袁 祎，陳光武

（1.蘭州交通大學(xué) 光電技術(shù)與智能控制教育部重點實驗室，蘭州 730070；2.蘭州交通大學(xué) 自動化與電氣工程學(xué)院，蘭州 730070；3.甘肅省高原交通信息工程及控制重點實驗室，蘭州 730070）

由我國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航、歐洲Galileo、美國全球定位系統(tǒng)（GPS，Global Positioning System）、俄羅斯全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（GLONASS，Global Navigation Satellite System）組成的全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（GNSS，Global Navigation Satellite System）在鐵路交通領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用?；贕NSS 的列車定位系統(tǒng)定位方式不同于傳統(tǒng)軌道電路及應(yīng)答器輔助的定位方式，減少了軌旁設(shè)備的鋪設(shè)，降低了建設(shè)和運營成本，提高了鐵路運輸?shù)男?。基于衛(wèi)星的列車定位方式作為鐵路關(guān)鍵安全應(yīng)用中的一部分，其對可靠性與安全性要求更高[1]。

考慮到鐵路軌道可將列車約束至既定線路，許多學(xué)者將地圖匹配技術(shù)作為定位輔助手段，以校正GNSS 定位誤差，這種方式很大程度上提高了列車定位的精度，同時也節(jié)約了成本。而作為地圖匹配方法實現(xiàn)的前提，軌道電子地圖對線路地理和幾何信息的準(zhǔn)確描述直接影響了地圖匹配算法的精度，因此，構(gòu)建高精度的軌道電子地圖是非常必要的[2]。在地理信息系統(tǒng)中常通過多條折線逼近的方式來描述曲線段，雖然有效，但會使線路的整體特征無法體現(xiàn)，同時損失了軌跡數(shù)據(jù)的精度[3]，不適用于鐵路列車定位領(lǐng)域。

許多學(xué)者就軌道電子地圖的構(gòu)建方法進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[4—5]通過卡爾曼 (Kalman) 濾波算法構(gòu)建預(yù)測方程，對采集到的數(shù)據(jù)集進(jìn)行野值數(shù)據(jù)的剔除，利用角度差法對處理后的軌跡數(shù)據(jù)進(jìn)行分段曲線擬合，完成軌道電子地圖的構(gòu)建；文獻(xiàn)[6]針對原始GPS 地圖測量數(shù)據(jù)，采用多點加權(quán)距離檢驗及Kalman 估計差值檢驗實現(xiàn)錯誤數(shù)據(jù)剔除，利用三次B 樣條曲線反算生成擬合曲線，并按照一定的距離分辨率進(jìn)行等距離插值，實現(xiàn)軌道電子地圖的構(gòu)建；文獻(xiàn)[7]利用啟發(fā)式算法對軌跡數(shù)據(jù)進(jìn)行約簡，通過分段折線對軌道線形進(jìn)行描述；文獻(xiàn)[8—9]研究從大量低精度的GPS 軌跡數(shù)據(jù)融合生成高精度GPS 數(shù)據(jù)的快速算法，通過對比得出最優(yōu)的軌跡融合表示結(jié)果；文獻(xiàn)[10]針對線形的識別進(jìn)行研究，采用啟發(fā)式算法對直線、圓曲線和緩和曲線段進(jìn)行識別擬合，但需要選定初始點，且算法復(fù)雜；文獻(xiàn)[11]提出了一種低成本的水平對齊擬合方法，通過曲率和方向討論了點位置誤差對道路線形表示噪聲的影響，但擬合精度不高；文獻(xiàn)[12]通過計算方位角近似估計曲率的方式對線形進(jìn)行初步識別，通過設(shè)定橫向誤差對直線段和圓曲線段進(jìn)行迭代，直至特征點確定，并采用最小二乘（LS，Least Squares）方法進(jìn)行擬合，完成線路描述，但沒有考慮到野值對擬合精度的影響。

本文考慮野值數(shù)據(jù)的影響，采用方位角近似估計曲率的方式對軌跡平面線形進(jìn)行初步識別分類，設(shè)定橫向誤差為約束條件，對直線及曲線的分界點進(jìn)行確定，采用引入自適應(yīng)權(quán)值因子的LS 方法進(jìn)行分段軌跡的擬合，以提高可靠軌跡數(shù)據(jù)擬合權(quán)值，而降低野值數(shù)據(jù)擬合權(quán)值的思路提高軌跡擬合平滑度，完成整體的線路地圖構(gòu)建。

1 鐵路平面線形識別

1.1 鐵路平面線形介紹

通常，實際鐵路線路在設(shè)計的過程中受地形、技術(shù)等因素的限制，不能以單一長直線進(jìn)行鐵軌的鋪設(shè)，為提高行車安全及舒適度，在列車轉(zhuǎn)向處往往需要將相鄰的兩段直線用平面曲線連接起來，以減少對行駛列車的沖擊。鐵路線路通常劃分為直線、圓曲線、緩和曲線3 種類型，其中，緩和曲線分為前緩和曲線與后緩和曲線，主要實現(xiàn)直線與圓曲線之間的過渡，鐵路的線形平面示意如圖1 所示。

圖1 鐵路線形平面示意

半徑、方位角及曲率作為鐵路平面線形的3 個描述指標(biāo)，其特點如表1 所示，表中，R為圓曲線半徑。

表1 鐵路線形平面參數(shù)特點

1.2 基于方位角曲率特征的平面線形識別

鐵路線路中心各軌跡點的方位角是指從該觀測點正北方向起，繞順時針方向至該觀測點方向線之間所成的水平夾角。參照文獻(xiàn)[12]，利用圓弧切線法計算各軌跡點的方位角，如圖2 所示，采用“三點定圓法”計算圓心 (x0,y0)和 半徑R，將觀測點在圓弧的切線與正北方向的夾角作為該點的方位角，方位角表達(dá)式為

圖2 圓弧切線法確定方位角示意

其中，θi為當(dāng)前觀測點的方位角，且θi2[0?,360?]；(xi,yi)為當(dāng)前點i的坐標(biāo)；(xp,yp)為后一點i+1在圓弧切線方向的投影坐標(biāo)。則當(dāng)前點的近似曲率為

其中，ρi為當(dāng)前點i的近似曲率；dis(i,i+1)為前后兩點坐標(biāo)的投影距離。

依據(jù)平面線形的曲率特點，設(shè)定曲率閾值，對直線線形及曲線線形進(jìn)行劃分。將橫向誤差作為約束條件對圓曲線及緩和曲線進(jìn)行劃分，橫向誤差通常取0.25 m。

平面線形識別算法流程如圖3 所示。（1）通過所測GNSS 軌跡點坐標(biāo)計算方位角，由方位角計算出該點斜率；（2）出于測量誤差會影響計算的考慮，使用滑動平均法對采集軌跡點的方位角和曲率進(jìn)行平滑濾波；（3）利用直線路段曲率為零的特點，對軌跡進(jìn)行直線段及曲線路段的初步劃分；（4）設(shè)定橫向測量誤差為約束條件，對識別出的路段依據(jù)對應(yīng)模型進(jìn)行迭代擬合，從而確定出3 種線形的起始點、終止點及相關(guān)描述參數(shù)，得到軌跡的整體平面線形表示。

圖3 平面線形識別算法流程

2 鐵路平面線形擬合

2.1 最小二乘平面線形擬合方法

對軌跡點所處平面線形進(jìn)行確定之后，需根據(jù)不同線形的特點選取對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行軌跡點的初步擬合，并求解不同線形模型的相關(guān)參數(shù)。本文使用常見的曲線擬合法—LS 方法[13]對軌跡點進(jìn)行擬合。將軌跡點坐標(biāo)作為觀測量，線形模型參數(shù)為待估計量，即根據(jù)一系列離散點(xi,yi)，求近似曲線函數(shù)y=C(x)，將軌跡點到曲線擬合點的殘差平方和最小的函數(shù)作為LS 擬合曲線函數(shù)。LS 形擬合算法的主要步驟如下。

Step1：根據(jù)給定的m個觀測軌跡點數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,···,m)，確定多項式曲線為

其中，aj(j=0,1,2,···,n) 為多項式各項的待定系數(shù)。

將式（3）用矩陣形式表示為

其中，A=[a0,a1,a2,···,an]為多項式的各項待定系數(shù)矩陣。

Step2：記點(xi,yi)到擬合曲線y=C(x)殘差為 δi，故曲線擬合殘差的平方和為

若要使其殘差平方和最小，則曲線擬合的目標(biāo)函數(shù)為

Step3：將曲線擬合問題轉(zhuǎn)化為求解目標(biāo)函數(shù)極小值點，則根據(jù)可得

k=0,1,···,n，整理可得

Step4：利用矩陣形式表示為XAT=Y，則可知

根據(jù)已知離散軌跡點集(xi,yi)，計算待定參數(shù)為

Step5：將式（9）代入式（4），即可獲取所擬合曲線的多項式。

2.2 三種平面線形擬合

根據(jù)鐵路平面線形的特點，可將擬合曲線多項式分為直線線形、圓曲線及緩和曲線3 種，其具體擬合方法如下。

2.2.1 直線線形擬合

設(shè)直線參數(shù)方程為y=ax+b，根據(jù)直線上的m個觀測點坐標(biāo)(xi,yi),i=1,2,···,m，根據(jù)LS 原理，可求得其系數(shù)為

將式（10）中的a、b代入y=ax+b，即可獲得當(dāng)前目標(biāo)直線方程。

2.2.2 圓曲線擬合

設(shè)圓曲線參數(shù)方程為R2=(x?x0)2+(y?y0)2，其中， (x0,y0)為圓心坐標(biāo)；R為圓曲線半徑。根據(jù)LS 原理對曲線上的各坐標(biāo)點 (xi,yi)進(jìn)行擬合，殘差平方和函數(shù)Q為

由LS 原理約束條件可知

聯(lián)立式（11）和式（12），可求解相關(guān)參數(shù)為

2.2.3 緩和曲線擬合

按2.1 節(jié)求解方法，代入4 個軌跡點值即可確定上式a、b、c、d這4 個參數(shù)。

2.3 引入自適應(yīng)權(quán)值因子的最小二乘擬合方法

在衛(wèi)星數(shù)據(jù)采集過程中，受設(shè)備條件及環(huán)境因素影響，往往會存在野值數(shù)據(jù)。在標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘擬合方法中，并未消除這種數(shù)據(jù)的影響，會使擬合線形不夠平滑、精度下降。因此，本文引入自適應(yīng)權(quán)值因子來降低野值數(shù)據(jù)的影響，提高可靠軌跡數(shù)據(jù)的擬合權(quán)值，使擬合線形更符合實際線路情況。

2.3.1 自適應(yīng)權(quán)值因子的確定

若觀測軌跡點在t時刻以前滿足測試數(shù)據(jù)的噪聲分布，而在t時刻出現(xiàn)較大偏差，則可將t時刻的觀測數(shù)據(jù)視作是疊加在常規(guī)觀測值上的一個野值，此時觀測值為

其中，ω為與野值相關(guān)的偏差分量，yt為平穩(wěn)狀態(tài)下的理論觀測值。此時殘差估計值為

鐵路平面線形擬合是已知整體軌跡數(shù)據(jù)的后處理過程，與軌跡觀測點的時序無關(guān)，故定義當(dāng)前測點與擬合曲線的相似耦合度因子 τ(t)為

其中，ρ(t)為兩軌跡序列殘差的相關(guān)系數(shù)為包含當(dāng)前數(shù)據(jù)點的軌跡序列不含當(dāng)前數(shù)據(jù)點的相鄰軌跡序列；L為軌跡序列長度，依據(jù)采樣周期進(jìn)行相應(yīng)調(diào)節(jié)。τ(t)反映了相鄰序列間的相似程度，相關(guān)系數(shù)越高，則該觀測點序列平滑，相關(guān)系數(shù)低，即判斷當(dāng)前點為野值數(shù)據(jù)。

對殘差進(jìn)行歸一化為

其中，jδjmax為殘差序列最大值的絕對值，jδjmin為殘差序列最小值的絕對值。故權(quán)值因子 λt與殘差δt的關(guān)系為

當(dāng)觀測點(xt,yt)與對應(yīng)擬合曲線l的殘差δt越大時，觀測點與擬合軌跡相似耦合程度越低，權(quán)值因子 λt隨之減小，降低觀測點的可信度；反之，當(dāng)殘差 δt較小時，λt增大，提高觀測點的可信度，因此，可通過λt對野值進(jìn)行自適應(yīng)修正。

2.3.2 改進(jìn)最小二乘線形擬合算法流程

自適應(yīng)權(quán)值因子改進(jìn)后的最小二乘目標(biāo)擬合函數(shù)為

自適應(yīng)權(quán)值因子改進(jìn)的最小二乘算法流程如下。

（1）按照標(biāo)準(zhǔn)最小二乘算法步驟擬合初始曲線；

（2）對觀測軌跡點Ot的擬合殘差序列δt(t=1,2,···,m)進(jìn)行計算；

（3）根據(jù)式（17）、（18）求解相似耦合度因子 τ(t)及歸一化系數(shù)η，并由式（19）計算得到自適應(yīng)權(quán)值因子 λt；

（4）根據(jù)自適應(yīng)權(quán)值因子 λt改進(jìn)擬合參數(shù)，根據(jù)2.1 節(jié)擬合方程求解，獲取軌跡分段線形。

3 試驗驗證及分析

3.1 試驗數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

為驗證本文擬合方法的有效性，采用PwrPak7-E1 組合導(dǎo)航系統(tǒng)，測得蘭州交通大學(xué)至北環(huán)路的車輛GNSS 軌跡數(shù)據(jù)，并進(jìn)行驗證，線路全長約5.7 km，共計800 個測點，對數(shù)據(jù)進(jìn)行經(jīng)緯度坐標(biāo)的UTM（Universal Transverse Mercator）平面投影轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的軌跡平面線形如圖4 所示。

圖4 車輛原始軌跡平面線形

3.2 線形識別及擬合結(jié)果

參照文獻(xiàn)[12]，采用滑動平均濾波法對其軌跡各測點的方位角進(jìn)行處理，如圖5 所示，已知直線路段曲率恒為零，設(shè)定度/m）為直線及曲線的劃分閾值，將直線路段屬性設(shè)定為1，曲線路段屬性設(shè)為0?？蓪囕v軌跡的分段進(jìn)行初步劃分，該車輛軌跡可分為17 段，包含9 個曲線段，8 個直線段，如圖6 所示。根據(jù)2.2 節(jié)的擬合公式，分別對劃分好的軌跡段進(jìn)行擬合，可得到相應(yīng)的線形及參數(shù)。擬合后的軌跡曲率特征如圖7 所示，擬合后的平面線形的分布如圖8 所示。

圖5 車輛軌跡點曲率變化示意

圖6 直線、曲線初始分段屬性

圖7 軌跡擬合后的曲率示意

圖8 車輛軌跡線形分段擬合示意

擬合誤差表示測量數(shù)據(jù)在擬合軌跡和真實軌跡中投影點的殘差，其值代表了平面線形的擬合精度。本文將擬合誤差絕對值的均值（AVG）、最大值（MAX）、方差（VAR）、均方誤差（MSE）作為衡量指標(biāo)，與傳統(tǒng)最小二乘擬合方法進(jìn)行對比，擬合誤差相關(guān)參數(shù)如表2 所示。

表2 算法性能指標(biāo)對比

由表2 可知，引入自適應(yīng)權(quán)值因子改進(jìn)的LS 擬合方法，在擬合精度上更具優(yōu)勢，可有效抑制野值數(shù)據(jù)對擬合平滑度的影響，使軌跡平面線形與真實線路更為接近。算法可對線路的直線、緩和曲線及圓曲線3 種平面線形進(jìn)行有效識別并擬合，通過線形分界點及對應(yīng)線形擬合參數(shù)對軌跡數(shù)據(jù)進(jìn)行約簡表示的方法適用于數(shù)字軌道地圖的構(gòu)建過程。

4 結(jié)束語

本文基于鐵路線路平面線形的特點，采用方位角近似估計曲率的方法對軌跡平面線形進(jìn)行初步識別分類；引入自適應(yīng)權(quán)值因子改進(jìn)的LS 方法進(jìn)行分段軌跡的曲線擬合；并通過實測車輛軌跡數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證。本文方法能夠有效對3 種鐵路平面線形進(jìn)行識別，改進(jìn)的LS 方法可降低野值數(shù)據(jù)擬合權(quán)值，從而提高軌跡擬合平滑度，比傳統(tǒng)LS 方法擬合精度更高。