李忠誠(chéng)，劉馨然，張穆昕

(國(guó)網(wǎng)遼寧省電力有限公司計(jì)量中心，沈陽(yáng) 110000)

0 引言

沖擊耐壓試驗(yàn)作為高電壓測(cè)試的一項(xiàng)主要內(nèi)容[1]，對(duì)于檢驗(yàn)高壓電器設(shè)備的絕緣特性發(fā)揮重要作用。準(zhǔn)確的試驗(yàn)參數(shù)是確保設(shè)備安全可靠運(yùn)行，預(yù)防絕緣損毀的重要保障。IEC 60060-1∶2010[2]標(biāo)準(zhǔn)對(duì)雷電沖擊電壓試驗(yàn)所用的測(cè)量技術(shù)及相關(guān)參數(shù)作出了明確。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，雷電沖擊全波電壓波形可以通過(guò)雙指數(shù)函數(shù)近似模擬，波形主要特征參數(shù)有3個(gè)：峰值、波前時(shí)間和半峰值時(shí)間。

對(duì)于模擬或數(shù)字記錄的平滑雷電沖擊電壓波形，很容易計(jì)算得到特征參數(shù)，但實(shí)際上由于高壓測(cè)試電路回路電感或測(cè)試設(shè)備雜散電容的存在，導(dǎo)致雷電沖擊電壓波形存在過(guò)沖或波前、波尾振蕩現(xiàn)象，使得估算波形參數(shù)變得較為困難。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，IEC 600660-1等標(biāo)準(zhǔn)[2-3]經(jīng)過(guò)不斷的修訂，推薦引入試驗(yàn)電壓函數(shù)k(f)，對(duì)雷電沖擊電壓波形中的振蕩部分進(jìn)行濾波處理，將濾波后的剩余曲線與擬合基本曲線相加得到最終試驗(yàn)電壓曲線，從而計(jì)算波形特征參數(shù)。IEC第三版本的標(biāo)準(zhǔn)有效避免了舊版本關(guān)于平均曲線的不精確處理，但在確定起始點(diǎn)、擬合平均曲線、構(gòu)造濾波器等過(guò)程中仍然存在一些難點(diǎn)[4-6]。

為解決上述問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究，較為常見(jiàn)的方法是利用線性和非線性回歸模型提取雷電沖擊電壓波形平均曲線[7-8]。遺傳算法(GA)[9]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法(ANN)[10]、粒子群優(yōu)化算法(PSO)[11]也被用于曲線擬合。也有學(xué)者提出采用零相位濾波[12]等數(shù)字濾波技術(shù)、小波多分辨率分析[13]等手段消除波形過(guò)沖或振蕩。需要指出的是，當(dāng)前研究方法或多或少存在一些缺陷，例如，初始參數(shù)的選擇會(huì)影響解的收斂性，導(dǎo)致曲線擬合技術(shù)不能提供精確參數(shù)估計(jì)，數(shù)字濾波技術(shù)可能導(dǎo)致波前時(shí)間的減少，基于小波分析的技術(shù)不能同時(shí)在時(shí)間和頻率上都具有很高的精度。

本研究提出一種基于信賴域算法的雷電沖擊波形平均曲線擬合方法，采用雙指數(shù)函數(shù)構(gòu)造波形平均曲線，引入遺傳算法解決信賴域算法局部信賴域半徑減小，迭代點(diǎn)難以求解的缺點(diǎn)，利用信賴域-遺傳算法分別對(duì)雷電沖擊波形存在過(guò)沖、波前振蕩、波峰振蕩、波尾振蕩情況下擬合效果進(jìn)行驗(yàn)證。

1 雷電沖擊波形

根據(jù)相關(guān)規(guī)范[2]，雷電沖擊全波電壓波形可使用雙指數(shù)函數(shù)描述，具體形式如下：

V(t)=A(e-α(t-td)-e-β(t-td))

(1)

式中，A為沖擊電壓峰值；α和β是決定波形上升和下降的衰減常數(shù)；td為波形起始時(shí)間。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)雷電沖擊電壓波形，波前時(shí)間T1為1.2 μs，半峰值時(shí)間T2為50 μs。

根據(jù)參數(shù)定義，T1和T2計(jì)算過(guò)程如下[14]：

T1=1.67(t90-t30)，0.84 μs

(2)

T2=(t50-td)，40 μs

(3)

式中，t30、t50、t90分別為到達(dá)試壓電壓峰值Vp的30%、50%、90%對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)時(shí)間。

波形起始時(shí)間可以通過(guò)下式計(jì)算：

(4)

t30、t50、t90可以通過(guò)牛頓迭代法求解下式方程而得[14]：

(e-αt30-e-βt30)=0.3Vp/A

(5)

2 波形參數(shù)估計(jì)

2.1 目標(biāo)函數(shù)

雷電沖擊全波電壓波形參數(shù)(A、α、β)的確定可以看作一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題[15]，優(yōu)化目的是盡可能降低預(yù)測(cè)波形和實(shí)測(cè)波形之間的誤差。目標(biāo)函數(shù)的選取至關(guān)重要，雷電沖擊全波電壓波形預(yù)測(cè)問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)考慮均方誤差，具體數(shù)學(xué)表達(dá)形式如下：

(6)

J(A,α,β)=min(MSE)

(7)

(8)

式中，MSE為均方誤差，vm為實(shí)際電壓值，ve為預(yù)測(cè)電壓值，N是測(cè)量數(shù)據(jù)樣本總數(shù)。

2.2 信賴域算法

尋找波形實(shí)測(cè)值和預(yù)測(cè)值之間的最小誤差是一個(gè)最小二乘問(wèn)題，通過(guò)求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解(局部最小值)，使得目標(biāo)函數(shù)的值最小，從而能夠優(yōu)化的波形函數(shù)使之更加接近與真實(shí)的沖擊波形。

信賴域算法是求解有界約束非線性極小化問(wèn)題的一種簡(jiǎn)捷有效的手段，其基本思路是給定點(diǎn)初始迭代點(diǎn)x(k)，確定一定的變化范圍，取以x(k)為中心的閉球區(qū)域，稱為信賴域，在此域內(nèi)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f(x)的二階泰勒展開式，求取最優(yōu)點(diǎn)，確定“候選位移”，若候選位移使得目標(biāo)函數(shù)有充分下降量，則接受該候選位移作為新的位移，從而確定新的迭代點(diǎn)x(k+1)；如果二階泰勒展開式與目標(biāo)函數(shù)的近似度不夠理想，則縮小信賴域半徑，重新定義x(k+1)為中心的信賴域，并在此域內(nèi)優(yōu)化新的二階泰勒展開式，直到滿足迭代終止條件。

信賴域算法的具體計(jì)算步驟如下。

1)給定初始迭代點(diǎn)x(1)，信賴域半徑r1，參數(shù)0<μ<η<1及誤差限ε，置k=1，一般取μ=0.25，η=0.7。

2)對(duì)于某次迭代k，計(jì)算f(x(k))，?f(x(k))，若‖?f(x(k))‖<ε，停止計(jì)算，得解x(k)，否則計(jì)算?2f(x(k))。

4)若ρk≤μ，令x(k+1)=x(k)，否則令x(k+1)=x(k)+d(k)。

5)修改rk，若ρk≤μ，令rk+1=0.5rk，如果μ<ρk<η，令rk+1=rk，如果ρk≥η，令rk+1=2rk。

6)k=k+1，重復(fù)步驟2)。

2.3 信賴域-遺傳算法

上述信賴域算法計(jì)算過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，新的信賴域的大小依賴于初始點(diǎn)的選取，迭代點(diǎn)變化速度受到信賴域半徑的約束，導(dǎo)致全局最優(yōu)解不易求取[16]。為此可以引入遺傳算法，擴(kuò)大的信賴域半徑，在該信賴域內(nèi)，求解一個(gè)比當(dāng)前迭代點(diǎn)更優(yōu)的點(diǎn)。圖1給出了具體迭代點(diǎn)變化過(guò)程示意圖[17]。

圖1 信賴域-遺傳算法迭代點(diǎn)變化示意圖Fig.1 Changes of the iteration point in the trust region method combined with genetic algorithm

見(jiàn)圖1，迭代點(diǎn)A點(diǎn)迭代到B點(diǎn)附近時(shí)，信賴域半徑逐漸減小，難以找到一個(gè)有滿意下降值的迭代點(diǎn)，影響了算法收斂速度。擴(kuò)大在B點(diǎn)的信賴域半徑{x‖x-xB‖≤re，x∈Rn}，通過(guò)遺傳算法求取更優(yōu)點(diǎn)C，隨后在新迭代點(diǎn)C點(diǎn)重復(fù)信賴域算法，直至找到最優(yōu)點(diǎn)D點(diǎn)為止。

信賴域-遺傳算法具體步驟如下[18-19]。

1)給定初始迭代點(diǎn)x(1)，最小信賴域半徑rmin，設(shè)置參數(shù)ε1>0，ε2>0，ε3>0，0<β1<1<β2，0<β3<β4<1，M1>1，令信賴域半徑r1=max{‖?f(x(1))‖，rmin}。

2)對(duì)于某次迭代k，計(jì)算f(x(k))，?f(x(k))，若‖?f(x(k))‖<ε1，終止計(jì)算，得解x(k)，否則求解二次模型的最優(yōu)解d(k)。

3)計(jì)算增益比例ρk，若ρk≤0，令x(k+1)=x(k)，否則令x(k+1)=x(k)+d(k)。

4)選取rk+1，使其滿足：

7)k=k+1，重復(fù)步驟(2)。

3 仿真結(jié)果分析

通過(guò)相關(guān)數(shù)學(xué)公式分別模擬生成伴有過(guò)沖、波前振蕩、波尾振蕩的雷電沖擊波形原始數(shù)據(jù)，采用信賴域-遺傳算法擬合波形平均曲線。

3.1 雷電沖擊波形伴有過(guò)沖現(xiàn)象

采用式(9)[20]生成伴有過(guò)沖現(xiàn)象的雷電沖擊波形原始數(shù)據(jù)。

y(tk)=A(e-αkΔt-e-βkΔt)+Be-γkΔt(1-coswkΔt)

(9)

式中，相關(guān)參數(shù)分別為：A=1，B=0.84，α=1.3×104，β=2.34×106，γ=6×105，w=5×15。

圖2給出了伴有過(guò)沖現(xiàn)象的雷電沖擊波形原始曲線和預(yù)測(cè)曲線。

圖2 伴有過(guò)沖雷電沖擊波形原始曲線與預(yù)測(cè)曲線Fig.2 Measured and estimated waveform of the lightning pulse with overshoot

圖2可以看出，信賴域-遺傳算法能夠較好的擬合出符合原始數(shù)據(jù)曲線走勢(shì)的雷電沖擊波形平均曲線，擬合得到的雙指數(shù)波形曲線參數(shù)為A=1.024，α=1.358×104，β=2.389×106，接近于原始沖擊波形參數(shù)。

3.2 雷電沖擊波形伴有振蕩現(xiàn)象

采用式(10)[20]生成伴有波前振蕩和波峰振蕩現(xiàn)象的雷電沖擊波形原始數(shù)據(jù)。

y(tk)=A(e-αkΔt-e-βkΔt)+Ce-δkΔtsinwkΔt

(10)

式中，波前振蕩相關(guān)參數(shù)分別為：A=1，C=0.2，α=1.3×104,β=2.34×106，δ=2×106，w=8×107；波峰振蕩相關(guān)參數(shù)分別為：A=1，C=0.3，α=1.3×104,β=2.34×106，δ=4×106，w=9×106。

生成伴有波尾振蕩現(xiàn)象的雷電沖擊波形的公式形式和式(9)類似，相關(guān)參數(shù)分別為：A=1，B=0.016 8，α=1.3×104,β=2.34×106，γ=1 000，w=5.1×105。

圖3～圖5分別給出了伴有波前、波峰、波尾振蕩現(xiàn)象的雷電沖擊波形原始曲線和預(yù)測(cè)曲線。

圖3 伴有波前振蕩雷電沖擊波形原始曲線與預(yù)測(cè)曲線Fig.3 Measured and estimated waveform of the lightning pulse with oscillations on the front

圖4 伴有波峰振蕩雷電沖擊波形原始曲線與預(yù)測(cè)曲線Fig.4 Measured and estimated waveform of the lightning pulse with oscillations on the wave head

圖5 伴有波尾振蕩雷電沖擊波形原始曲線與預(yù)測(cè)曲線Fig.5 Measured and estimated waveform of the lightning pulse with oscillations on the tail

由圖3～圖5可以看出，信賴域-遺傳算法能夠根據(jù)振蕩沖擊曲線擬合出較為平滑的雙指數(shù)函數(shù)波形，根據(jù)波前振蕩曲線擬合得到的雙指數(shù)波形曲線參數(shù)為A=1.008，α=1.287×104,β=2.317×106，波峰振蕩曲線擬合得到的雙指數(shù)波形曲線參數(shù)為A=1.011，α=1.273×104,β=2.308×106，波尾振蕩曲線擬合得到的雙指數(shù)波形曲線參數(shù)為A=1.014，α=1.264×104,β=2.294×106，3種情況擬合參數(shù)均較為接近原始沖擊波形參數(shù)。從擬合效果來(lái)講，波前振蕩曲線擬合效果最佳，波峰振蕩曲線擬合效果次之。

3.3 迭代速度

圖6給出了信賴域-遺傳算法和信賴域算法處理伴有波前振蕩現(xiàn)象的雷電沖擊波形收斂速度對(duì)比。

圖6 兩種算法收斂速度對(duì)比Fig.6 The convergence of the fitness values for two algorithms

圖6可以看出，信賴域-遺傳算法經(jīng)過(guò)約40次迭代計(jì)算后能夠滿足精度要求，而傳統(tǒng)信賴域算法需要經(jīng)過(guò)超過(guò)60次迭代，信賴域-遺傳算法的計(jì)算收斂速度要明顯快于傳統(tǒng)遺傳算法。

4 結(jié)論

本研究提出一種基于信賴域-遺傳算法的雷電沖擊波形平均曲線擬合方法，構(gòu)造雙指數(shù)函數(shù)形式的波形平均曲線，分別對(duì)雷電沖擊波形存在過(guò)沖、波前振蕩、波峰振蕩、波尾振蕩情況進(jìn)行擬合驗(yàn)證，分析結(jié)果表明該算法能夠較好擬合雷電沖擊波形平均曲線波形，擬合得到的波形基本參數(shù)與原始波形參數(shù)較為一致。