劉春陽(yáng)，錢德春

（江蘇省宿遷市鐘吾初級(jí)中學(xué)；江蘇省泰州市教育局教研室）

思維是數(shù)學(xué)的靈魂與核心，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)決定數(shù)學(xué)思維能力. 認(rèn)知科學(xué)認(rèn)為，人類的認(rèn)知是從關(guān)聯(lián)開(kāi)始的，而認(rèn)知關(guān)聯(lián)與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)密不可分.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng). 鄭毓信先生提倡，數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)時(shí)，不是求全，重要的是求“聯(lián)”，這里的“聯(lián)”就是聯(lián)系、關(guān)聯(lián). 認(rèn)知關(guān)聯(lián)包括知識(shí)關(guān)聯(lián)、研究路徑關(guān)聯(lián)、研究方法關(guān)聯(lián). 2021 年江蘇省青年教師優(yōu)質(zhì)課評(píng)選活動(dòng)的課題之一是蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）七年級(jí)上冊(cè)“6.2 角（2）”，選手們的課堂教學(xué)可謂精彩紛呈，其中一位選手著眼認(rèn)知關(guān)聯(lián)教學(xué)，將研究?jī)?nèi)容與已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)與建立關(guān)聯(lián)中規(guī)劃研究路徑“延伸線”，在揭示與確認(rèn)關(guān)聯(lián)中激活研究方法“銜接點(diǎn)”，在內(nèi)化與完善關(guān)聯(lián)中形成數(shù)學(xué)知識(shí)“生長(zhǎng)鏈”，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的思維能力，給筆者留下了深刻的印象. 本文通過(guò)對(duì)該課的教學(xué)案例分析，談?wù)劵谡J(rèn)知關(guān)聯(lián)教學(xué)，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略.

一、課例呈現(xiàn)

1. 教學(xué)分析

（1）教材結(jié)構(gòu)分析.

“角（2）”是教材七年級(jí)上冊(cè)第6 章第2 節(jié)第2 課時(shí)的內(nèi)容，主要內(nèi)容是用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，理解角平分線的概念. 學(xué)生前面學(xué)習(xí)過(guò)的線（線段、射線、直線）、角的概念、作一條線段等于已知線段、用量角器作一個(gè)角等于已知角等幾何知識(shí)與方法、研究路徑與經(jīng)驗(yàn)是研究用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角、角平分線的基礎(chǔ)，而“角”的研究又為學(xué)習(xí)余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角、平行、垂直等內(nèi)容提供知識(shí)、方法準(zhǔn)備，同時(shí)也為研究其他幾何作圖、三角形全等內(nèi)容積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（2）學(xué)生認(rèn)知分析.

知識(shí)方面：學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過(guò)“用量角器度量角”和“用三角尺畫(huà)一些特殊角”，在本章已經(jīng)學(xué)習(xí)了“線段及線段中點(diǎn)概念”“畫(huà)一條線段等于已知線段”及“角的概念”. 由于學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)，對(duì)“用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角”的方法及正確性缺少邏輯支撐，需要通過(guò)未知與已知的關(guān)聯(lián)尋找類比源.

能力方面：學(xué)生已經(jīng)初步具備作圖的能力、用幾何語(yǔ)言表達(dá)線段關(guān)系的能力，以及簡(jiǎn)單的說(shuō)理能力.

（3）教學(xué)目標(biāo)分析.

①掌握用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法；理解角平分線的概念，會(huì)用“因?yàn)椤?，所以……”的方式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算與推理.

②經(jīng)歷“作一個(gè)角等于已知角”的方法探究過(guò)程、“角的平分線概念”的形成過(guò)程，感悟類比的思想與聯(lián)系的觀念.

（4）重、難點(diǎn)分析.

教學(xué)重點(diǎn)：用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，理解角平分線的概念和性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)：“用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角”的思路探究.

（5）教學(xué)策略與路徑分析.

教學(xué)策略：基于學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在知識(shí)、路徑與方法關(guān)聯(lián)中類比得到新知的研究路徑與方法.

教學(xué)路徑如圖1所示.

圖1

2. 教學(xué)實(shí)施

活動(dòng)1：猜想關(guān)聯(lián)，激活思維能動(dòng)性.

問(wèn)題1：學(xué)習(xí)線段的基本路徑是什么？我們已經(jīng)研究了“角”的哪些內(nèi)容？

師生活動(dòng)：回顧線段學(xué)習(xí)的基本路徑：定義—表示方法—大小比較—畫(huà)線段—線段中點(diǎn). 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了角的兩種定義、表示方法和大小比較.

追問(wèn)：類比“線段”的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為“角”還應(yīng)該研究什么？

生1：如何畫(huà)一個(gè)角等于已知角？

生2：角中有沒(méi)有類似線段中點(diǎn)的圖形？

生3：我猜想角的研究路線和研究線段的路線類似.

師：大家說(shuō)得都很好！看來(lái)大家對(duì)角的研究還是很有想法的. 那么我們今天就從生1的問(wèn)題出發(fā)，開(kāi)始探究之旅.

【效能分析】思維在適當(dāng)外因的作用下具有較強(qiáng)的能動(dòng)性. 通過(guò)線段研究過(guò)程的回顧，學(xué)生借助已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)猜想、發(fā)現(xiàn)角與線段之間的知識(shí)、路徑與方法的關(guān)聯(lián)，從而激活了自身思維的能動(dòng)性，從整體上把握新知探究的方向與結(jié)構(gòu)，規(guī)劃了“角”的研究路徑“延伸線”.

活動(dòng)2：建立關(guān)聯(lián)，激發(fā)思維靈活性.

問(wèn)題2：能否借助工具，畫(huà)一個(gè)角等于45°？

兩位學(xué)生板演：生4用含45°角的三角尺作圖；生5用量角器畫(huà)45°角.

追問(wèn)1：用一副三角尺還能畫(huà)出哪些角？

教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后進(jìn)行分組討論、歸納，最后小組代表發(fā)言.

生6：15°的倍數(shù)角都可以畫(huà)出來(lái).

追問(wèn)2：若∠AOB是任意度數(shù)的角，剛才的作圖方法是否仍然適用？

生7：不能用三角尺畫(huà)，可以用量角器度量∠AOB的度數(shù)再畫(huà)出∠A′O′B′.

追問(wèn)3：如果現(xiàn)在沒(méi)有量角器和三角尺，你能不能自己制作工具畫(huà)圖？

學(xué)生分組討論，給出解決方案，小組合作畫(huà)圖.方案如下.

方案1：選擇一張透明紙片，將其覆蓋在∠AOB上，描出頂點(diǎn)O，分別在邊OA，OB上任意描出點(diǎn)C，D（如圖2（a）），移動(dòng)透明紙片到另一張白紙上，分別畫(huà)出點(diǎn)O，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′，C′，D′，然后畫(huà)出射線O′C′，O′D′，得∠A′O′B′（如圖2（b））.

圖2

方案2：自制一個(gè)半圓形紙片，讓圓心與∠AOB的頂點(diǎn)O重合，直徑邊緣與邊OA重合，標(biāo)記圓弧與邊OB的交點(diǎn)D（如圖3（a）），移動(dòng)半圓形紙片到另一張白紙上，畫(huà)出頂點(diǎn)O′及邊O′A′，再畫(huà)出標(biāo)記點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′，移走半圓形紙片，然后畫(huà)出∠A′O′B′（如圖3（b））.

圖3

【效能分析】基于小學(xué)階段已有的操作經(jīng)驗(yàn)，提出一般問(wèn)題和利用不同工具畫(huà)圖的要求，學(xué)生創(chuàng)造性地得到了兩種不同畫(huà)法，既激發(fā)了學(xué)生思維的靈活性，又為尺規(guī)作角方法的形成給予了適當(dāng)鋪墊.

活動(dòng)3：揭示關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)思維深刻性.

問(wèn)題3：能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述方案1中的畫(huà)法？

追問(wèn)1：邊OA，OB上的點(diǎn)C，D是如何取的？

生8：任意取的點(diǎn)（如圖4）.

圖4

追問(wèn)2：如何不用透明紙也能得到點(diǎn)C′？

生9：當(dāng)點(diǎn)C確定了，點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離也隨之確定. 只要在射線O′A′上找點(diǎn)C′，使O′C′=OC；以點(diǎn)O′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與射線O′A′相交即可得到點(diǎn)C′（如圖5）.

圖5

追問(wèn)3：如何確定點(diǎn)D′的位置？

生10：以點(diǎn)O′為圓心，OD長(zhǎng)為半徑畫(huà)第二條?。ㄈ鐖D6）.

圖6

追問(wèn)4：第二條弧上任意點(diǎn)都符合要求嗎？

生11：不是，由于點(diǎn)D′到點(diǎn)C′的距離等于CD長(zhǎng)，故以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)第三條弧，與第二條弧的交點(diǎn)才是點(diǎn)D′，畫(huà)射線O′D′，得∠A′O′B′的另一邊O′B′（如圖7）.

圖7

問(wèn)題4：從方案2用自制半圓畫(huà)角中，你又得到了什么啟示？

師生活動(dòng)：當(dāng)OB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)D也隨之繞點(diǎn)O同方向旋轉(zhuǎn).此時(shí)∠AOB的度數(shù)隨著點(diǎn)D的位置變化而變化，也隨著點(diǎn)D的位置固定而固定，點(diǎn)D和點(diǎn)C之間的距離同步變化，說(shuō)明點(diǎn)D位置變化情況與點(diǎn)C位置有關(guān).

追問(wèn)1：相互比較你們制作的半圓形紙片，大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生12：紙片的大小不一，說(shuō)明點(diǎn)D的位置與半圓大小無(wú)關(guān)（如圖8）.

圖8

追問(wèn)2：這個(gè)紙片邊緣上的半圓能不能用其他工具畫(huà)出來(lái)？

生13：圓規(guī)！以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)C（如圖9（a）），以點(diǎn)O′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于點(diǎn)C′（如圖9（b））.

圖9

師：是的，小學(xué)時(shí)我們就開(kāi)始用圓規(guī)來(lái)畫(huà)弧了，同學(xué)們真會(huì)聯(lián)想.

追問(wèn)3：如何確定點(diǎn)D′的位置？

生14：點(diǎn)D′在所畫(huà)的弧上，到點(diǎn)C′的距離等于CD的長(zhǎng).以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交前弧于點(diǎn)D′，則點(diǎn)D′就是點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)D′畫(huà)射線O′B′（如圖10）.

圖10

追問(wèn)4：兩種方案有何相同點(diǎn)、不同點(diǎn)？

生15：相同點(diǎn)是它們都是先確定點(diǎn)C′，再確定點(diǎn)D′，而且都用到了CD=C′D′；

生16：都是用兩條線（直線與弧、弧與?。┑慕稽c(diǎn)來(lái)確定點(diǎn)的位置.

生17：不同點(diǎn)是方案1中的點(diǎn)C′，D′分別在兩條不同的弧上，方案2中都在同一條弧上.

追問(wèn)5：比較兩種方案，你更愿意選擇哪個(gè)方案？

生18：當(dāng)然是方案2，因?yàn)檫@樣不需要再多畫(huà)一條弧.

師生共同完成作圖過(guò)程，歸納作圖步驟.

追問(wèn)6：怎么驗(yàn)證∠A′O′B′=∠AOB？

生19：可以用度量法或疊合法來(lái)比較.

師：對(duì)的，以后我們還可以通過(guò)邏輯推理來(lái)證明它們相等.

【效能分析】通過(guò)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生分析“學(xué)具畫(huà)圖”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)及兩種方法的優(yōu)劣，從中尋找尺規(guī)作圖的思路，激活了角的研究方法“銜接點(diǎn)”，將學(xué)具畫(huà)圖抽象為尺規(guī)作圖. 在方法關(guān)聯(lián)中，學(xué)生想象、抽象與推理等深度思維能力得到提升.

活動(dòng)4：延伸關(guān)聯(lián)，拓展思維創(chuàng)造性.

問(wèn)題5：已知∠AOC（如圖11）. 畫(huà)出∠BOC使得∠BOC=∠AOC，并指出射線OC的特殊性.

圖11

生20：（作出如圖12所示的圖形）我覺(jué)得這個(gè)圖形和“線段中點(diǎn)”類似.

圖12

師：你想象力很豐富. 能不能具體說(shuō)一說(shuō)？

生20：∠AOB內(nèi)部的這條射線OC就相當(dāng)于線段AB的中點(diǎn)C，但不知道怎么稱呼？

師生活動(dòng)：學(xué)生類比“線段的中點(diǎn)”得到角平分線的概念及三種語(yǔ)言表示，理解角平分線概念既是性質(zhì)又是判定.

問(wèn)題6：如圖13，∠DOC= 20°，∠DOB= 50°，∠AOC=60°，試說(shuō)明OB是∠AOC的平分線.

變式：如圖14，已知∠AOB=30°，∠BOC=20°，OD是∠AOB的平分線，當(dāng)OE是∠BOC的平分線時(shí)，求∠DOE的度數(shù).

圖14

問(wèn)題7：如圖15，你能在∠AOB內(nèi)畫(huà)出射線OE，使得∠AOE=∠BOE嗎？

圖15

生21：用量角器畫(huà)角平分線.

生22：以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D，連接CD，取CD中點(diǎn)E，畫(huà)射線OE，則射線OE就是∠AOB的平分線（如圖16）.

圖16

【效能分析】學(xué)生從線段與角的認(rèn)知方式關(guān)聯(lián)出發(fā)，類比線段中點(diǎn)得到角平分線的概念及表示方法. 學(xué)生自主提出問(wèn)題，得出畫(huà)角平分線的方法，思維創(chuàng)造性得到了激發(fā). 問(wèn)題7 既是用直尺和圓規(guī)“作一個(gè)角等于已知角”方法的鞏固，又加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)角平分線概念的內(nèi)化.

活動(dòng)5：內(nèi)化關(guān)聯(lián)，完善思維系統(tǒng)性.

問(wèn)題8：用知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的方式梳理本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容. 想象一下，后續(xù)還會(huì)學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？

師生共同回顧本節(jié)課的核心知識(shí)，初步建立知識(shí)、路徑、方法結(jié)構(gòu)圖.

追問(wèn)：根據(jù)線段與角的探究經(jīng)驗(yàn)，后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)中還將研究什么？

生23：三角形.

師：是的，還會(huì)研究作一個(gè)三角形與已知三角形全等，還會(huì)研究許多圖形，從圖形的表示、畫(huà)法、特征、位置與大小關(guān)系等角度進(jìn)行研究（進(jìn)一步完善結(jié)構(gòu)圖，如圖17所示）.

圖17

【效能分析】基于認(rèn)知關(guān)聯(lián)，從圖形、知識(shí)、路徑、方法四個(gè)維度構(gòu)建結(jié)構(gòu)圖，形成數(shù)學(xué)知識(shí)的“生長(zhǎng)鏈”，完善學(xué)生認(rèn)知與思維的系統(tǒng)性，啟發(fā)學(xué)生勾勒后續(xù)學(xué)習(xí)圖式，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的欲望.

二、課例評(píng)析

美國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)委員會(huì)（National Mathematics Advisory Panel）成員伍鴻熙教授指出，數(shù)學(xué)是連貫的；它是一張編織緊密的掛毯，其中所有概念和技巧邏輯嚴(yán)密地編織在一起，形成一個(gè)統(tǒng)一的整體. 這段文字充分反映了數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性. 基于認(rèn)知關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)教學(xué)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的基本途徑與方法. 本節(jié)課從線段相關(guān)知識(shí)、研究路徑和探究方法出發(fā)，通過(guò)發(fā)現(xiàn)與建立關(guān)聯(lián)，規(guī)劃研究路徑“延伸線”；揭示與確認(rèn)關(guān)聯(lián)，激活角的研究方法“銜接點(diǎn)”；內(nèi)化與完善關(guān)聯(lián)，形成角的數(shù)學(xué)知識(shí)“生長(zhǎng)鏈”. 其中，數(shù)學(xué)知識(shí)是關(guān)聯(lián)之“根”，研究路徑是關(guān)聯(lián)之“基”，研究方法是關(guān)聯(lián)之“源”. 通過(guò)認(rèn)知關(guān)聯(lián)，啟發(fā)學(xué)生從整體上把握新知探究方向、掌握研究方法、形成數(shù)學(xué)知識(shí)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

1. 發(fā)現(xiàn)與建立關(guān)聯(lián)，規(guī)劃研究路徑“延伸線”

研究路徑是關(guān)聯(lián)之“基”. 數(shù)學(xué)教學(xué)中，要以已有路徑為基礎(chǔ)，通過(guò)建立新問(wèn)題與已有問(wèn)題研究路徑的關(guān)聯(lián)，規(guī)劃新問(wèn)題研究路徑的“延伸線”. 線段主要研究概念、表示方法、大小比較、圖形畫(huà)（作）法、研究特殊位置點(diǎn)（線）的特征，教師引導(dǎo)學(xué)生從多角度發(fā)現(xiàn)并建立“角”與“線段”的關(guān)聯(lián)，通過(guò)類比將線段研究路徑延伸為角的研究路徑. 利用共同屬性建立關(guān)聯(lián)是一種重要的關(guān)聯(lián)方式. 例如，“線段中點(diǎn)”與“角平分線”是通過(guò)“平分”這個(gè)共同屬性建立關(guān)聯(lián)的；線段與角的大小比較是通過(guò)“可度量性”這個(gè)共同屬性建立關(guān)聯(lián)的；用直尺與圓規(guī)“作一條線段等于已知線段”與“作一個(gè)角等于已知角”是通過(guò)“圓規(guī)可畫(huà)弧”這個(gè)共同屬性建立關(guān)聯(lián)的；而“定義、性質(zhì)、判定和應(yīng)用、位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系”等幾何圖形研究方法的共同屬性，也必然是線段、角及后續(xù)圖形的研究路徑.

2. 揭示與確認(rèn)關(guān)聯(lián)，激活研究方法“銜接點(diǎn)”

事實(shí)上，明確研究方向、規(guī)劃研究路徑僅僅是第一步，問(wèn)題解決還需要方法做支撐.“作一個(gè)角等于已知角”的方法源頭是“角的兩種定義”與“畫(huà)一條線段等于已知線段”. 課堂上，通過(guò)師生、生生合作交流，揭示與確認(rèn)角的畫(huà)法、角的兩種定義及“畫(huà)一條線段等于已知線段”之間的關(guān)聯(lián). 首先，“有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角”的靜態(tài)定義直觀地刻畫(huà)了角的結(jié)構(gòu)特征和構(gòu)成要素，而“作一個(gè)角等于已知角”的關(guān)鍵就是確定角的頂點(diǎn)和兩邊. 由定義可知，角的兩邊是射線，一條射線可確定角的頂點(diǎn)和一條邊，只要再確定另一邊上的任意一點(diǎn)即可. 其次，“角可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形”的定義動(dòng)態(tài)地描述了角的生成過(guò)程，角的大小隨著終邊旋轉(zhuǎn)而變化、隨著終邊停止而確定. 融合靜態(tài)、動(dòng)態(tài)兩種定義就可以確定角的邊，這是畫(huà)“角”方法的“銜接點(diǎn)”.

3. 內(nèi)化與完善關(guān)聯(lián)，形成數(shù)學(xué)知識(shí)“生長(zhǎng)鏈”

數(shù)學(xué)知識(shí)不是給予的，而是生長(zhǎng)出來(lái)的. 數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，這里的“知識(shí)”是廣義的，既包括數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、判定等本體知識(shí)，也包括研究路徑、思想方法等延伸知識(shí)（以下統(tǒng)稱“大知識(shí)”）. 例如，買回一堆機(jī)器零件，零件自身不會(huì)運(yùn)轉(zhuǎn)，需要依附他們之間的內(nèi)在聯(lián)系結(jié)合在一起才能發(fā)揮機(jī)器的威力. 教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生審視知識(shí)產(chǎn)生的背景、生長(zhǎng)發(fā)展脈絡(luò)，內(nèi)化相似知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)系，有效把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性，利用知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系解決問(wèn)題，并將“大知識(shí)”結(jié)構(gòu)化. 本節(jié)課中，教師以已有知識(shí)為“根”，通過(guò)結(jié)構(gòu)圖形式幫助學(xué)生內(nèi)化與完善知識(shí)關(guān)聯(lián)，形成數(shù)學(xué)知識(shí)的“生長(zhǎng)鏈”，建構(gòu)知識(shí)體系，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu). 例如，類比線段相關(guān)內(nèi)容知道學(xué)習(xí)目標(biāo)；由“用量角器畫(huà)角”獲得“尺規(guī)作角”的啟示，歸納、概括尺規(guī)作圖的步驟；類比“線段中點(diǎn)”相關(guān)知識(shí)得出角平分線的概念、表示及關(guān)系等. 教師通過(guò)結(jié)構(gòu)化板書(shū)，最終形成“大知識(shí)”結(jié)構(gòu)圖（如圖17），讓學(xué)生將新知融合到整個(gè)知識(shí)體系中來(lái)，從而內(nèi)化與完善知識(shí)體系.

三、教學(xué)思考

關(guān)聯(lián)性既包括數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，也包括學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、認(rèn)知方式與認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的關(guān)聯(lián). 基于認(rèn)知關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)教學(xué)必須思考以下問(wèn)題：基于認(rèn)知關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值何在？認(rèn)知關(guān)聯(lián)的內(nèi)涵怎樣？基于認(rèn)知關(guān)聯(lián)的教學(xué)從哪里開(kāi)始？如何強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知？所以基于以上思考，筆者得出以下感悟.

1. 提升學(xué)生思維品質(zhì)是基于認(rèn)知關(guān)聯(lián)教學(xué)的根本目標(biāo)

基于認(rèn)知關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo)就是提升學(xué)生的思維品質(zhì). 例如，新的知識(shí)關(guān)聯(lián)能通過(guò)不同方式產(chǎn)生和制造出來(lái). 為了研究知識(shí)、管理知識(shí)、利用知識(shí)并創(chuàng)造知識(shí)，人們采用了不同的方式對(duì)知識(shí)進(jìn)行重組，不僅利用了知識(shí)之間原有的知識(shí)關(guān)聯(lián)，而且創(chuàng)造了大量新的知識(shí)關(guān)聯(lián). 從某種意義上來(lái)說(shuō)，這種關(guān)聯(lián)過(guò)程培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

2. 理解“關(guān)聯(lián)性”的內(nèi)涵是基于認(rèn)知關(guān)聯(lián)教學(xué)的前提

關(guān)聯(lián)是指事物相互之間發(fā)生牽連和影響，即事物之間的聯(lián)系. 教師的作用在于引導(dǎo)學(xué)生尋找并建立新的研究對(duì)象與已有知識(shí)、方法與策略等認(rèn)知的關(guān)聯(lián)，這就要求教師要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯的關(guān)聯(lián)性、數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的研究，從而理解知識(shí)邏輯的關(guān)聯(lián)性、教材編寫(xiě)的關(guān)聯(lián)性，以及認(rèn)知過(guò)程的關(guān)聯(lián)性，將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)、教材形態(tài)轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài).

（1）理解知識(shí)邏輯的關(guān)聯(lián)性.

知識(shí)邏輯的關(guān)聯(lián)性是連接新、舊知識(shí)的橋梁，是數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)與發(fā)展的基礎(chǔ). 理解數(shù)學(xué)知識(shí)的這種關(guān)聯(lián)性對(duì)于基于認(rèn)知關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)教學(xué)起著決定性作用.以“用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角”為例，從角的歷史來(lái)看，其核心作用在于描述方向的改變. 因此，凡是與方向以及方向改變有關(guān)的內(nèi)容都與角相關(guān)聯(lián). 既然是方向改變，必然有開(kāi)始的位置（角的始邊）和結(jié)束的位置（角的終邊），從而構(gòu)成了確定角的元素——兩條有公共端點(diǎn)的射線，而決定射線的是頂點(diǎn)和射線上任意一點(diǎn). 如果角的始邊確定了，那么角的終邊的頂點(diǎn)也就隨之確定. 因此，只要確定終邊上的任意一點(diǎn)即可. 換言之，作角的知識(shí)基礎(chǔ)是作射線.這就是知識(shí)邏輯的關(guān)聯(lián).

（2）理解教材編寫(xiě)的關(guān)聯(lián)性.

如何探究“用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角？”教材七年級(jí)上冊(cè)“6.2 角”，在“用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角”之前，安排了兩個(gè)活動(dòng)：一是用三角板作角，結(jié)論是只能作15°倍數(shù)的角，說(shuō)明三角板畫(huà)角的局限性，突出了尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)價(jià)值；二是用量角器畫(huà)0°到180°的任意角（如圖18）. 接著，教材呈現(xiàn)這樣一段文字：觀察圖18中點(diǎn)D的位置，可以發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)D在量角器的邊緣弧上，并且與點(diǎn)C的距離隨著角的大小的確定而確定. 這是“尺規(guī)作角”的思維起點(diǎn)，這段文字體現(xiàn)了教材將角的學(xué)術(shù)形態(tài)與教學(xué)形態(tài)之間建立關(guān)聯(lián)的編寫(xiě)意圖. 教師只有理解教材編寫(xiě)的關(guān)聯(lián)性，才能實(shí)施有效的課堂教學(xué).

圖18

（3）理解學(xué)生認(rèn)知的關(guān)聯(lián)性.

學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程，這就意味著已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是主動(dòng)建構(gòu)的基礎(chǔ). 仍以“用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角”為例，學(xué)生遇到這樣的問(wèn)題時(shí)自然會(huì)回憶、捕捉相關(guān)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，如角的兩種定義、確定角的條件、已接觸過(guò)的尺規(guī)作圖（作一條線段等于已知線段）、用量角器畫(huà)角等知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，并且主動(dòng)建立“用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角”與這些知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)聯(lián)，以此為基礎(chǔ)尋求新問(wèn)題的解決方案.

3. 尋求最佳“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是基于認(rèn)知關(guān)聯(lián)教學(xué)的“啟動(dòng)器”

人類認(rèn)知活動(dòng)的目的就是在認(rèn)知過(guò)程中試圖以最小的心智努力獲得最大的效果，為了達(dá)到這個(gè)目的，人們必須把注意力集中于最為“關(guān)聯(lián)”的信息，以獲取信息和語(yǔ)境的最佳關(guān)聯(lián)，而最佳“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是基于認(rèn)知關(guān)聯(lián)教學(xué)的“啟動(dòng)器”. 因此，在課堂教學(xué)中，教師的一個(gè)重要的工作就是幫助學(xué)生尋求最佳“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

（1）尋求最佳關(guān)聯(lián)知識(shí).

最佳關(guān)聯(lián)知識(shí)類似于認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū). 教學(xué)中，教師要在眾多關(guān)聯(lián)知識(shí)中甄別、篩選最貼近當(dāng)前研究對(duì)象的知識(shí)，只有這樣，學(xué)生才能通過(guò)最佳關(guān)聯(lián)知識(shí)確定研究對(duì)象或當(dāng)前問(wèn)題的研究路徑與解決方案. 在“用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角”與角平分線概念的研究中，關(guān)聯(lián)知識(shí)較多，其中角的兩種定義、用量角器畫(huà)角、作一條線段等于已知線段、確定射線的條件最為貼近，這就是最佳關(guān)聯(lián)知識(shí).

（2）尋求最佳關(guān)聯(lián)時(shí)機(jī).

選擇恰當(dāng)?shù)年P(guān)聯(lián)時(shí)機(jī)對(duì)于解決問(wèn)題至關(guān)重要. 由教師引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)現(xiàn)象. 在學(xué)生“用量角器畫(huà)一個(gè)角等于已知角”后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)邊緣弧上的點(diǎn)D到角的始邊與弧的交點(diǎn)C（定點(diǎn)）的距離隨著角的大小確定而確定，學(xué)生立即得出結(jié)論：CD的長(zhǎng)決定了角的大小. 在用自制半圓形紙片畫(huà)角后，教師引導(dǎo)學(xué)生相互比較半圓形紙片，發(fā)現(xiàn)紙片半徑可大可小，此時(shí)乘機(jī)追問(wèn)：如果沒(méi)有量角器、沒(méi)有半圓形紙片，你有沒(méi)有什么工具可以代替？學(xué)生脫口而出：圓規(guī)！正由于教師恰到好處地把握了關(guān)聯(lián)時(shí)機(jī)，才讓學(xué)生的思維產(chǎn)生了頓悟.

需要說(shuō)明的是：尋求關(guān)聯(lián)絕不是機(jī)械模仿、簡(jiǎn)單類比，要啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新、舊知識(shí)之間的不同點(diǎn). 因此，基于認(rèn)知關(guān)聯(lián)的教學(xué)的本質(zhì)是激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新活力，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

4. 知識(shí)結(jié)構(gòu)化是內(nèi)化學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知關(guān)聯(lián)的“助推劑”

人類社會(huì)所擁有的知識(shí)體系呈網(wǎng)絡(luò)關(guān)系，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)就是由知識(shí)節(jié)點(diǎn)和知識(shí)關(guān)聯(lián)（知識(shí)鏈）構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)知識(shí)體系. 知識(shí)結(jié)構(gòu)化可以將抽象知識(shí)直觀化、將混沌的知識(shí)清晰化，是內(nèi)化學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知關(guān)聯(lián)的“助推劑”. 歐氏幾何之所以充滿魅力，至今仍是各國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)科的必學(xué)內(nèi)容，正是基于其邏輯性、結(jié)構(gòu)化、公理化的特點(diǎn). 歐幾里得的《幾何原本》從23個(gè)定義、10條幾何公理出發(fā)，通過(guò)演繹推理，將已有的碎片化幾何知識(shí)、方法技能體系化、結(jié)構(gòu)化，從而構(gòu)建了歐幾里得幾何公理化體系. 由此可見(jiàn)，知識(shí)結(jié)構(gòu)化是內(nèi)化學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知關(guān)聯(lián)的“助推劑”.