陳云鵬，楊 芳,2*，馬喜強(qiáng)，李濟(jì)順,2，李明巖

(1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，洛陽 471003；2.河南科技大學(xué) 河南省機(jī)械設(shè)計(jì)及傳動(dòng)系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，洛陽 471003)

0 引言

機(jī)床主軸軸承作為主軸工作中的重要部分，其性能很大程度上影響機(jī)床整體工作效果[1]。隨著機(jī)床加工精度要求的不斷提升，機(jī)床主軸軸承則需要在各種工況下，保證精度的同時(shí)保持高性能運(yùn)行。傳統(tǒng)的軸承性能試驗(yàn)是根據(jù)不同軸承的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以力學(xué)、振動(dòng)、接觸等性能測試為主[2]。但實(shí)際工程應(yīng)用中機(jī)床主軸軸承所承受的軸向預(yù)緊力，尤其是變載荷運(yùn)行時(shí)，與傳統(tǒng)性能試驗(yàn)中的要求存在一定差距。因此需根據(jù)軸承實(shí)際工況的施加高精度的軸向預(yù)緊力，從而使軸承試驗(yàn)最大程度的還原服役狀態(tài)下軸承的受力情況，實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際工況的模擬。

對(duì)于軸承預(yù)緊力的實(shí)施方式主要有：定量預(yù)緊、可調(diào)預(yù)緊、可變預(yù)緊[3]。軸承預(yù)緊力作為對(duì)軸承性能產(chǎn)生重要影響的因素，隨著預(yù)緊力的變化，軸承的剛度也會(huì)隨之變化，在保證軸承剛度的情況下，軸承的最佳預(yù)緊力在不同轉(zhuǎn)速情況下也會(huì)發(fā)生一定變化[4]，適當(dāng)?shù)念A(yù)緊力對(duì)主軸的回轉(zhuǎn)性能也會(huì)產(chǎn)生一定影響[5]。由此可見，可調(diào)預(yù)緊力可以有效的提高軸承和主軸工作性能。本文所選用H7006C軸承預(yù)緊力范圍為：180N～220N，載荷較小，通過液壓加載[6]的方式難以實(shí)現(xiàn)精確可調(diào)加載。電磁加載技術(shù)對(duì)小載荷的施加可以達(dá)到很好的效果，但傳統(tǒng)的電磁加載[7]與壓電陶瓷加載[8]由于磁化以及不適用于長時(shí)間工作加載，不能產(chǎn)生很好的效果?；贙im[9]所提出的一種磁致伸縮預(yù)緊機(jī)構(gòu)，為減小部件的熱膨脹現(xiàn)象，采用多個(gè)致動(dòng)器對(duì)試驗(yàn)軸承施加載荷，使得每個(gè)致動(dòng)器的輸入電壓減小，有效減小每個(gè)致動(dòng)器所產(chǎn)生的歐姆熱，同時(shí)每個(gè)致動(dòng)器直接與軸承內(nèi)（外）圈相抵接，減小了機(jī)構(gòu)的復(fù)雜程度。

本文基于多個(gè)致動(dòng)器沿周向均勻的分布，實(shí)現(xiàn)多種載荷加載。各致動(dòng)器上配有力傳感器，對(duì)輸出力值進(jìn)行監(jiān)測及反饋形成閉環(huán)?；谄铖詈峡刂平Y(jié)構(gòu)，通過模糊PID完成對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)的各通道輸出力的控制，利用基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（extended state observer，ESO）的比例-積分控制器對(duì)對(duì)產(chǎn)生的同步誤差進(jìn)行實(shí)時(shí)觀測與處理，將處理過的同步誤差補(bǔ)償?shù)酵ǖ乐?，完成同步誤差補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明軸向預(yù)緊力加載機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)軸向力的精確可調(diào)加載。

1 多致動(dòng)器力輸出模型

本文以致動(dòng)器作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，如圖1所示為致動(dòng)器的結(jié)構(gòu)示意圖[10]。該裝置通過輸入電流生成驅(qū)動(dòng)磁場，利用磁致伸縮效應(yīng)，使磁致伸縮材料（Giant Magnetostrictive Material，GMM）[11]產(chǎn)生形變，從而對(duì)被驅(qū)動(dòng)物體產(chǎn)生位移，實(shí)現(xiàn)力的輸出。

圖1 致動(dòng)器結(jié)構(gòu)示意圖

根據(jù)文獻(xiàn)[12]中的動(dòng)力學(xué)模型建立方法將致動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)過程進(jìn)行簡化，進(jìn)而得到等效單自由度的力學(xué)模型，如圖2所示，其中各項(xiàng)參數(shù)如表1所示。

圖2 多致動(dòng)器等效力學(xué)模型

考慮溫度、應(yīng)力、伸縮棒的質(zhì)量、阻尼以及磁場引起的磁滯非線性的影響下，基于伸縮棒特性的非線性壓磁方程式為：

式中ε為伸縮棒長度方向總應(yīng)變量；EH為伸縮棒的楊氏模量；σ為應(yīng)力；λ為各向同行材料的磁致伸縮；CD為內(nèi)部阻尼系數(shù)；ρ為質(zhì)量密度；lr為棒長度。

在整個(gè)磁致伸縮運(yùn)動(dòng)過程中，負(fù)載對(duì)伸縮棒的作用力為：

同時(shí)伸縮棒一直受到預(yù)壓力σ0作用，考慮伸縮棒的質(zhì)量與阻尼，且根據(jù)牛頓第二定律，伸縮棒的輸出力Fi=-(Fa+σ0Ar)即：

由應(yīng)變?chǔ)?x/lr、式(1)與式(3)聯(lián)立可得致動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)方程為：

對(duì)通過拉氏變換，將式(4)變換為致動(dòng)器的位移傳遞函數(shù)：

式(6)中，s為算子，X(s)、I(s)分別為位移與電流。

位移驅(qū)動(dòng)負(fù)載，則輸出力與位移之間得傳遞函數(shù)為：

所以單個(gè)致動(dòng)器的輸出力與輸入電流之間的傳遞函數(shù)為：

根據(jù)圖2所示，軸承外圈所受預(yù)緊力F為各致動(dòng)器輸出力之和，同時(shí)選用致動(dòng)器型號(hào)相同，即：

式(9)中，n表示致動(dòng)器個(gè)數(shù)。

2 預(yù)緊力控制方法

2.1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

本文選用三個(gè)致動(dòng)器作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，為保證控制精度，所以采用如圖3、4所示的偏差耦合控制結(jié)構(gòu)[13]，該結(jié)構(gòu)主要由多致動(dòng)器系統(tǒng)、同步誤差補(bǔ)償器以及力控制器組成。力控制器選用模糊PID控制器，在各通道對(duì)致動(dòng)器進(jìn)行控制，并形成電流-力閉環(huán)系統(tǒng)，提高系統(tǒng)的控制精度；同步誤差補(bǔ)償器收集各通道輸出力與輸出力平均值的差，通過基于ESO的比例-積分處理后的值傳遞到通道內(nèi)，實(shí)現(xiàn)對(duì)同步誤差的補(bǔ)償；多致動(dòng)器系統(tǒng)每個(gè)致動(dòng)器都選用相同型號(hào)，即每個(gè)致動(dòng)器的傳遞函數(shù)相同。

圖3 預(yù)緊力控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

2.2 同步誤差補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

設(shè)加載系統(tǒng)的三個(gè)致動(dòng)器分別為H1、H2、H3，每個(gè)致動(dòng)器輸出力與平均輸出力的差為fe，則根據(jù)同步控制方案，軸向預(yù)緊力加載系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型為：

式(11)中：ωpi分別為各子系統(tǒng)的外部擾動(dòng)，將上式中的力同步誤差模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到二階模型：

式(12)中：F(·)=(ypi,ypav,upi,upav,)為系統(tǒng)的內(nèi)、外部未知總擾動(dòng)的函數(shù)，ypi、ypav分別為各系統(tǒng)輸出平均值關(guān)于內(nèi)、外部擾動(dòng)的函數(shù)，b0為可調(diào)參數(shù)。

假設(shè)F(·)可微，令，則對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的描述如下：

式(13)中u為控制器產(chǎn)生的系統(tǒng)控制量。

針對(duì)式(11)所述系統(tǒng)設(shè)計(jì)ESO[14]：

式(14)中：z1、z2、z3分別為系統(tǒng)狀態(tài)1、x2、x3的觀測值；通過適當(dāng)?shù)挠^測器的增益參數(shù)β01、β02、β03，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的實(shí)時(shí)跟蹤；α1、α2分別取1/2、1/4；通過函數(shù)fal對(duì)信號(hào)的抖動(dòng)進(jìn)行抑制，函數(shù)具體如式(15)所示：

式(15)中δ＞0且代表區(qū)間長度。觀測誤差e對(duì)函數(shù)fla產(chǎn)生增益的大小有較大影響，e的值越大函數(shù)產(chǎn)生增益變小，反之越高。

可得基于擴(kuò)張觀測器的同步誤差控制規(guī)律為：

式(16)中ξP、ξI為控制器所需參數(shù)，f0為同步誤差的參考輸入。

2.3 控制器設(shè)計(jì)

本文采用模糊PID控制，控制器結(jié)構(gòu)如圖4所示。系統(tǒng)輸入為誤差E與誤差的變化率EC，輸出為PID參數(shù)KP、KI、KD。

圖4 模糊PID框圖

設(shè)輸入E與EC的論域均為(-3,3)，輸出各參數(shù)的論域均為(-60,60)，各變量隸屬度函數(shù)如圖6所示。規(guī)定E與EC的模糊集為{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}，則參數(shù)KP、KI、KD的模糊集為{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}，三個(gè)參數(shù)的模糊規(guī)則如表1～表3所示。

表1 等效模型各項(xiàng)參數(shù)

表2 KP模糊規(guī)則

表3 KI模糊規(guī)則

圖5 各變量隸屬度函數(shù)

表4 KD模糊規(guī)則

3 仿真分析

通過MATLAB/Simulink環(huán)境中搭建模型，驗(yàn)證控制方案的有效性。致動(dòng)器模型的相關(guān)參數(shù)[15]如表1所示，對(duì)式(8)的傳遞函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

試驗(yàn)要求載荷在180N～300N之間，響應(yīng)時(shí)間不超過1s，控制精度±10%。為驗(yàn)證所采用的擴(kuò)張觀測器及模糊PID控制器效果，分別將ESO與模糊PID逐個(gè)取出，并與原模型進(jìn)行對(duì)比。上述擴(kuò)張觀測器的仿真參數(shù)設(shè)計(jì)為β1=30，β2=300，β3=1000，δ=0.01，b0=150；模糊PID中KP、KI、KD三個(gè)參數(shù)分別設(shè)定為41000、387468及1047；同步誤差補(bǔ)償器中的PI控制器參數(shù)與子系統(tǒng)中模糊PID的參數(shù)存在一定比例關(guān)系，分別為HP×KP及HI×KI。為模擬實(shí)際工作情況，根據(jù)角接觸軸承的振動(dòng)特性及實(shí)際工作中的不確定性[16]，在模型中加入適當(dāng)頻率、大小的白噪聲對(duì)未知干擾進(jìn)行模擬。

表5 模型相關(guān)參數(shù)

依照載荷要求范圍，選取180N進(jìn)行靜力加載仿真，并與傳統(tǒng)PID偏差耦合進(jìn)行對(duì)比，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 設(shè)定180N時(shí)三種控制方法對(duì)比

圖6中，軸向加載力目標(biāo)值為180N，通過基于傳統(tǒng)PID控制器的偏差耦合、基于模糊PID的偏差耦合與本文所采用的基于ESO同步誤差補(bǔ)償器模糊PID控制器的偏差耦合進(jìn)行對(duì)比，可以明顯看出本文所用方法在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)之后，在相同白噪聲的影響下，穩(wěn)定性明顯優(yōu)于其他兩種方法。將所獲得數(shù)據(jù)通過處理得到三種控制方法的均方根誤差分別為42.69277、26.43721及22.46，可知本文所采用控制方法的離散程度更小。由此可見本文所采用控制方法在靜態(tài)加載中可以滿足加載需求。

由于本系統(tǒng)采用三個(gè)致動(dòng)器，在每臺(tái)致動(dòng)器上分別施加大小不同的白噪聲作為擾動(dòng)信號(hào)，將第2、3臺(tái)致動(dòng)器的輸出力值進(jìn)行對(duì)比，可以得到第2、3臺(tái)致動(dòng)器之間的同步誤差。在三種控制結(jié)構(gòu)上的每個(gè)通道加載相同的擾動(dòng)，可以得到如圖7所示同步誤差對(duì)比，顯然，本文所采用的方法的同步誤差更小、調(diào)整速度更快，可見本文所采用控制方法可以等好的減小同步誤差，保持多個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的之間的同步性能。

圖7 設(shè)定值為180N時(shí)三種方法第2、3臺(tái)致動(dòng)器同步誤差

如圖8所示，同步誤差補(bǔ)償器中的HP、HI對(duì)系統(tǒng)的同步誤差峰值及調(diào)整時(shí)間有著較大影響，各子系統(tǒng)之間的最大同步誤差隨著HP、HI增大而減小，但是相應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間卻隨著HP的提高而增大，由圖可知當(dāng)HP/HI為某一較小比值時(shí)，即HP=4，HI=1.5時(shí)效果較為優(yōu)異。

圖8 HP、HI對(duì)同步效果的影響

圖9 動(dòng)態(tài)加載仿真

軸承在試驗(yàn)過程中需要按照選定的載荷譜進(jìn)行動(dòng)態(tài)試驗(yàn)，選取載荷譜中的一部分進(jìn)行軸向預(yù)緊力加載裝置的仿真試驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖10所示?？梢钥闯鱿鄬?duì)于靜態(tài)加載在動(dòng)態(tài)加載過程中，軸向力的超調(diào)量會(huì)變大，在穩(wěn)定狀態(tài)下的震蕩幅度與靜態(tài)加載時(shí)相同，始終保持在允許振蕩范圍內(nèi)，可以看出軸向預(yù)緊力加載控制效果良好。

4 結(jié)語

針對(duì)機(jī)床主軸軸承性能試驗(yàn)中對(duì)預(yù)緊力的小載荷、高精度需求，利用多個(gè)致動(dòng)器制定了力控制器，形成以下結(jié)論：

1）各子系統(tǒng)內(nèi)通過模糊PID控制，使PID參數(shù)發(fā)生改變，顯著的減小了系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間與超調(diào)量。

2）在同步誤差補(bǔ)償器中，通過基于ESO的PI控制器對(duì)同步誤差進(jìn)行處理，減小各子系統(tǒng)之間的同步誤差，提高了各致動(dòng)器之間的同步性能。

3）根據(jù)仿真結(jié)果，利用白噪聲對(duì)軸承工作狀態(tài)的未知擾動(dòng)進(jìn)行模擬，對(duì)預(yù)緊力控制精度產(chǎn)生了影響，但依舊滿足被控對(duì)象的高精度要求。