何 光, 盧小麗, 李高西

(1. 重慶工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)社會(huì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400067;2. 重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067;3. 重慶工商大學(xué)長(zhǎng)江上游經(jīng)濟(jì)研究中心，重慶 400067)

0 引言

在粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法[1]中，粒子的飛行速度受到取值邊界的限制，導(dǎo)致了粒子的搜索不能遍歷整個(gè)解空間，從而無法實(shí)現(xiàn)算法的全局收斂性。Sun 等人[2]研究發(fā)現(xiàn)，在量子空間中粒子的行為和人類的學(xué)習(xí)行為類似，具有很高的不確定性。于是，從量子力學(xué)的角度提出了一種改進(jìn)的PSO 算法–量子行為粒子群優(yōu)化(Quantum Particle Swarm Optimization, QPSO)算法。QPSO 算法的粒子更新只有位置方程，形式更簡(jiǎn)單，控制參數(shù)更少，收斂速度和全局收斂性能更優(yōu)，是PSO 算法中的一個(gè)較成功的改進(jìn)，具有很強(qiáng)的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。然而，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，粒子的搜索只是在可行解的空間進(jìn)行搜索，導(dǎo)致粒子在迭代后期仍然會(huì)出現(xiàn)早熟和陷入局部最優(yōu)點(diǎn)。因此，QPSO 算法仍具有很大的改進(jìn)空間。

為了增強(qiáng)算法中粒子的全局搜索能力和算法的收斂速度，進(jìn)一步提高優(yōu)化問題解的精度，先后有學(xué)者提出了各種搜索策略和改進(jìn)方法，以提升粒子的探索能力，避免算法陷入局部最優(yōu)的困境。在QPSO 算法收斂性的分析中，Sun 等[3]和方偉等[4]討論了粒子迭代公式的參數(shù)選擇，他們的研究結(jié)果提升了算法的全局搜索能力。章國(guó)勇等[5]將精英學(xué)習(xí)策略加入到算法的改進(jìn)中，更好地兼顧了算法的全局搜索和局部搜索能力。趙吉和程成[6]提出了一種基于演化搜索信息的改進(jìn)算法，在拓展粒子搜索空間的同時(shí)，有效改善了算法的收斂精度。另外，部分學(xué)者在QPSO 算法的性能改進(jìn)和應(yīng)用方面，也取得了一些較好的研究結(jié)果[7–11]。

本文在已有研究的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)備從兩個(gè)方面對(duì)QPSO 算法進(jìn)行改進(jìn)。第一，在粒子的歷史位置更新公式中，考慮L′evy 搜索策略，以增強(qiáng)粒子的收斂速度，提高粒子的全局搜索能力和算法精度。第二，考慮混合概率分布的操作，幫助粒子在迭代后期脫離局部極值的束縛，增強(qiáng)種群的多樣性，避免算法陷入早熟。隨后，將改進(jìn)的QPSO 算法應(yīng)用到一類自融資投資組合問題中。

1 改進(jìn)的QPSO 算法

1.1 QPSO 算法原理

在原始PSO 算法中，令xij和vij分別表示第i個(gè)粒子位置和速度的第j維，第i個(gè)粒子的歷史最優(yōu)位置pbest 的第j維和全局最優(yōu)位置gbest 的第j維分別記為pij(t)和pgj(t)。粒子的速度按照以下公式進(jìn)行更新其中w為慣性權(quán)重，c1和c2為加速因子，r1和r2為0 到1 之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

然而，QPSO 算法的更新公式中，不涉及粒子的速度公式，而采用蒙特卡羅法模擬粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，更新不同時(shí)點(diǎn)的粒子位置。在粒子的迭代過程中，每個(gè)粒子會(huì)聚集到一個(gè)局部吸引點(diǎn)Pij(t)，速度更新公式(1)將變成吸引點(diǎn)的位置公式

其中φ=c1r1/(c1r1+c2r2)。采用文獻(xiàn)[12]中的方法得到粒子的位置更新公式

其中mj(t)表示粒子歷史最優(yōu)位置的平均值的第j維，稱為平均最好位置。u表示0 到1 之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)u大于0.5 時(shí)，公式(3)中取“+”，否則取“?”。β稱為收縮-擴(kuò)張系數(shù)，用來調(diào)節(jié)粒子的速度，采用線性遞減公式，具體如下

T表示最大迭代次數(shù)，β1和β2分別為β的最小值和最大值。

1.2 L′evy 飛行策略

作為一種隨機(jī)游走過程，L′evy 飛行策略有一個(gè)帶有寬尾的概率分布，這使得它的搜索方式具有很好的擾動(dòng)能力，能夠大大提高算法的全局搜索性能和收斂精度。在搜索空間中，可以充分發(fā)揮L′evy 飛行的特點(diǎn)對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)方式進(jìn)行改善，一方面利用其深入的短距離搜索有效提高算法的收斂精度，另一方面結(jié)合偶爾的長(zhǎng)距離搜尋擴(kuò)大粒子的探索空間，進(jìn)而增強(qiáng)算法的全局搜索能力。

運(yùn)用L′evy 飛行策略對(duì)粒子的位置更新公式(3)，作如下改進(jìn)

當(dāng)u> 0.5 時(shí)，采用(5)式進(jìn)行粒子位置的更新，其中L表示L′evy 隨機(jī)步長(zhǎng)，采用Mantegna[13]提出的公式

其中μ ～N(0,),υ ～N(0,)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，使用Gamma 函數(shù)Γ(·)，可得標(biāo)準(zhǔn)差滿足以下公式

1.3 混合概率分布

隨著迭代進(jìn)入后期，QPSO 算法中一些相似粒子會(huì)出現(xiàn)局部聚集的情況，從而大大減少算法的搜索范圍，導(dǎo)致算法早熟，這種情況與算法中吸引勢(shì)阱模型的分布選擇有著極大的關(guān)聯(lián)。Sun 等[14]通過實(shí)驗(yàn)顯示，QPSO 中勢(shì)阱模型對(duì)應(yīng)的指數(shù)分布在測(cè)試中有很好的實(shí)用性。然而，一些仿真結(jié)果表明具有正態(tài)分布的QPSO 算法在處理早熟問題上有著更好的表現(xiàn)。于是，可以考慮將兩種分布結(jié)合起來，用于改善算法在迭代后期容易陷入局部最優(yōu)的困境。

考慮將正態(tài)分布和指數(shù)分布結(jié)合運(yùn)用到粒子的位置更新中，形式如下

其中a(t)和b(t)分別為服從正態(tài)分布和指數(shù)分布的兩個(gè)隨機(jī)序列，具體的公式為

這里h為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，α1和α2均為收縮擴(kuò)張系數(shù)。

1.4 算法流程

在QPSO 算法的改良中，融合了L′evy 飛行和混合概率分布這兩種手段。于是，將該算法簡(jiǎn)記為HQPSO，算法的流程如下。

算法1HQPSO 算法

?

if u>0.5運(yùn)用公式(6)計(jì)算L′evy 步長(zhǎng)通過公式(se 通過公nd if 5)更新xij(t)el式(8)更新xij(t)e運(yùn)用比較原則更新pbest 和gbest end for end while輸出結(jié)果

2 算法測(cè)試

2.1 測(cè)試函數(shù)及參數(shù)設(shè)定

在性能測(cè)試中，將HQPSO 算法與標(biāo)準(zhǔn)的QPSO 算法以及兩種優(yōu)化效果較好的算法MDE 算法[15]和distABC 算法[16]進(jìn)行比較?；鶞?zhǔn)測(cè)試函數(shù)來源于CEC2005，其中f1～f6為高維單模函數(shù)，f13～f14為低維單模函數(shù)，主要用于測(cè)試算法的收斂精度；f7～f12為高維多模函數(shù)，f15～f16為低維多模函數(shù)，用于檢驗(yàn)算法的全局尋優(yōu)能力和局部搜索性能。其中f14的最優(yōu)值為?1，其他測(cè)試函數(shù)的最優(yōu)值均為0。

在對(duì)比實(shí)驗(yàn)中，各算法的參數(shù)設(shè)置均來源于相關(guān)文獻(xiàn)。QPSO 算法中，β1和β2分別取0.4 和0.9。MDE 算法中，CR=0.4，F(xiàn)為隨機(jī)數(shù)。distABC 算法中，limit=(種群數(shù)×維度)/2。HQPSO 算法中，β1和β2分別取0.4 和0.9，隨機(jī)步長(zhǎng)的參數(shù)r= 1.5。在對(duì)比測(cè)試中，高維函數(shù)中除f4取32 維外，其余均為30 維，低維函數(shù)都為2 維。各算法種群為50，最大函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)為80 000，各算法對(duì)每個(gè)函數(shù)分別獨(dú)立運(yùn)行30 次，取結(jié)果的最好值、均值和方差，具體數(shù)據(jù)見表1 和表2。

表1 f1 ～f8 測(cè)試結(jié)果

續(xù)表

表2 f9 ～f16 測(cè)試結(jié)果

續(xù)表

2.2 算法的收斂精度分析

由表1 和表2 可見，HQPSO 在f1～f6以及f13～f14等單模函數(shù)上的精度幾乎都達(dá)到了10?10以上的數(shù)量級(jí)，在f13上取得了理論最優(yōu)值。由于改進(jìn)算法在粒子的迭代位置中引入了L′evy 飛行策略，使得粒子在搜索空間中更有效移動(dòng)，提高了算法的收斂速度，在局部尋優(yōu)能力上有明顯的增強(qiáng)。HQPSO 在f7～f12以及f15～f16等多模函數(shù)上同樣表現(xiàn)出色，在f7～f8、f12和f15～f16上取得了理論最優(yōu)值。因?yàn)樵谒惴ㄖ锌紤]了混合概率分布的特點(diǎn)，讓粒子以一定概率發(fā)生突變，在確保其全局搜索能力時(shí)，增強(qiáng)了種群的多樣性，從而使得算法可以及時(shí)跳出局部最優(yōu)，避免早熟。于是，HQPSO 算法在單模和多模函數(shù)上，其收斂精度和穩(wěn)定性均有優(yōu)異的表現(xiàn)。

隨后，對(duì)比四種算法在高維和低維測(cè)試函數(shù)上的優(yōu)化結(jié)果。HQPSO 在所有高維函數(shù)中的表現(xiàn)均優(yōu)于其余三種算法。QPSO、MDE 和distABC 算法在12 個(gè)高維函數(shù)中都不能取到理論最優(yōu)值，在f8～f12等5 個(gè)函數(shù)上三種算法都出現(xiàn)了早熟現(xiàn)象，優(yōu)化結(jié)果不理想。相比之下，HQPSO 在f7～f8和f12上30 次測(cè)試均能取得理論最優(yōu)值，而在其余的高維函數(shù)上也有一定的幾率搜索到理論最優(yōu)值。在高維函數(shù)測(cè)試中，除了獲得更好的均值外，HQPSO 算法取得的方差也更小，表明該算法的穩(wěn)定性更高。在低維函數(shù)測(cè)試中，除了f14外，HQPSO 算法均取得了理論最優(yōu)值。MDE 算法在f14和f16上取得了理論最優(yōu)值，然而，在f13和f15上未能取得理想的收斂結(jié)果。distABC 算法僅在f16上取得了理論最優(yōu)值，在其余的低維函數(shù)中表現(xiàn)欠佳，對(duì)f14的測(cè)試中則陷入了局部最優(yōu)。因此，在低維函數(shù)測(cè)試上，HQPSO 算法的綜合表現(xiàn)更好。

2.3 算法的魯棒性分析

進(jìn)一步，比較四種算法的魯棒性。分別記錄各算法在測(cè)試函數(shù)f1～f15上收斂到10?10，以及在f16上收斂到10?10～1 的成功率，結(jié)果見表3。

表3 魯棒性結(jié)果

由表3 可見，在16 個(gè)測(cè)試函數(shù)中，除了f11和f14，HQPSO 算法在30 次運(yùn)行中的成功率均到達(dá)了100%，表明該算法具有較好的魯棒性。相比而言，QPSO、MDE 和distABC三種算法在低維測(cè)試函數(shù)上有較好的魯棒性，而MDE 和distABC 算法在大多數(shù)高維測(cè)試函數(shù)上成功率低，甚至為0。綜合來看，HQPSO 算法的魯棒性整體表現(xiàn)更出色。

2.4 算法的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

隨后，為了驗(yàn)證HQPSO 算法的有效性，將HQPSO 算法與其他三種算法兩兩進(jìn)行Wilcoxon 符號(hào)秩檢驗(yàn)，計(jì)算出配對(duì)算法的概率P值。另外，根據(jù)各種算法的Friedman秩均值在不同測(cè)試函數(shù)中的排名，得到四種算法的平均名次。具體的檢驗(yàn)結(jié)果見表4。

由表4 可知，在Wilcoxon 檢驗(yàn)中，HQPSO 與三種算法配對(duì)比較的概率值均小于0.01，意味著改進(jìn)算法和其他算法有顯著差異。從Friedman 檢驗(yàn)的平均排名結(jié)果可見，QPSO 算法在高維函數(shù)中的整體表現(xiàn)僅次于HQPSO，而在低維函數(shù)的測(cè)試中QPSO、MDE 和distABC 三者表現(xiàn)較接近。從總體上看，HQPSO 在所有測(cè)試函數(shù)中的綜合排名最高，性能更均衡。

表4 非參數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果

3 應(yīng)用實(shí)例

3.1 自融資投資組合問題

經(jīng)典的Markowitz 均值-方差模型為一類多目標(biāo)優(yōu)化問題，要求投資者在證券投資過程中選擇風(fēng)險(xiǎn)最小和收益最大的組合。自融資投資組合指除了初始的投資外，在投資過程中不追加任何投資，也不從中轉(zhuǎn)移資本，僅僅根據(jù)資產(chǎn)組合本身的收益變化情況進(jìn)行組合的結(jié)構(gòu)調(diào)整。自融資投資組合在套利、資產(chǎn)交換、市場(chǎng)中性投資、市場(chǎng)定時(shí)等方面有著廣泛的應(yīng)用?？紤]如下的自融資投資組合模型

其中R= (R1,R2,···,Rn)T為組合的收益率向量，x= (x1,x2,···,xn)T為組合的權(quán)重向量，Σ 表示各種資產(chǎn)間的協(xié)方差矩陣，E(R)和σ2分別表示投資組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)，Li和Ui分別表示各種資產(chǎn)投資比例的下界與上界。

我們將以上優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化模型，形式如下

其中RP表示組合的預(yù)期收益率，其中λ為懲罰因子，在實(shí)驗(yàn)中取值為10。

3.2 結(jié)果與分析

在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，HQPSO 算法的參數(shù)設(shè)定與性能測(cè)試中相同，粒子總數(shù)為30 個(gè)，最大迭代次數(shù)為1 000 次，求解結(jié)果取30 次實(shí)驗(yàn)的平均值。在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的選擇上，抽取了A 股市場(chǎng)中的15 只股票，以歷史收益率的平均值作為其預(yù)期收益率。各股票之間的方差-協(xié)方差矩陣，如表5 所示。預(yù)期收益率具體數(shù)據(jù)分別為：4.36%、3.58%、4.55%、8.91%、5.78%、8.79%、8.05%、3.54%、4.11%、3.87%、15.29%、3.65%、3.73%、12.61%、5.06%，初期的投資占比分別為：10%、10%、10%、0、10%、0、0、10%、10%、10%、0、10%、10%、0、10%。

表5 方差-協(xié)方差矩陣

投資者希望原有投資額不變時(shí)，考慮將其他十支股票的投資合理分配到第4、6、7、11和14 這5 支股票上，在不允許賣空情況下尋求該自融資模型的解。表6 展示了在給定預(yù)期收益率時(shí)，投資組合模型(9)的最優(yōu)解。通過給定的RP(在最小與最大預(yù)期收益率之間均勻選取)，分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的最優(yōu)組合和風(fēng)險(xiǎn)結(jié)果。根據(jù)表6 可知，隨著投資組合預(yù)期收益的增加，初期持有的10 只股票賣掉的比例基本上呈上升趨勢(shì)，主要用于購買收益更高的其余5 只股票。當(dāng)達(dá)到最大的預(yù)期收益率11.37%時(shí)，初始的10 只股票全部賣掉，用于購買收益率更高的第11 和第14 支股票。當(dāng)繼續(xù)提高組合的預(yù)期收益率時(shí)，這兩支股票仍然占據(jù)了全部的投資比重。

表6 投資組合模型的最優(yōu)解

最后，將改進(jìn)算法與差分進(jìn)化算法、PSO 和QPSO 進(jìn)行對(duì)比。比較實(shí)驗(yàn)中，種群數(shù)均選擇3，迭代次數(shù)為1 000 次，每種算法運(yùn)行30 次，計(jì)算不同預(yù)期收益率下的風(fēng)險(xiǎn)的均值和方差，結(jié)果見表7。由表7 可知，在給定預(yù)期收益率情況下，HQPSO 相比其余三種進(jìn)化算法，都取得了更小的均值，同時(shí)其穩(wěn)定性也更好。結(jié)果表明在給定收益的情況下，運(yùn)用HQPSO 算法獲得的自融資投資組合承受較小的風(fēng)險(xiǎn)。

表7 不同智能算法的對(duì)比

4 結(jié)束語

為了有效地解決QPSO 算法在后期收斂速度慢以及易陷入局部最優(yōu)的問題，提出了一種改進(jìn)的量子粒子群群優(yōu)化算法。在改進(jìn)算法中，將L′evy 飛行策略引入到粒子迭代公式中，增強(qiáng)了粒子的局部探索精度和全局搜索速度。同時(shí)在算法中考慮了混合概率分布，在保證種群多樣性的情況下，避免算法過早陷入局部最優(yōu)。通過算法對(duì)比分析，HQPSO 算法在一系列測(cè)試函數(shù)中展現(xiàn)出更好的收斂精度和魯棒性。在算法應(yīng)用實(shí)例中，運(yùn)用HQPSO 求解一類自融資投資組合問題，相比幾種經(jīng)典的智能算法，改進(jìn)算法在尋優(yōu)的精度和穩(wěn)定性上表現(xiàn)更好。如何進(jìn)一步提高算法的收斂速度和精度，以及在更多領(lǐng)域中的應(yīng)用，是今后研究中需要考慮的問題。