李同彬, 高 娟

(1. 哈爾濱師范大學經濟學院，哈爾濱 150001; 2. 哈爾濱師范大學數(shù)學科學學院，哈爾濱 150001)

0 引言

切換系統(tǒng)由一系列連續(xù)時間或離散時間子系統(tǒng)和一個控制它們之間切換的切換信號組成。不僅在傳統(tǒng)的應用領域，如航天和汽車工程等領域廣泛應用，也頻繁地應用于新興的領域，如計算機科學和計算機網絡、電源轉換器、活性污泥廢水處理系統(tǒng)、開關連續(xù)攪拌釜反應器等。因此，切換系統(tǒng)的研究具有重要的理論及實踐意義。近年來，切換系統(tǒng)越來越受到重視，研究結果可參閱文獻[1–6]。由于時滯現(xiàn)象廣泛存在工程系統(tǒng)中，具有時滯的切換系統(tǒng)一直是控制界研究的熱點[7–8]。學者們提出了很多有效的研究切換系統(tǒng)的方法，如二次Lyapunov 函數(shù)法、多Lyapunov 函數(shù)方法[9–10]、平均駐留時間技術[11–13]、線性矩陣不等式方法等[7,14]。

上述所有研究工作都假設控制器與子系統(tǒng)同步切換。然而，在實際操作中，系統(tǒng)在識別子系統(tǒng)并請求控制器切換到該子系統(tǒng)相應的控制器的過程需要花費一段時間，這種子系統(tǒng)和控制器“異步切換”的現(xiàn)象是不可避免的[15]。關于異步切換下的切換系統(tǒng)研究有很多，如穩(wěn)定性分析[16–19]、故障檢測[20]、滑?？刂芠21]、輸出跟蹤控制[22]、輸出反饋控制[23–24]、H∞濾波[25]。然而，據(jù)我們所知，異步切換下具有時變時滯的切換系統(tǒng)的保成本控制問題尚未得到研究，這啟發(fā)了本研究。保成本控制是設計控制系統(tǒng)以實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定性和足夠水平的魯棒性能的一種實用方法[26]，學者們對不同系統(tǒng)的保成本控制問題進行了研究，如非線性系統(tǒng)[26]、網絡控制系統(tǒng)[27]、不確定切換時滯系統(tǒng)[28]、切換非線性系統(tǒng)[29]、切換奇異系統(tǒng)等[14]。

基于上述工作，本文研究了異步切換下切換時變時滯系統(tǒng)的保成本控制問題。與以往大多數(shù)使用普通二次Lyapunov 函數(shù)實現(xiàn)保成本控制的工作不同，本文采用了分段Lyapunov 函數(shù)方法，與普通二次Lyapunov 函數(shù)方法相比，具有更小的保守性。因為分段Lyapunov 函數(shù)方法的復雜性，關于保成本控制的研究很少。本文使用分段Lyapunov 函數(shù)(已被證明是處理異步切換下切換系統(tǒng)的有效工具[22–23])，以及平均駐留時間技術，實現(xiàn)了異步切換下切換時變時滯系統(tǒng)的保成本控制。

本文的主要工作如下：

1) 研究了切換時變時滯系統(tǒng)在異步切換下的保成本控制問題；

2) 采用分段Lyapunov 函數(shù)方法實現(xiàn)了保成本控制。

1 問題描述及引理

考慮如下時變時滯切換系統(tǒng)

其中t ≥0,x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，u(t)∈Rm為系統(tǒng)輸入向量，σ(t) : [0,+∞]→={1,2,···,N}，一個關于時間的分段常值函數(shù)，由它決定的子系統(tǒng)的切換序列可描述為

其中t0= 0 表示初始時刻，tn為第n個切換時刻。σ(t) =i表示第i個子系統(tǒng)運行。N表示子系統(tǒng)個數(shù)。Ai、Bi、Ci(i ∈)為已知的適維實值常數(shù)矩陣。ψ(s)為給定的向量值初始函數(shù)，d(t)為時變時滯且滿足

σ′(t)表示控制器的實際切換信號，控制輸入為

控制器的切換瞬間滯后于子系統(tǒng)的切換瞬間，控制器的實際的切換序列可描述為

控制器相對于相應子系統(tǒng)的切換時滯滿足

注1條件?n＜ infn≥1(tn+1?tn)意味著異步切換系統(tǒng)的整個運行時間，可劃分為子系統(tǒng)和控制器“匹配時間段”和“不匹配時間段”。在匹配時間段內，子系統(tǒng)和控制器同步運行，在不匹配時間段內，子系統(tǒng)和控制器異步運行。

在控制器(4)下，得到下面的閉環(huán)切換系統(tǒng)

對系統(tǒng)(1)定義成本函數(shù)

其中λ>0 為常數(shù)，Q和R為給定的正定加權矩陣。

定義1對于異步切換下的時變時滯系統(tǒng)(1)，如果存在控制律u(t)和一個正數(shù)J?，使得閉環(huán)系統(tǒng)(5)是穩(wěn)定的，并且成本函數(shù)(6)滿足J ≤J?，則J?稱為切換系統(tǒng)(1)的一個成本上界，u(t)稱為切換系統(tǒng)(1)的一個保成本控制律。

定義2[30]如果存在常數(shù)δ ≥1 和λ>0，使得系統(tǒng)(1)的解滿足

則稱切換系統(tǒng)(1)的平衡點x?=0 是指數(shù)穩(wěn)定的，其中

定義3[31]給定常數(shù)τa>0,N0≥0 和任意的T2>T1≥0，若不等式

成立，則稱τa為切換信號σ(t)的平均駐留時間，其中Nσ(T1,T2)為切換信號σ(t)在時間區(qū)間(T1,T2)上的切換次數(shù)，N0為顫抖界。

在實際使用時，一般取N0=0。

引理1[32]對于任意對稱正定常數(shù)矩陣L ∈Rn×n和常數(shù)ω> 0，如果存在向量值函數(shù)ξ:[0,ω]→Rn，使得積分

正確定義，那么下面的不等式

成立。

引理2(Schur 補引理) 給定一個適當維數(shù)的對稱矩陣

其中S11和S22均為對稱矩陣，且=S21，則下列三式等價：

2 主要結果

假設當t=tn?1時，第i個子系統(tǒng)被激活，即σ(tn?1) =i，當t=tn時，第j個子系統(tǒng)被激活，即σ(tn) =j。由于控制器切換滯后于子系統(tǒng)切換，當?shù)趇個子系統(tǒng)切換到第j個子系統(tǒng)時，控制器Ki還在運行直到?n這么長時間后，才切換到Kj。因此，閉環(huán)切換系統(tǒng)(5)可描述為

首先，利用分段Lyapunov 函數(shù)方法，給出了保證成本控制器(4)存在的一個充分條件，解決了切換時變時滯系統(tǒng)(1)在異步切換下的保成本控制問題。為了方便起見，令T?(t0,t)表示子系統(tǒng)在時間區(qū)間[t0,t)上受控于匹配控制器的總時間，T+(t0,t)表示子系統(tǒng)在時間區(qū)間[t0,t)上受控于不匹配控制器的總時間。

定理1考慮異步切換系統(tǒng)(1)，成本函數(shù)為(6)，給定正的常數(shù)α和β，μ≥1，對于任意的i,j ∈,i ?=j，如果存在矩陣Pi>0,Si>0,Zi>0，使得下面矩陣不等式成立

那么，對于任意平均駐留時間滿足

的切換信號，閉環(huán)切換系統(tǒng)(5)在狀態(tài)反饋控制器(4)下是指數(shù)穩(wěn)定的，成本函數(shù)的一個加權上界為

其中

證明 穩(wěn)定性分析將從控制器與子系統(tǒng)匹配和不匹配兩方面分別進行。

當t ∈[t0,t1)∪[tn?1+?n?1,tn),n= 2,3,···時，匹配時間段運行。選擇如下Lyapunov 函數(shù)

計算它的導數(shù)得

由(3)式，可得

應用引理2，有

另一方面，由Leibniz 公式，可得

結合(17)～(20)式，得

其中

根據(jù)矩陣不等式(12)，可得

對(22)式從tn?1+?n?1到t(當t ∈[t0,t1)時，從t0到t)進行積分，可得

當t ∈[tn,tn+?n),n=1,2,···，不匹配時間段運行。選擇如下Lyapunov 函數(shù)

與前面類似，可得

由矩陣不等式(13)，可得

對(26)式的兩邊從tn到t進行積分，可得

通過計算，顯然有下面兩個不等式

成立。由(28)式和(29)式，可得

另一方面，由(3)式，得

由(31)式和(32)式，可得

用(11)式計算，有

由(30)式和(34)式，有

對于整個區(qū)間[t0,t)，考慮如下分段Lyapunov 函數(shù)

結合(23)式、(27)式、(33)式和(35)式，當t ∈[t0,t1)∪[tn?1+△n?1,tn),n=2,3,···時，我們可得

根據(jù)定義3和(14)式，有

進一步，可得

其中

由(38)式和(39)式，得到

當t ∈[tn,tn+△n),n=1,2,···時，可得

由定義3 和(14)式，我們有

由(39)式和(40)式，可得

由定義2 和(14)式，閉環(huán)系統(tǒng)(5)是指數(shù)穩(wěn)定的。

另一方面，由(22)式和(26)式，有

對(43)式兩邊從tn?1+?n?1到t(當t ∈[t0,t1)時，從t0到t)進行積分，對(44)式從tn到t進行積分，得到

或

以及

其中

當t ∈[t0,t1)∪[tn?1+△n?1,tn),n=2,3,···時，由(33)式、(35)式、(45)式和(46)式，我們可得

對(47)式兩端乘以e?(lnμ+(α+β)h)Nσ(0,t)，可得

由(8)式和(14)式，有

因此，(48)式可以寫為

注意到

我們有

其中κ已在(15)式中定義。

分別對(51)式兩端從0 到∞積分，得到

顯然可得

當t ∈[tn,tn+△n),n=1,2,···時，我們有

(55)式兩端乘以e?(lnμ+(α+β)h)Nσ(0,t)，可得

由(49)式，可得

注意到

我們可得(51)式。所以，最終可得(54)式。由定義1，可知

是系統(tǒng)(1)的一個成本上界。

注2對比文獻[14,28]的結果，在文獻[14,28]中，使用公共二次Lyapunov 函數(shù)來實現(xiàn)保成本控制。相較公共Lyapunov 函數(shù)法，本文定理1 中使用的分段Lyapunov 法不但能實現(xiàn)保成本控制，而且保守性更低。

下面給出保成本控制器設計的線性矩陣不等式條件。

定理2考慮異步切換系統(tǒng)(1)，成本函數(shù)(6)，給定正的常數(shù)α,β,μ≥1，對于任意的i,j ∈,i ?=j，如果存在矩陣Xi>0,Ni>0,Li>0 和矩陣Mi，使得下面的線性矩陣不等式成立

那么，對于任意平均駐留時間(14)，閉環(huán)切換系統(tǒng)(5)在狀態(tài)反饋控制器(4)下是指數(shù)穩(wěn)定的，成本上界為

其中

控制器增益為

證明 由Schur 補引理，矩陣不等式(12)等價于

其中

那么，(61)式等價于

其中

(62)式的兩端分別左乘對角矩陣

右乘對角矩陣

記

可得矩陣不等式(58)成立，這意味著(12)式等價于(58)式。以類似方式，(13)式等價于(59)式。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)通過一個數(shù)值例子來驗證本文結論的有效性。

考慮由兩個子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)，子系統(tǒng)矩陣參數(shù)為

d(t) = 0.1 + 0.1 sint，易得h= 0.2,τ= 0.1。初始值ψ(t) = [0.5et,?2et]T,t ∈[?0.2,0]。成本函數(shù)(6)的加權矩陣為

選取λ=0.25,α=0.4,β=0.5,μ=1.02。解線性矩陣不等式(57)～(59)，可得

由(60)式，我們可得

成本上界J?=285.876 4。

根據(jù)(14)式計算，可得

圖1 切換信號

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應

4 結論

本文研究了一類切換時變時滯系統(tǒng)在異步切換下的保成本控制問題。通過構造允許在異步階段函數(shù)值增加的分段Lyapunov 函數(shù)，并使用平均駐留時間方法，給出了閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的一個充分條件和閉環(huán)系統(tǒng)成本函數(shù)的一個界。我們將保成本控制器的設計問題轉化為求解一組線性矩陣不等式，給出了一個數(shù)值例子說明了結果的有效性。