陳 恒，代文鵬，李勇興，顏廷洋

（1.西京學(xué)院，陜西 西安 710123；2.山東海事職業(yè)學(xué)院，山東 濰坊 262408；3.齊魯理工學(xué)院，山東 濟(jì)南 250200）

0 引言

混沌系統(tǒng)對初始條件具有很高的敏感性［1］，Lorenz提出Lorenz混沌系統(tǒng)［2］。近幾十年來，新的系統(tǒng)不斷被提出與發(fā)現(xiàn)［3］，如T系統(tǒng)［4］、Chen系統(tǒng)［5］、Liu系統(tǒng)等［6］。目前，混沌理論在圖像加密數(shù)據(jù)傳輸［7］、電機(jī)控制系統(tǒng)等各個領(lǐng)域得到了應(yīng)用［8］。近年來，混沌中的同步研究發(fā)展迅速［9］。那么能否在三維Liu混沌系統(tǒng)上，研究其動力學(xué)行為并進(jìn)行同步控制［10］，為實(shí)際工程提供了新思想。

針對Liu系統(tǒng)的相圖、分岔圖以及Lyapunov指數(shù)分析了系統(tǒng)參數(shù)變化時動力學(xué)行為［11］。仿真結(jié)果說明該混沌電路及自適應(yīng)同步控制的可實(shí)現(xiàn)性。

1 混沌系統(tǒng)與分析

動力學(xué)方程是一類含有平方的非線性Liu混沌系統(tǒng)。

其中x、y、z為系統(tǒng)變量，系統(tǒng)的參數(shù)為a、b、c，當(dāng)a=5、b=2、c=15，畫出系統(tǒng)（1）相圖，觀察發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)中存在典型的混沌吸引子（見圖1）。計(jì)算得出系統(tǒng)三個Lyapunov指數(shù)為λ1=0.9712，λ2=-0.0072，λ3=-7.9323，最大Lyapunov指數(shù)是正數(shù)，得出該系統(tǒng)是含著混沌特性的［12］。

圖1 系統(tǒng)（1）相圖

1.1 耗散性

由式（2）得a+b>0時，系統(tǒng)（1）是一個耗散系統(tǒng)，體積元收斂為即體積元V0以指數(shù)收斂，t時刻體積元為V0e-(a+b)t，當(dāng)t→∞時的體積元收斂到零，漸進(jìn)運(yùn)動圍繞在一個吸引子上。

1.2 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

在對系統(tǒng)平衡點(diǎn)E0=(0,0,0)進(jìn)行線性化處理后的Jacobian矩陣：

那么，特征方程為：

解得特征值為：λ1=-11.5139，λ2=6.5139，λ3=-2，根據(jù)Routh——Hurwitz判據(jù)，該平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。同樣得，E1、E2是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

2 參數(shù)的影響

非線性動力系統(tǒng)的狀態(tài)由系統(tǒng)參數(shù)決定［13］，從系統(tǒng)三個方向的Lyapunov指數(shù)和分岔圖，可以直觀看出系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的變化［14］。

固定參數(shù)b=2，c=15，改變參數(shù)a，a∈[0,15]系統(tǒng)（1）的Lyapunov指數(shù)譜與關(guān)于x的分岔圖如圖2所示。可以看出系統(tǒng)是由周期進(jìn)入混沌狀態(tài)，a∈[1,3]為周期態(tài)，a∈[3,9.5]處于混沌狀態(tài)，為進(jìn)一步研究幾個特殊點(diǎn)的狀態(tài)，本文做了不同狀態(tài)的相圖，如圖3所示。

圖2 a變化時系統(tǒng)（1）分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜

同理，固定參數(shù)a=5，c=15，改變參數(shù)b，b∈[0,12]系統(tǒng)（1）的Lyapunov指數(shù)譜與關(guān)于x的分岔圖如圖4所示。從分岔圖中可看出b=5.5左右系統(tǒng)脫離混沌進(jìn)入周期狀態(tài)，為了驗(yàn)證，做了相圖如圖5。還可看出在b=8與b=10分別出現(xiàn)了雙周期與單周期現(xiàn)象，相圖如圖5（c）（d）。

圖4 b變化時系統(tǒng)（1）的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜

圖5 系統(tǒng)隨b變化時的相圖

圖3系統(tǒng)隨a變化時的相圖

同 理，固 定 參 數(shù)a=5，b=2，改 變 參 數(shù)c，c∈[0,10]系統(tǒng)（1）的Lyapunov指數(shù)譜與關(guān)于x的分岔圖如圖6所示。從分岔圖中與Lyapunov指數(shù)譜可看出系統(tǒng)是由周期進(jìn)入混沌，a∈[ ]4,10處于混沌狀態(tài)，為了驗(yàn)證，做了相位圖，如圖7（a）（b）分別為周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)。

圖6 c變化時系統(tǒng)（1）的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜

圖7 系統(tǒng)隨c變化時的相圖

3 系統(tǒng)電路原理圖及方程

Multisim搭建系統(tǒng)硬件電路并進(jìn)行仿真，根據(jù)混沌系統(tǒng)（1）的狀態(tài)方程，利用集成運(yùn)放LM741、模擬乘法器AD633及電容和電阻等設(shè)計(jì)出相應(yīng)的混沌電路圖（如圖8）。

圖8 系統(tǒng)（1）的電路原理圖

根據(jù)以上電路原理圖，電路振蕩電路方程為:

通過電路振蕩電路方程與混沌系統(tǒng)（1）的狀態(tài)方程對比，在數(shù)值內(nèi)容上是完全對應(yīng)的。為了驗(yàn)證該混沌電路的正確性，利用Multisim14對混沌電路進(jìn)行電路仿真，將電路的x、y、z端的輸出電壓實(shí)時顯示在示波器上，如圖9所示。經(jīng)仿真驗(yàn)證，該混沌系統(tǒng)電路可以搭建實(shí)現(xiàn)。

圖9 系統(tǒng)（1）的相位圖

4 自適應(yīng)同步控制器的研究

為了更好地研究本系統(tǒng)，設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)同步控制器，進(jìn)行控制，設(shè)定驅(qū)動系統(tǒng)：

式（7）中的u為控制輸入，參數(shù)b是未知，定義誤差為：

V>0,V?<0，該誤差系統(tǒng)是一個能量衰減的函數(shù)，當(dāng)t→+∞，e x、e y、e z→0，系統(tǒng)誤差趨近于0，驅(qū)動系統(tǒng)（6）響應(yīng)系統(tǒng)（7）同步。

5 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證同步控制器的可實(shí)現(xiàn)性，Matlab對該同步控制器進(jìn)行了仿真，當(dāng)a=5，c=15，未知的參數(shù)b=1.5，該系統(tǒng)具有混沌現(xiàn)象。分別取兩個系統(tǒng)初始條 件 為：x1（0）=-1，y10=2，z10=1，x20=10，y20=-10，z20=21，仿真的同步結(jié)果與誤差結(jié)果如圖10、圖11所示。可見t在4秒左右，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步，驗(yàn)證了同步控制器設(shè)計(jì)方法的有效性。

圖10 驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)同步過程結(jié)果

圖11 驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)誤差結(jié)果

6 結(jié)論

本文通過Matlab軟件對三維Liu混沌系統(tǒng)走向混沌過程及自適應(yīng)同步控制的實(shí)現(xiàn)進(jìn)行理論研究，改變系統(tǒng)參數(shù)來控制系統(tǒng)的變化，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)周期到混沌運(yùn)動的動力學(xué)行為。同時，設(shè)計(jì)該系統(tǒng)的混沌電路與自適應(yīng)同步控制器并進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果證明該混沌電路及自適應(yīng)同步控制具有可操作性，研究結(jié)果為混沌系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)及混沌同步控制研究提供了思路。