沈迎華，孫立章

（江蘇省淮安市教學研究室；江蘇省淮陰中學開明分校）

數(shù)學實驗是為了探索數(shù)學知識、檢驗數(shù)學結論（或假設）而進行的某種操作或思維活動，是學生通過觀察、操作、實驗等實踐活動來進行數(shù)學學習的一種方式. 這種數(shù)學學習方式，不是學生被動接受教材上的或教師敘述的結論，而是學生從自己的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)，通過動手、動腦，用觀察、模仿、實驗、猜想等方式獲得經驗，逐步建構并發(fā)展自己的數(shù)學認知結構的活動過程.

自2014年9月起，作為蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）的配套教學資源《義務教育教科書·數(shù)學實驗手冊》（以下簡稱《數(shù)學實驗手冊》）正式發(fā)行使用. 針對《數(shù)學實驗手冊》的使用，筆者所在地區(qū)的教研部門舉辦了多場“數(shù)學實驗教學”專題研討活動. 本文以其中一節(jié)數(shù)學實驗課“翻牌游戲”的教學為例，談一談對數(shù)學實驗的認識.

一、課例呈現(xiàn)

1. 教學內容概述

“翻牌游戲”是根據(jù)教材七年級上冊“2.6 有理數(shù)的乘法與除法”而設計的一節(jié)實驗課. 該實驗內容與傳統(tǒng)數(shù)學游戲“翻轉紙杯”是同類問題，以常見的撲克牌為工具進行翻牌活動，并對其進行“賦值”計算，通過觀察發(fā)現(xiàn)積的符號的規(guī)律，感受有理數(shù)乘法運算的運用，提升學生的抽象能力、推理能力、模型觀念等數(shù)學核心素養(yǎng).

2. 教學過程

翻牌游戲規(guī)則：取出若干張撲克牌，全部反面朝上放在桌子上. 每次翻相同張數(shù)的撲克牌（包括已經翻過的撲克牌），你能否經過若干次的翻牌將所有的撲克牌都變成正面朝上.

說明：如果取出8 張撲克牌，全部反面朝上放在桌上，每次翻5張撲克牌，簡單記作“8翻5”.

環(huán)節(jié)1：熟悉游戲，獲得初步猜想.

活動A：教師展示“2翻1”“2翻2”“3翻1”的過程，讓學生熟悉游戲規(guī)則.

活動B：學生試玩游戲“3翻2”“4翻1”“4翻2”.

問題1：設總牌數(shù)是m，每次翻動的張數(shù)是n，當m和n之間滿足什么關系時，能將所有的撲克牌都變成正面朝上？

師生活動：教師給出翻牌游戲的規(guī)則后，為了讓學生快速了解游戲的具體規(guī)則，教師直接展示活動A的過程，使學生明白如何操作，明白“能”與“否”的含義. 活動B 則由學生親自利用手中的撲克牌完成操作. 對于“4翻1”“4翻2”，學生很容易完成，無需教師指導. 多名學生到黑板前分別嘗試“3翻2”，發(fā)現(xiàn)不能將所有的撲克牌都變成正面朝上.

通過以上活動得到如表1所示的信息.

表1 翻牌情況統(tǒng)計

大部分學生根據(jù)表1 中的信息能得出猜想：當m能夠被n整除時，一定能翻牌成功.然后，教師引導學生列舉出一些具體的例子，如“4翻4”“6翻3”“10翻5”，這些都是可以翻牌成功的.

【設計意圖】《數(shù)學實驗手冊》中并沒有給出活動A和活動B，而是直接給出“7 翻5”的情況，這對學生探求翻牌游戲的規(guī)律來說難度較大. 因此，在實際活動設計時教師做了一些調整，從最簡單的情況開始研究. 大部分學生在觀察、操作完以上游戲后，根據(jù)表1中的信息能夠得到猜想. 這樣的設計符合學生認識客觀世界的一般認知規(guī)律，由易到難，由簡單到復雜，由學生完成初步歸納、推理.

環(huán)節(jié)2：游戲升級，猜想產生懷疑.

師：前面得到的猜想是很好理解的. 那么當m不能被n整除時，就一定不成功嗎？大家嘗試完成翻牌游戲活動C——4翻3.

師生活動：教師讓學生繼續(xù)嘗試游戲“4 翻3”，有學生在動手嘗試后發(fā)現(xiàn)“4翻3”可以成功，并讓翻成功的學生展示其具體操作方式. 通過這個活動引發(fā)了學生的認知沖突，對于上述猜想產生了懷疑. 也就是，當m不能被n整除時，翻牌游戲也是可能成功的.

“4翻3”的具體翻牌步驟如圖1所示.

圖1“4翻3”的具體翻牌步驟

師：這說明我們前面得到的猜想不全面，要想獲得更準確的結論，還需要繼續(xù)嘗試游戲. 同學們繼續(xù)進行翻牌游戲活動D——5 翻1，5 翻2，5 翻3，5 翻4，5翻5.

問題2：這一組翻牌游戲中，哪些是不通過動手操作，就可以直接判斷出一定能翻成功的？

追問：“5翻2”“5翻3”“5翻4”中，哪一種可以翻成功？對于“5翻2”“5翻4”，是沒有找到翻出來的方法，還是本身就不能成功？

師生活動：活動D 中的“5 翻1”“5 翻5”是很容易翻成功的，不需要嘗試，學生可直接判斷. 對于“5翻2”“5 翻3”“5 翻4”，給予學生充足的時間動手嘗試. 學生會發(fā)現(xiàn)“5 翻3”也是可以成功的，“5 翻2”“5翻4”不能成功.

【設計意圖】無論是活動B中的“3翻2”，還是活動D 中的“5 翻2”或“5 翻4”，沒翻成功究竟是嘗試的次數(shù)太少，還是這個游戲本身就不可能成功. 操作層面無法得出準確的結論，能否從理論的層面去解釋、說明？這個環(huán)節(jié)的活動設計就是要引發(fā)學生深度思考，讓學生由“做”到“思”，尋求解決問題的策略.

環(huán)節(jié)3：嘗試抽象，分析游戲本質.

問題3：大家把撲克牌放到一邊，能不能通過動手畫一畫，把“5翻2”的過程呈現(xiàn)出來呢？

師生活動：學生動手嘗試，教師巡視. 在巡視過程中發(fā)現(xiàn)有的學生是把撲克牌直接畫出來了，有的是通過寫“正”“反”來表示撲克牌翻牌前后的狀態(tài)，還有的是用字母表示.

在學生給出的方法中選擇以下兩種方式呈現(xiàn)在黑板上：（1）記反面朝上的撲克牌為-a，則正面朝上的撲克牌為a；（2）記反面朝上的撲克牌為-1，則正面朝上的撲克牌為+1.

下面以“反面朝上的撲克牌為-1，則正面朝上的撲克牌為+1”為例，將“5翻2”的翻牌過程表示如下.

開始狀態(tài)：-1，-1，-1，-1，-1；

第一步：1，1，-1，-1，-1；

第二步：1，1，1，1，-1；

第三步：1，1，1，-1，1；（回到第二步）

第三步（或者）：1，1，-1，-1，-1.（回到第一步）

這樣下去就進入了無限循環(huán)，無法翻牌成功.

問題4：同學們可以用所學的數(shù)學知識來解釋為什么“5翻2”不能成功嗎？

師生活動：學生通過獨立思考、分組合作交流，發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律. 開始狀態(tài)一共有五個-1，完成第一步后一共有三個-1，完成第二步后有一個-1. 從生活的角度來看，是把牌由反翻成正或由正翻到反；從數(shù)學的角度來看，每翻一次牌就是把1 變成-1，或者把-1變成1. 進一步理解，翻一張牌就是把其中一個數(shù)字乘以-1，而每次翻兩張，相當于同時改變兩個數(shù)字的符號. 本來五張牌全部反面朝上，可以看作是五個-1相乘，即（-1）×（-1）×（-1）×（-1）×（-1）=-1，如果變成全部正面朝上，就相當于五個+1相乘，即（+1）×（+1）×（+1）×（+1）×（+1）=1. 每次翻兩張牌，就相當于在前一個式子左邊每次乘兩個-1. 于是，問題就轉化為是否可以在前一個式子的左邊每次乘兩個-1，通過若干次操作，最終得到后一個算式. 因為每次乘兩個-1，就相當于乘1，不管經過多少次操作，始終無法將前式的結果-1轉變?yōu)楹笫降慕Y果+1. 將這個結論返回原來的情境中，五張反面朝上的牌，每次翻動兩張，永遠不可能實現(xiàn)全部正面朝上，從而引導學生反思：“成功”與“不成功”的問題與整除無關，而是與m，n的奇偶性有關.

因此，再次猜想：當m為奇數(shù)、n為偶數(shù)時，是不可能翻牌成功的.

這也解釋了為什么學生翻不出來“5 翻4”. 同樣地，“3翻2”也是這個道理.

【設計意圖】一個抽象的數(shù)學知識和一個具體的生活情境之間，存在著一段或長或短的數(shù)學化過程. 實際上，解決一個數(shù)學問題最困難的地方往往并不是對結果的理解，而在于從現(xiàn)實情境到數(shù)學結果的數(shù)學化過程. 著名的“哥尼斯堡七橋問題”中，歐拉的證明之所以令人嘆服，并不在于其抽象出的“一筆畫問題”有多么高深， 而在于從“七橋問題”到“一筆畫問題”之間巧妙的數(shù)學化過程. 就“翻牌游戲”一課來說，主要的教學目標是讓學生感受有理數(shù)乘法的運用，這個數(shù)學化的過程就是數(shù)學抽象、數(shù)學建模的過程. 具體表現(xiàn)為：去除一些物理屬性，把牌面的正、反抽象成相反意義的量，用+a表示正面，用-a表示反面，或者用+1表示正面，用-1表示反面. 數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想之一，數(shù)學抽象一般要經歷“具象—表象—抽象”的過程.

環(huán)節(jié)4：總結歸納，收獲游戲規(guī)律.

問題5：回顧整個游戲的過程，你有哪些猜想？

學生根據(jù)環(huán)節(jié)3 的啟發(fā)和前面的活動經驗總結出：當m為偶數(shù)、n為偶數(shù)時，翻牌可以成功；當m為偶數(shù)、n為奇數(shù)時，翻牌可以成功；當m為奇數(shù)、n為奇數(shù)時，翻牌可以成功；當m為奇數(shù)、n為偶數(shù)時，翻牌不能成功.

問題6：當然，這只是我們從有限的游戲次數(shù)中得到的猜想，我們繼續(xù)嘗試來驗證猜想是否正確. 在總牌數(shù)是9 的翻牌游戲中，哪些是不可能成功的？哪些是不需要動手操作就能知道肯定可以翻成功的？

學生在教師的問題引領下，根據(jù)前面的翻牌經驗，可以得到：“9翻1”“9翻3”“9翻9”是一定可以成功的，“9 翻2”“9 翻4”“9 翻6”“9 翻8”一定不成功. 因此，只需要嘗試“9翻5”“9翻7”即可.

在學生自己動手操作后，教師安排學生以“反面朝上的撲克牌為-a，則正面朝上的撲克牌為a”為例，演示“9翻5”，具體過程如下.

開始狀態(tài)：-a，-a，-a，-a，-a，-a，-a，-a，-a；

第一步：a，a，a，a，a，-a，-a，-a，-a；

第二步：a，a，-a，-a，-a，a，a，-a，-a；

第三步：a，a，a，a，a，a，a，a，a.

游戲成功.

【設計意圖】學生經過一系列的游戲活動，經歷了“猜想—質疑—分析—完善”的過程，在獨立思考、小組合作、教師引導下逐步得出了翻牌游戲的本質規(guī)律. 這個結論固然重要，但是獲得結論的過程更重要. 史寧中教授曾指出，過去，我們教了一些結果，沒教智慧，智慧是表現(xiàn)在過程之中的. 學生通過動手實驗，嘗試用所學知識解釋實驗結果的過程就是一種深刻的“過程”中教育. 最后讓學生玩“9翻5”的游戲，是從一般到特殊的驗證過程，讓學生感受到“奇翻奇”確實能成功. 同時，提出了一個更有深度的問題：翻牌游戲能成功的前提下，最少需要翻牌幾次？至此，在活動中促進了學生“做”與“思”的深度融合，真正達到啟思明智的目的.

二、教學反思

1. 數(shù)學實驗體現(xiàn)了“做中學”的理念

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《標準》）提出：學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數(shù)學的重要方式. 教學活動應注重啟發(fā)式教學，激發(fā)學生學習興趣，引發(fā)學生積極思考，鼓勵學生質疑問難，引導學生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜想、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題. 基于這樣的要求，教師有必要在平時的教學中設計和開發(fā)一些數(shù)學實驗活動，引導和鼓勵每名學生都能充分參與到實驗中來，親歷、體驗和感受數(shù)學，在“玩中學”，在“做中學”，在實驗的過程中培養(yǎng)學生的動手實踐、探索創(chuàng)新的能力.

“翻牌游戲”正是為有理數(shù)的乘法的運用而設計的一節(jié)數(shù)學實驗活動課，以撲克牌為工具進行操作活動，教師通過提出有價值的問題，引發(fā)學生的數(shù)學思考，使學生在游戲中不斷猜想、歸納，探尋數(shù)學規(guī)律，從而用數(shù)學的方法解決問題. 這節(jié)課給學生的學習方式帶來了實質性的變化. 在翻牌游戲中，學生調動多種感官參與數(shù)學認知活動，通過觀察、操作、實驗，獲得抽象的數(shù)學概念、原理所需要的現(xiàn)實材料，在此基礎上通過歸納、類比、抽象、概括等方式，提取共性而獲得數(shù)學概念，發(fā)現(xiàn)規(guī)律而獲得數(shù)學原理和性質，并獲得解決問題方法的啟發(fā). 通過數(shù)學實驗，學生不僅經歷了數(shù)學對象的要素、概念內涵的抽象過程，數(shù)學法則、性質、公式等的歸納和發(fā)現(xiàn)過程，而且產生了“如何研究”“如何發(fā)現(xiàn)”的方法論感悟. 數(shù)學實驗使得數(shù)學知識成為學生自己發(fā)現(xiàn)的結果，能為學生理解數(shù)學知識奠定堅實基礎，也使學生對應用知識的背景條件形成完整的認識. 因此，數(shù)學實驗使數(shù)學學習成為學生自己可以掌控過程的必要條件. 學生在“做數(shù)學”中“學數(shù)學”和“用數(shù)學”，突出了教學過程中主體的參與性，必然能更有效地培養(yǎng)學生的探索能力和創(chuàng)新意識，激發(fā)學生的好奇心和求知欲，也更有利于學生的個性發(fā)展.

2. 數(shù)學實驗是學生積累基本活動經驗的重要途徑

《標準》在課程總目標中提出：學生能獲得適應未來生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗. 這里的基本活動經驗是指在教學目標的指引下，通過對具體實物進行實際操作、觀察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識，是學習者在參與數(shù)學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用意識. 杜威曾指出，所做的事情、動作和感受（或經歷）的密切關系就形成我們所謂的經驗. 數(shù)學活動經驗是過程、是經歷，其主要特征是主體性、動態(tài)性、活動性，獲得的途徑主要是在“做數(shù)學”的過程中獲得、在“數(shù)學化”的過程中獲得、在“數(shù)學探究”的過程中獲得. 因此，“數(shù)學實驗”是學生積累基本活動經驗的一種重要途徑.

在“翻牌游戲”一課中，學生在實際的外顯操作（翻牌）中不僅可以獲得感官、直覺的感受、體驗等操作經驗，在問題探究、問題解決過程中所開展的數(shù)學活動也有指導操作活動的思維體驗，如猜想、歸納、類比、推理、數(shù)據(jù)分析等，從而積累了數(shù)學的思維經驗和探究經驗. 本節(jié)課的活動對學生的情感體驗也有著積極的推動作用. 翻牌游戲的規(guī)律和結論不是以完滿的形式展現(xiàn)給學生，而是讓學生通過親身體驗游戲規(guī)律的發(fā)生、發(fā)展過程，使每名學生都可以自由地、大膽地猜想、實驗、驗證，享受數(shù)學發(fā)現(xiàn)的喜悅，實現(xiàn)“學數(shù)學”到“做數(shù)學”再到“用數(shù)學”的過程，對發(fā)展學生積極的數(shù)學情感大有裨益.

3. 數(shù)學實驗的設計要體現(xiàn)“做”與“思”的融合

數(shù)學實驗具有以下四個基本特征.（1）實證性.數(shù)學實驗追求的不僅僅是對數(shù)學命題的邏輯論證，更重要的是揭示數(shù)學問題的形成過程.（2）深刻性. 數(shù)學實驗追求的不僅僅是知識的獲取和解決的過程，更重要的是對知識的再發(fā)現(xiàn)和對問題的再創(chuàng)造過程.（3）探索性. 數(shù)學實驗追求的不僅僅是解決問題的方法與途徑的選擇，更重要的是解決問題過程中所蘊含的數(shù)學思想.（4）創(chuàng)造性. 數(shù)學實驗追求的不僅僅是按部就班地獲得結論，更重要的是培養(yǎng)求異思維和創(chuàng)新精神. 數(shù)學實驗的設計要使學生充分認識數(shù)學實驗的基本特征，要充分體現(xiàn)“做”服務于“思”，“思”是“做”的升華.

“翻牌游戲”一課正是基于以上數(shù)學實驗特征進行的活動設計. 教師先給出翻牌游戲的規(guī)則，設計了四個有梯度的活動環(huán)節(jié). 在環(huán)節(jié)1中，教師設計了如“2翻1”“2翻2”“3翻1”“3翻2”“4翻1”“4翻2”的簡單活動，學生很容易通過動手實驗的方式獲得答案. 在完成活動A 和活動B 后，教師又提出了具有針對性的問題1. 這是一個從實驗、觀察到猜想、歸納的過程，也是一個思維深度發(fā)展的過程，是培養(yǎng)學生數(shù)學歸納、推理能力的機會. 環(huán)節(jié)2中的活動C是一個引發(fā)學生認知矛盾的活動設計，當m不能被n整除的情況下，通過實驗發(fā)現(xiàn)游戲“4翻3”也可以成功，引發(fā)學生進一步的探索欲望. 活動D 結束后，教師提問“如果在牌的張數(shù)太多的情況下，實驗就困難了，我們應該如何來分析呢？”引導學生嘗試用數(shù)學的方法來思考、表達翻牌游戲的規(guī)律. 開放性問題設計給了學生更大的思考空間，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力. 上課時，發(fā)現(xiàn)不同層次的學生用了不同的方法來解決問題.環(huán)節(jié)4中，教師提出了問題5，這是從動手實驗到結論歸納的再提升. 從整個課堂的教學活動來看，學生在教師的引導下，充分參與，在“做”中“思”，在“思”中動手驗證，整個教學活動手腦并用，“做”“思”融合，很好地發(fā)展了學生的抽象能力、模型觀念和推理能力.

三、結束語

G.波利亞曾指出：數(shù)學有兩個側面，一方面，它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面看，數(shù)學像是一門系統(tǒng)的演繹科學；另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學看起來像是一門實驗性的歸納科學. 因此，借助于“數(shù)學實驗”的平臺，不但可以促進學生“做”“思”融合，啟思明智，而且可以有效幫助教師轉變數(shù)學教學觀念，改進教學方式，進而提高教學質量，發(fā)展初中學生的數(shù)學核心素養(yǎng).