軌道交通點(diǎn)-邊超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的基本假設(shè)如下：

(1) 換乘站-線路網(wǎng)絡(luò)為無向網(wǎng)絡(luò)。

(2) 假定各線交集為1(包括交集點(diǎn)大于1)、無交集為0。

(3) 換乘站與線路之間為鄰接矩陣。

(4) 一條線路中只選取換乘站與線路建立超網(wǎng)絡(luò)關(guān)系。

(5) 重疊線路的只算一頭一尾換乘站點(diǎn)。

(6) 不考慮發(fā)車頻率的影響，將超網(wǎng)絡(luò)為非加權(quán)網(wǎng)絡(luò)。

(7) 不考慮站點(diǎn)間里程的長(zhǎng)短。

圖2(a)、(b)和(c)顯示上海地下軌道交通有55 個(gè)換乘站北京地下軌道交通有61 個(gè)換乘站，廣州地下軌道交通有31個(gè)換乘站。北京地下軌道交通點(diǎn)-邊超網(wǎng)絡(luò)模型中連邊最復(fù)雜，顯示線路之間換乘比較頻繁。上海地下軌道顯示線路最多，換乘站點(diǎn)相對(duì)較少。廣州地下軌道交通換乘站最少。點(diǎn)-邊超網(wǎng)絡(luò)模型也同實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中北京地域大，地下軌道交通站間距較大相符合。

圖2 地下軌道交通點(diǎn)—邊超網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D

3 地下軌道交通超網(wǎng)絡(luò)基本測(cè)度

3.1 節(jié)點(diǎn)度

與節(jié)點(diǎn)v所有關(guān)聯(lián)的邊的關(guān)聯(lián)次數(shù)之和為節(jié)點(diǎn)v的節(jié)點(diǎn)度，又稱關(guān)聯(lián)度。當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)與其它節(jié)點(diǎn)無連接邊時(shí)，節(jié)點(diǎn)度為0。為表示度數(shù)為K的節(jié)點(diǎn)分布的概率，用概率P(k)來表示。所有節(jié)點(diǎn)的概率P(k)和為1。

由表1可知，上海節(jié)點(diǎn)度最高的為2號(hào)線，為13。北京節(jié)點(diǎn)度最高的為10號(hào)線，為12。廣州節(jié)點(diǎn)度最高的為2號(hào)線，為9。節(jié)點(diǎn)度最高的線路表示其在整個(gè)地下軌道網(wǎng)絡(luò)中最重要，工作最繁忙。三大城市最小節(jié)點(diǎn)度都為1，說明線路之間都有連接換乘。從地下軌道交通建設(shè)的進(jìn)程來分析，后建的線路一般都和已建線路相連接，從而導(dǎo)致先建線路一般連接線路最多，換乘也最繁忙。這也和實(shí)際建設(shè)相吻合。

表1 三大城市地下軌道交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度

由圖3 可知，可以看出各節(jié)點(diǎn)之間的連接狀況(度數(shù))具有嚴(yán)重的不均勻分布性。三大城市節(jié)點(diǎn)度的分布符合冪率分布，明顯的顯示出網(wǎng)絡(luò)的無標(biāo)度特性和嚴(yán)重的異質(zhì)性。

圖3 三大城市地下軌道交通節(jié)點(diǎn)度數(shù)分布示意圖

3.2 聚類系數(shù)

聚類系數(shù)是表示一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)聚集程度的系數(shù)。設(shè)在網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)vi相鄰的節(jié)點(diǎn)為K 個(gè)，則節(jié)點(diǎn)之間可能存在的連接邊數(shù)為k(k-1)/2。實(shí)際存在的連接邊數(shù)s 同可能連接邊數(shù)的比值即為節(jié)點(diǎn)vi的聚類系數(shù)Cvi，反映了局部特性。網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)v的聚類系數(shù)的平均值即為該網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)C，反映網(wǎng)絡(luò)的整體聚集特性。

其中：k表示節(jié)點(diǎn)vi的所有相鄰的節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。s表示節(jié)點(diǎn)vi的所有相鄰k個(gè)節(jié)點(diǎn)之間實(shí)際相互連接的邊的個(gè)數(shù)。

其中：Cvi表示節(jié)點(diǎn)vi的聚類系數(shù)。n為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)。vi為地下軌道交通的的第i條線路。所有的節(jié)點(diǎn)vi的個(gè)數(shù)即為所有運(yùn)營(yíng)線路。

通過表2 計(jì)算出，上海的地下軌道交通聚類系數(shù)最高，反映了在城市整體運(yùn)營(yíng)網(wǎng)絡(luò)中線路與線路之間的凝聚力最高。

表2 三大城市地下軌道交通網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)

3.3 特征路徑長(zhǎng)度

特征路徑長(zhǎng)度是反映網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間聯(lián)系路徑長(zhǎng)短特征的度量指標(biāo)。在網(wǎng)絡(luò)中，連通任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的最少邊數(shù)為這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度。網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的路徑長(zhǎng)度的平均值即為網(wǎng)絡(luò)的特征路徑長(zhǎng)度。相對(duì)聚類系數(shù)是網(wǎng)絡(luò)的局部特征，特征路徑長(zhǎng)度表征的是網(wǎng)絡(luò)的全局特征。

其中：L為網(wǎng)絡(luò)特征路徑長(zhǎng)度；n為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)；l{i，j}為節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j之間的距離。

從表3中可以看出，上海的地下軌道交通的特征路徑長(zhǎng)度最短，說明從一條運(yùn)營(yíng)線路換乘到另外一條運(yùn)營(yíng)線路的效率最高。北京的換乘效率相對(duì)較低，這也同北京面積較大，地下軌道交通線路向郊區(qū)發(fā)展一致的。

表3 三大城市地下軌道交通網(wǎng)絡(luò)特征路徑長(zhǎng)度

三大城市地下軌道交通線路之間特征路徑長(zhǎng)度小，聚合系數(shù)較高，符合小世界網(wǎng)絡(luò)特性。線路與線路之間聯(lián)系緊密，傳遞速度快。同時(shí)，也得出，對(duì)于目前三大城市地下軌道交通，可以很少的改變或者增加聯(lián)通線路，能顯著提高城市地下軌道交通的運(yùn)營(yíng)性能。

4 地下軌道交通節(jié)點(diǎn)-超邊超圖模型

定義超圖的邊為超邊，可以和任意個(gè)數(shù)的頂點(diǎn)連接。

假設(shè)V={v1，v2，…，vn}是一個(gè)有限集合，E={e1，e2，…，em}是V的一系列子集的集族。

如果ei≠(i=1，2，…，m)且∪ei=V(i=1，2，…，m)，

則認(rèn)為集族H=(V：e1，e2，…，em)是有限集V的一個(gè)超圖。

元素v1，v2，…，vn被稱為超圖的頂點(diǎn)。集合e1，e2，…，em都被稱為超圖的超邊，每一個(gè)超邊都是V的一個(gè)子集。E={e1，e2，…，em}則是超圖的超邊集合。

超圖的矩陣表達(dá)式為：

當(dāng)i=5，j=4時(shí)；超圖矩陣為：

建立地下軌道交通節(jié)點(diǎn)-超邊超圖模型矩陣。

ei(i=1，2，…，n)為第i條運(yùn)營(yíng)線路。vi(i=1，2，…，n)第i個(gè)換乘站點(diǎn)。n為各大城市目前運(yùn)行線路數(shù)量。m為各大城市目前運(yùn)行換乘站點(diǎn)數(shù)量。

Bn×n=(en，en)一般為非鄰接矩陣(n一般不等于m)，顯示每條運(yùn)營(yíng)線路與所有換乘站點(diǎn)之間的兩兩關(guān)系。當(dāng)換乘站點(diǎn)處于線路上時(shí)，bij取1，反之取0。

超網(wǎng)絡(luò)圖中，兩點(diǎn)vi和vj之間只能通過簡(jiǎn)單的連線，反映簡(jiǎn)單的關(guān)聯(lián)。相對(duì)超網(wǎng)絡(luò)圖，超圖的優(yōu)點(diǎn)在于超邊ei的連接不受特征集的影響，利用其特性能描述更多，即可以使具備不同特征的點(diǎn)集ej之間可以反映相互關(guān)聯(lián)性。同時(shí)對(duì)于有限集合的描述也比較自由，對(duì)于數(shù)據(jù)和特征點(diǎn)的分割就比較形象且理想，能很好的反映有限集合中的節(jié)點(diǎn)在整體中的位置及關(guān)系。

5 超圖基本測(cè)度及分割算法

5.1 節(jié)點(diǎn)超度

節(jié)點(diǎn)超度定義為在超圖G中，所有與節(jié)點(diǎn)v通過超邊關(guān)聯(lián)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為節(jié)點(diǎn)v的節(jié)點(diǎn)超度d(v)。

其中：d(v)為超圖G中的節(jié)點(diǎn)超度；v為超圖中節(jié)點(diǎn)；e為超圖中超邊。

在三大城市地下軌道交通運(yùn)營(yíng)線路超圖中，設(shè)換乘站點(diǎn)為超圖節(jié)點(diǎn)，線路為超邊。

表4中，上海地下軌道交通的平均節(jié)點(diǎn)超度最高。說明換乘站之間的連接最緊密，線路之間的換乘也最快捷方便。上海節(jié)點(diǎn)超度最高的是世紀(jì)大道站為37，最低的是莘莊站為10。北京最高是宋家莊站為30，最低是閻村東站為5。廣州最高是嘉禾望崗站為22，最低是鎮(zhèn)龍站為3。上海地下軌道交通的線路之間換乘站節(jié)點(diǎn)超度最高站點(diǎn)和最低站點(diǎn)都較其它兩城市高較多，線路之間的的利用率也較高。

表4 三大城市地下軌道超圖網(wǎng)絡(luò)模型節(jié)點(diǎn)超度

5.2 超邊度

超邊度定義為在超圖G中，所有與超邊ei相互關(guān)聯(lián)的超邊個(gè)數(shù)之和為超邊ei的超邊度δ(ei)。它的意義是能反映該超邊與其它超邊的關(guān)聯(lián)的緊密度。

其中：δ(ei)為超圖的超邊度；ei為超圖的超邊。

表5 中，北京地下軌道交通的超邊度最高，說明線路之間的連接度最高。上海超邊度最高的是12號(hào)線為4，最低的是5號(hào)線為1。北京最高的是10號(hào)線為10，最低的是16號(hào)線和三條城際線為1。廣州最高的是2 號(hào)線為8，最低的是9，13，21 號(hào)線為1。其中北京地下軌道交通單邊超邊度最高，說明10號(hào)線為環(huán)線，主要承載多條線路連接和換乘功能。

表5 三大城市地下軌道超圖網(wǎng)絡(luò)模型超邊度

5.3 超邊權(quán)重

超邊的權(quán)值是顯示該超邊在整體網(wǎng)絡(luò)中作用大小的參數(shù)。在地下軌道交通網(wǎng)絡(luò)中即指線路所含的換乘站點(diǎn)的多少。線路中含的換乘站越多，權(quán)重越大。該線路在整體地下軌道交通網(wǎng)絡(luò)中的作用就越重要。

其中：D超圖超邊的權(quán)值；v為超圖中節(jié)點(diǎn)。

三大城市中，上海地下軌道交通超圖中超邊權(quán)重最大的為4、12 號(hào)線，所含換乘站點(diǎn)為13 個(gè)。北京超圖中超邊權(quán)重最大的為10 號(hào)線，所含換乘站點(diǎn)為17 個(gè)。廣州超圖中超邊權(quán)重最大的為3號(hào)線，所含換乘站點(diǎn)為12個(gè)。

5.4 超圖分割算法

對(duì)于多數(shù)超圖，都是由大量繁雜的數(shù)據(jù)所組成。超圖的分割算法就是將大型的超圖按照特定的屬性分割成相對(duì)較小的小型超圖進(jìn)行分析計(jì)算。

對(duì)于城市地下軌道交通超圖網(wǎng)絡(luò)，運(yùn)用聚類概念對(duì)其進(jìn)行分割。分成n個(gè)子圖分別進(jìn)行定量計(jì)算，然后再對(duì)n個(gè)子圖重新組合聯(lián)結(jié)形成原超圖的整體計(jì)算結(jié)果。

6 結(jié)束語

目前對(duì)地下軌道交通的分析多數(shù)建立在一般網(wǎng)絡(luò)和簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上的分析研究。一般網(wǎng)絡(luò)雖直觀，但具有不能反映網(wǎng)絡(luò)定量特征和特性的缺點(diǎn)。通過超網(wǎng)絡(luò)和超圖算法在地下軌道交通分析上的運(yùn)用，能更好，更定量反映地下軌道交通的特征，彌補(bǔ)了一般網(wǎng)絡(luò)分析的不足。本文運(yùn)用超網(wǎng)絡(luò)及超圖對(duì)中國(guó)目前地下軌道交通里程建設(shè)前三名的三大城市上海、北京、廣州進(jìn)行了分析對(duì)比。其中北京地下軌道交通線路連接度最高。上海地下軌道交通的換乘站點(diǎn)連接最緊密。廣州地下軌道交通應(yīng)增加相應(yīng)環(huán)線，提高換乘便利和線路利用率。從而為三大城市后續(xù)地下軌道交通的建設(shè)提出了優(yōu)化方向。分析結(jié)果表明三大城市地下軌道交通正處于發(fā)展期，建設(shè)的進(jìn)度及分布同各城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展板塊和人口分布特征相吻合。同時(shí)本文提出了地下軌道交通超圖超邊的權(quán)重設(shè)置及分割算法，提供了新的網(wǎng)路分析路徑。未來可將超圖分析運(yùn)用到高鐵、航空等領(lǐng)域，對(duì)其整體規(guī)劃布置提出方向性分析數(shù)據(jù)。