鐘樟榕，萬金貴，朱文華

（上海第二工業(yè)大學工程訓練中心，上海 201209）

1 引言

作為純機械驅動的無碳小車，其零部件加工制造中必然存在誤差，這對小車運行軌跡的精確性和穩(wěn)定性造成直接影響。為此，一般做法都是盡量提高所有零件的加工精度，或是通過誤差分析而針對性地設計合適的調整裝置去補償加工與裝配誤差[1-6]。前者往往受現(xiàn)實加工條件限制而難以達到，或者導致加工成本急劇增高，與無碳的初衷不符。后者常常因為調整工作量大、調整難度高、效果不理理想而影響實際小車比賽成績。已有文獻對無碳小車誤差分析一般都集中于靜態(tài)誤差（即誤差值在理論分析的過程中是恒定不變的）分析[5-8]，而忽略了無碳小車是一個動態(tài)系統(tǒng)，其加工制造過程中的誤差不是一個常量，而是具有一定的隨機分布特性，這會導致理論分析與實際情況有不可忽略的偏差。因此，在無碳小車軌跡的理論分析中引入隨機誤差，使無碳小車的理論分析更加切合實際，且為選擇關鍵零部件提高加工精度提供參考。

2 無碳小車的運動分析與數(shù)學建模

不同誤差對無碳小車運行軌跡的影響效果不同，因此，需對小車進行運動分析與數(shù)學建模，找出影響小車運行軌跡的主要誤差。選擇較有代表性的凸輪機構控制的無碳小車進行研究。先畫出小車機構簡圖并標注各部分幾何尺寸，如圖1所示。

圖1中的小車處于左轉彎狀態(tài)，以兩驅動輪中心連線的中點A作為整車速度中心，可建立如下幾何關系式：

式中：ρ—圖1中直線OA的長度，即小車中心點A的轉彎半徑；l—小車前后軸距，代表小車的長度；φ—轉向輪（即前輪）的偏轉角。

圖1 無碳小車機構簡圖Fig.1 Model of Carbon-Free Car

由此可見，當小車的結構參數(shù)確定后，l為定值，小車的轉彎半徑ρ隨轉向輪偏轉角φ的變化而逐漸變化。

從圖1分析，轉向輪偏轉角φ由凸輪推桿機構中的推桿位移s轉化而來，其關系可表示為：

式中：s—前述推桿位移；e—凸輪推桿運動平面與小車轉向輪軸之間的距離，是小車的重要結構參數(shù)。因此，小車運動時，轉向輪偏轉角φ是關于推桿位移s的函數(shù)。而在凸輪機構中，推桿位移s是關于凸輪轉角θ的函數(shù)，可表示為：

將式（3）代入式（2），可得轉向輪偏轉角φ關于凸輪轉角θ的關系：

聯(lián)立式（1）、式（4）可得出小車轉彎半徑計算式：

為分析方便，當轉向輪（即前輪）偏轉角為φ時，在平面直角坐標系中將三輪車模型簡化成A點和B點所代表的二輪自行車模型[9]。由圖1可知，A為兩驅動輪連線的中心，B為轉向輪軸心。在凸輪的一個微小轉角dθ的作用下，小車由AB移動到A'B'，如圖2所示。

圖2 小車轉彎微量角度時的狀態(tài)Fig.2 The Schematic Diagram of Carbon-Free Car when Turning at a Slight Angle

圖2中，A點移動的弧長為lAA'，則：

式中：i—齒輪傳動比；R—驅動輪半徑。設主動齒輪齒數(shù)為Z1，從動齒輪齒數(shù)為Z2，則i=Z2/Z1，故：

圖2中，以dβ表示A點的微小轉角，則：

根據(jù)文獻[9]，由弧微分方程（舍去高階無窮小量）可得A'點相對A點的增量坐標為：

將式（5）和式（7）代入式（9），并求積分，可得驅動輪軸心點A運行軌跡的參數(shù)方程：

在軟件中對上述參數(shù)方程進行求解并繪制小車的運動軌跡曲線。這里以偏心圓凸輪推桿為例，其推桿位移曲線，如圖3所示。對應計算出的小車仿真軌跡，如圖4所示。

圖3 偏心圓凸輪機構的推桿位移曲線Fig.3 The Displacement Curve of Push Rod of Eccentric Circular Cam Mechanism

圖4 凸輪機構控制的無碳小車仿真軌跡曲線Fig.4 The Simulation Trajectory Curve of Carbon-Free Car Controlled by Cam Mechanism

3 小車機構誤差分析

由小車機構簡圖、運動方程及其運行軌跡仿真分析可知，影響無碳小車軌跡的誤差包括驅動機構誤差和轉向控制機構誤差。

分析小車機構簡圖知驅動機構誤差主要來源于驅動輪。驅動輪為盤蓋類零件，隨機誤差主要為徑向跳動誤差和軸向跳動誤差，如圖5所示。

圖5 驅動輪徑向跳動誤差和軸向跳動誤差Fig.5 Radial and Axial Runout Errors of Driving Wheel

其中，徑向跳動誤差ΔR使得小車在每一個微小轉角dθ作用下的實際車輪半徑R'可表示為：

軸向跳動誤差Δb使得小車在每一個微小轉角dθ作用下的實際轉彎半徑ρ'可表示為：

轉向控制機構誤差之一為凸輪輪廓的矢徑誤差Δs，如圖6所示。

圖6 凸輪矢徑誤差Fig.6 Radial Vector Runout Errors of Cam

凸輪輪廓的矢徑誤差Δs實際影響推桿相對凸輪回轉軸線的位移S，故實際的相對位移S'可表示為：

由實踐經(jīng)驗及理論分析知，還有一個直接來自于轉向控制機構的不可忽略的誤差是其控制的轉向輪角位移誤差，這是由推桿末端的滾子（即導輪）與滑塊導向槽（下文簡稱滑槽）之間的間隙造成的。如圖7 所示，d—滾子直徑，理想狀態(tài)下（圖中實線所示），滾子直徑與滑槽寬度相等，由推桿通過其末端滾子帶動滑塊連同轉向輪產(chǎn)生角位移φ；實際情況中，滑槽可能比滾子寬而產(chǎn)生間隙，圖中以Δu表示總間隙量，轉向機構運動時，滾子總是一側接觸滑槽側面，滾子中心與滑槽中心偏離，從而導致與滑塊中心相連的轉向輪角位移滯后，產(chǎn)生角位移誤差Δφ。

圖7 滾子與滑槽間隙帶來的轉向輪角位移誤差Fig.7 Angular Displacement Error of Steering Wheel Caused by the Gap Between the Cam Slot Wall and Roller

由圖7可近似計算Δφ：

需指出的是，當凸輪推桿為升程或回程時，此誤差會使實際轉角φ增大或減小，圖7中只畫出其中一種情況。因此角位移誤差使實際轉向輪角位移φ'可表示為：

綜合式（3）、式（5）、式（12）和式（13），可得出考慮了驅動機構誤差的小車實際轉彎半徑ρ'：

綜合式（6）、式（11），可得出考慮了驅動機構誤差的小車實際轉彎所走過的弧長

綜合式（3）、式（4）、式（13）、式（14）和式（15）可得小車轉向輪的實際轉角可表示為：

由前文推導的小車軌跡參數(shù)式（10）及式（9）分析，小車運行軌跡是由小車瞬時走過的弧長lAA'及小車瞬時的轉彎半徑ρ并隨時間積分而共同決定，因此凡是影響到lAA'與ρ的那些因素都會影響到小車運行軌跡。從式（16）中看到，凸輪輪廓的矢徑誤差Δs和驅動輪的軸向跳動誤差Δb直接影響了轉彎半徑ρ；從式（17）中看到，驅動輪的徑向跳動誤差ΔR直接影響了小車瞬時走過的弧長lAA'；從式（18）中看，前輪偏轉角位移φ除了受Δs影響之外，還受推桿末端滾輪與滑槽間隙Δu的影響，而從圖1和式（1）知，前輪偏轉角位移φ直接轉換成小車的轉彎半徑ρ，從而影響小車運行軌跡。

4 引入誤差的小車運行軌跡仿真

通過上文推導的各式，已經(jīng)定性分析了幾種誤差對小車運行軌跡的影響，但很難定量直觀看出各誤差影響軌跡的大小，因此可以借助計算機軟件對小車運行軌跡進行計算仿真來分析各種誤差對小車軌跡影響的程度。

利用Matlab數(shù)值計算的方式分別對存在上述幾種誤差的無碳小車進行運動軌跡仿真。以8字形軌跡的無碳小車為例（S形軌跡的仿真結果類似），將兩后輪連線中點A（圖1）作為小車運行軌跡的計算點。

假設同一零件加工尺寸的誤差分布遵循隨機分布規(guī)律，利用Matlab的隨機數(shù)生成函數(shù)，以生成的最大值為0.08的一組隨機數(shù)近似代替零件的隨機誤差，將這個隨機數(shù)組分別代入上文式（16）、式（17）、式（18），并設定仿真運行的8字圈數(shù)為15圈。在其余條件相同的情況下，不存在誤差的理想模型和分別存在四種不同隨機誤差的仿真結果，如圖8～圖12所示。

圖8 理想的無碳小車軌跡仿真圖Fig.8 Theoretical Trajectory Simulation Curve of Carbon-Free Car

由圖8可見，當不存在所述幾種誤差時，多圈運行（15條）軌跡曲線基本上能重合。圖8中軌跡曲線仍存在少量偏移，是由于仿真時輸入?yún)?shù)的精度不夠高，當將輸入?yún)?shù)的精度提高2 倍（推桿長度由24.5mm修改成24.55mm）時，軌跡曲線就近乎完全重合了，如圖13所示。

圖13 參數(shù)精度提高后的小車理論運行軌跡Fig.13 Theoretical Trajectory Simulation Curve of Carbon-Free Car when the Parameter Accuracy Improved

由圖9看，當驅動輪存在徑向跳動誤差，多圈運行時小車軌跡曲線逐漸偏移，但偏移量不大，運行軌跡的規(guī)律性較為明顯。

圖9 驅動輪存在徑向跳動誤差時的仿真軌跡Fig.9 The Trajectory Simulation Curve of Carbon-Free Car when Radial Runout Errors of Driving Wheel Considered

從圖10看，當驅動輪存在軸向跳動誤差時，多圈運行中小車軌跡曲線出現(xiàn)較為明顯的偏移，運行軌跡的規(guī)律性變差。

圖10 驅動輪存在軸向跳動誤差時的仿真軌跡Fig.10 The Trajectory Simulation Curve of Carbon-Free Car when Axial Runout Errors of Driving Wheel Considered

對圖11分析，凸輪矢徑有誤差時，軌跡曲線存在偏移，但運行軌跡仍可看出一定的規(guī)律性。

圖11 凸輪存在矢徑誤差時的仿真軌跡Fig.11 The Trajectory Simulation Curve of Carbon-Free Car when Radial Vector Runout Errors of Cam Considered

由圖12看，凸輪與滑塊槽存在明顯間隙時，軌跡曲線偏移量最大，運行軌跡的規(guī)律性最差。

圖12 推桿滾子與滑槽有間隙帶來誤差時的仿真軌跡Fig.12 The Trajectory Simulation Curve when Angular Displacement Error of Steering Wheel Caused by the Gap between the Cam Slot Wall and Roller Considered

對比圖9～圖12四幅圖，并結合式（16）、式（17）、式（18）分析，可得出：小車驅動輪的軸向跳動誤差和凸輪與滑塊槽的間隙對小車運行軌跡的影響是最大的，比車輪徑向跳動誤差及凸輪矢徑誤差影響都要大，不可忽視。

5 實驗驗證

可取上述幾種隨機誤差中的任一種來檢驗仿真程序的正確性。

此處選擇一對軸向跳動峰值為0.085mm的車輪安裝到實際無碳小車上，驗證主要存在驅動輪軸向跳動誤差時的情況。此時小車軌跡誤差值用三坐標測量儀測得的結果，如表1所示。

表1 無碳小車幾種隨機誤差的三坐標測量值Tab.1 The 3 Coordinates Measured Results of Several Random Errors of Carbon-Free Car

在小車上安裝LED燈，利用數(shù)字攝像頭，以25fps/s的速率拍照（一圈約采樣120個數(shù)據(jù)點），經(jīng)數(shù)據(jù)處理后獲得小車運行10圈左右的散點圖，如圖14所示。

圖14 實際運行的無碳小車軌跡采樣散點圖Fig.14 The Trajectory Scatter Diagram of Carbon-Free Car from

對比圖14與圖10，可以看出，小車實際運行的軌跡與之前仿真計算得到的軌跡總體分布是一致的，據(jù)此可判斷存在驅動輪軸向跳動誤差的仿真結果基本上是正確的。由此驗證了上文理論分析及仿真計算的正確性。

6 總結

通過理論計算和分析歸納出對無碳小車運行軌跡影響較大的具有隨機性分布特點的4種典型誤差。并分別對理論軌跡和具有4種隨機誤差的軌跡進行了仿真計算分析，結論是：對無碳小車運行軌跡影響最大的是直接控制小車轉向的誤差，主要來自于推桿滾子與滑槽之間的間隙；其次是驅動輪的軸向跳動隨機誤差。因此，為保證無碳小車運行軌跡的正確性，在加工制造中應著重提高這兩部分機構的加工精度。這為無碳小車加工制造的優(yōu)化方向提供了理論依據(jù)，具有指導意義。

對小車驅動輪軸向跳動誤差的影響進行了實驗，驗證了仿真分析的正確性。補充說明：由于筆者近兩年參加了多次無碳小車競賽，在長期的調車實踐中發(fā)現(xiàn)了規(guī)律引起的思考與分析，又在后續(xù)的反復實踐中檢驗了分析結論。