葛才安,鄭燕萍,虞 楊

(1.南京林業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院， 南京 210037； 2.南京林業(yè)大學(xué) 機械與電子工程學(xué)院， 南京 210037)

0 引言

電池荷電狀態(tài)(state of charge,SOC)反映了電池的剩余容量，精確的SOC估計可以為整車能量管理和動力分配提供依據(jù)，還可以調(diào)整電池的充放電策略，防止過充過放[1]。由于動力鋰電池的使用環(huán)境十分復(fù)雜，在其工作過程中只能測得溫度、電壓、電流等有限參數(shù)，而且放電電流變化大，使動力鋰電池SOC的實時在線估計變得困難。

在前期研究中，動力鋰電池常用的SOC估計方法有安時積分法、開路電壓法、基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法和基于模型的方法等[2]。安時積分法依賴準確的SOC初值，且電流存在累積誤差；開路電壓法中的開路電壓(open circuit voltage,OCV)獲取需要長時間靜置，不便于實時估計SOC[3-4]；基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法需要大量試驗數(shù)據(jù)對模型進行訓(xùn)練，模型受限于訓(xùn)練數(shù)據(jù)；基于模型的方法關(guān)鍵是要建立高精度的電池模型。常用的電池性能模型有電化學(xué)模型、等效電路模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等[5]。電化學(xué)模型采用偏微分方程和代數(shù)方程組描述電池內(nèi)部的化學(xué)反應(yīng)，但是偏微分方程的求解十分復(fù)雜，即使對模型進行簡化，計算量仍然遠大于等效電路模型[6-7]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型同樣受限于訓(xùn)練數(shù)據(jù)，而等效電路模型利用電路元器件組成的電路模擬電池的電壓、電流特性，其結(jié)構(gòu)簡單、計算量小，因此在仿真研究中得到了廣泛應(yīng)用。

等效電路模型的參數(shù)辨識方法分為離線辨識和在線辨識[8]。離線辨識是通過擬合電池脈沖試驗工況下的電壓特性曲線來辨識電池模型參數(shù)。例如，馬銳等[9]提出的基于3次樣條插值法的離線辨識方法，獲得了較高的SOC估計精度。但是，離線辨識的電池模型參數(shù)不會隨著電池循環(huán)次數(shù)和溫度等因素的改變而變化，模型精度有欠缺。因此，有學(xué)者提出了模型參數(shù)在線辨識方法，常見的有遞推最小二乘法(recursive least squares,RLS)、遺忘因子遞推最小二乘法(forgetting factor recursive least squares,FFRLS)和卡爾曼濾波(Kalman filter,KF)算法等。例如，韋莉等[10]采用RLS辨識超級電容模型參數(shù)，基于動態(tài)容值修正的方法估計超級電容SOC，提高了不同溫度下的SOC估計精度。李振強等[11]采用FFRLS在線辨識二階RC模型參數(shù)，聯(lián)合擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter,EKF)算法估計電池SOC，解決了RLS占用內(nèi)存大、容易出現(xiàn)數(shù)據(jù)飽和的問題。

基于前期的研究成果，本文以三元鋰電池為研究對象，建立三元鋰電池的Thevenin等效電路模型，分別利用FFRLS和EKF算法在線辨識電池模型參數(shù)，聯(lián)合EKF算法估計電池SOC，并在動態(tài)應(yīng)力測試(dynamic stress test,DST)工況下，比較FFRLS-EKF聯(lián)合算法和雙擴展卡爾曼濾波(dual extended Kalman filter,DEKF)聯(lián)合算法的電池SOC估計精度。

1 三元鋰電池模型的建立

1.1 等效電路模型

等效電路模型的精確程度直接影響到電池SOC估計的準確性，能較好地模擬電池特性的等效電路模型，通常具有較為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，占用較多的計算資源，不利于工程應(yīng)用。綜合考慮，本文選用物理意義清晰、參數(shù)辨識容易、兼顧準確度和復(fù)雜度的Thevenin等效電路模型，如圖1所示[12-13]。

圖1 Thevenin等效電路模型

圖1中，I為電流，本文以放電電流方向為正；Ut為端電壓；Uoc為開路電壓；R0為歐姆內(nèi)阻；R1為極化內(nèi)阻；C1為極化電容；U1為極化電壓。

由基爾霍夫電流定律和電壓定律可得Thevenin模型的電氣關(guān)系：

(1)

Ut(t)=Uoc(t)-U1(t)-I(t)R0

(2)

1.2 等效電路模型

三元鋰電池OCV與SOC之間的對應(yīng)關(guān)系對電池SOC估計有著重要的影響。采用多項式對電池OCV-SOC的非線性特征進行擬合，不同階次擬合曲線的均方根誤差(root mean square error,RMSE)如表1所示，當多項式階次低于5次時，擬合曲線不夠精確，當多項式階次高于6次時，擬合曲線精度提升并不明顯且容易產(chǎn)生過擬合現(xiàn)象，所以選用6階多項式擬合三元鋰電池OCV-SOC曲線，擬合曲線如圖2，其表達式如式(3)所示。

表1 不同階次多項式擬合的均方根誤差

(3)

圖2 OCV-SOC擬合曲線

2 等效電路模型參數(shù)的辨識方法

2.1 遺忘因子遞推最小二乘法

利用FFRLS辨識電池模型參數(shù)時，需將Thevenin模型轉(zhuǎn)化為最小二乘法基本形式。對式(2)進行Laplace變化，得到電池阻抗的傳遞函數(shù)：

(4)

式中，τ=R1C1為RC環(huán)的時間常數(shù)。

采用雙線性變化對式(4)進行離散化處理：

(5)

式中，

(6)

Ts為采樣周期，本文Ts=1 s。

根據(jù)式(6)，可得k時刻的R0、R1、τ：

(7)

根據(jù)開路電壓短時不變的假設(shè)[14]，式(5)可表示為：

Ut,k=(1-θ1)Uoc,k+θ1Ut,k-1+θ2Ik+θ3Ik-1

(8)

將式(8)轉(zhuǎn)化為最小二乘基本形式：

(9)

式中：數(shù)據(jù)矩陣φk=[1，Ut,k-1，Ik，Ik-1]；參數(shù)矩陣θk=[(1-θ1)Uoc,k，θ1，θ2，θ3]，yk為輸出值。

由于RLS會隨著迭代次數(shù)的增加，出現(xiàn)數(shù)據(jù)飽和，為了弱化舊數(shù)據(jù)對辨識結(jié)果的影響，引入遺忘因子λ對數(shù)據(jù)施加時變加權(quán)系數(shù)，最新的數(shù)據(jù)用1加權(quán)，之前n個采樣周期的數(shù)據(jù)用λn加權(quán)。取準則函數(shù)：

(10)

FFRLS的遞推過程如下：

(11)

2.2 擴展卡爾曼濾波算法

非線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

(12)

式中：xk+1為狀態(tài)變量；yk為輸出變量；f(·)為非線性狀態(tài)方程；g(·)為非線性輸出方程；wk為狀態(tài)噪聲；vk為觀測噪聲；wk、vk的均值為0，協(xié)方差分別為Qk、Rk。

(13)

式中，Ak、Bk、Ck、Dk分別為：

(14)

EKF算法的遞推過程如下：

(15)

以xk=[Uoc,k，R0,k，R1,k，C1,k，I1,k]T為狀態(tài)變量，yk=Ut,k為輸出變量，uk=Ik為輸入變量的三元鋰電池非線性離散化狀態(tài)空間方程如下：

(16)

式中，I1為流經(jīng)極化電阻的電流。

線性化后的系統(tǒng)矩陣為：

(17)

式中，

(18)

線性化后的觀測矩陣為：

(19)

3 電池SOC估計方法

利用EKF算法估計電池SOC需要建立關(guān)于SOC的離散化狀態(tài)空間方程，安時積分法計算電池SOC的表達式為：

(20)

式中，SOC0為SOC初始值；η為庫倫效率，可通過充放電試驗獲得，本文取η=1；CN為電池容量，可通過靜態(tài)容量測試獲得。

將式(20)離散化：

SOCk+1=SOCk-ηIkTs/CN

(21)

將式(1)和式(2)離散化：

U1,k+1=U1,ke-Ts/τ+IkR1(1-e-Ts/τ)

(22)

Ut,k=Uoc,k-IkR0-U1,k

(23)

將離散化的電池SOC表達式與式(22)和式(23)結(jié)合并進行一階Taylor級數(shù)展開線性化，得到離散化狀態(tài)空間方程：

(24)

式中：狀態(tài)變量xk=[U1,k，SOCk]T；輸出變量yk=Ut,k；輸入變量uk=Ik。

分別利用FFRLS和EKF算法在線辨識電池模型參數(shù)，然后利用在線辨識的參數(shù)進行電池SOC估計，就形成了模型參數(shù)和SOC聯(lián)合在線估計方法。

4 試驗及仿真分析

試驗電池選用LG公司生產(chǎn)的三元鋰動力電池，主要技術(shù)參數(shù)為：額定容量27 Ah，額定電壓3.7 V，充電截至電壓4.2 V，放電截至電壓2.75 V。試驗平臺采用LANBTS(BT-2016E)電池測試儀，采樣周期為1 s，試驗溫度為25 ℃。

4.1 等效電路模型驗證

在DST工況下，分別利用FFRLS和EKF算法進行電池模型參數(shù)辨識，電池初始SOC為1，辨識結(jié)果如圖3—5所示。從圖3—5可以看出，F(xiàn)FRLS和EKF算法辨識的電池模型參數(shù)整體上相差不大；但是FFRLS辨識的極化內(nèi)阻R1和時間常數(shù)τ在電池放電初期和即將放電結(jié)束時出現(xiàn)了比較劇烈的抖動，而EKF算法的辨識結(jié)果較為平緩。2種算法在每個采樣時刻辨識模型參數(shù)大約需要0.01 s，遠小于本文采樣周期(1 s)，實時性很好。

圖3 歐姆內(nèi)阻R0辨識結(jié)果

圖4 極化內(nèi)阻R1辨識結(jié)果

圖5 時間常數(shù)τ辨識結(jié)果

將辨識結(jié)果分別代入式(9)和式(23)得到模型端電壓，圖6為模型端電壓與實測端電壓曲線，圖7為端電壓誤差曲線。從圖6和圖7可以看出，F(xiàn)FRLS和EKF算法的模型端電壓均能較好地跟蹤實測端電壓；FFRLS由于初始值設(shè)置導(dǎo)致開始放電時的端電壓誤差較大，但是FFRLS能迅速收斂誤差，除去放電初始時的端電壓誤差，最大端電壓誤差為45.5 mV，平均誤差為0.37 mV；EKF算法的最大端電壓誤差為24.6 mV，平均誤差為3.02 mV。

圖6 模型端電壓與實測端電壓曲線

圖7 端電壓誤差曲線

4.2 電池SOC估計驗證

同樣使用DST工況驗證FFRLS-EKF和DEKF聯(lián)合算法的電池SOC估計結(jié)果，電池初始SOC為1。圖8為SOC估計結(jié)果對比，圖9為SOC絕對誤差，圖8中SOC真實值為試驗獲得。從圖8和圖9可以看出，2種聯(lián)合算法均能較好地估計電池SOC， FFRLS-EKF聯(lián)合算法的最大誤差和平均絕對誤差分別為2.49%和1.39%，DEKF聯(lián)合算法的最大誤差和平均絕對誤差分別為2.62%和1.54%，F(xiàn)FRLS-EKF聯(lián)合算法的電池SOC估計精度相比于DEKF聯(lián)合算法更高。

圖8 SOC估計結(jié)果

圖9 SOC絕對誤差

5 結(jié)論

1) 對比三元鋰電池不同階次OCV-SOC擬合曲線的均方根誤差得出：多項式階次低于5次時，擬合曲線不夠精確；階次高于6次時，擬合曲線精度提升不明顯且容易產(chǎn)生過擬合現(xiàn)象。本文選用了精度較高且不易出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象的6階多項式擬合三元鋰電池OCV-SOC曲線并用于聯(lián)合算法估計SOC。

2) FFRLS算法中遺忘因子λ值越大，舊數(shù)據(jù)所占權(quán)重越大，系統(tǒng)跟蹤效果越差，但參數(shù)辨識結(jié)果波動越小。本文經(jīng)過多次調(diào)試后，選取λ=0.995時可避免參數(shù)辨識結(jié)果出現(xiàn)異常抖動，具有較好的收斂性。

3) 比較FFRLS和EKF算法在線辨識Thevenin模型的結(jié)果，2種算法均能較好地跟蹤實測端電壓，F(xiàn)FRLS算法的最大端電壓誤差為45.5 mV，平均誤差為0.37 mV；EKF算法的最大端電壓誤差為24.6 mV，平均誤差為3.02 mV。比較FFRLS-EKF和DEKF聯(lián)合算法的三元鋰電池SOC估計結(jié)果，在DST工況下，F(xiàn)FRLS-EKF和DEKF聯(lián)合算法的最大誤差分別為2.49%和2.62%，F(xiàn)FRLS-EKF聯(lián)合算法的估計精度更高。