鮑建生，章建躍

（華東師范大學(xué)；人民教育出版社 課程教材研究所）

一、概述

推理是思維的一種基本形式，是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征，是數(shù)學(xué)思維的基本表現(xiàn)形式，也是科學(xué)態(tài)度與理性精神的基礎(chǔ). 事實(shí)上，推理自始至終伴隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，只是不同學(xué)段的要求與表現(xiàn)形式有所差異.

皮亞杰的研究表明，兒童邏輯思維發(fā)展過(guò)程中存在兩個(gè)關(guān)鍵期：7～8歲，伴隨著自我中心的減弱，開(kāi)始出現(xiàn)驗(yàn)證或邏輯證實(shí)的需求；11～12歲，開(kāi)始出現(xiàn)簡(jiǎn)單的形式（演繹）思維. 后者正是小學(xué)到初中的過(guò)渡期.

小學(xué)階段的推理是不自覺(jué)的，隱含在語(yǔ)言的表述過(guò)程中，兒童能夠做出判斷、給出結(jié)論，但通常只是意識(shí)到某些與其結(jié)論有關(guān)的特殊情況，難以客觀地回溯結(jié)論成立的原因，一般也不能顯性地表達(dá)推理過(guò)程. 兒童在掌握演繹推理之前，必須有一段較長(zhǎng)的過(guò)渡期進(jìn)行相關(guān)的學(xué)習(xí).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）把推理作為核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)科中的主要表現(xiàn)之一，并且區(qū)分了小學(xué)階段與初中階段的不同要求. 其中，小學(xué)階段側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，初中階段逐步提升為推理能力.

小學(xué)階段“推理意識(shí)”的內(nèi)涵是：“推理意識(shí)主要是指對(duì)邏輯推理過(guò)程及其意義的初步感悟. 知道可以從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論；能夠通過(guò)簡(jiǎn)單的歸納或者類比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論；通過(guò)法則運(yùn)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過(guò)程；對(duì)自己及他人的問(wèn)題解決過(guò)程給出合理解釋. 推理意識(shí)有助于養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，增強(qiáng)交流能力，是形成推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).”

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)推理有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

（1）屬于局部推理，在嚴(yán)謹(jǐn)性、符號(hào)化程度上要求不高；

（2）推理形式主要是歸納推理、類比推理與關(guān)系推理；

（3）推理的對(duì)象主要是數(shù)的運(yùn)算和測(cè)量活動(dòng)；

（4）推理行為一般在具體的情境中發(fā)生，需要借助直觀操作與日常經(jīng)驗(yàn)；

（5）不同學(xué)生的推理水平有較大的差異，需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)不同水平的推理活動(dòng).

小學(xué)生雖然不能進(jìn)行形式化的演繹推理，但對(duì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與確定性已經(jīng)有了初步感悟. 例如，小學(xué)生可以確信任何情況下都可以得到“1+1=2”，當(dāng)他們?cè)诒磉_(dá)對(duì)一件事的確信無(wú)疑時(shí)會(huì)說(shuō)：“像1+1=2那樣肯定.”也可以把“a+b=b+a”這樣的運(yùn)算律作為各種運(yùn)算的“前提”，或者通過(guò)測(cè)量、實(shí)驗(yàn)承認(rèn)“兩點(diǎn)之間線段最短”“三角形內(nèi)角和等于180°”這樣的“基本事實(shí)”. 這些都為初中階段的演繹推理打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)初中階段“推理能力”的內(nèi)涵界定如下：“推理能力主要是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力. 理解邏輯推理在形成數(shù)學(xué)概念、法則、定理和解決問(wèn)題中的重要性，初步掌握推理的基本形式和規(guī)則；對(duì)于一些簡(jiǎn)單問(wèn)題，能通過(guò)特殊結(jié)果推斷一般結(jié)論；理解命題的結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，探索并表述論證過(guò)程；感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，初步形成邏輯表達(dá)與交流的習(xí)慣. 推理能力有助于逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神.”

從“推理意識(shí)”到“推理能力”是一個(gè)顯著的進(jìn)階過(guò)程.“推理意識(shí)”的主要表現(xiàn)是學(xué)生能認(rèn)識(shí)到推理在數(shù)學(xué)中的意義與作用，初步養(yǎng)成講道理的習(xí)慣. 到了初中階段，數(shù)學(xué)課程的邏輯體系相對(duì)完整，有了經(jīng)過(guò)明確“定義”的概念，設(shè)置了可以作為推理起點(diǎn)的“基本事實(shí)”，也介紹了命題、定理與證明的含義. 因此，初中階段的數(shù)學(xué)推理就可以與數(shù)學(xué)運(yùn)算“并駕齊驅(qū)”，明確要求學(xué)生能夠在理解概念的基礎(chǔ)上，初步掌握命題及演繹推理的基本形式，并運(yùn)用數(shù)學(xué)推理解決問(wèn)題. 由于數(shù)學(xué)中的演繹推理比較抽象，需要更多的數(shù)學(xué)知識(shí)與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累來(lái)理解. 因此，通常情況下，推理過(guò)程的系統(tǒng)性、全面性和形式化需要到高中階段才能得到較好地發(fā)展.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中，把“邏輯推理”作為高中階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，其中明確提出了邏輯推理的三種基本形式：歸納推理、類比推理與演繹推理. 邏輯推理素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：“掌握推理基本形式和規(guī)則，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出命題，探索和表述論證過(guò)程，理解命題體系，有邏輯地表達(dá)與交流. 通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會(huì)有邏輯地思考問(wèn)題；能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡(luò)；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，增強(qiáng)交流能力.”

可以發(fā)現(xiàn)，從推理意識(shí)到推理能力再到邏輯推理素養(yǎng)，既體現(xiàn)了核心素養(yǎng)發(fā)展的連續(xù)性，又體現(xiàn)了發(fā)展的階段性. 下面先討論初中階段推理能力的主要表現(xiàn)，再結(jié)合課程內(nèi)容對(duì)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力提出一些建議.

二、初中階段推理能力的主要表現(xiàn)形式

傳統(tǒng)意義上的“推理”是邏輯思維的三種基本形式之一. 從當(dāng)前各國(guó)初中數(shù)學(xué)課程及TIMSS，PISA 這樣的大規(guī)模國(guó)際數(shù)學(xué)成就測(cè)試評(píng)價(jià)來(lái)看，對(duì)推理能力的界定都持寬泛的觀點(diǎn)，其中既包括分析、推斷、演繹、歸納和聯(lián)系，也包括猜想、實(shí)驗(yàn)與假設(shè). 再考慮到初中階段的“推理能力”與高中階段的“邏輯推理”的一致性與階段性，界定初中階段“推理能力”的行為表現(xiàn)時(shí)，可以在嚴(yán)謹(jǐn)與形式化水平上適當(dāng)放寬標(biāo)準(zhǔn).

初中階段“推理能力”的行為表現(xiàn)具體包括以下幾個(gè)方面.

1. 理解推理在數(shù)學(xué)中的意義與作用

從初中開(kāi)始，學(xué)生應(yīng)逐步認(rèn)識(shí)到推理是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，也是一種基本的數(shù)學(xué)思維方式. 具體要求包括如下幾個(gè)方面.

（1）理解歸納和類比推理是一種從特殊到一般的思維方式，是發(fā)現(xiàn)、提出、形成數(shù)學(xué)概念、法則、關(guān)系、猜想的重要途徑. 例如，初中代數(shù)是小學(xué)算術(shù)的一般化，小學(xué)階段獲得的一些數(shù)的關(guān)系、運(yùn)算法則都可以推廣到代數(shù)，這種推廣過(guò)程就涉及歸納與類比推理；在研究三角形相似的性質(zhì)與判定時(shí)，可以類比三角形全等的性質(zhì)與判定.

（2）理解演繹推理是從一般到特殊的思維方式，是形成數(shù)學(xué)命題、判斷命題真?zhèn)魏瓦M(jìn)行證明的基本工具. 知道數(shù)學(xué)概念、基本事實(shí)、性質(zhì)、法則在演繹推理中的意義與作用；通過(guò)歸納與類比推理得到的結(jié)論是否正確，還需要通過(guò)演繹推理進(jìn)行論證. 例如，知道在幾何中，可以通過(guò)測(cè)量或觀察猜想兩條線段、兩個(gè)角可能相等，但要判斷它們是否相等，仍需要在給定條件下通過(guò)演繹推理進(jìn)行論證.

（3）感悟推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種基本活動(dòng)，是理解數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的主要方式. 例如，在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要從特殊事物的各種不同屬性中歸納出共同的、本質(zhì)的屬性，在此基礎(chǔ)上概括到一般而形成定義；能夠依據(jù)概念的定義判斷具體的事物是否滿足這個(gè)概念，這是一個(gè)演繹推理的過(guò)程；然后又通過(guò)歸納、類比發(fā)現(xiàn)這個(gè)概念與其他概念之間的關(guān)系，并再一次運(yùn)用演繹的方法論證這種關(guān)系的正確性.

對(duì)數(shù)學(xué)推理的認(rèn)識(shí)和由此形成的信念與態(tài)度是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力的重要影響因素，在教學(xué)中應(yīng)該引起足夠的重視.

2. 能夠運(yùn)用基本的推理形式和邏輯規(guī)則，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理與證明

邏輯推理中的各種推理形式必須遵循一些推理規(guī)則. 傳統(tǒng)形式邏輯中的命題形式和推理規(guī)則過(guò)于繁雜與形式化，往往缺乏實(shí)質(zhì)的意義. 為了減少形式化邏輯規(guī)則對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所產(chǎn)生的障礙，《標(biāo)準(zhǔn)》降低了對(duì)形式邏輯的教學(xué)要求，將注意力聚焦在有實(shí)質(zhì)意義的數(shù)學(xué)推理上.《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)學(xué)推理與證明的要求主要包括如下幾個(gè)方面.

（1）理解數(shù)學(xué)概念的定義過(guò)程，能夠利用概念的定義過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理. 例如，根據(jù)有理數(shù)的定義推出兩個(gè)有理數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)果仍然是有理數(shù)；利用整式的定義判斷一個(gè)代數(shù)式是不是整式；利用平行四邊形的定義判定一個(gè)四邊形是不是平行四邊形.

（2）理解命題的含義與結(jié)構(gòu)，能夠用不同的方式表述命題. 例如，知道一般的數(shù)學(xué)命題可以寫成“如果……，那么……”的形式，其中前者表示命題的條件，后者表示結(jié)論；能夠根據(jù)題設(shè)信息，制作數(shù)學(xué)圖表，利用直觀圖表發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，形成命題；等等.

（3）感悟三段論的推理方式. 知道從條件推出結(jié)論的過(guò)程必須依據(jù)已知的概念定義、事實(shí)與命題；要判定一個(gè)命題為“真”需要通過(guò)證明，而要判斷一個(gè)命題為“假”只需舉出一個(gè)反例；能夠根據(jù)命題的特點(diǎn)選擇和運(yùn)用各種恰當(dāng)?shù)耐评砗驼撟C方法，探索并表述論證過(guò)程；能夠用反證法的思想證明簡(jiǎn)單的命題；等等.

（4）能夠用恰當(dāng)?shù)姆绞奖硎鐾评磉^(guò)程，在語(yǔ)言文字、符號(hào)表達(dá)式、圖表之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換. 例如，能將“實(shí)數(shù)a，b至少有一個(gè)為0”表示成“ab=0”，同時(shí)理解“ab=0”的意義是“a，b至少有一個(gè)為0”；能夠依據(jù)等式與不等式的基本性質(zhì)，對(duì)方程和不等式進(jìn)行等價(jià)變形；理解函數(shù)三種表達(dá)方式的意義與相互聯(lián)系；能夠根據(jù)題意畫出相應(yīng)的幾何圖形，用符號(hào)表示圖形中的位置關(guān)系與度量；等等.

（5）能夠理解、解釋、評(píng)價(jià)自己或他人的推理過(guò)程，對(duì)自己的推理過(guò)程有信心. 能夠反思數(shù)學(xué)的推理與論證過(guò)程，解釋和判斷所得的結(jié)果，并進(jìn)一步應(yīng)用、推廣到其他相關(guān)的情境中，建立不同命題之間的聯(lián)系，能舉一反三，感悟數(shù)學(xué)的通性、通法.

（6）能夠通過(guò)觀察、操作發(fā)現(xiàn)物體、圖形中的幾何結(jié)構(gòu)與度量規(guī)律，提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題或猜想.例如，通過(guò)測(cè)量與比較，能夠發(fā)現(xiàn)同一個(gè)三角形中大邊對(duì)大角的規(guī)律，提出猜想，并意識(shí)到證明的必要性.

（7）能夠通過(guò)推理建立所學(xué)知識(shí)的邏輯聯(lián)系，形成初步的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 例如，能夠用概念圖、思維導(dǎo)圖等方式梳理一個(gè)單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)，弄清核心概念的來(lái)龍去脈.

初中生的數(shù)學(xué)推理能力是按照一定的層次逐步發(fā)展的，低年級(jí)可以從簡(jiǎn)單的說(shuō)理開(kāi)始，可以借助一定的幾何直觀與日常經(jīng)驗(yàn)，在推理過(guò)程（符號(hào)化）的表述形式上可以適當(dāng)放寬要求. 重要的是，通過(guò)學(xué)習(xí)逐步養(yǎng)成推理的習(xí)慣，在語(yǔ)言表達(dá)的條理性與流暢性上得到良好的發(fā)展.

強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)推理是國(guó)際數(shù)學(xué)教育的一個(gè)普遍趨勢(shì).從各國(guó)頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)（大綱）來(lái)看，在數(shù)學(xué)推理論證方面都有不同程度的加強(qiáng). 例如，美國(guó)NCTM 于2000年提出的課程標(biāo)準(zhǔn)中特別強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)課程必須把推理和證明作為理解數(shù)學(xué)的重要途徑，從而使全體學(xué)生都能夠：

●認(rèn)識(shí)到推理和證明是數(shù)學(xué)的一個(gè)必需的、有效的成分；

●做出和研究數(shù)學(xué)猜想；

●建立和評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)論斷與證明；

●選擇和運(yùn)用各種恰當(dāng)?shù)耐评砗驼撟C方法.

雖然各國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)及數(shù)學(xué)教育界都認(rèn)可數(shù)學(xué)推理的意義與價(jià)值，但研究表明，學(xué)生在數(shù)學(xué)推理和論證方面的表現(xiàn)并不令人滿意，只有少數(shù)學(xué)生表現(xiàn)出對(duì)于證明在數(shù)學(xué)中的作用的理解；多數(shù)學(xué)生認(rèn)為沒(méi)有必要證明一個(gè)“在直覺(jué)上很明顯的”命題，不能理解假設(shè)和定義在證明中的重要作用，也不能區(qū)分歸納推理和演繹推理. 因此，如何在教學(xué)中有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)，是一個(gè)亟需深入研究和解決的問(wèn)題.

三、概念理解是培養(yǎng)數(shù)學(xué)推理能力的基礎(chǔ)

概念、判斷、推理是邏輯思維的三個(gè)基本形式.嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理需要建立在數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，在明確了概念的內(nèi)涵與外延后，才能研究這個(gè)概念有哪些性質(zhì)、與其他概念之間有什么關(guān)系，從而形成有確定條件與結(jié)論的命題，而推理的主要功能就是確定這些命題的真假. 在PISA 2021 評(píng)價(jià)框架中，特別指出，數(shù)學(xué)推理必須建立在下列概念理解的基礎(chǔ)上：

●理解數(shù)量、數(shù)系及其代數(shù)性質(zhì)；

●理解抽象及符號(hào)表征的作用；

●理解數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)及規(guī)則；

●理解數(shù)量之間的關(guān)系及相互作用；

●理解模型的意義，把數(shù)學(xué)模型作為觀察現(xiàn)實(shí)世界（包括物理、生物、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)與行為科學(xué)）的透鏡；

●理解變異性是統(tǒng)計(jì)的心臟.

因此，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，首先必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的教學(xué).

1. 關(guān)注概念的定義及基于定義的推理

在形式邏輯中，概念是判斷與推理的基礎(chǔ). 概念通常采用“屬+種差”的形式. 對(duì)概念的定義一般遵循以下規(guī)則：

●定義應(yīng)當(dāng)揭示種的本質(zhì)屬性；

●定義不能循環(huán)；

●定義既不能過(guò)寬又不能過(guò)窄；

●定義不能用歧義的、晦澀的或比喻的語(yǔ)言表述；

●定義可以用肯定表述就不用否定表述.

在本輪數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂過(guò)程中，依據(jù)化繁為簡(jiǎn)的原則，對(duì)傳統(tǒng)邏輯的各種形式與術(shù)語(yǔ)進(jìn)行了簡(jiǎn)化，避免使用邏輯形式與術(shù)語(yǔ)（包括定義與命題的各種形式與符號(hào)）成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要障礙. 中小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念大都是自然引入的，教學(xué)的重點(diǎn)是理解概念的意義、與其他概念的關(guān)系及引入的必要性.

從初中開(kāi)始，教材一般都會(huì)以“……稱為（叫做）……”的形式給出明確的定義. 史寧中認(rèn)為，數(shù)學(xué)定義主要包含兩種形式：名義定義與實(shí)質(zhì)定義. 從集合的角度來(lái)看，每個(gè)數(shù)學(xué)概念都可以用集合表示，確定集合的方式主要有兩種：一是通過(guò)刻畫集合元素的本質(zhì)屬性（內(nèi)涵）；二是直接描述集合元素（外延）（如圖1）.

圖1 概念的定義

雖然在初中階段沒(méi)有引入集合的概念，但不妨礙我們從概念的內(nèi)涵與外延兩個(gè)視角進(jìn)行概念教學(xué).

首先，從概念的內(nèi)涵角度來(lái)看，概念理解的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)屬性. 概念的本質(zhì)屬性可以作為判斷一個(gè)對(duì)象是否屬于概念的充要條件. 例如，用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形”來(lái)定義“平行四邊形”時(shí)，說(shuō)明“一組對(duì)邊平行且相等”是四邊形成為平行四邊形的充要條件. 具體包含兩個(gè)含義：①如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形；②如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形有一組對(duì)邊平行且相等. 這樣，概念的內(nèi)涵既給出了判定條件，也刻畫了概念的性質(zhì). 此外，利用概念的內(nèi)涵還可以清晰地表達(dá)概念之間的屬種關(guān)系，成為推理的基礎(chǔ). 例如，圖2 給出了特殊四邊形的屬種關(guān)系.

圖2 特殊四邊形之間的屬種關(guān)系

其次，從外延的角度來(lái)看，概念理解的途徑是對(duì)各種具體的概念變式的辨析與理解. 在顧泠沅主持的青浦實(shí)驗(yàn)中，把變式教學(xué)作為突破高層次認(rèn)知瓶頸的教學(xué)模式，通過(guò)各種概念變式（標(biāo)準(zhǔn)變式與非標(biāo)準(zhǔn)變式）與非概念變式（反例）的靈活運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)多角度理解概念的教學(xué)目的.

從推理的角度來(lái)看，相對(duì)于概念的外延描述，概念的內(nèi)涵界定更有利于作為推理的起點(diǎn)與依據(jù).

2. 經(jīng)歷概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程

從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來(lái)看，人們一般認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的來(lái)源有兩個(gè)方面：一是直接從客觀事物所反映的數(shù)量關(guān)系和空間形式抽象而得；二是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的多級(jí)抽象所獲得的. 因此，數(shù)學(xué)概念既有抽象形式，也有它的具體模型. 也就是說(shuō)，有的數(shù)學(xué)概念是通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)、思考而獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)由抽象之后所得到的數(shù)、量、形的本質(zhì)特征；有的是歷代數(shù)學(xué)家把已有的概念進(jìn)一步抽象化、一般化而得來(lái)的. 從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)概念的獲得不完全是一個(gè)邏輯的過(guò)程，將受到學(xué)生個(gè)體的思維發(fā)展水平及教學(xué)方式、教學(xué)環(huán)境等的影響. 因此，我們可以從兩個(gè)角度來(lái)分析對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解：一是作為科學(xué)對(duì)象；二是作為學(xué)習(xí)對(duì)象. 這樣，我們就可以從歷史過(guò)程、邏輯過(guò)程與心理過(guò)程這三個(gè)過(guò)程來(lái)分析數(shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展.

從歷史過(guò)程來(lái)看，幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是千錘百煉的結(jié)果，從概念的原始模型到被數(shù)學(xué)界普遍接受，一般都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)期，其中有一些因素起到了決定性的作用. 因此，從歷史角度分析概念教學(xué)，并不是簡(jiǎn)單地復(fù)制歷史過(guò)程，關(guān)鍵是分析這些起決定性作用的因素，并應(yīng)用于教學(xué). 例如，在實(shí)數(shù)概念（包括實(shí)數(shù)理論）形成過(guò)程中，起決定性作用的是數(shù)軸. 數(shù)軸給出了數(shù)及其關(guān)系的直觀模型. 因此，從初中階段開(kāi)始，數(shù)軸就成為理解數(shù)的概念、大小關(guān)系及運(yùn)算的基本工具.

從邏輯過(guò)程來(lái)看，數(shù)學(xué)概念構(gòu)成了一個(gè)相對(duì)完整的邏輯體系，概念之間不僅建立了各種邏輯聯(lián)系，形成各種相關(guān)的命題，而且正是這種多元聯(lián)系，使得概念的表征具有多樣化. 例如，一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)字“1”可以采用多種表征形式：

概念表征的多樣化，在很大程度上增加了數(shù)學(xué)運(yùn)算與推理的靈活性. 在數(shù)學(xué)中，“條條大路通羅馬”.

從心理過(guò)程來(lái)看，概念理解的目標(biāo)是形成相關(guān)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)（圖式）. 一般情況下，數(shù)學(xué)概念不只是陳述一些簡(jiǎn)單的事實(shí)，其中往往蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，這些思想方法可以幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知與思考的一般模式，也就是認(rèn)知結(jié)構(gòu). 根據(jù)皮亞杰的圖式理論，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是一個(gè)不斷重組和優(yōu)化的過(guò)程，其中的主要發(fā)生機(jī)制是同化與順應(yīng). 在學(xué)習(xí)過(guò)程中，如果新知識(shí)可以被原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)所接受，通過(guò)學(xué)習(xí)，原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到了進(jìn)一步的充實(shí)與完善，這時(shí)采用的是同化方式；如果新知識(shí)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，學(xué)習(xí)者在不能拒絕新知識(shí)的情況下，就需要對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組或調(diào)整，從而順應(yīng)新知識(shí). 順應(yīng)的過(guò)程雖然會(huì)遇到一定的認(rèn)知挑戰(zhàn)，但可以使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)質(zhì)變. 因此，在皮亞杰的教育理論中，激發(fā)認(rèn)知沖突以及教師為解決認(rèn)知沖突而構(gòu)建的腳手架是關(guān)鍵的教學(xué)策略.

歷史過(guò)程、邏輯過(guò)程與心理過(guò)程只是教學(xué)設(shè)計(jì)的參考過(guò)程，在實(shí)際教學(xué)中，教師可以根據(jù)課程內(nèi)容與學(xué)生的情況有所側(cè)重.

3. 概念的多角度理解

作為學(xué)習(xí)對(duì)象，數(shù)學(xué)概念與學(xué)生個(gè)體的知識(shí)準(zhǔn)備、認(rèn)知方式、認(rèn)知水平、生活經(jīng)驗(yàn)等有密切的聯(lián)系，為了適應(yīng)學(xué)生的不同需求，教師可以采用不同的教學(xué)方式，幫助學(xué)生從不同角度理解概念. 同時(shí)，概念學(xué)習(xí)的目的是解決問(wèn)題（遷移）. 因此，概念的多角度理解也有助于學(xué)生靈活地運(yùn)用概念.

維果茨基認(rèn)為，概念學(xué)習(xí)主要有三個(gè)困難：一是遷移，即設(shè)法把特定情境中形成的概念應(yīng)用于一組新的物體或環(huán)境；二是給一個(gè)概念下定義，即在不涉及任何具體情境或印象的抽象水平上加以系統(tǒng)的闡述；三是在掌握概念并在抽象水平上系統(tǒng)闡述概念后，把概念運(yùn)用于必須借助這些抽象的術(shù)語(yǔ)來(lái)加以觀察的新的具體情境，這是最困難的. 因此，概念教學(xué)中還應(yīng)該考慮學(xué)生的特點(diǎn)，注重因材施教.

優(yōu)化概念教學(xué)的基礎(chǔ)是加強(qiáng)概念理解方面的研究. 雖然概念理解是教育心理學(xué)研究的一個(gè)核心內(nèi)容，相關(guān)研究成果極為豐富，但絕大多數(shù)心理學(xué)的研究都集中在兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，對(duì)初中以上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的研究，特別是符合中國(guó)學(xué)生的相關(guān)研究仍顯不足，需要更多的、反映數(shù)學(xué)特征的及一線教師直接參與的實(shí)證與實(shí)驗(yàn).

在韜爾等人的研究中，給出了一個(gè)多層次、多角度理解數(shù)學(xué)概念的分析框架. 以函數(shù)概念為例（如圖3），可以看到數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的兩個(gè)特點(diǎn)：一是概念的多元表征；二是一般要經(jīng)歷前程序、程序、過(guò)程、對(duì)象和過(guò)程性概念五個(gè)層次. 其中，前程序?qū)哟问侵笇W(xué)生沒(méi)有獲得相應(yīng)程序的預(yù)備期；在程序?qū)哟紊?，學(xué)生主要依賴于明確的“一步一步”的操作步驟；在過(guò)程層次上，學(xué)生不需要知道具體的步驟，就可以認(rèn)識(shí)到“輸入—輸出”這種過(guò)程的存在性；在對(duì)象層次上，學(xué)生可以把過(guò)程作為一種心理操作對(duì)象；而在處于核心位置的過(guò)程性概念層次，學(xué)生已經(jīng)能夠在過(guò)程與心理對(duì)象之間進(jìn)行靈活地轉(zhuǎn)換.

圖3 函數(shù)概念理解的“層”與“面”

目前，有關(guān)數(shù)學(xué)概念理解的研究有一些共識(shí). 例如，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的是學(xué)生的理解；數(shù)學(xué)概念有自身的特點(diǎn)，應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)與理解數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知規(guī)律；學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解存在于他自己的頭腦中，雖然我們可以通過(guò)一些外部的行為特征去診斷學(xué)生頭腦中的理解，但學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)部理解無(wú)論在質(zhì)量上還是在數(shù)量上都超過(guò)其外部的行為特征；學(xué)生的理解是按水平發(fā)展的，不同學(xué)生的理解有不同的水平，而適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)可以改進(jìn)學(xué)生的理解水平. 在這些一般結(jié)論的基礎(chǔ)上，還需要針對(duì)具體的數(shù)學(xué)概念（如無(wú)理數(shù)、方程、函數(shù)等）進(jìn)行更為細(xì)致的研究，通過(guò)研究改進(jìn)概念教學(xué).

四、幾何課程是訓(xùn)練推理與證明能力的主要工具

歐氏幾何是世界上第一個(gè)相對(duì)成熟的演繹體系，歷來(lái)都被作為培養(yǎng)推理能力的基本載體. 美國(guó)著名的華裔數(shù)學(xué)家伍鴻熙認(rèn)為，傳統(tǒng)的歐氏幾何正是學(xué)生學(xué)習(xí)證明與論證的地方. 這是因?yàn)閹缀蔚恼撟C比較簡(jiǎn)短，通常涉及較少的概念（角、線段等），可以得到直覺(jué)的支持，而且具有形式的結(jié)構(gòu). 歐幾里得的那些定理之所以重要，不是因?yàn)樗怯杏玫摹⒛軌驊?yīng)用的，或它們本身的價(jià)值，而是因?yàn)樗鼈兪茄堇[推理系統(tǒng)的自然發(fā)展的一部分.

從古希臘時(shí)代開(kāi)始，推理與證明就成了幾何的一種基本屬性，已經(jīng)被討論了整整兩千多年. 隨著近二十年來(lái)認(rèn)知科學(xué)的突破和教育觀念的變化，這個(gè)古老的問(wèn)題又重新成為研究的一個(gè)焦點(diǎn).

1. 在幾何推理過(guò)程中合理地運(yùn)用幾何直觀

在幾何課程中，不僅幾何概念、性質(zhì)、關(guān)系是直觀的，推理的方法也是直觀的. 幾何直觀在學(xué)習(xí)推理與證明時(shí)，往往是一把雙刃劍：一方面，幾何直觀有助于明晰推理的方向與過(guò)程，降低推理的難度；另一方面，幾何直觀也可能會(huì)使學(xué)生無(wú)法感受到推理的必要性，從而導(dǎo)致學(xué)生用“直觀”代替“推理”，或者缺少推理的合理步驟.

在我國(guó)數(shù)學(xué)課程中，小學(xué)階段的幾何課程主要以直觀幾何和實(shí)驗(yàn)幾何為主. 絕大多數(shù)結(jié)論都是通過(guò)測(cè)量、折紙、剪拼等具體操作獲得的. 因此，在初中幾何的入門教學(xué)中，需要處理好推理與幾何直觀之間的關(guān)系.

首先，應(yīng)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到公理（基本事實(shí)）作為推理出發(fā)點(diǎn)的抽象過(guò)程及其意義. 幾何中的公理雖然是“不證自明”的，但也是從周圍自然界抽象出來(lái)的. 人們經(jīng)過(guò)許多次地畫直線，然后才能夠領(lǐng)會(huì)“通過(guò)任意兩點(diǎn)可以畫一條直線”這個(gè)公理；人們千百次地把各種物體互相搬挪和疊合，然后才能夠把這種情況概括為幾何圖形重合的概念，并且把這個(gè)概念應(yīng)用到定理的證明上.

其次，需要幫助學(xué)生逐步擺脫對(duì)直觀的依賴，使他們認(rèn)識(shí)到“眼見(jiàn)”也不一定“為實(shí)”，從而感悟到推理的必要性. 例如，在圖4中，“看起來(lái)”可以通過(guò)對(duì)左邊的正方形（如圖4（a））進(jìn)行剪拼得到右邊的長(zhǎng)方形（如圖4（b）），但通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算后就可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)圖形的面積不相等，從而推翻原來(lái)的“直觀發(fā)現(xiàn)”.

圖4

此外，不同學(xué)生的幾何直觀往往是有差異的，可以利用這種差異所引發(fā)的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生推理的欲望. 在歷史上，古希臘人對(duì)圓周率不同近似值的質(zhì)疑，是構(gòu)建幾何演繹體系的根源之一.

2. 幫助學(xué)生逐步理解推理規(guī)則的意義

數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)是形式邏輯的三大定律，即同一律、矛盾律與排中律. 史寧中給出了它們的數(shù)學(xué)表述.

（1）數(shù)學(xué)同一律.如果一個(gè)集合A是確定的，那么，可以確切判斷一個(gè)元素x是否屬于集合A，在論證過(guò)程中這個(gè)關(guān)系保持不變.

（2）數(shù)學(xué)矛盾律. 如果Φ是一個(gè)數(shù)學(xué)命題，那么，Φ和Φ?（表示否定命題）不能同時(shí)成立. 也就是說(shuō)，如果用P表示命題中的性質(zhì)，那么，不存在集合A，使得a∈A，a→P（表示a具有性質(zhì)P）和a～P（表示a不具有性質(zhì)P）同時(shí)成立.

（3）數(shù)學(xué)排中律. 如果Φ是一個(gè)數(shù)學(xué)命題，那么，Φ和Φ?必然有一個(gè)成立. 也就是說(shuō)，如果用P表示命題中的性質(zhì)，那么，必然存在一個(gè)集合A，使得a∈A，a→P或者a～P.

從以上表述中可以看到，學(xué)生對(duì)三大定律的感悟依賴于對(duì)概念與命題的理解.

3. 構(gòu)建局部的演繹系統(tǒng)

數(shù)學(xué)中的演繹推理需要在一個(gè)邏輯系統(tǒng)下進(jìn)行，就像歐氏幾何一樣，首先給出研究對(duì)象的定義，再通過(guò)公理規(guī)定研究對(duì)象之間必須滿足的基本關(guān)系，然后再推導(dǎo)各種各樣的命題，這就是所謂的公理化思想.在一個(gè)相對(duì)完備的演繹系統(tǒng)（哥德?tīng)柕牟煌陚涠ɡ肀砻鳎魏涡问较到y(tǒng)都是不完備的）中，任何命題的真假性都可以化歸為定義、公理及此前已經(jīng)證明的真命題. 也正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)中的演繹推理常采用三段論的形式.

考慮到初中生的接受能力，目前各國(guó)幾何課程都采用了不完整的公理體系. 因此，一個(gè)可行的替代途徑是構(gòu)建一些局部的演繹系統(tǒng)，幫助學(xué)生感悟演繹的化歸方式與公理化的思想. 下面我們來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子（此例源于史寧中教授在本次義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組中的舉例）.

在《原本》中，首先定義了平角，利用平角定義了直角，然后定義了長(zhǎng)方形，即四個(gè)角都是直角的四邊形（如圖5）. 這樣，在規(guī)定了圓周角為360°后，可得長(zhǎng)方形的內(nèi)角和.命題1：一個(gè)長(zhǎng)方形的內(nèi)角和為360°.

圖5

由命題1 可以推出一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)相同（全等）的直角三角形都可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形. 如圖6，由命題1可以推出兩個(gè)相同的直角三角形的內(nèi)角和為360°，從而把下面的命題2 化歸為命題1.

圖6

命題2：一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和等于180°.

依據(jù)命題2，又可以通過(guò)作三角形的高，將一般三角形的內(nèi)角和化歸為直角三角形的內(nèi)角和（如圖7）.從而得到命題3.

圖7

命題3：任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°.

由于任意一個(gè)四邊形都可以借助對(duì)角線分割成兩個(gè)三角形，因此，由命題3 就可以推出一般四邊形的內(nèi)角和.

命題4：任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和等于360°.

而命題4的特殊情況就是命題1. 這樣，由命題1～命題4 就構(gòu)成了一個(gè)局部的演繹體系. 從教學(xué)意義上來(lái)看，這種局部演繹體系是否嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不是最重要的，重要的是有助于他們感悟演繹推理的特點(diǎn)，以及將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題的思維方式.

五、適當(dāng)加強(qiáng)代數(shù)推理的教學(xué)

與幾何課程相比，我國(guó)傳統(tǒng)初中代數(shù)課程強(qiáng)調(diào)的是各種代數(shù)運(yùn)算，以及基于運(yùn)算的方程、不等式、函數(shù)等概念及其應(yīng)用，在代數(shù)推理（主要是演繹推理）的要求上并不多. 造成這種現(xiàn)象的原因，一方面，是因?yàn)橹袑W(xué)代數(shù)的本質(zhì)特征是符號(hào)運(yùn)算，而符號(hào)運(yùn)算是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要基本功；另一方面，也是因?yàn)榇鷶?shù)推理比較抽象與形式化，不如幾何推理那樣直觀，對(duì)多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難.

《標(biāo)準(zhǔn)》之所以對(duì)代數(shù)推理給予了足夠的重視，至少有以下三個(gè)理由：一是代數(shù)推理比幾何推理更為基本、純粹，也有更多的應(yīng)用，特別是在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要借助大量的代數(shù)推理；二是加強(qiáng)代數(shù)推理有助于學(xué)生對(duì)代數(shù)（包括函數(shù)）及其運(yùn)算意義的理解，而不是作為一種無(wú)意義的符號(hào)游戲；三是在小學(xué)階段已經(jīng)融入了符號(hào)意識(shí)與推理意識(shí)，可以為初中階段的代數(shù)推理提供一些準(zhǔn)備.

要在初中階段加強(qiáng)代數(shù)推理，需要考慮以下幾個(gè)問(wèn)題.

1. 為代數(shù)推理活動(dòng)選擇適當(dāng)?shù)钠瘘c(diǎn)

在《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)核心素養(yǎng)行為表現(xiàn)的界定中，小學(xué)階段的主要表現(xiàn)是“推理意識(shí)”. 根據(jù)皮亞杰的兒童認(rèn)知發(fā)展階段理論，小學(xué)與初中銜接階段正是兒童從具體運(yùn)算思維向形式運(yùn)算思維過(guò)渡的關(guān)鍵期，一些研究表明，從六七年級(jí)開(kāi)始，學(xué)生就可以進(jìn)行以運(yùn)算和比例為對(duì)象的簡(jiǎn)單代數(shù)推理.

我國(guó)的初中幾何教材中，一般都把“定義、命題、定理”作為幾何推理教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，在此之前通常只要求學(xué)生進(jìn)行“說(shuō)理”，之后才開(kāi)始進(jìn)行比較嚴(yán)格的演繹推理與證明. 相比之下，我國(guó)以往的初中代數(shù)課程沒(méi)有這樣比較明顯的“界線”，一些代數(shù)推理的內(nèi)容或問(wèn)題被有意無(wú)意地分散或隱含在代數(shù)內(nèi)容中，需要教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況靈活處理，這就要求教師具備代數(shù)推理的教學(xué)意識(shí). 因此，《標(biāo)準(zhǔn)》明確提出要特別關(guān)注代數(shù)推理，并在代數(shù)課程中比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)代數(shù)推理.

由于初中代數(shù)可以看作是小學(xué)算術(shù)的一般化，初中代數(shù)中的絕大多數(shù)概念都與數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)則有關(guān). 因此，初中階段開(kāi)展代數(shù)推理教學(xué)的一個(gè)可行的出發(fā)點(diǎn)就是數(shù)與式的性質(zhì)、運(yùn)算與關(guān)系. 其中包括：

●運(yùn)算律：加法與乘法的交換律、結(jié)合律與分配律.

●相等關(guān)系與大小關(guān)系的傳遞性：a=b，b=c?a=c；a ＞b，b ＞c?a ＞c.

●數(shù)的三歧性：對(duì)于任意的a，b，a ＞b，a=b，a ＜b三者必居其一（特別地，對(duì)于任意的a，a ＞0，a=0，a ＜0 三者必居其一）.

●相反數(shù)的性質(zhì)：a，b互為相反數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a+b=0.

●等式與不等式的基本性質(zhì)，等等.

從邏輯上看，初中代數(shù)并沒(méi)有一個(gè)完備的演繹系統(tǒng)，但這并不妨礙把上述性質(zhì)作為代數(shù)推理的起點(diǎn)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理. 例如，依據(jù)數(shù)的三歧性和不等式的基本性質(zhì)，可以推出下面的結(jié)論：a ＞b?a-b ＞0.這樣，就可以給處理不等式問(wèn)題時(shí)常用的“作差法”提供邏輯依據(jù).

2. 加強(qiáng)基于運(yùn)算規(guī)則的代數(shù)推理

代數(shù)為數(shù)學(xué)提供了一套形式化的人工符號(hào)系統(tǒng)，其本身具有語(yǔ)言的特征. 因此，許多代數(shù)推理都可以看作是基于規(guī)則的推理.

首先，代數(shù)是算術(shù)的一般化. 算術(shù)的主要活動(dòng)是數(shù)值運(yùn)算，其中雖然也涉及一些推理的成分，但本質(zhì)上是實(shí)施一些常規(guī)的（算法）程序操作. 將數(shù)值運(yùn)算推廣到符號(hào)運(yùn)算后，一個(gè)較大的變化是從程序操作變成了對(duì)象操作. 這時(shí)，除了要考慮對(duì)象本身的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)和限制外，還要處理不同對(duì)象之間的關(guān)系. 因此，代數(shù)符號(hào)運(yùn)算的核心成分是推理.

其次，代數(shù)是一種句法導(dǎo)向的形式操作. 這里的句法實(shí)際上就是代數(shù)規(guī)則. 代數(shù)中充滿了各種各樣的形式規(guī)則，從有理數(shù)運(yùn)算中的“負(fù)負(fù)得正”，到線性方程組的克萊姆法則，到群、環(huán)、域的公理系統(tǒng)，等等. 這些規(guī)則構(gòu)成了代數(shù)推理的基礎(chǔ).

如果說(shuō)直覺(jué)推理可以借鑒以往的經(jīng)驗(yàn)，幾何推理可以借助于直觀，那么代數(shù)推理主要依據(jù)的則是代數(shù)規(guī)則. 一些研究表明，豐富的實(shí)際背景對(duì)發(fā)展學(xué)生嚴(yán)格的代數(shù)推理并無(wú)益處，高水平的代數(shù)思維取決于對(duì)代數(shù)表征系統(tǒng)的掌握，其中包括一系列的符號(hào)操作規(guī)則，以及用于監(jiān)控、策略選擇與決策的元規(guī)則. 這意味著代數(shù)推理的發(fā)展必須在代數(shù)內(nèi)部的符號(hào)化世界中進(jìn)行，而不必參照外部的具體化世界. 也正因?yàn)槿绱?，一些人把代?shù)思維能力看作是一種“純粹”的數(shù)學(xué)能力.

3. 通過(guò)數(shù)形結(jié)合建立代數(shù)推理與幾何直觀的聯(lián)系

由于多數(shù)的代數(shù)推理都表現(xiàn)為一種基于規(guī)則的形式化符號(hào)推理，相對(duì)比較抽象，學(xué)生也難以理解推理的過(guò)程與意義. 因此，代數(shù)推理的教學(xué)應(yīng)該盡可能地利用數(shù)形結(jié)合，賦予代數(shù)規(guī)則一定的幾何意義，使學(xué)生可以借助幾何直觀“看到”代數(shù)推理的過(guò)程與意義.

初中階段數(shù)形結(jié)合的基本工具是數(shù)軸與平面直角坐標(biāo)系. 利用數(shù)軸可以建立實(shí)數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)，利用點(diǎn)的位置比較數(shù)的大小，利用距離定義絕對(duì)值的概念，利用對(duì)稱性表達(dá)相反數(shù)的意義等；而平面直角坐標(biāo)系則可以直觀地表示兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系與規(guī)律，從而賦予代數(shù)推理一定的幾何意義.

最后，需要說(shuō)明的是，與幾何推理相比，代數(shù)推理比較抽象，也不夠系統(tǒng)，因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)該量力而為.