王嵐

從知識(shí)傳授到素養(yǎng)培育，從單一維度到立體視角，從關(guān)注當(dāng)下到指向未來，課堂需要變革，教學(xué)需要增值。教師可以以設(shè)計(jì)為載體，以素養(yǎng)為核心，基于學(xué)科超越學(xué)科，基于兒童為了兒童，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的增值性發(fā)展。下面，筆者以“小數(shù)的意義建構(gòu)”為例，談?wù)勅绾瓮ㄟ^設(shè)計(jì)讓數(shù)學(xué)教學(xué)增值。

一、夯實(shí)增值的根基：理解教材的編排特點(diǎn)

小學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容結(jié)構(gòu)包括顯性的知識(shí)結(jié)構(gòu)和隱性的思想方法結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)教材中既有數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)，又有數(shù)學(xué)思想方法結(jié)構(gòu)，呈螺旋上升的樣態(tài)進(jìn)行整體編排。對(duì)教師而言，讀懂教材，不僅要把握教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)，還要關(guān)注其思想方法結(jié)構(gòu)。

從小數(shù)的意義建構(gòu)來看，教師作為教學(xué)設(shè)計(jì)者，需要將“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”置于數(shù)系的整體中進(jìn)行觀察與思考。整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的認(rèn)識(shí)是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，是小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與核心，而“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”序列中又處于非常重要的位置。從數(shù)系的角度來看，小數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)有著非常密切的聯(lián)系。從應(yīng)用的維度來看，小數(shù)的應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)生活中比比皆是。從認(rèn)知的層面來看，小數(shù)的學(xué)習(xí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維和成長(zhǎng)性思維大有裨益。

基于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段性特征，小學(xué)數(shù)學(xué)教材一般分兩個(gè)階段安排“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”：一是基于現(xiàn)實(shí)情境，初步認(rèn)識(shí)小數(shù)；二是逐步概括抽象，進(jìn)行意義建構(gòu)。蘇教版教材的編排如下：一是在三年級(jí)下冊(cè)安排“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”，重視激活學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，聚焦生活中的數(shù)學(xué)原型，在實(shí)踐與探索中逐步建立數(shù)系關(guān)聯(lián)；二是在五年級(jí)上冊(cè)安排“小數(shù)的意義和性質(zhì)”，就小數(shù)的意義建構(gòu)而言，更為關(guān)注關(guān)系的可視化、認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化和關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)化。

二、把握增值的前提：關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注知識(shí)的來龍去脈和發(fā)生發(fā)展，還要聚焦學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)規(guī)律，從知識(shí)的形成、發(fā)展線索和學(xué)生的認(rèn)知線索這兩個(gè)維度進(jìn)行整體設(shè)計(jì)。從小數(shù)的意義建構(gòu)來看，學(xué)生已經(jīng)具有關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)、計(jì)量單位的認(rèn)識(shí)以及意義建構(gòu)的模型認(rèn)識(shí)這三大基礎(chǔ)。

（一）學(xué)生關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ)

小數(shù)與整數(shù)結(jié)構(gòu)相似、關(guān)系密切，小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)也有著密不可分的聯(lián)系。因此，學(xué)生關(guān)于整數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)對(duì)小數(shù)的學(xué)習(xí)而言至關(guān)重要。其一，在學(xué)習(xí)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”之前，學(xué)生已經(jīng)完成了萬以內(nèi)整數(shù)的認(rèn)識(shí)，知道數(shù)位和計(jì)數(shù)單位，對(duì)“位值”和“十進(jìn)制”有了比較充分的了解，在此基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)小數(shù)，能較為有效地進(jìn)行正遷移。其二，學(xué)生在三年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，知道將一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位平均分成10份，其中的一份就是這個(gè)物體、這個(gè)計(jì)量單位的十分之一，其中的幾份就是這個(gè)物體、這個(gè)計(jì)量單位的十分之幾。小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另外一種表達(dá)方式。因此，對(duì)于分母為10、100、1000……的分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，為小數(shù)的認(rèn)識(shí)提供了必要的結(jié)構(gòu)支持。

（二）學(xué)生關(guān)于計(jì)量單位的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)

其一，學(xué)生對(duì)長(zhǎng)度單位有一定的認(rèn)識(shí)。學(xué)生在二年級(jí)已經(jīng)完成了對(duì)厘米、分米、米的認(rèn)識(shí)；知道測(cè)量長(zhǎng)度時(shí)需要使用長(zhǎng)度單位，了解米、分米、厘米之間的進(jìn)率關(guān)系；具有一定的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，知道有時(shí)不能得到整數(shù)的結(jié)果。其二，學(xué)生對(duì)人民幣單位有一定的認(rèn)識(shí)。學(xué)生了解元、角、分是人民幣的單位，知道1元=10角和1角=10分，具有一定的購物付款的經(jīng)驗(yàn)。無論是對(duì)長(zhǎng)度單位的認(rèn)識(shí)還是對(duì)人民幣單位的認(rèn)識(shí)，因其相鄰兩個(gè)單位之間的進(jìn)率是10，與十進(jìn)制有著緊密的關(guān)聯(lián)，都為學(xué)生認(rèn)識(shí)小數(shù)提供了結(jié)構(gòu)化、形象化、情景化的經(jīng)驗(yàn)素材庫。

（三）學(xué)生關(guān)于意義建構(gòu)的模型認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)

從呱呱墜地開始，兒童就在生活中、學(xué)習(xí)中不斷接觸各種各樣的數(shù)，并從生活中的數(shù)、情境中的數(shù)逐步抽象為數(shù)學(xué)中的數(shù)。在此過程中，從具象到表象再到抽象，逐步完成數(shù)學(xué)化思考的過程。

1.在多元表征中認(rèn)數(shù)

對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，學(xué)生常常需要經(jīng)歷從豐富的現(xiàn)實(shí)情境中逐步提煉共性、抽象概括的過程。在形象與抽象之間，計(jì)數(shù)工具（如計(jì)數(shù)器、小棒、算盤等）發(fā)揮著重要的橋梁作用。如下圖1所示的325的不同表達(dá)，無論外在的形式如何變化，計(jì)數(shù)的載體如何豐富，其數(shù)學(xué)核心都是表示出了3個(gè)百、2個(gè)十和5個(gè)一。在多元表征中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注共同特征，有助于他們實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的升華。

（圖1）

2.在數(shù)形結(jié)合中認(rèn)數(shù)

數(shù)與形是兩個(gè)最基本的數(shù)學(xué)研究對(duì)象。在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生將直觀的圖形語言與抽象的數(shù)學(xué)語言建立起關(guān)聯(lián)，往往可以起到事半功倍的教學(xué)效果。數(shù)形結(jié)合的思想方法也是數(shù)學(xué)教學(xué)中一條重要的思想主線。數(shù)學(xué)家華羅庚先生就曾用“數(shù)形結(jié)合百般好”來表達(dá)數(shù)形結(jié)合的價(jià)值與意義。

在整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的認(rèn)識(shí)中，借助各種直觀圖形可以幫助學(xué)生更好地理解抽象的數(shù)的概念。下圖2就是“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”中非常典型的數(shù)形結(jié)合的例子。學(xué)生可以借助點(diǎn)子圖抽象出數(shù)，還可以在點(diǎn)子圖與數(shù)線對(duì)照中感知數(shù)與圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。學(xué)生可以通過圓點(diǎn)的疊加感受數(shù)的增大，通過圓點(diǎn)的減少感受數(shù)的減小，并由此感受數(shù)軸上不同位置的數(shù)的大小關(guān)系。

（圖2）

三、聚焦增值的關(guān)鍵：實(shí)現(xiàn)小數(shù)的意義建構(gòu)

真實(shí)的學(xué)習(xí)，是學(xué)生基于原有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，主動(dòng)理解、建構(gòu)意義的過程，是認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷擴(kuò)展并自我完善的過程。從數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生長(zhǎng)方式來看，一種是同化，另一種是順應(yīng)。教師應(yīng)如何基于同化與順應(yīng)來引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)小數(shù)的意義呢？

我們?cè)谛奶曋凶呱蠘翘?，走進(jìn)她的臥室。床頭上掛著一張她的全身照片，只穿著薄薄的紗衣，似法國(guó)畫家筆下的天使。我回轉(zhuǎn)頭，發(fā)覺她本人比照片還要美。她已在我看照片時(shí)脫去了外衣。

（一）讓經(jīng)驗(yàn)可借鑒

沒有一個(gè)學(xué)生是空著腦袋走進(jìn)課堂的。每一位進(jìn)入課堂的學(xué)生，或多或少都帶著自己的生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?；谶@樣的觀點(diǎn)再來審視“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：雖然數(shù)的本質(zhì)是抽象的，但小數(shù)作為十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表示方式，在生活中應(yīng)用十分廣泛。同時(shí)，對(duì)學(xué)生而言，測(cè)量長(zhǎng)度的結(jié)果不是整米數(shù)、物品的價(jià)格不是整元數(shù)……這些都是生活中常見的運(yùn)用小數(shù)的現(xiàn)象。

1.基于測(cè)量經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行設(shè)計(jì)

蘇教版教材中“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”就是基于學(xué)生的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行設(shè)計(jì)與實(shí)施的：兩位同學(xué)在測(cè)量課桌，發(fā)現(xiàn)桌面長(zhǎng)5分米、寬4分米，如果用米作單位，不滿1米，怎么表示呢？自然而然，激活了學(xué)生原有的生活經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。不滿1米時(shí)，可以把1米平均分成10份，5分米有這樣的5份，就是十分之五米，還可以表示為0.5米。對(duì)學(xué)生而言，這樣的情景化、任務(wù)型的挑戰(zhàn)是站在新舊知識(shí)的鏈接點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)的認(rèn)識(shí)的自主對(duì)接，完成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的自我拓展。

2.基于購物經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行設(shè)計(jì)

除了借助測(cè)量經(jīng)驗(yàn)展開教學(xué)之外，還可以借助購物經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行設(shè)計(jì)。對(duì)學(xué)生而言，超市中各種物品的價(jià)格大多是用小數(shù)表示的。雖然沒有系統(tǒng)認(rèn)識(shí)過小數(shù)，但對(duì)于生活中用小數(shù)表示的物品價(jià)格，學(xué)生都知道其具體意義為幾元幾角幾分。因此，教師可以通過“喚醒生活經(jīng)驗(yàn)—激活數(shù)學(xué)認(rèn)知—發(fā)現(xiàn)意義關(guān)聯(lián)—建構(gòu)初步認(rèn)識(shí)”這樣的線索進(jìn)行具體教學(xué)。創(chuàng)設(shè)“一個(gè)購物袋0.1元，需要付多少錢？”的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在一個(gè)代表1元的正方形中用自己的方式表示出0.1元。然后組織學(xué)生分析、比較其不同的表示方式，直觀感知0.1元是1角，1角是1元的十分之一，也就是十分之一元，十分之一元還可以表示為0.1元。引導(dǎo)學(xué)生在自我創(chuàng)造與自我發(fā)現(xiàn)中，通過分一分、涂一涂、比一比、說一說等系列化的活動(dòng)，建立起新數(shù)與舊數(shù)的聯(lián)系，架構(gòu)起小數(shù)與分?jǐn)?shù)的橋梁，從而使他們從意義理解走向意義建構(gòu)。

（二）讓圖式可應(yīng)用

以數(shù)學(xué)符號(hào)、圖形、關(guān)系圖等為載體的數(shù)學(xué)圖式兼具形象與抽象的特征。因此，在數(shù)的認(rèn)識(shí)中，需要關(guān)注基于圖式模型的設(shè)計(jì)，在形象與抽象之間形成增強(qiáng)回路。基于數(shù)學(xué)圖式的教學(xué)設(shè)計(jì)，一方面需要基于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)；另一方面需要指向?qū)W生思維生長(zhǎng)的實(shí)踐路線。

在“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”中，教師可以基于價(jià)格模型引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主建構(gòu)，形成0.1元的直觀圖式，并在此基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)0.2元、0.3元……在代表1元的正方形的十等分模型建構(gòu)的基礎(chǔ)上，借助動(dòng)態(tài)變形，完成如下圖3所示的從正方形圖式到長(zhǎng)方形圖式再到類米尺直條的變化過程。在變化中聚焦不變，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注小數(shù)的本質(zhì)，十分之幾的分?jǐn)?shù)可以改寫為一位小數(shù)。進(jìn)而在類米尺的直條中，從價(jià)格單位自然走向長(zhǎng)度單位，再走向任意的其他計(jì)量單位，最終抽象為單位“1”，在“正方形圖式→直條圖式→線段圖→數(shù)軸”（如圖4）的過程中完成小數(shù)的整體建構(gòu)。從具象的代表1元的正方形圖式模型，逐步剝離現(xiàn)實(shí)意義到代表1的線段圖式模型，并在此基礎(chǔ)上抽象為數(shù)軸圖式模型，結(jié)構(gòu)化的設(shè)計(jì)、系統(tǒng)化的內(nèi)容、成長(zhǎng)型的思維讓教學(xué)成為可延展、可持續(xù)、可迭代的過程。

（圖3）

（圖4）

2.在關(guān)聯(lián)中變化

在“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”中，借助測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，基于長(zhǎng)度單位模型，可以較好地完成十進(jìn)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的鏈接。在此基礎(chǔ)上，如何實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)度單位模型與價(jià)格單位模型的有機(jī)對(duì)接，從而在豐富的生活原型中尋找共同的數(shù)學(xué)圖式表達(dá)呢？下圖5呈現(xiàn)的就是在認(rèn)識(shí)與研究長(zhǎng)度單位模型的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生從元與角的關(guān)系入手，從具體形象的1個(gè)1元硬幣的價(jià)值與10個(gè)1角硬幣的價(jià)值相等，逐步過渡到代表1元的長(zhǎng)方形平均分成10份，進(jìn)而抽象為單位線段的過程。在這樣的關(guān)聯(lián)中，我們感受到的是兩種計(jì)量單位的生活模型在數(shù)學(xué)視域中實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)整與歸一。從以圖為基、按圖索驥到建立聯(lián)結(jié)、族群化歸，從可見的圖式到可感的圖式，從物化的表征到心理的圖式，模型可見，學(xué)生的思維可見，生長(zhǎng)亦可見。

（圖5）

（三）讓結(jié)構(gòu)可遷移

好的數(shù)學(xué)教學(xué)善于找尋聯(lián)結(jié)、找準(zhǔn)關(guān)系、找到方法，以結(jié)構(gòu)模型導(dǎo)引，實(shí)現(xiàn)正向遷移，從而使數(shù)學(xué)知識(shí)“像樹一樣生長(zhǎng)”。引導(dǎo)學(xué)生從“前結(jié)構(gòu)水平”走向“單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平”，進(jìn)而走向“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平”，再走向“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平”，最終走向“抽象拓展結(jié)構(gòu)水平”。

1.基于直觀進(jìn)行結(jié)構(gòu)性研究

對(duì)十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的認(rèn)識(shí)以及對(duì)分?jǐn)?shù)的初步理解是學(xué)習(xí)小數(shù)的兩個(gè)重要基礎(chǔ)。在第一學(xué)段學(xué)習(xí)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，主要的研究載體是元、角、分和米、分米、厘米、毫米，這兩類計(jì)量單位的共同特點(diǎn)是相鄰兩個(gè)單位間的進(jìn)率都是10。因此，在研究小數(shù)的意義時(shí)，充分利用直觀素材有助于學(xué)生進(jìn)一步在小數(shù)的意義與十進(jìn)制之間建立聯(lián)系。各個(gè)版本的教材都充分運(yùn)用“米尺”這一直觀載體，引導(dǎo)學(xué)生借助測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)，基于對(duì)長(zhǎng)度單位的認(rèn)識(shí)，通過對(duì)刻度線的觀察獲得對(duì)小數(shù)的意義與十進(jìn)制關(guān)系的直觀性與結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)。下圖6便為蘇教版教材中“小數(shù)的意義和性質(zhì)”的學(xué)習(xí)導(dǎo)引示意圖。

（圖6）

2.基于經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)性推理

學(xué)生在學(xué)習(xí)蘇教版教材中“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，對(duì)十分之幾可以表示為一位小數(shù)有了較為深刻的理解。在第二階段探究小數(shù)的意義時(shí)，教師可以著力引導(dǎo)學(xué)生在“長(zhǎng)度背景”中依次用“米”作單位的分?jǐn)?shù)表示出幾分米、幾厘米和幾毫米，并由“一位小數(shù)表示十分之幾”類推出“兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……”，充分發(fā)揮學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和方法經(jīng)驗(yàn)在理解小數(shù)意義過程中的支撐作用，引導(dǎo)他們嘗試基于經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理推理?；诮?jīng)驗(yàn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)性推理，有助于學(xué)生在大量形象化、情景化的背景中進(jìn)一步抽離與概括，形成對(duì)小數(shù)的意義的初步歸納，從而自主建構(gòu)小數(shù)的意義。

3.基于圖式進(jìn)行結(jié)構(gòu)性演繹

如果說基于情境逐步抽象、概括、歸納是數(shù)學(xué)建模的重要步驟，那么，基于圖式進(jìn)行解釋、說明、演繹也是數(shù)學(xué)建模的重要方面。教學(xué)小數(shù)的意義時(shí)，怎樣進(jìn)行基于圖式的結(jié)構(gòu)性演繹呢？我們可以引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)習(xí)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)基于對(duì)1元的認(rèn)識(shí)而產(chǎn)生的0.7元的圖式，進(jìn)而給出比0.7大且比0.8小的小數(shù)的結(jié)構(gòu)圖式，引導(dǎo)學(xué)生想辦法表示出涂色部分的大小。面對(duì)認(rèn)知沖突，學(xué)生能夠想到繼續(xù)細(xì)分，將這一小格再分為十等份，相當(dāng)于將整個(gè)圖形平均分為100份，從而獲得準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)——0.78。（如圖7）解決了這一具有挑戰(zhàn)性的問題，學(xué)生面對(duì)再增加一小塊涂色部分時(shí)，就能以此類推，繼續(xù)均分，從而獲得0.782這個(gè)三位小數(shù)。這樣的過程可復(fù)制、可持續(xù)、可遷移，有助于學(xué)生在“新沖突—再細(xì)分—新小數(shù)”的認(rèn)知鏈中，從十分之幾到千分之幾，從一位小數(shù)到三位小數(shù)，從10-n到n位小數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)小數(shù)意義認(rèn)識(shí)的邏輯自洽與結(jié)構(gòu)再生。在這樣的學(xué)習(xí)與研究過程中，從正方形模型均分與小數(shù)表達(dá)到正方體模型均分與小數(shù)表達(dá)（如圖8），進(jìn)而拓展為數(shù)軸模型的小數(shù)表達(dá)，如此，結(jié)構(gòu)模型得以遷移，學(xué)生的認(rèn)知模型得以拓展。

（圖7）

（圖8）

綜上所述，筆者認(rèn)為，最好的設(shè)計(jì)，其實(shí)是最美的預(yù)見，更應(yīng)是最美的遇見。有專業(yè)視野和專業(yè)解讀，方能預(yù)見；有專業(yè)實(shí)踐和專業(yè)堅(jiān)守，方能遇見。在預(yù)見和遇見之中，教學(xué)的增值正在悄然發(fā)生。