張穎濤,李曉蘭,孫士帥

(1.天津理工大學(xué) 聾人工學(xué)院,天津 300384；2.天津理工大學(xué) 理學(xué)院,天津 300384)

剛體轉(zhuǎn)動實驗的重要任務(wù)是利用轉(zhuǎn)動定律測量剛體的轉(zhuǎn)動慣量[1]，傳統(tǒng)落體法測量剛體轉(zhuǎn)動實驗中用秒表計時落體砝碼的下落時間，由人眼看到砝碼下落開始計時，看到砝碼落地終止計時，砝碼的下落時間和摩擦力矩及砝碼質(zhì)量有關(guān)，摩擦力矩越小，砝碼質(zhì)量越大，下落時間越小，這時測量者的反應(yīng)時間會引入過大的誤差，經(jīng)常出現(xiàn)多次測量中每次的測量時間差別很大的情況，可重復(fù)性差，所以如何改進實驗測量以減少誤差是需要研究的問題。

現(xiàn)代信息社會，人們的生活已經(jīng)離不開智能手機，智能手機的計時功能、計算功能、拍攝功能及自身攜帶的各種傳感器使得它就像隨身攜帶的實驗工具箱，關(guān)于智能手機在物理實驗中的應(yīng)用有很多相關(guān)的討論[2-5]。為解決秒表計時存在人為反應(yīng)誤差問題，本文提出一種基于智能手機拍攝功能測量剛體轉(zhuǎn)動慣量的方法，結(jié)果表明該方法實驗過程簡單、可重復(fù)性強、測量精度高，便于應(yīng)用于實驗教學(xué)。

1 實驗原理

根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，當(dāng)剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動時，有

M=Iβ

(1)

如果系統(tǒng)的合外力矩M和轉(zhuǎn)動時的角加速度β已知，根據(jù)上述公式即可算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量。實驗裝置如圖1所示，剛體系統(tǒng)在砝碼重力的牽引下開始轉(zhuǎn)動，系統(tǒng)受到對軸處的合外力矩由繩子施于塔輪上的拉力矩和軸處的摩擦力矩Mu構(gòu)成，砝碼m在高度h的地方從靜止開始以加速度a勻加速下落，r為塔輪的半徑，滑輪為輕質(zhì)定滑輪，傳統(tǒng)實驗中根據(jù)轉(zhuǎn)動定律及剛體轉(zhuǎn)動時角量和線量的關(guān)系可得

圖1 實驗裝置示意圖

(2)

(3)

若剛體系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量

I>>mr2

(4)

則a?g

在式(2)中可忽略mar，則式(2)可以簡化為

(5)

砝碼由靜止開始做勻加速直線運動，滿足h=at2/2，所以根據(jù)砝碼的下落時間t和下落高度h可求出砝碼的加速度a，改變砝碼質(zhì)量，測出對應(yīng)的加速度a，作m-a圖，根據(jù)圖線斜率即可求出剛體系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量。

2 傳統(tǒng)秒表計時剛體轉(zhuǎn)動慣量實驗中存在的問題

傳統(tǒng)落體法測量剛體轉(zhuǎn)動實驗中用秒表計時落體砝碼的下落時間，由人眼看到砝碼下落開始計時，看到砝碼落地終止計時，但是從式(3)可以看出，砝碼質(zhì)量m越大、摩擦力矩越小時，加速度a就越大，那么砝碼下落高度一定時，下落時間就越短，這時測量者的反應(yīng)時間會引入較大的誤差，計時非常難以準(zhǔn)確；砝碼質(zhì)量太小時其重力又將無法克服轉(zhuǎn)軸的摩擦力下落。通常砝碼的質(zhì)量超過30 g時計時就會出現(xiàn)較大的偏差，經(jīng)常出現(xiàn)多次測量時每次的結(jié)果差別很大的情況，結(jié)果完全沒有重復(fù)性，這對學(xué)生正確理解實驗是非常不利的，影響實驗教學(xué)效果。

3 智能手機慢動作拍攝

為解決上述問題，本文提出用手機“慢動作拍攝功能“拍攝剛體的轉(zhuǎn)動，根據(jù)角位移公式直接獲取剛體的角加速度，替代傳統(tǒng)秒表計時法。

圖2 慢動作拍攝示意圖

慢動作的本質(zhì)是高速攝像，慢速播放，看起來像是動作變慢了，常用于高速運動過程的運動細節(jié)捕捉。測量如圖2所示，在剛體下方套上一個不隨剛體轉(zhuǎn)動的同軸圓刻度盤，在剛體邊緣粘上標(biāo)識物便于隨時讀取剛體轉(zhuǎn)過的角度，當(dāng)剛體在砝碼重力的牽引下轉(zhuǎn)動時，從剛體上方使用智能手機慢動作功能拍攝剛體的轉(zhuǎn)動。

所用手機慢動作功能的拍攝速度為每秒240幀，則每幀圖片之間的時間間隔為1/240 s，遠遠小于人眼的反應(yīng)時間，測量精度非常高。打開視頻，沿著視頻時間線移動，可以依次查看每個時刻剛體上標(biāo)識物所指示的角度，再把讀取數(shù)據(jù)輸入Origin畫圖，可以看到角位置和對應(yīng)的時刻與勻加速圓周運動符合的很好，根據(jù)Origin的曲線擬合功能即可得到剛體轉(zhuǎn)動時的角加速度。根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，在式(4)滿足的條件下可得

(6)

作m-β圖，根據(jù)圖線斜率可求出轉(zhuǎn)動慣量。

4 實驗結(jié)果與分析

實驗中塔輪半徑r為2.5 cm，分別選取砝碼質(zhì)量為10 g、20 g、30 g、40 g、50 g進行落體法測量，在塔輪上方固定手機拍攝剛體的轉(zhuǎn)動過程，本實驗所用手機型號為Iphone8Plus，在每個視頻的中間部分采集數(shù)據(jù)，如圖3所示，讀取時間線上的時間和對應(yīng)畫面中標(biāo)識物指示角度，結(jié)果如表1所示。

圖3 數(shù)據(jù)讀取示意圖

表1 不同砝碼時的時間和角位置

剛體作勻加速圓周運動，其角位置和對應(yīng)的時間滿足二項式公式，把數(shù)據(jù)導(dǎo)入Origin畫圖，并按照二項式擬合曲線，如圖4所示，可以看到，結(jié)果和勻加速圓周運動符合的很好。

圖4 時間和角度的擬合線

根據(jù)擬合結(jié)果中二次項的擬合系數(shù)即可得到剛體勻加速轉(zhuǎn)動的角加速度，結(jié)果如表2所示。

表2 不同質(zhì)量砝碼時的角加速度

U(I)=grU(k)=0.07×10-3kg·m2

所以給定剛體系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為：I=(2.32±0.07)×10-3kg·m2

圖5 質(zhì)量m和角加速度β的擬合線

4 結(jié) 語

本文詳細討論了落體法測剛體轉(zhuǎn)動慣量實驗中下落時間和落體質(zhì)量的關(guān)系，提出利用智能手機慢動作拍攝功能拍攝剛體的轉(zhuǎn)動，根據(jù)拍攝視頻的時間線依次記錄剛體轉(zhuǎn)過的角度，再用Origin處理數(shù)據(jù)，擬合曲線獲取剛體的角加速度，改變砝碼質(zhì)量，測量質(zhì)量和角加速度的關(guān)系可求得剛體系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量。測量方法清晰直觀、簡便易懂、測量精度更高，課堂實用性強，課堂實踐效果非常好。本文受到天津理工大學(xué)教學(xué)基金項目(ZD18-05)支持。