王 芬

(廣東金融學院金融數學與統計學院，廣州 510521)

0 引言

人工神經網絡是模擬生物神經系統的組織結構和系統功能的高度復雜的非線性動力系統，其中突觸是神經網絡中神經元信號的傳輸通道，也是人類大腦學習和記憶的基本組成單位，合理的突觸仿生是實現神經形態(tài)計算的重要基礎[1–2]。在傳統的神經網絡中，一般使用集成電路對突觸進行模擬。1971 年，美國學者Chua 基于電路理論的完備性提出了憶阻器的概念[3]，稱其為第四種基本電路元件。2008 年，Strukov 等制造出了固體憶阻，并把他們的結果發(fā)表在Nature 雜志上[4]。憶阻器是一種具有“記憶”功能的納米級的天然非線性電阻，其阻值能夠跟隨流過器件本身的電流的變化而改變，并存儲電流斷開時的電阻值。憶阻器同時具備低功耗、學習和存儲功能，給人工神經網絡中高密度的突觸模擬提供了一種極好的選擇[5]。目前，憶阻神經網絡已經在模式識別、智能計算、大數據分析、信號處理和圖像處理等方面表現出了良好的應用潛質。

迄今為止，針對憶阻神經網絡的動力學行為及其控制的討論還處于起步階段，研究焦點之一是針對憶阻神經網絡的穩(wěn)定性、同步控制等內容的分析[6–11]。

另一方面，按照生理學的觀點，生物神經元本質上是隨機的。然而，在隨機干擾的情況下，神經網絡的動力學行為變得異常復雜[12–25]。

2019 年，基于不動點定理和激活函數的幾何性質，研究者分析了基于憶阻器的模糊神經網絡的多穩(wěn)定性和多周期性問題[10]。2017 年，Jiang 等利用Lyapunov 泛函法、拓撲度理論，研究了具有泄露時滯的憶阻神經網絡周期解的全局指數穩(wěn)定性[11]。2017 年，Rao 等獲取了具有馬爾科夫跳變的脈沖BAM 神經網絡的隨機穩(wěn)定性的LMI 判別條件[18]。遺憾的是，目前針對基于憶阻器的隨機神經網絡的研究并不多見。怎樣在隨機擾動的環(huán)境下研究基于憶阻器的神經網絡的穩(wěn)定性，成為了擺在廣大研究者面前的重要課題。

綜上所述，本文將通過構造合適的Lyapunov 泛函，應用It?o 微分公式、微分包含和集值映射理論等，以基于憶阻器的隨機神經網絡為研究對象，分析確保該系統的均方指數穩(wěn)定的充分判別條件。

符號說明：R 代表實數域；Rn表示n維歐式空間；R+代表非負實數集。

1 模型與預備知識

考慮如下基于憶阻器的隨機神經網絡模型

其中xi(t)為加在電容器Ci兩端的電壓；fi(xi(·))為神經元的激勵函數；τ為離散時滯；aij(xi(t)),bij(xi(t))(i= 1,2,···,n),d> 0 表示反饋鏈接權重，其亦可以寫成如下形式

其中Kij和Wij均代表憶阻的憶感。根據憶阻的特性及其電壓與電流之間的曲線特點，為方便研究，可令

其中切換界值Ti>0(i,j=1,2,···,n)；、和都是常數。ω(t)=[ω1(t),ω2(t),···,ωn(t)]T ∈Rn是n維Brownian 運動，定義在帶有自然域流{Ft}t≥0上的完備概率空間(?,F,P)上。

系統(1)初始條件為x(s)=φ(s),s ∈[?τ,0]，其中x(s)=[x1(s),x2(s),···,xn(s)]T為系統在時刻s的狀態(tài)變量；φ(s)=[φ1(s),φ2(s),···,φn(s)]T,φi(s)是有界連續(xù)函數。

本文中所有系統的解都是在Filippov 的意義下，在這里

通過微分包含和集值映射理論，系統(1)可以描述為

成立。

若不考慮隨機擾動的影響，則系統(1)可以簡化為

為了獲得主要結果，接下來給出如下定義和假設。

定義1[25]如果存在正數K>1 和α>0，使得系統(1)的解滿足

則稱系統(1)的平衡解均方指數穩(wěn)定。

定義2[26]如果存在正數β>1 和α>0，使得系統(4)的解滿足

則稱系統(4)的解全局指數穩(wěn)定。

引理1(公式)[27]令u=u(t,x1,x2,···,xn)T是定義在[t0,T]×Rn上的連續(xù)函數且存在連續(xù)偏導數ut、uxi、uxixj(i,j=1,2,···,n)。若n維隨機過程x(t)=[x1(t),x2(t),···,xn(t)]T在[t0,T]滿足

則隨機過程V(t,x(t))=u(t,x1,x2,···,xn)T的隨機微分為

其中

假設1激勵函數fi(·)滿足fi: R→R,fi(0) = 0。同時，存在正數Fi，使得對于任意ξ ?=0,ξ ∈R，不等式

成立，其中i=1,2,···,n。

假設2σi: R+×R×R→R 滿足局部Lipschitz 連續(xù)性，并且σi(t,0,0) = 0。同時，存在非負實數ui和vi，使得不等式

成立，其中i=1,2,···,n。

2 主要結論

定理1若系統(1)滿足假設1 和假設2，且存在正數ε、λi、ρi(i= 1,2,···,n)，使得下列的不等式組

成立，則系統(1)均方指數穩(wěn)定。

證明 構造如下正定的Lyapunov 泛函

其中

將(9)式和(10)式代入(8)式，可得

若存在正實數ε、λi、ρi(i=1,2,···,n)，使得下列不等式

成立，則LV(t)≤0。進一步，可得

同時，可以知道

因而，可得

注1在文獻[28]中，研究者利用微分包含理論，研究了憶阻遞歸神經網絡的穩(wěn)定性問題。然而，文獻[28]并沒有考慮隨機擾動的影響。本文在隨機擾動的環(huán)境下，利用It?o 微分公式、微分包含，綜合考慮了基于憶阻器的神經網絡的均方指數穩(wěn)定性問題。因而，較文獻[28]有更加廣泛的適用范圍。

注2在文獻[29]中，基于It?o 微分公式、Lyapunov-Krasovskii 泛函，研究者獲得了用線性矩陣不等式表示的具有漏泄時滯的隨機神經網絡指數穩(wěn)定的充分條件。然而，文獻[29]并沒有在基于憶阻器的前提下展開研究。本文結合憶阻器在突觸模擬中的明顯優(yōu)勢，使用憶阻器模擬突觸。因而，本文的結論為神經網絡在設計過程中高密度突觸的選擇提供了更加寬廣的理論基礎。

接下來，研究不具有隨機項的憶阻神經網絡系統(4)的穩(wěn)定性，可以用類似定理1 的證明方法，得到下述推論。

推論1若系統(4)滿足假設1，且存在正數ε、λi、ρi(i= 1,2,···,n)，使得下列的不等式組成立，則系統(4)全局指數穩(wěn)定。

注3可以考慮在系統(1)中加入脈沖因子，依據類似于定理1 的分析方法，研究基于憶阻器的隨機脈沖神經網絡的均方指數穩(wěn)定性，更深層次地展開針對隨機憶阻神經網絡的研究。

3 數值仿真

例1考慮如下的基于憶阻器的隨機神經網絡

其中

再由

易知

取λ1=λ2=2,ρ1=ρ2=10,ε=1，經過簡單的計算可得

則由定理1 可得，系統(19)均方指數穩(wěn)定。取系統的初始條件為x1(t) = 50,x2(t) =?20，經過Matlab 仿真可以得到系統(19)中的x(t)的狀態(tài)曲線，如圖1 所示。

圖1 系統(19)中的x(t)的狀態(tài)曲線圖

例2考慮如下的基于憶阻器的神經網絡

其中

另有

取λ1=λ2=2.5,ρ1=ρ2=10,ε=1，經過簡單的計算可得

則由推論1 可得，系統(20)全局指數穩(wěn)定。取系統的初始條件為x1(t) =?35,x2(t) =35，經過Matlab 仿真可以得到系統(20)中的x(t)的狀態(tài)曲線，如圖2 所示。

圖2 系統(20)中的x(t)的狀態(tài)曲線圖

4 結論

本文以隨機擾動下的憶阻神經網絡為研究對象，應用Lyapunov 泛函、It?o 微分公式和不等式技巧，得到了該系統均方指數穩(wěn)定的充分判別條件。最后，通過兩個仿真例子，說明了所得結論的有效性。