王興鋒，張氫，秦仙蓉，孫遠(yuǎn)韜

（同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804）

在鋼框架結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)的桿件一般從標(biāo)準(zhǔn)型鋼庫(kù)中選取，通過(guò)組合得到滿足性能要求的最佳設(shè)計(jì)方案，因此，鋼框架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)典型的離散優(yōu)化問題.

當(dāng)前對(duì)鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化問題的研究，幾乎都側(cè)重于提出新的優(yōu)化方法，以期獲得滿足工程精度要求的近似最優(yōu)解.這些優(yōu)化方法覆蓋了元啟發(fā)式算法［1-5］、優(yōu)化準(zhǔn)則法［6-7］、基于梯度的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法［8-9］，但幾乎沒有研究能夠針對(duì)特定類型的鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化問題，明確指出優(yōu)化方法的求解結(jié)果與全局最優(yōu)解的距離.為確定優(yōu)化算法的求解精度，一般做法是通過(guò)與多種優(yōu)化方法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.這種論證方法只能粗略地說(shuō)明優(yōu)化算法的求解精度，而且需要廣泛地、有代表性地選取作為對(duì)比的優(yōu)化算法.為證明某種優(yōu)化算法的求解精度，一種更直接的方法是，獲取優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，或者優(yōu)化問題的理論下限（假設(shè)優(yōu)化問題為最小化問題）.盡管在工程實(shí)際問題中，由于約束的復(fù)雜性，幾乎不可能得到優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，但針對(duì)特定類型的鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化問題，還是有可能獲得全局最優(yōu)解或理論下界.

在這方面，已經(jīng)有少數(shù)學(xué)者展開了研究.針對(duì)含應(yīng)力和位移約束、以體積最小為目標(biāo)的鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化問題，Van 等［10］提出了一種優(yōu)化方法，通過(guò)將原優(yōu)化問題建模為混合整數(shù)優(yōu)化問題，從而得到離散優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解.針對(duì)含體積約束、以柔度最小為目標(biāo)的鋼框架結(jié)構(gòu)離散拓?fù)?尺寸優(yōu)化問題，Kanno［11］提出了一種混合整數(shù)二階錐規(guī)劃的建模方法，將原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸規(guī)劃問題，從而也得到了原問題的全局最優(yōu).kureta 等［12］針對(duì)負(fù)泊松比的周期性框架結(jié)構(gòu)的離散優(yōu)化問題，提出了一種混合整數(shù)的線性規(guī)劃方法.Hirota等［13］將混合整數(shù)的線性規(guī)劃建模方法，進(jìn)一步推廣到具有負(fù)熱膨脹能力的周期性框架結(jié)構(gòu)的離散拓?fù)鋬?yōu)化中.

在鋼框架結(jié)構(gòu)中，桿件的截面參數(shù)包括截面寬度、高度、板厚，以及截面面積、強(qiáng)弱軸慣性矩等.對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)型鋼截面，這些截面參數(shù)是相互關(guān)聯(lián)的，選定某一個(gè)截面參數(shù)則意味著同一截面的其他參數(shù)也被選中，故稱為關(guān)聯(lián)離散變量［14-15］.在以上研究中［10-13］，關(guān)聯(lián)離散變量是通過(guò)0-1 變量進(jìn)行定義，以此來(lái)表征是否選擇了某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)截面，對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問題都是含0-1 變量的凸規(guī)劃問題.對(duì)于此類優(yōu)化問題，一般采用隱枚舉法（如分支定界法）進(jìn)行求解，計(jì)算效率非常低，若結(jié)構(gòu)中的桿件數(shù)量或可選的標(biāo)準(zhǔn)截面增多，計(jì)算效率會(huì)大幅下降.

有鑒于此，本文提出了一種新的離散變量處理方法，即基于凸組合的線性松弛方法.該方法將關(guān)聯(lián)離散變量進(jìn)行線性松弛，從而將結(jié)構(gòu)的剛度矩陣轉(zhuǎn)化為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)，根據(jù)這一優(yōu)勢(shì)，可以將鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化中的多種非線性優(yōu)化問題進(jìn)一步建模為凸規(guī)劃問題.本文重點(diǎn)分析了兩類非線性優(yōu)化問題：柔度約束的最小體積問題和體積約束的最小柔度問題.根據(jù)剛度矩陣與設(shè)計(jì)變量的線性關(guān)系，將柔度約束的最小體積問題轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問題，將體積約束的最小柔度問題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題.采用現(xiàn)成的優(yōu)化求解器，直接求解這兩類凸規(guī)劃問題，快速得到松弛問題的全局最優(yōu)解，也就是離散優(yōu)化問題的理論下界.

1 離散變量的定義方法

在鋼框架結(jié)構(gòu)的離散優(yōu)化設(shè)計(jì)中，桿件截面從標(biāo)準(zhǔn)型鋼庫(kù)中選?。?/p>

式中：S為標(biāo)準(zhǔn)截面構(gòu)成的集合；為標(biāo)準(zhǔn)型鋼的截面參數(shù)；p為標(biāo)準(zhǔn)型鋼的個(gè)數(shù).

對(duì)于關(guān)聯(lián)離散變量，一種常見的處理方法為采用0-1變量：

式中：ti為0-1 變量，用于表征某一標(biāo)準(zhǔn)截面是否被選中.這種定義方法的本質(zhì)，是在p維的0-1 離散空間與標(biāo)準(zhǔn)截面集S之間定義了一種映射關(guān)系.

若優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中包含0-1 變量，則求解特別耗時(shí)，為此，本文提出了一種新的離散變量定義方法，即基于凸組合的線性松弛方法.

對(duì)于平面鋼框架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題，若只考慮結(jié)構(gòu)的軸向變形和彎曲變形，則結(jié)構(gòu)的剛度矩陣僅僅與桿件的截面面積和慣性矩有關(guān).因此，在作者前期的研究［16］中，提出了以截面面積和慣性矩為設(shè)計(jì)變量的定義方法：

式中：A、I分別為桿件的截面面積和慣性矩.考慮到標(biāo)準(zhǔn)型鋼的A和I是關(guān)聯(lián)離散變量，優(yōu)化過(guò)程中需要同時(shí)選取某一標(biāo)準(zhǔn)截面的A和I，故在每一次優(yōu)化迭代后將設(shè)計(jì)變量圓整到標(biāo)準(zhǔn)截面.根據(jù)式（5），標(biāo)準(zhǔn)型鋼可視為二維空間中的一個(gè)離散點(diǎn)（見圖1）.

圖1 基于凸組合的線性松弛Fig.1 Linear relaxation based on convex combination

對(duì)于空間中的任意多個(gè)點(diǎn)，總是存在一個(gè)包含所有點(diǎn)的最小凸多邊形（即凸包），使得凸多邊形內(nèi)的任意一點(diǎn)，都可以用凸多邊形頂點(diǎn)的凸組合進(jìn)行描述.因此，提出一種基于凸組合的線性松弛方法，將式（5）表示的變量定義方法推廣到連續(xù)空間：

在式（6）～（9）中，將基于凸多邊形的線性松弛方法應(yīng)用于二維空間，若將這一方法應(yīng)用于一維空間時(shí)，就退化為一種常見的松弛方法.以桁架結(jié)構(gòu)的離散優(yōu)化問題為例，假設(shè)桿件的可選截面集為：

式中：c1、c2為凸組合系數(shù).顯然，式（12）～（14）就是式（6）～（9）的一維形式.

根據(jù)式（6）～（9），離散優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量變成連續(xù)松弛變量（即凸組合系數(shù)），而標(biāo)準(zhǔn)截面的截面面積和慣性矩成為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù).由此，鋼框架結(jié)構(gòu)的剛度矩陣成為凸組合系數(shù)的線性函數(shù).根據(jù)這一特性，可以將兩類典型的鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化問題，即柔度約束的最小體積問題、體積約束的最小柔度問題，分別轉(zhuǎn)化為松弛的凸規(guī)劃問題.

2 凸規(guī)劃建模

2.1 柔度約束的最小體積問題

在鋼框架結(jié)構(gòu)的離散優(yōu)化中，柔度約束的最小體積問題可表達(dá)如下：

式中：Li、Ai分別為第i個(gè)桿件的長(zhǎng)度和截面面積；n為桿件的總數(shù)；K為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；U為節(jié)點(diǎn)位移列陣；F為載荷列陣；為柔度上限.

根據(jù)桁架結(jié)構(gòu)的研究［17-18］，桁架結(jié)構(gòu)的柔度約束和力平衡約束可等效于矩陣的半正定約束：

式中：Kt為桁架結(jié)構(gòu)的剛度矩陣.

式（18）成立的一個(gè)重要前提條件，就是Kt為桿件截面面積的線性函數(shù).根據(jù)本文提出的線性松弛方法，鋼框架結(jié)構(gòu)的剛度矩陣也成為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)，故同樣可以將鋼框架結(jié)構(gòu)的柔度約束最小體積問題轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問題：

式中：K(C)為鋼框架結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；C為凸組合系數(shù)矩陣.

針對(duì)半定規(guī)劃問題，當(dāng)前已經(jīng)有多個(gè)成熟的優(yōu)化求解器，如MOSEK［19］、SeDuMi［20］.應(yīng)用這些求解器，可以快速得到半定規(guī)劃問題的全局最優(yōu)解，也就是離散優(yōu)化問題的理論下界.

2.2 體積約束的最小柔度問題

在鋼框架結(jié)構(gòu)的離散優(yōu)化中，體積約束的最小柔度問題可表達(dá)如下：

根據(jù)Kanno［11］，體積約束的最小柔度問題可轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)的二階錐規(guī)劃問題：

式中：wil(l=1，2，3)是桿件i的應(yīng)變余能；sil(l=1，2，3)是桿件i的內(nèi)力；bil(l=1，2，3)為桿件i的方向列陣，具體計(jì)算方法可參照文獻(xiàn)［11］的附錄A.

其中，Ai、Ii屬于關(guān)聯(lián)離散變量，Kanno［11］采用0-1變量的定義方法進(jìn)行處理.為提高問題的求解效率，快速得到離散優(yōu)化問題的理論下界，本文采用基于凸組合的線性松弛方法來(lái)重新定義離散變量：

式（33）～（36）僅包含線性約束，不改變優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)特性，故所得到的優(yōu)化問題仍然屬于二階錐規(guī)劃問題.二階錐規(guī)劃問題可以用成熟的優(yōu)化求解器（如MOSEK、CPLEX［21］、Gurobi［22］或SeDuMi）進(jìn)行快速求解，進(jìn)而得到原離散優(yōu)化問題的理論下界.

3 數(shù)值算例

通過(guò)求解一跨四層鋼框架結(jié)構(gòu)的離散優(yōu)化問題，對(duì)所提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證.鋼框架結(jié)構(gòu)的尺寸、桿件分組和加載情況如圖2所示.桿件的彈性模量為2.1×105MPa，體積上限為0.18 m3，柔度上限為25.結(jié)構(gòu)中的桿件從標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格中的H 型鋼［23］中選?。ㄒ姳?），H型鋼在二維空間中的分布如圖1所示.

圖2 一跨四層鋼框架Fig.2 One-bay-four-story steel frame

表1 H型鋼Tab.1 H-shaped standard sections

采用枚舉法計(jì)算離散優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，并驗(yàn)證所提出方法求解優(yōu)化問題的理論下界的能力.為判斷所提出方法的計(jì)算效率，再用遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）求解當(dāng)前優(yōu)化問題.GA是一種經(jīng)典的智能優(yōu)化算法，可依概率收斂到優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，因此采用GA 與所提出方法進(jìn)行對(duì)比.采用MATLAB 平臺(tái)自帶的ga 求解器作為GA 的實(shí)現(xiàn)，其中：種群大小為30，最大迭代次數(shù)為500，其余參數(shù)都采用默認(rèn)值.將GA 獨(dú)立運(yùn)行30 次，得到最佳的優(yōu)化結(jié)果.

為了對(duì)關(guān)聯(lián)離散變量進(jìn)行線性松弛，需要定義包含離散點(diǎn)集的凸包.對(duì)于平面內(nèi)的離散點(diǎn)集，可采用經(jīng)典的Graham掃描算法［24］獲得對(duì)應(yīng)的凸包.

所有的優(yōu)化計(jì)算都在MATLAB 平臺(tái)中編碼，并在一臺(tái)工作站中執(zhí)行.該工作站含雙核2.2.GHz Xeon處理器，運(yùn)行內(nèi)存為32 GB.

3.1 柔度約束的最小體積問題

采用MOSEK 求解松弛的半定規(guī)劃問題，得到松弛最優(yōu)解.采用枚舉法求解該離散優(yōu)化問題，得到離散的全局最優(yōu)解，并采用GA 得到近似最優(yōu)解.松弛最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)體積為0.137 8 m3，結(jié)構(gòu)柔度為25.00；離散全局最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)體積為0.141 4 m3，結(jié)構(gòu)柔度為24.96；GA 得到的近似最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)體積為0.142 0 m3，結(jié)構(gòu)柔度為24.75.顯然，松弛最優(yōu)解比離散全局最優(yōu)解略小，松弛最優(yōu)解成為了離散優(yōu)化問題的理論下界.同時(shí)，根據(jù)松弛最優(yōu)解進(jìn)行鄰域搜索，可以快速得到高質(zhì)量的離散可行解，甚至是離散的全局最優(yōu)解.

基于半定規(guī)劃的方法僅需要采用調(diào)用一次優(yōu)化求解器、耗時(shí)0.51 s，就可以得到優(yōu)化問題的理論下界，而枚舉法需要求解524（≈5.96×1016）個(gè)子問題、耗時(shí)1 724.21 s，才能得到離散的全局最優(yōu)解.為了得到近似最優(yōu)解，GA 需要獨(dú)立運(yùn)行多次，而每一次運(yùn)行的計(jì)算時(shí)間都超過(guò)1 s（介于1.10 s到2.00 s之間），所以，GA 的計(jì)算效率也遠(yuǎn)不如所提出的半定規(guī)劃方法.顯然，當(dāng)需要判斷某種算法的優(yōu)化結(jié)果是否為全局最優(yōu)時(shí)，半規(guī)劃方法可以是一種高效的驗(yàn)證方法，尤其是對(duì)于規(guī)模稍大一些的同類優(yōu)化問題.

松弛最優(yōu)解和離散最優(yōu)解在空間中的分布情況如圖3所示，離散最優(yōu)解如表2所示.

圖3 柔度約束問題最優(yōu)解的分布情況Fig.3 Distribution of optimum solution for compliance-constrained problem

表2 柔度約束問題的離散最優(yōu)解Tab.2 Optimum solution for compliance-constrained problem

3.2 體積約束的最小柔度問題

采用MOSEK 求解松弛的二階錐規(guī)劃問題，同時(shí)采用枚舉法求解離散優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，并采用GA 得到近似最優(yōu)解.優(yōu)化結(jié)果如下：松弛最優(yōu)解的最小柔度為17.74，結(jié)構(gòu)體積為0.180 0 m3；離散全局最優(yōu)解的最小柔度為18.09，結(jié)構(gòu)體積為0.179 0 m3；GA 得到的近似最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)柔度為18.00，結(jié)構(gòu)體積為0.180 1 m3，略大于體積上限.因此，對(duì)于體積約束的最小柔度離散優(yōu)化問題，采用二階錐規(guī)劃的方法也可以得到離散問題的理論下界.可以根據(jù)松弛最優(yōu)解進(jìn)行鄰域搜索，得到離散優(yōu)化問題的可行解.

同樣的，基于二階錐規(guī)劃方法僅調(diào)用一次優(yōu)化求解器、耗時(shí)0.67 s，就能夠得到離散優(yōu)化問題的理論下界，而采用枚舉法需要計(jì)算524（≈5.96×1016）個(gè)子問題、耗時(shí)1 605.13 s，才能得到離散的全局最優(yōu)解.為了得到近似最優(yōu)解，GA 需要運(yùn)行多次，而每一次運(yùn)行的計(jì)算時(shí)間都超過(guò)0.70 s（介于0.70 s 到1.50 s之間），所以，二階錐規(guī)劃方法的計(jì)算效率遠(yuǎn)高于枚舉法和GA.

松弛最優(yōu)解和離散全局最優(yōu)解在空間中的分布情況如圖4所示，離散最優(yōu)解如表3所示.

表3 體積約束問題的離散最優(yōu)解Tab.3 Optimum solution for volume-constrained problem

圖4 體積約束問題最優(yōu)解的分布情況Fig.4 Distribution of optimum solution for volume-constrained problem

4 結(jié)論

針對(duì)兩類典型的鋼框架結(jié)構(gòu)離散優(yōu)化問題，即柔度約束的最小體積問題、體積約束的最小柔度問題，進(jìn)行了研究并得到如下結(jié)論：

1）基于凸組合的線性松弛方法，可以實(shí)現(xiàn)離散設(shè)計(jì)變量的線性松弛，使結(jié)構(gòu)的剛度矩陣成為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)，從而可將柔度約束的最小體積問題轉(zhuǎn)化為松弛的半定規(guī)劃問題，將體積約束的最小柔度問題轉(zhuǎn)化為松弛的二階錐規(guī)劃問題.對(duì)這兩類松弛的凸規(guī)劃問題，可以快速得到全局最優(yōu)解，即離散優(yōu)化問題的理論下界.

2）基于松弛的半定規(guī)劃方法和二階錐規(guī)劃方法，可以高效求解柔度約束的最小體積問題、體積約束的最小柔度問題，且求解效率遠(yuǎn)高于枚舉法.因此，采用松弛的半定規(guī)劃方法和二階錐規(guī)劃方法，可以快速驗(yàn)證某種優(yōu)化方法是否得到全局最優(yōu)解.

需要說(shuō)明的是，基于凸組合的線性松弛方法實(shí)現(xiàn)了桿件的截面面積和慣性矩的線性化描述，但未能對(duì)其他截面屬性進(jìn)行線性化描述.因此，本文的優(yōu)化方法適用于僅考慮桿件的拉壓變形和彎曲變形的平面鋼框架結(jié)構(gòu).