朱 凱 俊

(安徽理工大學 電氣與信息工程學院，安徽 淮南 232001 )

0 引 言

隨著人類社會的發(fā)展，大數(shù)據(jù)時代的來臨，如何從一張包括海量信息的圖片中提取自己想要的部分信息成為當前人們需要解決的問題。圖像分割的核心是聚類，即把所有樣本數(shù)據(jù)有規(guī)律劃分到各個類當中。1965年，美國學者 Zadeh[1]教授首次在 Fuzzy Sets 中提出一種描述模糊現(xiàn)象的概念——模糊集合(Fuzzy Set, FS)，這一概念的出現(xiàn)使得使用數(shù)學思維和方法處理問題的現(xiàn)象有了理論依據(jù)，構成了模糊數(shù)學的基礎；1969 年，Ruspini[2]利用模糊集理論簡化數(shù)據(jù)表示，在聚類分析中運用模糊集的思想，首次提出了模糊聚類方法；1973 年，Dunn[3]給出了一個將硬 C 聚類算法與模糊理論相結合的特例，首次提出FCM 算法；1984年，Bezdek[4]將 Dunn 算法擴展到m>1 的情形，使用隸屬函數(shù)矩陣對算法進行了改進，并評估了提出的方法，驗證了算法的收斂性，模糊 C 均值算法逐漸形成了較完整的體系。

1 理論基礎

1.1 直覺模糊集

直覺模糊集合與模糊集合最大的差別在于1965年Atanassov在直覺模糊集中引入了非隸屬度概念。下面給出直覺模糊集定義[5]：

集合X={x1,x2,…,xn}上的一個直覺模糊集可以表示為

A={〈xi,uA(xi),νA(xi)〉∣xi∈X},i=1,2,…,n

其中，函數(shù)值uA(xi),νA(xi)都在閉區(qū)間0到1上取值，它們表示的是元素xi對A的隸屬度和非隸屬度，所以它們的和也在閉區(qū)間0至1上取值，并且他們的差值|uA(xi)-νA(xi)|∈[0,1]。規(guī)定πA(xi)=1-uA(xi)-νA(xi),函數(shù)值πA(xi)為猶豫度，且也在閉區(qū)間0到1取值。

1.2 直覺模糊熵

熵反映的是體系混亂程度的度量，模糊信息熵反映的是模糊時間段的信息量，熵值越大，則表示信息種類越多樣化。這一概念于1972年被Burillo在信息熵的基礎上進行拓展并提出[6]。之前人們提出的一些直覺模糊熵測度存在一些明顯的缺陷，比如：

能很清楚地看出這個模糊熵測度里面沒有包含猶豫度對直覺模糊不確定程度的影響。所以，本文提出一種新的直覺模糊熵公式并給出證明：

E(A)=

(1)

從式(1)可以看出，新的直覺模糊熵公式里包括猶豫度πA(xi)和隸屬度與非隸屬度的絕對值之差|(uA(xi)-νA(xi))|。下面給出證明：

E(A)=0??xi∈X

|uA(xi)-νA(xi)|(uA(xi)+νA(xi))=0 ?

|uA(xi)-νA(xi)|=0

因為

uA(xi)∈[0,1],νA(xi)∈[0,1]

所以

uA(xi)+νA(xi)≠0?uA(xi)=νA(xi) ?

?xi∈X,uA(xi)=νA(xi)

E(A)=1??xi∈X

|uA(xi)-νA(xi)|(uA(xi)+νA(xi))=1?

因為

uA(xi)∈[0,1],νA(xi)∈[0,1]

所以

uA(xi)=1 ??xi∈X

〈uA(xi),νA(xi)〉=〈1,0〉,?xi∈X

|uA(xi)-νA(xi)|∈[0,1]

(1-πA(xi))∈[0,1]

由于直覺模糊熵公式為單調(diào)遞增函數(shù)， 并且由上面的推導可知：

uA(xi)-νA(xi)≥0?uA(xi)≥νA(xi)

令uA(xi)≤uB(xi),νA(xi)≥νB(xi),πA(xi)=πB(xi)，有

|uA(xi)-νA(xi)|≤|uB(xi)-νB(xi)| ?

E(A)≤E(B)

由此可以得出，E(A)是一個包含猶豫度信息的直覺模糊熵，并且是有效的。

1.3 模糊C均值算法

模糊C均值算法在硬模糊C均值算法的基礎上加入了模糊劃分矩陣。 FCM算法中用隸屬度來表示樣本中某個數(shù)據(jù)對于某個類的歸屬程度。下面通過數(shù)據(jù)模型直觀表示,如圖1、圖2所示。

圖1 數(shù)據(jù)聚類散點圖Fig.1 Scatterplot of data cluster

圖2 數(shù)據(jù)在不同聚類中心分布Fig.2 Data distributed in different cluster centers

從圖1可以大致看出樣本數(shù)據(jù)歸屬于哪一個類中心，但是不能清楚直觀地看出哪一個數(shù)據(jù)樣本歸屬于哪一個類中心，但是在圖2中可以很清楚地看到每一數(shù)據(jù)樣本都很好地歸屬于一個類中心。

下面介紹FCM的定義：FCM把xi(i=1,2,…,n)分為c個模糊組，劃分的依據(jù)為

則FCM的目標函數(shù)就是

(2)

這里uik為隸屬度，介于0，1之間，vk為模糊組K的聚類中心，dik=||vk-xi||為第k個聚類中心與第i個數(shù)據(jù)點間的歐幾里得距離，m是加權指數(shù)，又稱平滑參數(shù)，且m∈[1,+∞),但是通常取m=2。圖3給出了FCM算法的流程圖(ε為收斂精度)。

圖3 FCM算法流程圖Fig.3 Flowchart FCM algorithm

采用拉格朗日乘數(shù)法構造新的目標函數(shù),分別對L的u,v,λ求偏導，然后令所求的偏導為0，聯(lián)立3個式子求解就可以得到隸屬度uik和聚類中心vk的表達式。構造函數(shù)如下[7]：

(3)

隸屬度的值為

i=1,2,…,c;k=1,2,…,n

(4)

聚類中心為

(5)

算法步驟為

① 輸入圖像，設定聚類類別數(shù)、模糊指數(shù)，初始化聚類中心，設置迭代停止閾值以及最大迭代次數(shù)；

② 更新隸屬度；

③ 更新聚類中心；

④ 看是否滿足標準化測度函數(shù)的條件，若滿足，停止算法并輸出隸屬度和聚類中心，否則循環(huán)執(zhí)行步驟②；

⑤ 根據(jù)最大隸屬度原則進行圖像像素點的劃分，實現(xiàn)圖像分割[8]。

2 融入新加權因子的直覺模糊C均值算法

2.1 已有的改進模糊C均值算法

文章前面介紹了FCM算法，由于它的原理很符合實際情況，所以應用比較廣泛，但是在應用中經(jīng)常受到噪聲干擾，碰到復雜性圖像處理效果不理想，魯棒性較差。所以人們對原有FCM算法進行一系列的改進，接下來著重介紹IFCM和KFCM。

2.1.1 直覺模糊C均值算法IFCM

通過文字表面意思可以看出，IFCM算法就是在FCM算法中融入了直覺模糊隸屬度。下面給出目標函數(shù)：

(6)

2.1.2 基于核改進的模糊C均值聚類算法KFCM

定義目標函數(shù)為

其中,K(vi,xj)是高斯徑向基函數(shù)，其表達式為

(7)

其中,1-K(xj,vi)是像素i到鄰域窗內(nèi)像素k的高斯核函數(shù)，用于計算像素點到聚類中心的距離。然后利用拉格朗日乘數(shù)法構造新的目標函數(shù)L(構造方法參考上述的FCM算法)，對L的λ，uij，vi求偏導，然后令所求的偏導為0，聯(lián)立3個式子求解可得出：

隸屬度值為

(8)

聚類中心為

(9)

KFCM算法提高了聚類性能，但對圖像邊緣細節(jié)部分的處理沒能得到解決。KFCM算法對噪聲和孤立點的魯棒性較好，魯棒性指算法在一定的參數(shù)(如噪聲)攝動下，對圖片處理效果的好壞，可以通過一系列的評價指標來判斷算法的魯棒性。通過文獻閱讀知道KFCM算法的迭代次數(shù)最少，因此運行時間會大大減少。算法步驟可以參考文獻[12]。

2.2 改進的直覺模糊C均值算法

2.2.1 抑制式算法

抑制式算法可以在算法運行的時候，突出主要因素，減少從屬因素干擾，有效提高算法的處理速率。引入這個概念的原因在于考慮到新算法結合IFCM和KFCM，可能會導致算法運行速度變慢，那樣就失去了新算法的意義，所以引入一個抑制式算法改進一下新算法的運行速率。假設樣本xj屬于第m類，且它對于m這個類的隸屬度是最大的，記為umi,則修正后的隸屬度為

(10)

其中，α是抑制因子。當α=0的時候，算法變成HCM算法；當α=1的時候，算法變成FCM算法。α的取值決定圖像分割的效果和算法的收斂效果，由于α只能在0到1取值，所以折中考慮，取α=0.5。因為新的直覺模糊集生成方法中猶豫度和抑制因子取值范圍相同，所以采用像素點的隸屬度求出猶豫度作為抑制因子的值去修正像素點的隸屬度，不同的樣本點產(chǎn)生不同的抑制因子，所以α的計算方法[13]為

αij=πij=2uij(1-uij)

(11)

2.2.2 KWIFCM算法

由于IFCM算法沒有包含空間信息，所以本文提出了一種基于IFCM和KFCM改進的新算法：KWIFCM算法。該算法重新定義了加權模糊因子，該模糊因子包含了空間信息，并且引入高斯核距離代替歐幾里得距離計算像素點之間的距離，提高了算法對加噪圖像的分割精度。在新算法中，需要對核空間和直覺模糊集對模糊C均值修正的目標函數(shù)和直覺模糊熵兩個函數(shù)求最小值，修正的目標函數(shù)為式(12)，初始聚類中心的選取依靠式(1)。這樣可以使算法不易陷入局部最優(yōu)，增強算法性能，具體可以參考文獻[14]和式(17)。由于新算法中包含隸屬度、非隸屬度、猶豫度和新的模糊因子，所以JKWIFCM=Jω+Jπ，下面給出新算法的目標函數(shù)：

(12)

其中，

(13)

(14)

K(x,y)=〈φ(x),φ(y)〉=φ(x)Tφ(y)

(15)

(16)

(17)

其中，Exk是特征xk的直覺模糊熵，見式(1)。數(shù)據(jù)樣本的特征權重反映了評價指標對能否實現(xiàn)這次評價的相對重要程度，但是不能保證樣本分布是均勻分布的，一定是雜亂無章的，所以要采用特征加權方法對樣本進行加權，從而挑選出權重比較大的部分，在這個區(qū)域當中選取初始聚類中心，然后利用拉格朗日乘數(shù)法求出隸屬度。

與傳統(tǒng)FCM一樣，KWIFCM通過不斷更新隸屬函數(shù)和聚類中心來優(yōu)化目標函數(shù)。由于新的加權模糊因子中已經(jīng)包含像素空間信息，所以新算法不需要引入任何參數(shù)，即不需要人為干預，這就要提高算法的準確性。具體算法步驟如下：

① 輸入圖像、高斯核函數(shù)K、聚類數(shù)目c、迭代停止閾值δ、加權指數(shù)m，根據(jù)式(12)(13)(14)計算像素的局部信息；

② 根據(jù)直覺模糊熵選取初始化聚類中心；

③ 為高斯核函數(shù)修正θ；

④ 根據(jù)生成的猶豫度修正隸屬度矩陣，判斷迭代停止條件：當前的隸屬度與前一個隸屬度的差值是否小于ε，當條件不滿足則重復步驟④，否則停止迭代，輸出隸屬度矩陣和θ[15]。

2.2.3 算法驗證

衡量一個算法的好壞不能僅依靠主觀推測和感覺，要通過實驗結果驗證，所以在評價指標上，引入正確分割率RSA這一概念來評價算法的優(yōu)越性。定義RSA為

(18)

本文的實驗平臺是MATLAB 2018b，使用的圖像為pen灰度圖像、pepper灰度圖像和lena灰度圖像，且3種圖像均為標準灰度圖像，灰度值為256×256。pen灰度圖像和pepper灰度圖像可以代表現(xiàn)實生活中簡單和復雜的物體，pen灰度圖像細節(jié)較少，pepper灰度圖像細節(jié)較多；lena灰度圖像代表人物。對這3幅圖像進行分割處理，具有典型的意義。為了驗證新算法對噪聲圖像的分割效果，給圖片加的噪聲都為均值為0，強度為0.2的高斯噪聲。在實驗開始前，要交代一些參數(shù)的設定：m=2，ε=0.000 001，最大迭代次數(shù)為1 000，圖4聚類數(shù)目c=2，圖5聚類數(shù)目c=3，圖6聚類數(shù)目c=4。由于本文使用的計算機處理器為英特爾六代，所以算法在運行時間上會跟其他文獻上有所出入。

圖4可以看出：pen的灰度圖像進行FCM算法處理后，圖片顯示出一些細節(jié)部分，灰度對比很明顯。FCM算法處理的pen灰度圖像背景較暗，經(jīng)過本文算法處理后，背景基本上為一片黑色，說明此時的灰度值較大，經(jīng)過測量計算可知此時背景的灰度值已達到251，這樣更能突出所分割圖片的有效信息。加入高斯噪聲的圖片經(jīng)過兩種算法處理后得到的效果跟上述結果大相徑庭。

(a) pen灰度圖

(b) FCM算法

(c) KWIFCM算法

(d) pen加噪圖

(e) FCM算法

(f) KWIFCM算法圖4 pen圖像分割效果對比圖Fig.4 Comparison of pen image split effect

從圖片中也可以看到新算法對加噪圖片的抗噪性也是比較優(yōu)秀的。以lena灰度圖片和lena加噪圖像為例(圖5)，原灰度圖像經(jīng)FCM算法處理后，雖然圖片像素明暗一目了然，但噪聲也可以看得很清楚，經(jīng)本文提出的算法處理后，背景灰度明顯變暗，此時灰度值達到247，人物信息被很好凸顯；FCM對lena加噪圖片的處理并不是很理想，處理過后的圖片背景明暗交替分布，這為算法處理不掉的噪聲區(qū)域，但是進行KWIFCM算法處理后，明暗交替部分已經(jīng)明顯減少，可知噪聲區(qū)域在減少。從圖6可以看到：pepper原圖像和pepper加噪圖進行KWIFCM算法處理后，效果明顯優(yōu)于FCM，噪聲區(qū)域明顯減少或消失，新算法對細節(jié)的分割效果也很有效?？梢缘贸鼋Y論：新算法的穩(wěn)定性較高，不管對于簡單圖像還是復雜圖像，處理結果都能達到人們想要的效果。

(a) lena灰度圖

(b) FCM算法

(c) KWIFCM算法

(d) lena加噪圖

(e) FCM算法

(f) KWIFCM算法圖5 lena圖像分割效果圖Fig.5 Comparison of lena image split effect

(a) pepper灰度圖

(b) FCM算法

(c) KWIFCM算法

(d) pepper加噪圖

(e) FCM算法

(f) KWIFCM算法圖6 pepper圖像分割效果對比圖Fig.6 Comparison of pepper image segmentation effect

為了防止實驗數(shù)據(jù)出現(xiàn)偶然性，所以做了10次隨機實驗并對實驗數(shù)據(jù)進行了平均化處理(表1、表2)。

表1 兩種算法對圖像分割效果的對比Table 1 Comparison of the image segmentation effects of two algorithms

表2 兩種算法迭代次數(shù)對比Table 2 Comparison of the number of iterations of two algorithms

從表1實驗數(shù)據(jù)可以看出：只有pen灰度圖像在FCM算法和KWIFCM算法分別處理后的正確分割率相差不多，而其他灰度圖像分別進行FCM算法和KWIFCM算法處理后，其正確分割率差值在10%左右?？赡艿脑蛟谟趐en灰度圖像細節(jié)不多，而其他圖像細節(jié)比較多。新算法的聚類時間雖然比FCM算法要多出大概一倍的時間，但其處理效果明顯優(yōu)于FCM算法。

從表2可以看出改進算法的迭代次數(shù)有所減少。綜合來說，改進的算法是一次成功并且有效的改進。

3 已有改進FCM算法的實際應用

已有改進的FCM算法不在少數(shù)，所以本文只對IFCM，KFCM和本文新提出的算法進行介紹。在實際應用中，評價分割好壞的指標除了正確分割率之外，還有本節(jié)引入的4項指標。灰度均值代表像素點的平均值，像素點越大，代表圖像分割越精確，即灰度均值越大，圖像的分割精度越高。標準差用于反映數(shù)據(jù)的波動性，標準差越大，則圖像的黑白像素點分明，分割的圖像也越清晰。熵反映混亂度，是一種能量的概念，熵越大，則表明圖像的信息越多，分割的結果也就越準確。平均梯度即灰度的變化率大小，平均梯度越大，則圖像越清晰。

由于上文已經(jīng)對高斯噪聲進行處理，所以不再進行贅述，本節(jié)對圖像添加椒鹽噪聲進行處理和分析。初始參數(shù)的設定和上文一樣，椒鹽噪聲的強度設定為0.1。選取的圖片為pepper和lena灰度圖像(圖7，圖8)。

(a) pepper灰度圖

(b) pepper加噪圖

(c) FCM算法

(d) IFCM算法

(e) KFCM算法

(f) KWIFCM算法圖7 強度0.1椒鹽噪聲下pepper分割對比圖Fig.7 Comparison of segmentation of pepper images when the intensity of impulse noise is 0.1

(a) lena灰度圖

(b) lena加噪圖

(c) FCM算法

(d) IFCM算法

(e) KFCM算法

(f) KWIFCM算法圖8 強度0.1椒鹽噪聲下lena分割對比圖Fig.8 Comparison of segmentation of lena images when the intensity of impulse noise is 0.1

從上面的實驗結果可以看出:FCM算法抗噪能力依然不強，處理后的圖片中仍包含一些椒鹽噪聲點；IFCM算法雖然有處理不確定信息的能力，但對椒鹽噪聲幾乎沒有抑制作用，處理后的圖片噪聲基本沒有得到遏制；KFCM算法包含了空間信息，有效減緩了椒鹽噪聲的干擾，對椒鹽噪聲魯棒性一般，而且對圖片一些不確定信息的處理不很理想；KWIFCM算法包含了空間信息的模糊因子、加快算法運行效率的抑制因子和處理不確定信息能力的直覺模糊C均值算法，從結果可以看出：KWIFCM算法對圖片的分割效果優(yōu)于其他算法，并且對椒鹽噪聲魯棒性較好。

表3即為4種算法在椒鹽噪聲下的分割效果對比圖。

表3 4種算法在椒鹽噪聲下的分割效果對比(10次隨機實驗)Table 3 Comparison of the split effect of four algorithms under impulse noise (10 randomized experiments)

從表3可以看出：4種算法的聚類時間有所不同。由于KWIFCM算法在迭代過程中引入核函數(shù)和每次迭代都要計算的加權模糊因子，因此其聚類時間有所延長，并且KWIFCM算法加入了抑制因子，增加了聚類時間，但并不影響KWIFCM算法分割的正確率。并且從上文可知，KWIFCM算法對高斯噪聲的魯棒性也是最佳的。綜上， KWIFCM算法在圖像分割時，對高斯噪聲和椒鹽噪聲有著明顯的抑制效果。

從表4、表5當中的數(shù)據(jù)可以看到:在pepper加噪圖中經(jīng)KWIFCM算法處理后的圖像灰度均值、標準差和平均梯度最大，而熵值卻最小。在lena加噪圖中，經(jīng)KWIFCM處理后的圖像標準差和平均梯度最大，而熵值同樣為最小。讓人意外的是，經(jīng)FCM處理后的圖像灰度均值居然最大，可能的原因是FCM算法對椒鹽噪聲處理效果不佳導致噪聲點對灰度均值的計算產(chǎn)生了干擾；而熵值都為最小，可能是因為處理后的圖片只有黑白兩種像素點，雖然能夠直觀地看出分割效果，但會有一些非常細微的信息在處理時丟失，而其他算法熵值之所以高，可能是因為對噪聲對處理結果的影響?？傮w來說，改進算法對噪聲圖像分割有著明顯的優(yōu)勢。

表4 4種算法對椒鹽噪聲圖像分割時的灰度均值、標準差、熵、平均梯度Table 4 The mean grayness, standard deviation, entropy and average gradient when using four algorithms to split images under impluse noise

表5 4種算法對椒鹽噪聲圖像分割時的熵、平均梯度Table 5 Entropy and average gradient when using four algorithms to split images under impulse noise

4 總結與展望

本文提出的改進算法減少了算法時間，同時實現(xiàn)了多種功能。在IFCM算法和KFCM算法的基礎上進行了改進，除了引入直接模糊集和高斯核距離，還在目標函數(shù)中加入了加權模糊因子，目的是為了引入像素的空間信息；利用直覺模糊熵公式選取初始聚類中心，可以防止算法陷入局部最優(yōu)；在算法中加入抑制因子，目的是為了減少運行時間。

未來對圖像分割的要求會越來越嚴格，針對提出的算法給出建議：第一，算法的運行時間較長，可能是抑制因子α的選擇沒有做對比實驗，沒有選出最佳的α值，導致實驗結果不理想。第二，圖像分割正確率提高不明顯，只能停留在90%左右，沒有達到令人滿意的效果?？梢詫⒅庇X模糊集推廣到中智集來提高算法的處理能力，更多了解可以參考文獻[16]。