于 洋, 吳 峰, 王 巍

(遼寧工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，錦州 121001)

0 引言

永磁同步電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高、效率高，已廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人、半導(dǎo)體制造系統(tǒng)和機(jī)床加工等領(lǐng)域中[1]。永磁同步電動(dòng)機(jī)是一個(gè)典型的非線性、多變量、強(qiáng)耦合系統(tǒng)，導(dǎo)致傳統(tǒng)的矢量控制方法往往不能滿足要求。文獻(xiàn)[2]基于反饋線性化設(shè)計(jì)，將反步遞推控制應(yīng)用于永磁同步電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)，但是控制算法忽略了參數(shù)變化和外部負(fù)載擾動(dòng)等不確定因素對(duì)控制性能的影響。為此，一些先進(jìn)的控制方法，包括自適應(yīng)控制、自抗擾控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制等應(yīng)用到永磁同步電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)的控制中[3–7]。

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)/模糊邏輯系統(tǒng)具有對(duì)非線性系統(tǒng)辨識(shí)和建模能力，因此基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)/模糊邏輯系統(tǒng)的智能自適應(yīng)控制，不依賴于控制對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，適應(yīng)性和魯棒性好，適用于解決永磁同步電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)的控制問題[8–9]。文獻(xiàn)[10]提出了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步遞推控制方法，能夠克服不確定性因素對(duì)伺服系統(tǒng)控制性能的影響。文獻(xiàn)[11–12]利用模糊邏輯系統(tǒng)在線估計(jì)和補(bǔ)償未知函數(shù)，提出了基于自適應(yīng)模糊反步遞推的位置跟蹤控制方法。文獻(xiàn)[13]基于反步遞推控制設(shè)計(jì)，提出了自適應(yīng)模糊轉(zhuǎn)速跟蹤控制算法。然而，文獻(xiàn)[10–13]提出的控制算法需要對(duì)虛擬控制信號(hào)反復(fù)求導(dǎo)，會(huì)出現(xiàn)“復(fù)雜性爆炸”問題。針對(duì)此問題，文獻(xiàn)[14–15]通過引入濾波器估計(jì)虛擬控制信號(hào)的導(dǎo)數(shù)，提出了基于濾波器的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法，克服了反步遞推控制設(shè)計(jì)中存在的“復(fù)雜性爆炸”問題。然而，上述自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)/模糊控制算法在控制設(shè)計(jì)中存在代數(shù)環(huán)問題，這在控制設(shè)計(jì)中是不允許的[16]。綜合上述分析，本文擬針對(duì)考慮參數(shù)變化和外部負(fù)載擾動(dòng)的永磁同步電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)，提出一種新型自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法。與現(xiàn)有研究結(jié)果相比，本文主要?jiǎng)?chuàng)新如下：

1) 應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)的本質(zhì)特征，在控制設(shè)計(jì)中引入補(bǔ)償項(xiàng)，解決現(xiàn)有基于反步遞推的電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)中存在的代數(shù)環(huán)問題；

2) 采用動(dòng)態(tài)面控制技術(shù)設(shè)計(jì)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法不僅可以克服不確定性因素對(duì)系統(tǒng)性能的影響，而且控制器結(jié)構(gòu)簡單，可以提高電動(dòng)機(jī)位置伺服系統(tǒng)跟蹤誤差的收斂速度。

1 問題描述

1.1 永磁同步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型

在假設(shè)磁路不飽和、忽略磁滯、渦流損耗的影響、空間磁場呈正弦分布的條件下，永磁同步電動(dòng)機(jī)在d–q坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為

式中id和iq為定子繞組d–q軸電流，θ和ω分別為電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角和角速度，ud和uq為定子繞組d–q軸電壓，是系統(tǒng)的控制輸入。其它參數(shù)定義如下：

1)Ld和Lq為定子繞組直、交軸電感；

2)np為電機(jī)極對(duì)數(shù)，?f為轉(zhuǎn)子永磁體產(chǎn)生的磁勢，Rs為定子電阻；

3)J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，B為摩擦系數(shù)，TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

定義x1=θ,x2=ω,x3=iq,x4=id，則永磁同步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型可以表示為

式中

注意到，上述模型中f1(·)包含狀態(tài)變量x3和x4，f2(·)包含狀態(tài)變量x4。因此，模型(2)屬于非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)。若采用傳統(tǒng)的反步遞推控制設(shè)計(jì)方法，會(huì)存在代數(shù)環(huán)問題。控制目標(biāo)：對(duì)于永磁同步電動(dòng)機(jī)位置伺服系統(tǒng)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，使其位置輸出能夠跟蹤給定的位置參考信號(hào)xr。假設(shè)給定的位置信號(hào)二階可導(dǎo)，且各階導(dǎo)數(shù)有界。

1.2 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

由于電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、摩擦系數(shù)、負(fù)載轉(zhuǎn)矩、定子電阻在運(yùn)行過程中會(huì)發(fā)生變化，不容易測量。因此，模型(2)中f1(·)、f2(·)、f3(·)均為不確定非線性函數(shù)。本文利用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線辨識(shí)不確定非線性函數(shù)，對(duì)于任意定義在緊致集合內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)，均可以表示為

式中W?∈Rl是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理想權(quán)值向量，S(x) = [S1(x),S2(x),···,Sl(x)]∈Rl是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)，?為最小逼近誤差，l是神經(jīng)元個(gè)數(shù)。S(x)通常選取為高斯函數(shù)其中χh ∈Rn,υh(h= 1,2,···,l)是高斯函數(shù)的中心點(diǎn)和寬度。由上式可以得到ST(x)

S(x)≤l。

根據(jù)Stone Weierstrass 逼近定理[17]：在緊致集合內(nèi)，對(duì)于任意小的?，一定存在足夠大的l?，使得W?TS(x)能夠以任意精度逼近函數(shù)f(x)。因此，模型(2)中的非線性函數(shù)f1(·)、f2(·)、f3(·)可以利用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行逼近，具體可以表示為

2 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制設(shè)計(jì)

本節(jié)在反步遞推設(shè)計(jì)框架下，針對(duì)模型(2)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)面控制算法，實(shí)現(xiàn)電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)的位置跟蹤控制，具體設(shè)計(jì)過程如下。

步驟1定義跟蹤誤差s1=x1?xr，由模型(2)得到

設(shè)計(jì)第一個(gè)虛擬控制器

式中k1>0 是設(shè)計(jì)參數(shù)。

選取Lyapunov 函數(shù)

對(duì)其求導(dǎo)，并將(6)式和(7)式代入，得到

避免對(duì)虛擬控制器反復(fù)求導(dǎo)，產(chǎn)生“復(fù)雜性爆炸”問題，引入濾波器[18]

式中τ1>0 是濾波器的時(shí)間常數(shù)。

步驟2選取誤差變量s2=x2?ˉx2d，由(2)式、(5)式、(10)式，得到

若按照傳統(tǒng)的反步遞推控制設(shè)計(jì)，虛擬控制器將被設(shè)計(jì)為

式中k2>0 是設(shè)計(jì)參數(shù)，W1是的估計(jì)。

注意到，(12)式中包含狀態(tài)變量x3和x4(步驟2 的虛擬控制器設(shè)計(jì)只能利用狀態(tài)變量x1和x2)。因此，虛擬控制器x3d的設(shè)計(jì)存在代數(shù)環(huán)問題，這在控制設(shè)計(jì)過程中是不允許的。

為避免控制設(shè)計(jì)中存在的代數(shù)環(huán)問題，選取Lyapunov 函數(shù)(13)進(jìn)行虛擬控制器設(shè)計(jì)

由Young’s 不等式，可得

式中ρ>0 是設(shè)計(jì)參數(shù)。

由(14)式和(15)式，可以得到

將虛擬控制器設(shè)計(jì)為

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為

式中σ1>0, ˉσ1>0 是設(shè)計(jì)參數(shù)。

由(17)式和(18)式可以看出，本文通過引入與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值模相關(guān)的自適應(yīng)參數(shù)設(shè)計(jì)虛擬控制器x3d，使其僅與狀態(tài)變量x1和x2相關(guān)，避免了(12)式中存在的代數(shù)環(huán)問題。由(16)～(18)式，可以得到

避免對(duì)虛擬控制器反復(fù)求導(dǎo)，引入一階濾波器

式中τ2>0 是濾波器的時(shí)間常數(shù)。

步驟3選取誤差變量s3=x3?，由(2)式、(5)式、(20)式，得到

若按照傳統(tǒng)反步遞推控制設(shè)計(jì)uq，仍存在代數(shù)環(huán)問題。因此，選取Lyapunov 函數(shù)

類似于步驟2 的設(shè)計(jì)過程，利用Young’s 不等式，上式可以表示為

選取實(shí)際控制器uq如下

式中k3>0 是設(shè)計(jì)參數(shù)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為

式中σ2>0,>0 是設(shè)計(jì)參數(shù)。

由(25)式和(26)式可以看出，本文設(shè)計(jì)的虛擬控制器uq僅與狀態(tài)變量x1、x2、x3相關(guān)，避免了代數(shù)環(huán)問題。由(24)～(26)式，可以得到

步驟4定義誤差變量s4=x4，由(2)式和(5)式，得到

選取Lyapunov 函數(shù)

對(duì)上式求導(dǎo)，得到

選取實(shí)際控制器ud如下

式中k4>0 是設(shè)計(jì)參數(shù)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為

式中σ3>0 是設(shè)計(jì)參數(shù)。

由(30)～(32)式，可以得到

3 穩(wěn)定性分析

基于本文提出的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)面控制算法，永磁同步電動(dòng)機(jī)位置伺服系統(tǒng)的穩(wěn)定性由下面的定理給出。

定理1對(duì)于永磁同步電動(dòng)機(jī)位置伺服系統(tǒng)，在虛擬控制器(7)、(17)和實(shí)際控制器(25)、(31)作用下，并將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為(18)、(26)、(32)，則閉環(huán)伺服系統(tǒng)所有信號(hào)一致最終有界，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角能夠跟蹤給定參考信號(hào)且跟蹤誤差收斂到零點(diǎn)的極小鄰域內(nèi)。

選取如下Lyapunov 函數(shù)

由一階濾波器(10)和(20)，可以推導(dǎo)出

其中

定義緊致集合

式中q0>0,p>0。因此M1(·)、M2(·)在緊致集?1×?2上是有界的，上界記為M1b、M2b。

對(duì)(34)式求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，并將(9)式、(22)式、(27)式、(33)式、(35)式代入，得到

利用Young’s 不等式，上述不等式可以進(jìn)一步表示為

式中η1>0,η2>0 是設(shè)計(jì)參數(shù)。選取設(shè)計(jì)參數(shù)，使其滿足

定義

則上述不等式表示為

求解上面積分不等式，得到

當(dāng)t →∞時(shí)，|s1|≤，而且通過調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)參數(shù)，可以使跟蹤誤差(x1?xr)收斂到零點(diǎn)的極小鄰域內(nèi)。

4 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)驗(yàn)證本文提出的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)面位置跟蹤控制算法的有效性。設(shè)置永磁同步電動(dòng)機(jī)的參數(shù)為[1]

控制算法的設(shè)計(jì)參數(shù)選取為

每個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)選取5 個(gè)神經(jīng)元，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的初始條件設(shè)置為零，給定位置參考信號(hào)xr=sin(2t)rad。

仿真結(jié)果如圖1 至圖6 所示。永磁同步電動(dòng)機(jī)的位置跟蹤效果如圖1 所示，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)系統(tǒng)不確定性的逼近效果如圖2 至圖4 所示，系統(tǒng)控制輸入uq和ud如圖5 和圖6 所示。由仿真結(jié)果可以看出，本文提出的控制算法能夠保證永磁同步電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)準(zhǔn)確快速地實(shí)現(xiàn)位置跟蹤控制，并且所設(shè)計(jì)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠很好地補(bǔ)償伺服系統(tǒng)的不確定性。將本文所提控制算法與文獻(xiàn)[11]中的控制算法相對(duì)比，在選取相同控制增益情況下，跟蹤誤差的收斂速度的對(duì)比情況如表1 所示。由表1 可以看出，基于本文提出的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)面控制的位置伺服系統(tǒng)的跟蹤誤差具有更快的收斂速度。

圖1 位置跟蹤曲線

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)1 的逼近效果

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)2 的逼近效果

圖4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)3 的逼近效果

圖5 控制輸入uq 曲線

圖6 控制輸入ud 曲線

表1 跟蹤控制性能對(duì)比(不同時(shí)間對(duì)應(yīng)的|x1 ?xr|)

5 結(jié)論

本文研究了永磁同步電動(dòng)機(jī)位置伺服系統(tǒng)的控制問題。利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線辨識(shí)、補(bǔ)償系統(tǒng)的不確定性，并應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)的本質(zhì)特征，設(shè)計(jì)了一種新型的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)面控制算法。本文所提的控制算法避免了現(xiàn)有基于反步遞推的伺服系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)方法中存在的代數(shù)環(huán)問題，仿真結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了基于本文控制算法的永磁同步電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)能夠準(zhǔn)確快速地跟蹤給定參考信號(hào)，且對(duì)系統(tǒng)不確定因素具有良好的魯棒性。